CAUV - P3 - Cálculo da Equação da Reta Tangente ao Gráfico de uma Função

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ROTEIRO DE PRÁTICA
Tema Cálculo da Equação da Reta Tangente ao Gráfico deUma Função Unidade 01
Disciplina
(s) Cálculo Aplicado – Uma Variável
Data da última
atualização 03/02/2020
I. Instruções e observações
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES
1. É importante o conhecimento prévio de derivadas de funções elementares e regras de derivação.
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos.
3. Utilize o material de apoio (e-book unidade 1).
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos
Descrição Quantidade
Roteiro da prática 1
Computador 1
Applets 5
GEOGEBRA 1
Calculadora científica 1
III. Introdução
Geometricamente, a derivada da função �(�) , aplicada a um ponto � , é igual ao coeficiente angular da reta
tangente à curva neste ponto. Isso significa que a derivada da função aplicada ao ponto é igual à tangente do
ângulo formado por essa reta e o eixo das abscissas. Dessa forma, é possível geometricamente compreender o
conceito da função derivadas através da sua definição por limite, que é representa uma taxa de variação
instantânea.
IV. Objetivos de Aprendizagem
 Reconhecer a derivada como medida de taxa de variação, o que pode ser identificada a partir dos coeficientes de uma reta
tangente
 Aplicar a tabela de derivadas e regras de derivação para derivar operações que envolve as funções elementares
Capstone).
 Encontrar a equação da reta tangente a uma curva num dado ponto.
V. Procedimentos
Parte A: ENTENDENDO O CONCEITO DE DERIVADAS ATAVÉS DA RETA TANGENTE À CURVA NUM DADO PONTO.
1. Reconhecimento da reta tangente: Aqui você deve acessar os applets 1, 2 e 3, em arquivo htlm
disponibilizados para a prática, através dos links indicados no quadro abaixo.
2
Applet 1: (reta tangente)
Link:
https://www.geogebra.org/m/qsu3sb57
Acesso em: 22 jan. 2020
Applet 2: (reta tangente local)
Link:
https://www.geogebra.org/m/cgwm9
6c6
Acesso em: 22 jan. 2020
Applet 3: (reta tangente e derivada)
Link:
https://www.geogebra.org/m/btm
ewm9s
Acesso em: 22 jan. 2020
 O applet 1mostra a reta tangente ao longo da curva �. Experimente mover o ponto � e observar a
inclinação da reta tangente e sua equação.
 Verifique, através do applet 2, que ao mover o ponto sobre o eixo �, a reta corta a curva em dois pontos: �
e �. No entanto, podemos considerar que localmente a reta é tangente à curva no ponto �. Ou seja, uma
reta pode tangenciar uma curva em um determinado ponto, mesmo sendo secante à essa curva.
 O applet 3 mostra que o coeficiente angular da reta no ponto � é igual ao valor da derivada da função �
aplicada ao ponto � . Ao mover o ponto, verifique que os valores permanecem iguais ao longo do
movimento.
2. Definição da derivada:
Tomando-se o ponto �(�0, �0) e o ponto arbitrário �(�0, �0) , o coeficiente angular da reta secante é dado pela
taxa média de variação: ∆�
∆�
= �(�)−�(�0)
�−�0
. Você verificou através dos applets, que o coeficiente angular da reta
secante tende ao coeficiente angular da reta tangente quando o ponto Q se aproxima do ponto P. Portanto,
podemos afirmar que o coeficiente angular da reta tangente é a taxa de variação instantânea dada por: lim
�→�
∆�
∆�
=
lim
�−�0
�(�)−�(�0)
�−�0
, se este limite existir. Nesse caso definimos a derivada da função �(�) aplicada ao ponto
�(�0, �(�0)) como:
https://www.geogebra.org/m/qsu3sb57
https://www.geogebra.org/m/cgwm96c6
https://www.geogebra.org/m/cgwm96c6
https://www.geogebra.org/m/btmewm9s
https://www.geogebra.org/m/btmewm9s
3
�'(�0) = lim�−�0
�(�)−�(�0)
�−�0
, se esse limite existir.
Aqui você deve acessar os applets 4 e 5, em arquivo htlm disponibilizados para a prática.
Appl
et 4: reta secante
Link: https://www.geogebra.org/m/bh4u4xnb
Acesso em: 22 jan. de 2020
Applet 5: Limite e derivada
Link: https://www.geogebra.org/m/kx2nqfjz
Acesso em: 22 jan. de 2020
 Verifique através do applet 4, que ao mover o ponto Q ao longo da curva no sentido do ponto P o ângulo �
(da reta secante com a reta horizontal) diminui, consequentemente, a taxa média de variação também
diminui.
 O applet 5, mostra que ao mover o ponto Q no sentido do ponto P, o coeficiente angular da reta secante
tende ao coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P. Ou seja, o ângulo beta tende ao ângulo
alpha.
Parte B: EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE A UMA CURVA
É possível encontrar a equação da reta tangente à curva num ponto �, calculando-se o coeficiente angular através
da derivada da função no ponto e, por fim, aplicar a fórmula
(� − �0) = �'(�0) (� − �0).
Atividade 1: Neste contexto, encontre a equação da reta tangente de curva a seguir no ponto indicado. Usando o
Geogebra, plote o gráfico da função e a reta obtida, de modo a verificar se sua resposta está correta.
https://www.geogebra.org/m/bh4u4xnb
https://www.geogebra.org/m/kx2nqfjz
4
� � =
2� + 1
3� − 4 ; �� ����� �� �������� � =− 1.
Derivando a função f(x) pela regra do quociente:
Seja f(x) = (2x+1) / (3x-4), então:
f'(x) = (2x+1)'.(3x-4) - (3x-4)'.(2x+1) / (3x-4)²
f'(x) = 2.(3x-4) - 3.(2x+1) / (3x-4)²
f'(x) = 6x - 8 - 6x - 3 / (3x-4)²
f'(x) = -11/(3x-4)²
Para x = 1, a inclinação da reta tangente é:
f'(1) = -11/(3.1-4)²
f'(1) = -11/(-1)²
f'(1) = -11
Portanto, a equação da reta é para o ponto x = 1:
f(1) = (2.1 + 1)/(3.1-4)
f(1) = 3/-1
f(1) = -3
y-yo = m.(x-xo)
y-(-3) = -11.(x-1)
y + 3 = -11x + 11
y = -11x + 8
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� � = (�2 − 2� + 1) ∙ 3�; �� ����� �� �������� � =− 2
f(x) = (x²-2x+1).3^x x0=-2
= (x-1)².3^x
f(-2) = (-2-1) ².3^-2
= (-3)².1/9
= 9.1/9
= 1
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Ponto de tangencia (-2,1)
f'(x) = 2.(x-1).3 ^x+[(x-1)².3^x.Lm³]
= (2x-2).3x+[(x- 1)².3x.Lm³]
f’(-2) = (2(-2) -2) .3^-2+[(-2-1)².3^-2.Lm³]
= -6/9+[9.1/9.Lm³]
= -2/3+Lm³
(y-y0) = f’(x0).(x-x0)
y-1 = -2/3+Lm3.(x+2)
y = -2/3+Lm3.(x+2)+1
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VII. Referências
FLEMMING, Diva Marília; Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limites, derivação e integração - 6ª edição ver.e ampl.
Pearson 458 ISBN 9788576051152.
STEWART, James. Cálculo, v.1. 3. São Paulo Cengage Learning 2013 1 recurso online ISBN 9788522114610.