Exercícios - Derivadas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Disciplina: Matema´tica Ba´sica
Professora: Daniele Freitas
Conteu´do: Regras de Diferenciac¸a˜o
3a Lista
1. Diferencie as func¸o˜es:
a) G(x) =
√
x− 2ex;
b) f(x) =
x2 + 4x+ 3√
x
;
c) f(t) = t2 − 1
4
√
t3
;
d) y =
√
x(x− 1);
e) y =
x2 − 2√x
x
;
f) f(x) = x2ex;
g) f(x) = (2x3 + 3)(x4 − 2x);
h) f(t) = (1 + et)(3−√t).
2. Determine:
a) Uma equac¸a˜o da reta normal a` para´bola y = 1− x2 no ponto (2,−3);
b) As equac¸o˜es de retas tangentes a` curva y =
x− 1
x+ 1
paralelas a` reta x− 2y = 2.
3. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto dado:
a) y =
2x
x+ 1
, (1, 1);
b) y = 2xex, (0, 0);
c) y =
√
x
x+ 1
, (4, 9);
d) y =
ex
x
, (1, e).
4. Dadas as func¸o˜es f(x) = x2+ ax e g(x) = bx, a e b constantes, determine a e b de modo que:
1
h(x) =
{
f ′(x) + g′(x) = 1;
f(x)− g(x) = x2.
5. Diferencie as func¸o˜es:
a) y = sen(x) + 10tg(x);
b) h(θ) = cossec(θ) + eθcotg(θ);
c) f(θ) =
sec(θ)
1 + sec(θ)
;
d) y =
x
cos(x)
;
e) y = sec(θ)tg(θ);
f) y =
tg(x)− 1
sec(x)
;
g) y = cossec(θ)(θ + cotg(θ));
h) y =
1 + sen(x)
x+ cos(x)
.
6. Encontre os pontos sobre a curva y =
cos(x)
2 + sen(x)
onde a tangente e´ horizontal.
7. Para que valores de x as func¸o˜es abaixo tera´ uma tangente horizontal?
a) f(x) = x+ 2sen(x);
b) f(x) = x+ cos(x).
8. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto dado:
a) y = xcos(x), (−pi, pi);
b) y = sec(x)− 2cos(x),
(pi
3
, 1
)
;
c) y = sen(x) + sen2(x), (0, 0);
d) y = 2x+ cotg(x),
(pi
2
, 2
)
.
9. Escreva na forma f(g(x)) a func¸a˜o composta. [Identifique a func¸a˜o de dentro g(x) e a func¸a˜o
de fora f(x).] Enta˜o encontre a derivada
dy
dx
.
a) y = sen(4x);
b) y =
(
1− x2)10;
c) y = e
√
x;
d) y =
√
4 + 3x;
e) y = tg(sen(x));
f) y = sen(ex).
10. Diferencie as func¸o˜es abaixo usando a Regra da Cadeia:
2
a) F (x) = (x3 + 4x)7;
b) F (x) =
4
√
1 + 2x+ x3;
c) g(t) =
1
(t4 + 1)3
;
d) y = cos(a3 + x3);
e) f(t) = 3
√
1 + tg(t);
f) y = a3 + cos3(x);
g) y = cotg2(sen(θ));
h) y = sen(sen(sen(x))).
11. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto dado:
a) y = (1 + 2x)10, (0, 1);
b) y = sen(sen(x)), (pi, 0);
c) y = sen(x) + sen2(x), (0,0);
d) y = x2e−x,
(
1, 1e
)
.
12. Encontre todos os pontos sobre o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 2sen(x)+sen2(x) nos quais a reta
tangente e´ horizontal.
13. Encontre
dy
dx
diferenciando implicitamente.
a) x3 + x2y + 4y2 = 6;
b) x2y + xy2 = 3x;
c) x2y2 + xsen(y) = 4;
d) 4cos(x)sen(y) = 1;
e) xy = cotg(xy);
f) ysen(x2) = xsen(y2);
g) 1 + x = sen(xy2);
h) sen(x) + cos(y) = sen(x)cos(y).
14. Encontre a derivada das func¸o˜es abaixo.
a) y = tg−1(
√
x);
b) y = sen−1(2x+ 1);
c) H(x) = (1 + x2)tg−1(x);
d) h(t) = cotg−1(t) + cotg−1
(
1
t
)
;
e) y =
√
tg−1(x);
f) y = tg−1(x−√1 + x);
g) y = tg−1(cos(θ)).
15. Diferencie a func¸a˜o:
3
a) f(x) = ln(x2 + 10);
b) f(θ) = ln(cosθ);
c) f(x) = log2(1− 3x);
d) f(x) = 5
√
ln(x);
e) f(x) =
√
x ln(x);
f) f(x) = cos(ln(x));
g) f(x) = ln( 5
√
x);
h) f(x) =
1 + ln(x)
1− ln(x) ;
i) h(x) = ln(x+
√
x2 − 1).
4