logaritmos (1)

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MATEMÁTICA 
 
Editora Exato 4 
LOGARITMOS 
1. DEFINIÇÃO 
Dados a, b *+ ∈ R e a 1≠ . 
x
alog b x a b= ↔ = 
2. ELEMENTOS 
log b
a
= x
logaritmando
Logaritmo
base
 
O logaritmo representa o expoente da base pa-
ra gerar o logaritmando. 
Exemplo 
E.1) x x 32log 8 x 2 8 2 2 x 3= ⇒ = ⇒ = ⇒ = . 
E.2) 
3
x x 2
2
3
log 2 2 x 2 2 2 2 2 x
2
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = . 
2.2. Conseqüências da Definição 
Dados x, b, a 0> e a 1≠ . 
� alog 1 0= , pois a0=1. 
� alog a 1= , pois a1=a. 
� malog a m= , pois am=am. 
� a
log ba b= . 
� a alog x log b x b= ⇒ = 
2.3. Representações Especiais 
� O logaritmo na base 10 é escrito sem a ba-
se, isto é, 10log b log b= . 
� O logaritmo na base e (número periano) é 
escrito como elnb log b= 
2.4. Propriedades Operatórias 
Satisfeitas as condições de existência, temos: 
P1) logb (ac) = alogb + clogb ; 
P2) logb 





c
a
= alogb − clogb ; 
P3) logbam = m . alogb ; 
P4) alog
m
1
alog bmb ⋅= . 
2.5. Mudança de Base 
O alog b pode ser escrito em qualquer base 
( )x x 0 e x 1> ≠ como a divisão de xlog b e xlog a , ou se-
ja, xa
x
log b
log b
log b
= (com a 0> e a 1≠ ). 
Exemplo: 
E.1) 23
2
log 5
log 5
log 3
= 
 
E.2) Calcule o valor de 3log 2 , sabendo que 
10log 2 0,301= e 10log 3 0,477= . 
Resolução: 
Mudando o logaritmo para a base 10, temos: 
3
log 2 0,301
log 2
log 3 0,477
= = 
2.6. Antilogaritmo e Cologaritmo 
Define-se como antilog de x na base a como o 
logaritmando do logaritmo de b na base a, ou seja, 
a alog b x antilog x b= ⇔ = . 
Define-se como cologaritmo de b na base a 
como o oposto do logaritmo de b na base a, ou seja, 
a acolog b log b= − . 
Exemplo: 
E.1) 2 2b antilog 3 log b 3 b 8= ⇔ = ⇒ = . 
E.2) Determine o 2 2colog 16 log 16 4= − = − . 
2.7. Equações Logarítmicas 
Para resolver as equações logarítmicas da 
mesma base, usamos o fato de a função logarítmica 
ser injetora, ou seja, quando suas imagens são iguais, 
então os elementos correspondentes do domínio são 
iguais (supondo satisfeitas as condições de existência 
dos logaritmos). Em símbolos, temos: 
( )c 1 c 2 1 2 1 2log x log x x x x , x ,c e c 1+ += ⇔ = ∈ ∈ ≠R R . 
Exemplo: 
E.1) Calcule o valor de x na equação 
( ) ( )log x 3 log 2x 5− = − 
Resolução: 
Usando a propriedade na equação. 
( ) ( )log x 3 log 2x 5 x 3 2x 5 x 2− = − ⇒ − = − ⇒ = , 
como x 2= não satisfaz à condição de existência, 
pois o logaritmando se torna negativo, então o con-
junto solução é vazio. 
3. LOGARITMOS DECIMAIS 
Denomina-se de logaritmo decimal ou de 
Brigss a todo logaritmo de base 10. Esses logaritmos 
podem ser escritos como abaixo. 
log b= c + 0, m
Representa a mantissa (parte
fracionária do logaritmo).
Representa a característica (parte
inteira do logaritmo).
 
3.1. Cálculo da Característica 
Considere o logaritmo logb, em que b está es-
crito na forma decimal. 
 
Editora Exato 5 
� Se b 1> , então a característica de log b é 
encontrada subtraindo uma unidade do nú-
mero de algarismos que b apresenta em sua 
parte inteira. 
Exemplo: 
E.1) {
4alg
log3478,701 4 1 3⇒ − = 
E.2) {
1 alg
log 2 ,347 c 1 1 0⇒ = − = . 
� Se b 1< , então a característica de log b é i-
gual ao oposto do números de zeros que b 
apresenta antes do primeiro algarismo não 
nulo. 
Exemplo: 
E.1) {
2 zeros
log 0,0 31 c 2⇒ = − . 
E.2) 
4 zeros
log0,000345 c 4⇒ = −
123
 
3.2. Cálculo da Mantissa 
É obtida em tabela conhecida como tábua de 
logaritmos. 
Propriedade: se as representações decimais de 
dois números positivos diferem apenas na posição da 
vírgula, então os logaritmos possuem a mesma man-
tissa. 
Exemplo: 
E.1) log 271 = 2 + 0,43297 = 2,43297 
E.2) log 2,71 = 0 + 0,43297 = 0,43297 
E.3) log 0,0271 = −2 + 0,43297 = −1, 56703 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1 Resolva: 625log 5 
Resolução: 
625log 5 (lê-se log de 5 na base 625)x= 
Fatorar: 
625
125
25
5
1
5
5
5
5
54
 
( ) 14 2
625 5
1
5 5 4
2
1
8
x
x
x
x
=
/ /= → =
=
 
 
 
 
 
 
2 A soma 2 2log 8 log 16+ . 
Resolução: 
2log 8
2 8
2 2
3
x
x
x
x
=
=
=
=
 
2
4
log 16
2 16
2 2
4
x
x
x
x
=
=
=
=
 
 
3 + 4 = 7 
 
3 Qual o valor da expressão 5 3log 25 log 81+ ? 
Resolução: 
5
2
log 25
5 25
5 5
2
x
x
x
x
=
=
=
=
 
3
4
log 81
3 81
3 3
4
x
x
x
x
=
=
=
=
 
2 + 4 = 6 
 
EXERCÍCIOS 
1 (PUC) Se 
2 2
log 512 x= , então x vale: 
a) 6 
b) 3/2 
c) 9 
d) 3 
e) 2/3 
 
2 (FESP) A expressão 2 4log 16 log 32− é igual a: 
a) ½ 
b) 3/2 
c) 1 
d) 2 
e) 2/3 
 
3 (CESCEM) O valor da expressão 
1 0,1
2
log 32 log0,001 log 10 10+ − é: 
a) –13 
b) 2 
c) –13/2 
d) 13/2 
e) –19/2 
 
4 A solução da equação ( )8 8log x log 3x 2 1+ − = é i-
gual a: 
a) –4/3 
b) 1/2 
c) –2 
d) 2 
e) 4/3 
 
 
Editora Exato 6 
5 Se 2log x a= , então 8log x é igual a: 
a) a/3. 
b) a/4 
c) 2a. 
d) 3a. 
e) 4a. 
 
6 O produto 9 2 5log 2 log 5 log 3⋅ ⋅ é igual a: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 1/5. 
d) 1/3. 
e) 1/2. 
 
7 O valor da expressão 3 25log 5 log 27⋅ é: 
a) 2/3. 
b) 3/2. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 1/3. 
 
8 (MACK) O valor de ( )3 42log log 2 log 3⋅ é: 
a) 2. 
b) 1/2. 
c) –1/2. 
d) –2. 
e) 3/2. 
 
9 (FUVEST) Se 2 2log b log a 5− = , o quociente ba 
vale: 
a) 10. 
b) 25. 
c) 32. 
d) 64. 
e) 128. 
 
10 (UFMT) Sendo 4 xlog 25 3= , podemos afirmar que 
2log 5 é igual a: 
a) x
3
 
b) 2x
3
 
c) 
2x
9
 
d) 3 x
3
 
e) 
2
3
x
9
 
 
11 (FEI-SP) Se log2 a= e log3 b= , escrevendo 
32log
27
 em função de a e b, obtemos: 
a) 2a+b 
b) 2a-b 
c) 2ab 
d) 2a
b
 
e) 5a-3b 
 
12 (FATEC) A solução da equação 
7 5log 10 log 7 logx 4⋅ ⋅ = é: 
a) 625. 
b) 2401. 
c) 10000. 
d) 710. 
e) 57. 
 
13 A característica de log2 é: 
a) 2. 
b) 1. 
c) 0. 
d) 1 . 
e) 2 . 
 
14 (PUC) O logaritmo negativo 10log a 3,415= − po-
derá ser escrito: 
a) 3.415. 
b) 4,415 . 
c) 3,415 . 
d) 4,585 . 
e) Nenhuma. 
 
15 (GAMA FILHO) Dado log3 0,47712= , calcule 
log81 log2,43+ 
a) 2,29408. 
b) 1.01476. 
c) 2,01002. 
d) 3,65432. 
e) 2,41784. 
 
16 (CESCEM) As características, no sistema deci-
mal, de log7, log 0,032, log105 e log0,00010, são, 
respectivamente: 
a) 1, -1, 6, -3. 
b) 1, -1, 5, -3. 
c) 0, -1, 5, -4. 
d) 0, -2, 5, -4. 
e) 7, 0, 5, 0. 
 
 
 
Editora Exato 7 
17 Supondo-se para log 2 o valor aproximado 0,301, 
acha-se para log 12,5 o valor: 
a) 0,602. 
b) 0,398. 
c) 0,903. 
d) 0,097. 
e) 1,097. 
 
GABARITO 
1 A 
2 B 
3 C 
4 D 
5 A 
6 E 
7 B 
8 D 
9 C 
10 A 
11 E 
12 A 
13 C 
14 D 
15 A 
16 D 
17 E