Cálculo Númerico - Erros de Truncamento e Séries de Taylor01 04_-_ERROS_DE_TRUNCAMENTO_E_SÉRIES_DE_TAYLOR

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12/08/2014
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01.04 - ERROS DE 
TRUNCAMENTO E 
SÉRIES DE TAYLOR
Erros de Truncamento e Séries de 
Taylor
• Funções não-elementares como as trigonométricas, 
exponenciais, e outras são expressas em ma forma 
aproximada usando séries de Taylor quando seus 
valores, derivadas, e integrais são calculados.
• Qualquer função suave pode ser aproximada como 
um polinômio. As séries de Taylor fornecem um meio 
de predizer o valor de uma função em um ponto em 
termos do valor da função e suas derivadas em outro 
ponto.
Figure 4.1 Exemplo:
Para encontrar cos(x) para pequenos x:
Se x=0.5
cos(0.5) =1-0.125+0.0026041-0.0000127+ … 
=0.877582
A partir da teoria, para esta série, o erro não é maior 
que o primeiro termo omitido.

!6!4!2
1cos
642 xxxx
0000001.05.0
!8
8
 xparax
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2
• Qualquer função suave pode ser aproximada 
como um polinômio.
f(xi+1) ≈ f(xi) aproximação ordem zero, 
somente verdadeiro se xi+1 e xi são muito 
próximos um do outro.
f(xi+1) ≈ f(xi) + f′(xi) (xi+1-xi) aproximação 
de primeira ordem, na forma de uma linha reta
n
n
ii
i
n
ii
i
iiiii
Rxx
n
xf
xxxfxxxfxfxf




)(
!
)(
)(
!2
)())(()()(
1
)(
2
111 
n
n
ii
n
iiiiiii
Rxx
n
f
xxfxxxfxfxf




)(
!
)(
!2
))(()()(
1
)(
2
111 
(xi+1-xi)= h tamanho do passo (definir primeiro)
)1(
)1(
)!1(
)( 

n
n
n hn
fR 
• Termo remanescente, Rn, representa todos os 
termos a partir de (n+1) até o infinito.
Aproximação nésima ordem
•  não é conhecido exatamente; encontra-se em 
algum lugar entre xi+1> >xi .
• Necessário determinar f n+1(x); para fazer isso 
você precisa f'(x).
• Se conhecêssemos f(x), não haveria necessidade 
de realizar a expansão em série de Taylor.
• Entretanto, R=O(hn+1), (n+1)th ordem, a ordem de 
erro de truncamento é hn+1.
• O(h), dividindo o intervalo ao meio divide o erro 
ao meio.
• O(h2), dividindo o intervalo ao meio divide o erro 
por quatro.
• O erro de truncamento é diminuído quando são 
adicionados termos à série de Taylor.
• Se h for suficientemente pequeno, apenas uns poucos 
termos podem ser requeridos para obter uma 
aproximação próxima o suficiente ao valor real para 
propósitos práticos.
Exemplo:
Calcule a série, corrija até 3 dígitos.

4
1
3
1
2
11
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3
Propagação do Erro
• fl(x) refere-se à representação de ponto 
flutuante (ou computador) do número real x. 
Devido ao fato de que um computador pode 
suportar um número finite de algarismos 
significativos para um dado número, pode 
haver um erro (erro de arredondamento) 
associado com a representação de ponto 
flutuante. O erro é determinado pela precisão 
do computador ().
• Suponha que temos uma função f(x) que é 
dependente de uma simples variável independente x. 
fl(x) é uma aproximação de x e gostaríamos de 
estimar o efeito da discrepância entre x e fl(x) no 
valor da função:
))(()()(
superiores e 2 ordem de termosos
odesprezand ),f(x de próximo f(x)calcular paraTaylor de série Empregue
dosdesconheci são como f(x) tanto)()()(
fl
fl
flflfl
flfl
xxxfxfxf
xxfxfxf


Figure 4.7 Adicionalmente, seja t, o erro relativo fracionário, o 
erro associado a fl(x). Então
Rearranjando, temos
  tt ondex
xxfl )( Epsilon da máquina, fronteira 
superior
)1()(
)(


t
t
xxfl
xxxfl


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• Caso 1: Adição de x1 e x2 com erros associados t1 e t2 gera o seguinte resultado:
fl(x1)=x1(1+t1)
fl(x2)=x2(1+t2)
fl(x1)+fl(x2)=t1 x1+t2 x2+x1+x2
21
2211
21
2121 )()()(
%100 xx
xx
xx
xxxflxfl ttt


 
•Um grande erro poderia resultar da adição se x1 e x2 
forem de magnitude quase igual mas de sinais opostos, 
portanto deve-se evitar subtrair números 
aproximadamente iguais.
nE
• Generalização:
Suponha que os números fl(x1), fl(x2), fl(x3), …, 
fl(xn) são aproximações de x1, x2, x3, … ,xn e que em 
cada caso o máximo erro possível seja E.
fl(xi)-E ≤ xi ≤ fl(xi)+E Eti ≤E
Segue por adição que
  nExflxnExfl iii )()(
De modo que
   nExflxnE ii )(
Portanto, o máximo erro possível na soma de 
fl(xi) é .
• Caso 2: Multiplicação de x1 e x2 com erros 
associados et1 e et2 resulta em:
2121
21
2121
21212121
221121
)()(
%100
)1()()(
)1()1()()(
tttt
t
tttt
tt
xx
xxxflxfl
xxxflxfl
xxxflxfl






• Já que t1, t2 são pequenos, o termo t1t2 deve ser 
pequeno em relação a t1+t2. Por isso a magnitude do 
erro associado com um passo de multiplicação ou 
divisão deve ser t1+t2.
t1 ≤ (fronteira superior)
• Embora o erro de um cálculo possa não ser 
significativo, se 100 cálculos forem feitos, o erro é 
então aproximadamente 100. A magnitude de erro 
associado a um cálculo é diretamente proporcional ao 
número de passos de multiplicação. 
• Refer to Table 4.3
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• Overflow: Qualquer número maior que o maior número que 
pode ser expresso em um computador resultará em um 
overflow.
• Underflow (Hole) : Qualquer número positivo menor que o 
menor número que pode ser representado em um computador 
resultará em um underflow.
• Algoritmo Estável: Em cálculos extensos, é provável que 
muitos arredondamentos sejam feitos. Cada um representa um 
erro de entrada para o resto do cálculo, impactando a eventual 
saída. Algoritmos para os quais o efeito cumulative de todos 
esses erros são limitados, de modo que um resultado útil seja 
gerado, são chamados algoritmos “estáveis”. Quando o 
acúmulo e devastador e a solução é superada pelo erro, tais 
algoritmos são chamados instáveis.
Figure 4.8