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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Unidade III
POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS E PLANOS E SEÇÕES CÔNICAS 
7 POSIÇÃO RELATIVA, DISTÂNCIA E ÂNGULOS
Na geometria analítica, é útil compararmos a posição de pontos, retas e planos. Para isso, dividiremos 
nosso estudo em três partes: reta-reta, reta-plano e plano-plano.
7.1 Posição relativa
7.1.1 Reta-reta
Consideremos duas retas r e s. Para facilitar nosso estudo, vamos representar os vetores diretores 
das retas como u ur s e .
��� ���
 
Sejam r : X A e s : X B = + = +α βu ur s
��� ��
 as equações vetoriais das retas r e s. 
Para estudar a posição entre essas retas, vamos comparar os vetores diretores quanto à dependência 
linear, isto é, se são LI ou LD.
1) u , u LI r s
��� � ��
Se os vetores são LI, isto é, não são paralelos, podemos ter retas concorrentes ou retas reversas.
a) r e s concorrentes (têm ponto comum)
Representando graficamente, temos:
P B s
A
r
p
u r
���
us
��
Figura 101
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Observando a figura, notamos que os vetores u ur s , e AB
��� ��� � ��
 são coplanares, e daí, como já sabemos, 
o determinante formado pelas coordenadas dos 3 vetores será igual a zero. Assim:
r e s concorrentes 
x y z
l m n
x y z
 
B B B
⇔
− − −
=
x y zA A A
0
Como as retas têm um ponto comum, vamos querer saber esse ponto. Para isso, podemos igualar as 
equações paramétricas e resolver o sistema.
b) r e s reversas (não coplanares)
Observe a representação a seguir:
B
A
s
r
p2
p1
u r
���
us
��
Figura 102
Notamos que não existe um plano que contenha os vetores, u ur s , e AB
��� ��� � ��
, logo, eles não são 
coplanares. Assim, o determinante formado pelas coordenadas dos vetores será diferente de zero:
r
x y zA A A
e s reversas 
x y z
l m n
x y z
 
B B B
⇔
− − −
≠ 0
 Lembrete
Vetores diretores LI – desenvolver o determinante formado pelas 
coordenadas dos vetores u ur s , e AB
��� ��� � ��
. Se for igual a zero, as retas serão 
concorrentes, senão, serão reversas.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
c) retas ortogonais e retas perpendiculares
Se os vetores diretores são ortogonais, isto é, u ur s . 0
��� ���
= , teremos:
c1) se r s ∩ ≠ ∅ , então r e s perpendiculares:
s
ru r
���
us
��
Figura 103
c2) se r ∩ s = ∅ , então r e s ortogonais:
s
r
u r
���
us
��
Figura 104
2) u , u LD r s
��� � ��
Se os vetores são LD, isto é, são paralelos, podemos ter retas paralelas ou retas coincidentes.
a) r e s paralelas (r // s)
Nesse caso, os vetores diretores são paralelos e não existe ponto comum entre as retas, isto é, 
r ∩ s = ∅:
B
s
A
r
u r
���
us
��
Figura 105
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Nesse caso, escolhendo um ponto de r e um ponto de s teremos que o vetor AB
� ��
 não é paralelo a 
u r
���
 ou a us
��
, assim:
r e s paralelas ⇔ AB
� ��
 não é paralelo a u r
���
 (ou a u r
���
)
b) r e s coincidentes (r = s)
Os vetores diretores são paralelos e existem infinitos pontos em comum:
B
A
r≡s
u r
���
us
��
Figura 106
Nesse caso, o vetor AB
� ��
 é paralelo a u r
���
 ou a us
��
, assim:
r e s coincidentes ⇔ AB
� ��
 é paralelo a u r
���
 (ou a u r
���
)
 Lembrete
Vetores diretores LD – verificar se o vetor formado por um ponto de 
cada reta é paralelo a eles. Se for, as retas são coincidentes, caso contrário, 
são paralelas.
Exemplos:
Estude a posição relativa da reta r : X (2,1,1) 0,1,1) = + α ( em relação a reta s: 
a) s : X (1,0,0) 3,1,2) = + β (
Para estudar a posição relativa de duas retas, devemos inicialmente verificar se os vetores diretores 
das retas são LI ou LD.
Para cada reta, temos um vetor diretor e um ponto base. Assim, temos:
 r : 
R (2,1,1)
 u 0,1,1) 
 s : 
S (1,
r
=
=

=
� ��
(
00,0)
 u 3,1,2)s
� ��
=
 (
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Comparando os vetores diretores de r e s, notamos que são LI, logo, as retas podem ser concorrentes 
ou reversas.
Para decidir se são concorrentes ou reversas, vamos calcular o determinante formado pelas 
coordenadas de u ur s , e RS .
��� ��� ���
 Se for nulo, os vetores são coplanares e portanto as retas são 
concorrentes, caso contrário, serão reversas.
Assim, temos:
 
x y z
l m n
x y z
 
0 1 1
3 1 2
1
 
0 1 1
3 1 2
S S S− − −
=
− − −
=
− − −x y zR R R 2 0 1 0 1 1 1 11
1 0 = − ≠
Os vetores não são coplanares, logo, as retas são reversas.
b) s : X (2,1,1) 0,0,1) = + β (
Para cada reta, temos um vetor diretor e um ponto base. Assim, temos:
 r : 
R (2,1,1)
 u 0,1,1) 
 s : 
S (2,
r
=
=

=
� ��
(
11,1)
 u 0,0,1) s
� ��
=
 (
Comparando os vetores diretores de r e s, notamos que são LI, logo, as retas podem ser concorrentes 
ou reversas.
Para decidir se são concorrentes ou reversas, vamos calcular o determinante formado pelas 
coordenadas de u ur s , e RS .
��� ��� ���
 Se for nulo, os vetores são coplanares e portanto as retas são 
concorrentes, caso contrário, serão reversas.
Assim, temos:
 
x y z
l m n
x y z
 
0 1 1
0 0 1
2
 
0 1 1
3 1 2 
S S S− − −
=
− − −
= =
x y zR R R 2 1 1 1 1 0 0 0
0
Os vetores são coplanares, logo, as retas são concorrentes.
 Lembrete
Nesse caso, você pode estudar também se as retas são ortogonais ou não. 
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c) s : X (3,1,-1) 0,1,1) = + β (
Para cada reta, temos um vetor diretor e um ponto base. Assim, temos:
 r : 
R (2,1,1)
 u 0,1,1) 
 s : 
S (3,
r
=
=

=
� ��
(
11,-1)
 u 0,1,1) s
� ��
=
 (
Comparando os vetores diretores de r e s, notamos que são LD, logo, as retas podem ser paralelas 
ou coincidentes.
Para decidir se são paralelas ou coincidentes, devemos verificar se o vetor formado por um ponto 
de r e um ponto de s é ou não paralelo aos vetores diretores. Se for paralelo, as retas são coincidentes, 
caso contrário, são paralelas.
Tomemos o vetor R S RS 0, - 2)
� ��
= − = − − =( , , ) ( , , ) ( ,3 1 1 2 1 1 1 . Devemos verificar se é paralelo a um 
dos vetores diretores, por exemplo, u 0,1,1) r
� ��
= ( .
Comparando os vetores, notamos que são LI, isto é, RS
���
 e u r
���
 não têm coordenadas proporcionais. 
Logo, as retas são paralelas.
d) s : X (2, 2, 2) 0,1,1) = + β (
Para cada reta, temos um vetor diretor e um ponto base. Assim, temos:
 r : 
R (2,1,1)
 u 0,1,1) 
 s : 
S (2,
r
=
=

=
� ��
(2, 2)
 u 0,1,1) s
� ��
=
 (
Comparando os vetores diretores de r e s, notamos que são LD, logo, as retas podem ser paralelas 
ou coincidentes.
Para decidir se são paralelas ou coincidentes, devemos verificar se o vetor formado por um ponto 
de r e um ponto de s é ou não paralelo aos vetores diretores. Se for paralelo, as retas são coincidentes, 
caso contrário, são paralelas.
O vetor R S RS 2 1, 1)
� ��
= − = − =( , , ) ( , , ) ( ,2 2 2 1 1 0 é paralelo ao vetor diretor. 
Logo, as retas são coincidentes.
7.1.2 Reta-plano 
Quando estudamos a posição relativa de retas e planos, temos três resultados possíveis: a reta pode 
estar contida no plano, pode furar o plano ou ser paralela a ele.
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Consideremos a reta com equação r : X A = + α u r
���
, o plano com equação geral 
pi { a x b y c z d 0 + + + = e vetor normal 

n ( a, b, c)= . Para determinarmos a posição entre 
a reta e o plano, devemos verificar se o vetor diretor da reta é ou não ortogonal ao vetor normal ao 
plano. 
1) u r
���
 ⊥ n

u r
���
p
n

n

Figura 107
Quando o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano são ortogonais, temos dois casos possíveis: 
a reta está contida no plano ou a reta é paralela ao plano.
a) r ⊂ p (todo ponto da reta é ponto do plano)
pu r
���
n

r
A
Figura 108
Nesse caso, teremos infinitos pontos em comum. Para determinar se a reta está contida no plano, 
basta que você encontre um ponto comum, por exemplo, verificar se o ponto base da nossa reta é 
também ponto do plano.
Como verificar isso?
Um ponto pertence ao plano se suas coordenadas satisfazem a equação do plano, isto é, a substituição 
das coordenadas torna a equação verdadeira. 
b) r // p (r ∩ p = ∅)
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p
u r
���
u r
���
n

r
A
Figura 109
Nesse caso, não existem pontos em comum. Para determinar se a reta é paralela ao plano, basta que 
você encontre um ponto da reta que não pertence ao plano, por exemplo, verifique se o ponto base da 
nossa reta não é ponto do plano.
 
2) u r
���
, n

 não ortogonais
Nesse caso, a reta fura o plano, isto é, existe um ponto comum entre a reta e o plano. 
p
u r
���
n

r
P
Figura 110
Assim, r ∩ p = {P} .
Como determinar o ponto P?
O ponto P é comum ao plano e à reta. Então, se você escrever as equações paramétricas da reta e 
substituir na equação do plano, vai determinar as coordenadas do ponto P. 
No caso de n

 // u r
���
 , temos que a reta é perpendicular ao plano, isto é, r ⊥ p:
p
u r
���
n

r
P
Figura 111
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
 Lembrete
Posição relativa reta-plano – comparar o vetor diretor da reta com o 
vetor normal. Se são ortogonais, a reta é paralela ao plano ou está contida 
no plano, caso contrário, a reta fura o plano. 
Exemplos:
1) Verifique se o ponto P (2, 1, 5) pertence ao plano p {3X + Y + Z -12 = 0.
Solução:
Um ponto pertence a um plano se suas coordenadas satisfazem a equação do plano.
Substituindo as coordenadas do ponto P na equação do plano, temos:
 
3 x y z 12 0 
3 . 2 1 5 12 0 
2 12 0 
0 
+ + − =
+ + − =
− =
=
1
0
Logo, o ponto pertence ao plano, isto é, P ∈ p.
2) Verifique se o ponto P (3, 1, 2) pertence ao plano pi {2 x y 4 z 2 0 + − − = .
Solução:
Um ponto pertence a um plano se suas coordenadas satisfazem a equação do plano.
Substituindo as coordenadas do ponto P na equação do plano, temos:
2 x y 4 z 2 0 
2 . 3 1 4 . 2 2 0 
 1 8 
+ − − =
+ − − =
+ −6 −− =
− ≠
 2 0
 3 0 
Logo, o ponto não pertence ao plano, isto é, P ∉ p. 
3) Verifique a posição relativa entre o plano pi { x 2 y 4 z 7 0 − + − − = e a reta:
a) r : X (0,1,-1) 2,-1,1) = + α (
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Para verificar a posição relativa entre planos e retas, devemos inicialmente verificar se o vetor diretor 
da reta e o vetor normal ao plano são ortogonais.
Para a reta e o plano dados, temos:
 r : 
R (0,1,-1)
 u 2,-1,1) 
 vetor nor
r
=
=

� ��
(
mmal n (-1, 2, -4) 
�
=
Para verificar se são ortogonais, devemos calcular o produto escalar entre os vetores, assim:
u . n 2, 1, 1) . ( 1, 2, 4)
u . 
r
r
� �� �
� �� �
= − − −(
nn 2 . ( 1) ( 1) . 2 1 . ( 4)
u . n r
= − + − + −
� �� �
== − − −
= − ≠
 2 2 4
u . n 8 0r
� �� �
Logo, os vetores não são ortogonais. Nesse caso, a reta fura o plano, isto é, r ∩ p = {P}.
Sempre que existe um ponto em comum, vamos querer determinar as coordenadas desse ponto. 
Para determinar o ponto P, vamos substituir as coordenadas de um ponto qualquer da reta na equação 
do plano.
As coordenadas do ponto P são dadas pelas equações paramétricas da reta. Vamos escrever as 
equações paramétricas de r: 
r : X (0,1,-1) 2,-1,1) 
r : 
x 2 
y
z
= +
=
= −
= − +


α
α
α
α
(
1
1


Assim, as coordenadas do ponto serão P = (2α, 1 - α, -1 + α). Vamos agora substituir na equação do 
plano e determinar o valor de α.
Substituindo em p:
pi
α α α
 { x 2 y 4 z 7 0
 2 2 (1 ) 4 ( 1 )
− + − − =
− + − − − + 7 0
 2 2 2 4 4 7 0
 8 1 0
 
− =
− + − + − − =
− − =
α α α
α
α == − 
1
8
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Substituindo em P, temos:
 
P 
8
 1 
8
 1 
8
 
P 
4
 
8
 
= −



 + − −




= −
2
1 1 1
1 9
, ,
, ,, 
8
 −


9
b) r : X (1,1, 0) 2, 3, 2) = + −α (
Para verificar a posição relativa entre planos e retas, devemos inicialmente verificar se o vetor diretor 
da reta e o vetor normal ao plano são ortogonais.
Para a reta e o plano dados, temos:
 r : 
R (1,1,0)
 u 2, 3, 2) 
 vetor no
r
=
= −

� ��
(
rrmal n (-1, 2, -4) 
�
=
Para verificar se são ortogonais, devemos calcular o produto escalar entre os vetores, assim:
u n
u n
r
r
 
 
� �� �
� �� �
. ( , , ) . (- , , - )
. (
= −
=
2 3 2 1 2 4
-- ) . (- ) . . (- )
.
2 1 3 2 2 4
2 6 8
 
 
 
+ +
= + −u n
u
r
� �� �
rr n
� �� �
 . = 0
Logo, os vetores são ortogonais. Nesse caso, a reta está contida no plano ou é paralela ao plano.
Para decidir qual dos casos acontece, devemos verificar se existe ponto comum. Substituindo o 
ponto base da reta no plano, teremos duas possibilidades: o ponto pertence ao plano e daí a reta está 
contida no plano, ou o ponto não pertence ao plano e daí a reta é paralela ao plano.
Vamos então substituir o ponto R = (1, 1, 0) na equação do plano:
pi 
 
 
{
. .
− + − − =
− + − − =
−
x y z2 4 70
1 2 1 4 0 7 0
1 
 
+ − =
− ≠
2 7 0
6 0
Logo, o ponto não está no plano, isto é, P ∉ p.
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Assim, a reta é paralela ao plano.
c) r : X (-1,1, -1) , 0, -2) = + α (1
Para verificar a posição relativa entre planos e retas, devemos inicialmente verificar se o vetor diretor 
da reta e o vetor normal ao plano são ortogonais.
Para a reta e o plano dados, temos:
 r : 
R (-1, 1, -1)
 u , 1, 0) 
 veto
r
=
=

� ��
(2
rr normal n (-1, 2, -4) 
�
=
Para verificar se são ortogonais, devemos calcular o produto escalar entre os vetores, assim:
u . n , 1, 0) . (-1, 2, -4) 
u . n 
r
r
� �� �
� �� �
= (2
 2 . (-1) 1 . 2 0 . (-4)
u . n -2 2 r
= + +
= + +
� �� �
 0
u . n r
� �� �
= 0
Logo, os vetores são ortogonais. Nesse caso, a reta está contida no plano ou é paralela ao plano.
Para decidir qual dos casos acontece, devemos verificar se existe ponto comum. Substituindo o 
ponto base da reta no plano teremos duas possibilidades: o ponto pertence ao plano e daí a reta está 
contida no plano, ou o ponto não pertence ao plano e daí a reta é paralela ao plano.
Vamos então substituir o ponto R = ( -1, 1,-1) na equação do plano:
pi { x 2 y 4 z 7 0
 . ( 1) 2 . 1 4 ( 1) 
− + − − =
− − + − − −1 . 77 0
1 2 4 7 0
0
=
+ + − =
=0
Logo, o ponto pertence ao plano, isto é, P ∈ p.
Assim a reta a reta está contida no plano.
7.1.3 Plano-plano
Quando estudamos a posição relativa de dois planos, podemos ter planos paralelos, coincidentes 
ou transversais. 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Consideremos os planos p1 e p2 com equação geral:
pi
pi
1 { a x b y c z d 0 
{ a x b y c z 
1 1 1 1
2 2 2 2
+ + + =
+ + ++ = d 0 2
Para saber a posição dos planos, devemos verificar se os vetores n n1
�� ���
 e 2 são paralelos ou não. 
1) n / / n1 2
�� ���
 (paralelos)
Nesse caso, os planos podem ser paralelos ou coincidentes.
a) p1 ≡ p2 (coincidentes)
p1 ≡ p2
1
2n

n

Figura 112
Devemos ter todos os coeficientes proporcionais, isto é:
pi pi1 2 
a
a
 
b
b
 
c
c
 
d
d
1
2
1
2
1
2
1
2
≡ ⇔ = = =
b) p1 // p2 (paralelos)
p2
2n

p1
1n

Figura 113
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Devemos ter todos os coeficientes proporcionais, isto é:
pi pi1 2 // 
a
a
 
b
b
 
c
c
 
d
d
1
2
1
2
1
2
1
2
⇔ = = ≠
2) n , n1 2
�� ���
 não paralelos
Nesse caso, os planos são transversais, isto é, têm em comum uma reta:
1n

p1
p2 r
2n

Figura 114
Assim, p1 ∩ p2 = r.
Você está curioso para saber como determinar essa reta? Como encontrar a equação da reta r? Para 
responder a essas questões, vamos observar a figura anterior.
A reta está nos dois planos, logo, pela definição de vetor normal ao plano, temos que, u r
���
 ⊥ n1
��
 e 
u r
���
 ⊥ n2
���
. 
Sabemos que um vetor que satisfaz essas duas condições é o produto vetorial, assim, vamos utilizar 
o vetor n nr 2 
�� ���
∧ como vetor diretor de r.
Falta ainda determinar um ponto da reta. Para isso, vamos fixar o valor de uma das coordenadas do 
ponto, por exemplo, x = 0. Substituímos esse valor na equação dos dois planos e determinamos o valor 
das outras coordenadas.
Se n n1
�� ���
 2⊥ , teremos que os planos são perpendiculares, pi pi1 2 ⊥ :
225
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 N
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 r
ev
iso
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- 
Di
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: N
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 d
ia
gr
am
ad
or
 -
 d
at
a
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
2
1
n

n

pi pi1 2 1 2 1 2 n n n n⊥ ⇔ ⊥ ⇔ =
�� ��� �� ���
. 0
Figura 115
Exemplos:
Estude a posição relativa entre o plano pi { - x 2 y 3 z 5 0 1 + − − = e o plano:
a) pi { x 2 y 4 z 7 0 2 − + − − =
Para estudar a posição relativa de dois planos, devemos inicialmente comparar os vetores normais, 
verificando se são paralelos ou não.
Para os planos dados, temos:
pi pi n , 2, 3) d n1 1 1 2
� ��
= − − = −{ ( 1 5 , 2, 4) d 2 2� �� = − − = −{ ( 1 7
Comparando n1
��
 e n2
���
:
a
a
 
b
b
 
c
c
 
-1
-1
 
2
2
 
-3
-4
1
2
1
2
1
2
= =
= ≠
Os vetores não são paralelos, logo, os planos são transversais, isto é, têm uma reta em comum, 
p1 ∩ p2 = r.
Devemos determinar a equação dessa reta. 
A reta está nos dois planos, logo, pela definição de vetor normal ao plano, temos que, u r
���
 ⊥ n1
��
 e 
u r
���
 ⊥ n2
���
. 
Sabemos que um vetor que satisfaz essas duas condições é o produto vetorial, assim, vamos utilizar 
o vetor n nr 2 
�� ���
∧ como vetor diretor de r.
226
Unidade III
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- 
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a
Calculando o produto vetorial:
n n
n n
r 2
r 2
 
 i j k 
-1 2 -3
-1 2 -4
 
 4 i
�� ���
� � �
�� ��� �
∧ =
∧ = − 3 j - 2 k - ( - 2 k - 6 i 4 j )
 r 2
+ +
∧
� � � � �
�� ��
n n
�� � �
�� ���
= +
∧ =
2
2
 i j
 , 1 , 0 ) r 2n n (
Assim, n nr 2 , 1 , 0 ) 
�� ���
∧ = ( 2 .
Falta ainda determinar um ponto da reta. Para isso, vamos fixar o valor de uma das coordenadas do 
ponto, por exemplo, x = 0 e substituir no sistema formado pelas equações dos planos:
 - x 2 y 3 z 5 
- x 2 y 4 z 7 0 
 
+ − − =
+ − − =

0
Substituindo x = 0
 0 2 y 3 z 5 
0 2 y 4 z 7 0 
 
+ − − =
+ − − =

0
Resolvendo o sistema, temos y = − = −
1
2
 e z 2
Logo, R = −

0
1
2
, , - 2 
A equação da reta será r : X (0, -
1
2
, -2) 2, 1 , 0) = + α (
b) pi { - x 2 y 3 z 7 0 2 + − − =
Para estudar a posição relativa de dois planos, devemos inicialmente comparar os vetores normais, 
verificando se são paralelos ou não.
Para os planos dados, temos:
pi pi n , 2, -3) d n 1 1 1 2 2
� ��
= − = −{ ( 1 5 �� �� = − = −{ ( 1 7 , 2, -3) d 2
227
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Comparando n1
��
 e n2
���
 :
a
a
 
b
b
 
c
c
 
-1
-1
 
2
2
 
-3
-3
1
2
1
2
1
2
= =
= =
Os vetores são paralelos, logo, os planos são paralelos ou coincidentes.
Para decidir, devemos comparar também os valores de d1 e d2 :
a
a
 
b
b
 
c
c
 
d
d
 
-1
-1
 
2
2
 
-3
-3
 
1
2
1
2
1
2
1
2
= = =
= = ≠
−
−
5
7
Como d1 e d2 não estão na mesma proporção das outras frações, temos planos paralelos, isto é, 
p1 // p2.
c) pi { 2 x 4 y 6 z 10 0 2 − + + =
Para estudar a posição relativa de dois planos, devemos inicialmente comparar os vetores normais, 
verificando se são paralelos ounão.
Para os planos dados, temos:
pi pi n , 2, 3) d n 1 1 1 2
� ��
= − − = −{ ( 1 5 22 2 , 4, 6) d � �� = − ={ ( 2 10
Comparando n1
��
 e n2
���
:
a
a
 
b
b
 
c
c
 
-1
2
 
2
-4
 
-3
6
 , isto Ø, 
-1
2
1
2
1
2
1
2
= =
= = 
-1
2
 
-1
2
 = =é,
Os vetores são paralelos, logo, os planos são paralelos ou coincidentes.
Para decidir, devemos comparar também os valores de d1 e d2 :
a
a
 
b
b
 
c
c
 
d
d
 
-1
2
 
-1
2
 
-1
2
 
-5
10
1
2
1
2
1
2
1
2
= = =
= = =
228
Unidade III
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Como todas as frações são iguais, temos planos coincidentes, isto é, p1 ≡ p2.
7.2 Ângulos
Agora vamos estudar ângulo entre retas e planos. Para isso, vamos dividir em três casos: reta-reta, 
reta-plano e plano-plano. 
7.2.1 Reta-reta
Se as retas são concorrentes, definimos o ângulo θ como o menor dos ângulos formados por elas:
us
��
us
��
u r
���
u r
���
s s
r r
θ θ
Retas concorrentes (a) Retas concorrentes (b)
Figura 116
Se as retas são reversas, definimos o ângulo θ como o menor dos ângulos formados por uma delas 
e uma reta paralela a outra. 
Na representação a seguir, temos r e s reversas e o ângulo entre elas será dado pelo ângulo entre a 
reta s’, paralela à s e à reta r:
B
A
s
s
s’
r r
θ
p2
p1
u r
��� u r
���
us
��
us
��
Figura 117 – Retas reversas
Conforme a definição, o ângulo será sempre agudo, isto é, 0º < θ < 90º ou 0 rad
2
rad≤ ≤θ pi .
229
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Observe que para as retas concorrentes (a) e para as reversas temos que o ângulo entre as retas é 
igual ao ângulo entre os vetores diretores, porém no caso das retas concorrentes (b), o ângulo θ entre 
elas será dado pela relação 180º - θ = âng 180º )− = ng (u , ur sθ â
�� ��
, isto é, θ = 180º - ângθ ng (u , ur s= −180º )
�� ��
.
Assim, para determinarmos o ângulo θ, vamos utilizar o que já sabemos do produto escalar e, como 
0º < θ < 90º, teremos que cos θ < 0. Podemos escrever, então:
 . cos u u u ur s r s
��� �� ��� ��
• = θ
cos 
 
 . 
 
 
θ = •| |u u
u u
r s
r s
��� ��
��� ��
Exemplo:
 Determinar o ângulo entre as retas: 
a) r : X (1,0, 0) , 2, 0) = + α (1 e s : X (0,1, 0) , 1, 0) = + −α ( 2
O ângulo entre as retas é dado por:
cos 
 
 . 
 
 
θ = •| |u u
u u
r s
r s
��� ��
��� ��
Pelo enunciado, temos: 
 r : 
R (1,0,0)
 u , 2, 0) 
 
r
=
=

� ��
( 1
 s : 
S (0,1,0)
 u 2, 1, 0) s
=
= −

� ��
(
Inicialmente, vamos calcular o produto escalar e o módulo dos vetores diretores:
u ur s ( 1, 2, 0) . (-2 , 1, 0) - 2 2 0 
��� ��
• = = + + = 0
 0 
 1, 2,0) 
 
 
| |
(
u u
u
r s
r
��� ��
���
• = =
= = + + =
0
1 2 02 2 2 55
2 2 1 0 52 2 2 - , 1,0) u s
���
= = − + + =( ( )
230
Unidade III
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a
Substituindo na expressão:
cos 
 
 . 
cos 
 
5 
 
 
θ
θ
=
•
=
| |u u
u u
r s
r s
��� ��
��� ��
0
 . 5
cos 90 ou o
=
= ⇒ = =
0
0
2
θ θ θ pi
 Lembrete
Nesse caso, as retas são ortogonais ou perpendiculares. Para isso, você 
precisa verificar se as retas são reversas ou concorrentes.
b) r : X (1,-1, 0) , 3, 0) e s : X (0, 1, 2) = + = +α α( (2 1 ,, 1, 0) .
O ângulo entre as retas é dado por:
cos 
 
 . 
 
 
θ = •| |u u
u u
r s
r s
��� ��
��� ��
Pelo enunciado, temos:
 r : 
R (1,-1, 0)
 u , 3, 0) 
 
r
=
=

� ��
( 2
 s : 
S (0, 1, 2)
 u , 1, 0) 
 
s
=
=

� ��
(1
Inicialmente, vamos calcular o produto escalar e o módulo dos vetores diretores:
u ur s ( 2, 3, 0) . (1 , 1, 0) 2 3 0 5
��� ��
• = = + + =
|uu u
u
u
r s
r
 
 
 5 
 2, 3, 0) 
 
��� ��
���
• = =
= = + + =
|
(
5
2 3 0 132 2 2
 , 1, 0) s
���
= = + + =(1 1 1 0 22 2 2
Substituindo na expressão:
cos 
 
 . 
cos 
 
13 . 
 
 
θ
θ
=
•
=
| |u u
u u
r s
r s
��� ��
��� ��
5
 2
 0,9806
cos 1,30o
=
= ⇒ =θ θ0 9806 1,
231
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
7.2.2 Reta-plano
Para estudar o ângulo entre uma reta e um plano, precisamos inicialmente saber a posição da reta 
em relação ao plano.
b1) r // ou r pi pi⊂
r // p r ⊂ p
r
r
p p
n

n

u r
���
u r
���
Figura 118
Nesse caso, o ângulo entre r e p é igual a 0º ou 0 rad:
r r / ou ng (r , ) 0 ou o/ pi pi θ pi⊂ ⇔ = = 00 rad
b2) r ⊥ p
r // p r ⊂ p
r
r
p p
n

n

u r
���
u r
���
r ng (r , ) 90 ou 
2
 rado⊥ ⇔ = =pi θ pi piâ
Figura 119
232
Unidade III
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a
b3) r fura p e r não é perpendicular a p:
r ∩ p ={P}
P r’
r
p
θ
90º - θ
n

Figura 120
O ângulo θ entre o plano e a reta é o complemento do ângulo entre a reta r e o vetor normal n

.
Da geometria elementar, sabemos que cos(90º - θ ) senθ, daí:
sen = 
 
 . 
 
 
θ | |u n
u n
r
r
��� �
��� �•
Exemplos:
Determinar o ângulo entre o plano pi { - 3 x 2 y z 6 0 − + + = e a reta:
a) s : X (2, 1, -1) ( , 1, 1) = + α 0
Para saber o ângulo entre um plano e uma reta, devemos saber qual a posição dela em relação ao 
plano.
Devemos determinar o produto escalar entre o vetor diretor e o vetor normal.
Para a reta e o plano dados, temos:
 r : 
R (2,1,-1)
 u , 1, 1) 
 vetor n
r
=
=

� ��
( 0
oormal n (-3, -2, 1) 
�
=
Calculando o produto escalar:
u . n , 1, 1) . (-3, -2, 1)
u . n 0 . 
r
r
� �� �
� �� �
=
=
(0
((-3) 1 . (-2) 1 . 1
u . n 0 2 1
u 
r
r
+ +
= − +
� �� �
� ��
.. n 1 0
�
= − ≠
233
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Logo, a reta fura o plano.
O ângulo entre a reta e o plano será dado por:
sen 
 
 . 
 
 
θ = •| |u n
u n
r
r
��� �
��� �
Inicialmente, vamos calcular o produto escalar e o módulo dos vetores:
u n
u
u
r
r
r
 
 
 
 1
 n -1 
 0, 1,
��� �
��� �
���
• = −
• = =
=
| |
(
1
 1) 
 n , -2, 1) 
= + + =
= − = − + − + − =
0 1 1 2
3 3 2 1 14
2 2 2
2 2 2� ( ( ) ( ) ( )
Substituindo na expressão:
sen 
 
 . 
senθ
θ
=
•
=
| |u n
u n
r
r
��� �
��� �
1
22 . 14
sen ng (r , ) 10,
=
= ⇒ = =
0 1890
0 1890
,
,θ θ pi 889o
b) s : x (1, 1, 1) ( 1 , 1, -1) = + −α
Para saber o ângulo entre um plano e uma reta, devemos saber qual a posição dela em relação ao 
plano.
Devemos determinar o produto escalar entre o vetor diretor e o vetor normal.
Para a reta e o plano dados, temos:
 r : 
R (1, 1,-1)
 u - , 1, -1) 
 veto
r
=
=

� ��
( 1
rr normal n (-3, -2, 1)
�
=
234
Unidade III
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Calculando o produto escalar:
u . n , 1, 1) . ( 3, 2, 1)
u . n
r
r
� �� �
� �� �
= − − − −( 1
 ( 1) . ( 3) 1 . ( 2) 1) . 1
u . n r
= − − + − + −
=
(
� �� �
33 2 1
u . n 0r
− −
=
� �� �
Logo, a reta está contida no plano ou é paralela ao plano e, nesse caso, θ = âng(r,p) = 0º ou 0 rad.
c) s : X (1,1, 1) ( 3 , -2, 1) = + −α
Para saber o ângulo entre um plano e uma reta, devemos saber qual a posição dela em relação ao plano.
Para a reta e o plano dados, temos:
 r : 
R (1,1,-1)
 u - , -2, 1) 
 vetor
r
=
=

� ��
( 3
 normal n (-3, -2, 1)
�
=
Calculando o produto escalar:
u . n , -2, 1) . (-3, -2, 1)
u . 
r
r
� �� �
� ��
= −( 3
 n (-3) . (-3) (-2 . (-2) 1) . (-1)
u r
�
� ��
= + + −) (
 . n 9 4 1
u . n 14 0r
�
� �� �
= + +
= ≠
Logo, a reta fura o plano.
O ângulo entre a reta e o plano será dado por:
sen 
 
 . 
 
 
θ = •| |u n
u n
r
r
��� �
��� �
Inicialmente, vamos calcular o produto escalar e o módulo dos vetores:
u n
u
u
r
r
r
 
 
 
 14
 n 14 
 , 
��� �
��� �
���
• =
• = =
= −
| |
(
14
3 --2, 1) 
 n , -2, 1) 
= − + − + − =
= − = − + −
( ) ( ) ( )
( ( ) ( )
3 2 1 14
3 3 2
2 2 2
2� 22 21 14+ − =( )
235
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Substituindo na expressão:
sen 
 
 . 
sen 
 
14 
 
 
θ
θ
=
•
=
| |u n
u n
r
r
��� �
��� �
14
 . 14
 
14
sen ang (r , ) 9 ou o
= =
= ⇒ = =
14
1
1 0θ θ pi pi
22
rad^
 Observação
Nesse exemplo, temos que u r
���
 e n

 são paralelos, logo, a reta é 
perpendicular ao plano.
 
7.2.3 Plano-plano
pi pi θ pi pi1 2 1 2
o / ng ( , ) 0 ou rad/ ⇔ = = 0â
c1) p1 // p2 o ângulo θ entre os planos é zero
c2) p1 ∩ p2 = r
O ângulo θ entre os planos é igual ao ângulo formado pelas retas s1 e s2, paralelas aos vetores 
normais que passam por um ponto comum aos planos:
P
r
S2
p2
p1
S1
θ
θ
n2
���
n2
���
n1
��
n1
��
Figura 121
Assim, para você calcular o ângulo θ entre os planos p1 e p2, deve determinar o ângulo entre as retas 
concorrentes s1 e s2. Logo:
236
Unidade III
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 d
at
a
cos cos ng( , )) 
 
 . 
1 2
 
 
θ pi pi= = •( | |n n
n
1 2
1
��� ���
���
nn2
���
 
â
 Lembrete
Para determinar o ângulo entre planos verifique inicialmente se os 
vetores normais são paralelos, se forem os planos são paralelos. 
Exemplos:
Determine o ângulo entre o plano pi { 2 x 3 y z 8 0 1 + + − = e o plano:
a) pi2 { 2 x 3 y z 10 0 + + + =
Inicialmente, vamos verificar se os vetores normais são paralelos ou não.
Para os planos dados, temos n (2, 3, 1) e n (2, 3, 1)1 2
� �� ���
= = , logo, os vetores são paralelos, e daí 
os planos são paralelos.
Portanto:
θ = âng ( , ) 0 ou rad1 2
opi pi = 0
b) pi2 { 1 x 2 y z 4 0 + + + =
Vamos verificar se os vetores normais são paralelos ou não.
Para os planos dados, temos n (2, 3, 1) e n (1, 2, 1)1 2
�� ���
= = .
Comparando as coordenadas:
2
1
 
3
2
 
1
1
≠ ≠
Os vetores não são paralelos, logo, os planos são concorrentes, isto é, p1 ∩ p2 = r.
Nesse caso, o ângulo entre os planos é dado por:
cosθ = cos(âng(p1,∩p2)) = 
| |n n
n n
 
 
 
 . 
1 2
1 2
��� ���
��� ���•
237
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- 
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 -
 d
at
a
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Calculando o produto escalar e os módulos:
n n
u r
1 2
 
 (2, 3, 1) . (1, 2, 1) 2 6 1 9
� �� � ��
�
• = = + + =
|
��� �
��
���
 n 9 
 , 3, 1) 
 n 
1
2
• = =
= = + + =
=
|
(
9
2 2 3 1 142 2 2n
((1 1 2 1 62 2 2 , 2, 1) = + + =
Substituindo na expressão:
cos 
 
 . 
cos 
 
14 . 
θ
θ
=
•
=
| |n n
n n
1 2
1 2
9
�� ���
�� ���
 6
= 0 9820,
cosθ = 0,9820 ⇒ θ = âng = (p1, p2) = 10,88º
7.3 Distâncias
7.3.1 Distância entre dois pontos 
Dados dois pontos a = A x B x= =( , , ) ( , , )1 2 y z e y z1 1 2 2 , a distância entre eles é igual ao módulo 
do vetor AB
� ��
.
d x x y y z z A, B) 2 2 2( ( ) ( ) ( )= − + − + −2 1 2 1 2 1
Exemplo:
Calcule a distância entre os pontos A (2, 1, 5) e B = (3, -1, 4).
Resolução:
Para calcular a distância de A a B, vamos utilizar a expressão:
d x x y y z z
d
 A, B) 
 A, B)
2 2 2( ( ) ( ) ( )
( (
= − + − + −
= −
2 1 2 1 2 1
3 2)) ( ) ( )
( ( ) ( )
 
 A, B) 
2 2 2
2 2
+ − − + −
= + − + −
1 1 4 5
1 2 1d 
 A, B) 
 A, B) 
2
d
d
(
(
= + +
=
1 4 1
6
238
Unidade III
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a
7.3.2 Distância entre ponto e reta
Por definição, é a menor distância entre o ponto A e os pontos da reta r. Você consegue essa 
distância por meio da perpendicular à reta r, baixada do ponto A:
A
r
d(A, r)
Figura 122
Você já sabe a definição de distância entre ponto e reta. Mas, como determinar o valor de d(A, r)?
Inicialmente, vamos representar na figura o vetor diretor de r e um ponto P da reta. A seguir, 
montamos o paralelogramo formado pelos pontos A e P, e pelo vetor diretor da reta r.
A
rP
d(A, r)
Aparale ramolog |= =base x altura u | . d r
���
Figura 123
Já sabemos que a área do paralelogramo é dada pelo produto vetorial dos vetores:
Aparale ramolog |= ∧ = ∧PA u | | (A - P) u | r r
��� ��� � ��
Da geometria elementar, sendo d = d(A, r), sabemos que:
Aparale ramolog |= =base x altura u | . d r
���
Igualando as duas expressões, temos:
d d A= =
∧
 r)
|(A - P ) u |
|u | 
r
r
( ,
��
��
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Exemplo:
Calcular a distância entre a reta r : 
x
y
z
 
= +
= +
=



0
1
2
α
α e o ponto A (1, 4, 3).
Resolução:
 Do enunciado, temos:
 
r : 
P (0, 1, 2)
u 1, 1, 0)
 
r
=
=

��(
Calculando o produto vetorial de PA u r
��� ���
e e do módulo do vetor diretor da reta, temos:
PA A-P (1, 4, 3) - (0, 1, 2) (1, 3, 1)
 u r
���
��
= = =
= + +1 12 2 00 22 =
∧ = =
∧
PA u
PA u
r
��� ��
� � �
���
 i j k 
1 3 1
1 1 0
 (-1, 1, -2)
 rr
��
 (-1, 1, -2) = = − + + − =( ) ( )1 1 2 62 2 2
Substituindo na expressão:
d d A
d d A
= =
∧
=
 r) 
| (A - P ) u |
| u | 
 
r
r
( ,
( ,
� ��
� ��
rr) 
6
2 
= = = =
6
2
3 1732,
7.3.3 Distância entre retas paralelas
A distância entre retas paralelas é a menor distância entre os pontos das duas retas: 
Ps
Pr r
s
d(r, s)
Figura 124
240
Unidade III
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Observando a figura, notamos que para determinar a distância entre as retas paralelas r e s, basta 
determinar a distância entre um ponto qualquer de uma delas e a outra reta.
Assim: 
d r s) d(P , s) 
| P P u |
| u r 
 r s s
s
( , = =
∧
� ���� � ��
� ��
|| 
ou 
d r s) d(P , r)
| P P u |
| u | S 
 s r r
r
( , = =
∧
� ���� � ��
� ��
Exemplo:
Calcule a distância entre as retas paralelas:
r : 
x
y
z 
 e s : x (0, 1, 1) 1, 1,
= −
= +
=



= − + −
1
2
2
α
α
α
α ( 2) 
Resolução:
Como as retas são paralelas, vamos calcular a distância entre elas, determinando distância entre Pr 
e a reta s.
Do enunciado, temos:
 r : 
P (1, 2, 0)
u 1, 1, 2)
 s : 
r
r
=
= −

��
(
 
P (0, 1, -1)
u 1, 1, 2)
s
s
=
= −

��
(
Vamos utilizar a expressão:
d r s) d(P , s)
| P P u |
| u | r 
 r s s
s
( , = =
∧
� ���� � ��
� ��
Você precisará calcular o produto vetorial de P P ur ss e
� ���� ��
 e o módulo do vetor diretor de r.
241
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Assim:
P P P -P (0, 1, -1) - (1, 2, 0) (-1, -1, -1)
 u 
r s r
s
s
� ���
��
= = =
= (( )− + + =
∧ = =
1 1 2 62 2 2
P P 
 i j k 
-1 -1 -1
-1 1 2
 (-1r s su
� ��� ��
� � �
,, 3, -2)
 P P (-1, 3, -2) r s su
� ��� ��
∧ = = − + + − =( ) ( )1 3 2 142 2 2
Substituindo na expressão:
d d A
d d A
= =
∧
=
 r) 
| (A - P ) u |
| u | 
 
r
r
( ,
( ,
� ��
� ��
rr) 
14
26 
= = = =
14
6
7
3
1527,
7.3.4 Distância entre um ponto e um plano
A distância entre A (xo,yo,zo) e o plano pi ax by cz d 0 { + + + = é dada pela expressão:
 d(A , ) 
| x b y c z d |
| n | 
o o opi =
+ + +a

Exemplo:
Determine a distância do ponto A (4, 2, 1) ao plano pi 2x 1y 2z 5 0 { + − + =
Resolução:
Vamos utilizar a expressão:
d(A, ) 
| x b y c z d |
| n | 
o o opi =
+ + +a

Segundo o enunciado, temos:
A x= =
+ − + =
( , ,
{
0 y z ) (4, 2, 1)
 2x 1y 2z 5 0 , dai a
0 0
pi 2, b 1, c 2 e d 5 
n ( 2, 1, 2 )
= = = − =
= −

´
242
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gr
am
ad
or
 -
 d
at
a
Substituindo os dados na expressão:
 d(A, ) 
| 2 . 4 1 . 2 ( 2) . 1 5 |
| (2, 1, -2) |
pi =
+ + − +
 
d(A, ) 
| 8 2 2 5 |
2
d(A, ) 
13
2
pi
pi
=
+ − +
+ + −
= = =
1 2
9
13
3
4
2 2( )
,,333
7.3.5 Distância entre reta e plano (paralelos)
É a menor das distâncias entre os pontos da reta e os pontos do plano. 
Essa distância é igual à distância de um ponto qualquer da reta até o plano. Para determinar a 
distância entre a reta e o plano, podemos então utilizar a fórmula anterior:
r // p
r
p
n

u r
���
Figura 125 
Assim, sendo R (xo,yo,zo) um ponto qualquer da reta r e pi ax by cz d 0{ + + + = a equação 
do plano, teremos:
 d(r , ) d(R , )
| x b y c z d |
| n | 
o o opi pi= =
+ + +a

 Observação
Todos os pontos da reta, paralela ao plano, equidistam do plano.
243
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Exemplo:
Determinar a distância da reta r : 
x
y 
z
= −
= +
=



4
2 2
1
α
α e o plano pi -x 2y z 7{ + + + = 0
Resolução:
Segundo os dados do enunciado, temos:
r
A x
 
 y z ) (4, 2, 1)
u 1, 2, 0)
 2x 1y
0 0
r
= =
= −

+
( , ,
(
{
0��
pi 2z 7 0 , 
 a 2, b 1, c -2 e d 7 
− + =
= = = =
��
n ( 2, 1, -2 )=
 Substituindo os dados na expressão:
 d(r, ) d(R, )
| x b y c z d |
| n | 
d(r, ) d
o o opi pi
pi
= =
+ + +
=
a

((R, )
| . 4 1 . 2 (-2) . 1 7 |
| (2, 1, -2) | 
d(r,
pi =
+ + +2
 ) d(R, )
| 2 2 7 |
2 
d(r, ) d(R, 
2
pi pi
pi
= =
+ − +
+ + −
=
8
1 22 2( )
pipi
pi pi
)
15
2 
d(r, ) d(R, )
2
=
+ + −
= = = =
1 2
15
9
15
3
5
2 2( )
7.3.6 Distância entre planos paralelos
Da mesma forma que a distância entre uma reta e um plano, para determinar a distância entre 
planos paralelos basta determinar a distância entre um ponto qualquer de um dos planos em relação 
ao outro.
Assim, sendo A (xo,yo,zo) um ponto qualquer do plano p1 e p2 pi ax by cz d 0 2 { + + + = a equação 
do outro plano, teremos:
d( , ) d(A, )
| x b y c z d |
| n | 1
o o opi pi pi2 2= =
+ + +a

244
Unidade III
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 Lembrete
Você pode calcular a distância entre os dois planos paralelos, usando 
também um ponto do plano p2 e o plano p1. O resultado será o mesmo.
Exemplo:
Calcule a distância entre os planos p1 {3x + 5y + z + 8 = 0 e p2 {3x + 5y + z - 2 = 0 
Resolução:
Para esse cálculo, vamos escolher um ponto de um dos planos e calcular a distância dele até o outro 
plano.
Vamos escolher um ponto do plano p1. Para isso, fixe o valor de duas das coordenadas do ponto e 
substitua na equação do plano para determinar a outra coordenada. 
Tomemos, então, x = 0 e y = 0, substituindo na equação de p1, temos:
p1 {3x + 5y + z + 8 = 0
3 . 0 + 5 . 0 + z + 8 = 0 
0 + 0 + z + 8 = 0
z + 8 = 0 
z = - 8 
Logo, o ponto de p1 A = (0, 0, - 8).
Calculando a distância de A ao plano p2, temos:
d( , ) d(A, ) 
| x b y c z d |
| n 1 2
o o o
2
pi pi pi= =
+ + +
2
a ���
|| 
d( , ) d(A, ) 
| . 0 5 . 0 (-8) (-2) |
1 2pi pi pi= =
+ + +
2
3
|| (3, 5, 1) | 
d( , ) d(A, ) 
| 0 8 2 |
3
1 2 2
pi pi pi= =
+ − −
2
0
++ +
= =
+ +
= =
5 1
25 1
10
35
2 2 
d(r, ) d(R, )
|-10|
9 
d(r, ) d(R, )
pi pi
pi pi == 1690,
245
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
8 SEÇÕES CÔNICAS 
Agora vamos estudar cônicas. Para entender um pouco sobre elas, faça a seguinte experiência: 
• Pegue uma lanterna ou uma luminária e acenda. Apontepara uma parede e se aproxime. O que 
você vê?
• Incline um pouco a lanterna ou luminária. O que você vê agora? Mudou a forma da imagem na parede? 
Figura 126
O que você está vendo na parede é uma forma cônica.
O feixe de luz tem o formato de um “cone”, e a parede funciona como um plano que corta esse cone. 
Dependendo da inclinação do feixe de luz, você verá formas diferentes. Essas formas serão o nosso 
objeto de estudo nesta unidade: circunferência, elipse, parábola e hipérbole.
Algumas luminárias são projetadas para, quando utilizadas, terem um efeito específico. Observando 
a figura a seguir, notamos que os focos de luz iluminam o chão, formando uma elipse:
Figura 127
246
Unidade III
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 -
 d
at
a
Podemos citar ainda vários exemplos nos quais encontramos formas cônicas: na astronomia, temos 
as órbitas elípticas dos planetas do sistema solar; na Física, temos as trajetórias parabólicas dos projéteis. 
Devido às propriedades de reflexão e de refração das cônicas, suas formas são usadas, por exemplo, na 
construção de radares, antenas, lanternas, óculos, microscópios.
Figura 128
Figura 129
Para estudarmos as cônicas em geral, utilizamos um cone duplo e fazemos cortes com um plano. 
Dependendo da inclinação do plano, teremos uma cônica diferente. Quem primeiro mostrou que com 
um único cone podemos obter as cônicas (elipse, hipérbole e parábola) foi Apolônio de Perga, apenas 
variando a inclinação do plano de secção.
Imagine um cone duplo e um plano cortando esse cone. Conforme você inclina o plano, o corte feito 
no cone é diferente. Observe as várias possibilidades e as cônicas resultantes: 
247
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Elipse Hipérbole Parábola
Figura 130
 Saiba mais
Para saber mais sobre Apolonio de Perga e sua contribuição para a 
geometria, veja o capítulo 9 de:
 
BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1996.
Vamos agora estudar um pouco cada uma dessas cônicas. Começaremos com as parábolas.
8.1 Parábola
 Seja F um ponto fixo e uma reta d que não contém o ponto F. Chamamos o ponto F de foco, e a 
reta d de diretriz. O conjunto dos pontos que equidistam de F e de d é dito parábola, isto é, P é ponto 
da parábola se, e somente se:
d(P, F) = d(P, d)
248
Unidade III
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a
Representando o foco F e a diretriz d, temos: 
d
M F x
Figura 131 
O ponto médio de MF será o vértice da parábola. Representando o vértice e os pontos P1 e P2 da 
parábola no sistema anterior, temos:
d
M 0
a a
P1 (x, y)
P2
F x
Figura 132
Se o vértice 0 está na origem do sistema Oxy, podemos escrever a equação da diretriz d, d: x = - a, 
e as coordenadas do foco F, F = (a, 0). Unindo os pontos da parábola, temos:
d
M 0
a a
P1 (x, y)
P2
F x
Figura 133
249
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a
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
 Lembrete
O eixo x divide a parábola em dois ramos simétricos.
Você já sabe como é a aparência de uma parábola, falta agora determinar a sua equação.
Para isso, vamos lembrar a condição para que um ponto P seja da parábola, ou seja, 
P ∈ parábola ⇔ d(P, r) = d(P, F). Observando a figura anterior, notamos que a distância do ponto P 
à reta r é igual à distância de P a Q, e Q = (-a, y).
Utilizando a definição de distância de ponto a ponto e de ponto a reta, temos:
d (P, r) d (P, F)
(x-a) (x a)
(x-a) 
2 2
2
=
+ − = + + −
+
( ) ( )y y y
y
0 2 2
2
== + (x a)2
Agora elevando os dois lados ao quadrado:
(x-a) (x a)
(x-a) (x a) 
2
2
2
2 2
+( ) = +( )
+ = +
y
y
2
2
2
Simplificando:
 4 a x y2 =
 Lembrete
Para traçar o gráfico da parábola, utilize o valor de p, as coordenadas do 
foco F e a equação da diretriz d.
Quando alteramos a localização do foco F em relação aos eixos coordenados, temos outras 
possibilidades de posição e outras equações para as parábolas. 
250
Unidade III
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a a
a
a a
a
x x
d
d
y yy
F
F
F0 00
y
a
F a
d
=
=
=
4
0
 x
 y -a
2
( , )
:
y a
F a
d
2 4
0
= −
= −
=
 x
 
 x a
( , )
:
y
a
F a
d
= −
= −
=
4
0
 x
 
 y a
2
( , )
:
Figura 134
 Observação
Diferente do nosso texto, alguns autores indicam a distância do foco à 
diretriz como p, em vez de 2ª. Nesse caso, as equações devem ser escritas 
de forma diferente, por exemplo: a equação y2 = 4 a x passa a ser escrita 
y2 = 2 p x .
 Lembrete
Você deve ficar atento à teoria.
Exemplos:
1) Dadas as equações das parábolas, determine o valor de a, as coordenadas do foco F e a equação 
da diretriz d:
a) y2 = 8 x
251
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a
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Você deve primeiro comparar a expressão dada com as 4 opções possíveis. Assim, vemos que a forma 
dada é do tipo y2 = 4 a x.
Comparando as expressões y2 = 8 x e y2 = 4 a x , notamos que 4 a = 8, logo, a = 2.
Nesse caso, o foco tem coordenadas (a, 0), assim, F = (2, 0).
A diretriz da parábola, nesse caso, tem equação d: x = - a. Logo, d: x = - 2.
b) y2 = -8 x
Você deve primeiro comparar a expressão dada com as 4 opções possíveis. Assim, vemos que a forma 
dada é do tipo y2 = - 4 a x.
Comparando as expressões y2 = -8 x e y2 = -4 a x, notamos que -4 a = -8.
Neste caso, o foco tem coordenadas (- a, 0). Assim, F = (- 2, 0).
A diretriz da parábola, nesse caso, tem equação d: x = a. Logo, d: x = 2.
c) y y= − = −x ou x2 2
Você deve primeiro comparar a expressão dada com as 4 opções possíveis. Assim, vemos que a forma 
dada é do tipo x2 = - 4 a y .
Comparando as expressões x2 = - y e x2 = - 4 a y, notamos que − = − =4 1
1
4
 , logo, aa .
Nesse caso, o foco tem coordenadas (0, a). Assim, F = 

0
1
4
, - .
A diretriz da parábola, nesse caso, tem equação d: y 
1
4
= .
d) y y = =4 42 2x ou x
Você deve primeiro comparar a expressão dada com as 4 opções possíveis. Assim, vemos que a forma 
dada é do tipo x2 = 4 a y.
Comparando as expressões x2 = 4 y e x2 = 4 a y, notamos que 4 a = 4, logo, a = 1.
Nesse caso, o foco tem coordenadas (0, - a). Assim, F = (0,1).
A diretriz da parábola, nesse caso, tem equação d : y = -1.
252
Unidade III
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a
2) Esboçar o gráfico das parábolas do exercício anterior:
a) y2 = 8 x
Já sabemos que:
a = 2
F = (2,0)
d : x =-2
Representando graficamente, temos:
aa
x
d
y
F
0-2 2
Figura 135
b) y2 = -8 x
Já sabemos que:
a = 2
F = (-2,0)
d : x = 2
Representando graficamente, temos:
aa
x
y
F
d
0-2 2
Figura 136
253
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a
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
c) y y = − = −x ou x2 2
Já sabemos que:
a
F
d
=
=
=
1
4
0( , )
:
 -
1
4
 y 
1
4
Representando graficamente, temos:
a
a
d
x
1/4
-1/4
y
F
0
Figura 137
d) y y = =4 42 2x ou x
Já sabemos que:
a = 1
F = (0,1)
d : x = -1
254
Unidade III
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a
Representando graficamente, temos:
a
a
d
1
-1 x
y
0
Figura 138
8.2 Elipse
 Para definir uma elipse, precisamos de 2 pontos fixos, F1 e F2, que chamamos de focos, e de uma 
constante a, maior que 2 vezes a distância entre os focos d (F1, F2) = c. Assim, a > c . 
Chamamos de elipse o conjunto dos pontos P do plano que satisfazem:
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a
Os focos da elipse podem ser pontos do eixo x, do eixo y ou, de forma mais geral, podem estar em 
qualquer reta paralela aos eixos.
Para simplificar nosso estudo, vamos tomar os focos no eixo x. Assim, teremos:
F2 F1
x
c c
y
0
Figura 139
Os focos têm coordenadas F1 = (c, 0) e F2 = (-c, 0). A medida 2c é chamada de distância focal, e o 
centro da elipse é o ponto médio do segmento F1 F2 . 
255
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Para determinar a equação da elipse, vamos utilizar a definição:
 
P d P d P∈ ⇔ + =elipse F F 2 a1 2( , ) ( , )
Substituindo as coordenadas dos focos e tomando P = (x, y), temos:
 y y 2 a 
 y 
2 2
2
x c x c
x c
−( ) + + +( ) + =
−( ) +
2 2
2
== − +( ) + 2a y 2 x c 2
Quadrando e simplificando, temos:
a c a c2 2 2 2−( ) + = −( ) x a y a 2 2 2 2
Como a 02 a c2 2−( ) > , podemos escrever:
a c
a c a c
a c2 2
2 2 2 2
2 2
−( )
−( ) + −( ) =
−( ) x
a 
 
a y
a 
a 2
2
2 2
2
2
aa 
 
2 a c2 2−( )
Simplificando: 
x
 a 
 
 y
 
 
2
2
2
+
−( ) =a c2 2 1
Chamando b 2 = −a c2 2 , temos a equação reduzida da elipse: 
x 
 a 
 
 y 
 
 
2
2
2
+ =
b 2
1
E a representação geométrica da elipse:
F2 F1
x
a
y
0c
b
c
Figura 140
256
Unidade III
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a
Nesse caso, o eixo maior a está em x, e o eixo menor b está em y. Os focos ficam sempre no eixo 
maior.
 Se o eixo maior está em y e eixo menor em x, teremos alteração na equação e os focos estarão no 
eixo y.
 A nova equação será:
x 
 b 
 y 
 
 
2
2
2
+ =
a 2
1
A representação, nesse caso, passará a ser:
F1
F2
x
a
y
0
c
c
b
Figura 141
 Lembrete
A letra “a” indica sempre o eixo maior, e a letra “b” indica o eixo menor.
 Saiba mais
Para saber mais sobre elipses, acesse:
 <http://www.youtube.com/watch?v=QL9HMW80UvI>. Acesso em: 8 
fev. 2012.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Exemplos:
Esboçar graficamente as elipses:
a) x 
 4 
 
 y 
 
 
2 2
+ =
9
1
Resolução:
Primeiro devemos destacar os valores de a e b para, em seguida, verificar quem é o eixo maior e o 
menor e em que eixo estão.
No nosso exemplo, o eixo maior está em y e o eixo menor em x. Assim, a = 3 e b = 2. 
Falta ainda determinar o valor de c, ou seja, a distância do foco até o centro. 
Lembrando na elipse, temos a2 = b2 + c2, logo:
c a b
c 3 2
c 9 4
c
2 2
2 2
= −
= −
= −
= 5
As coordenadas dos focos serão F (0, F (0, - 1 25 5= =) )e
Representando a elipse: 
F1
F2
x
a
y
0
c
c
b 2
3
-2
-3
Figura 142
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gr
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 d
at
a
b) x 
 25 
 
 y 
 
2 2
+ =
4
1
Resolução:
Primeiro devemos destacar os valores de a e b para, em seguida, verificar quem é o eixo maior e o 
menor, e em que eixo estão.
No nosso exemplo, o eixo maior está em x e o eixo menor em y. Assim, a = 5 e b = 2.
Falta ainda determinar o valor de c, ou seja, a distância do foco até o centro. 
Lembrando que na elipse, temos a2 = b2 + c2, logo:
c a b
c 5 2
c 2 4
c 
2 2
2 2
= −
= −
= −
=
5
21
As coordenadas dos focos serão F ( 0 F (- 01 221 21= =, ) , )e
Representando a elipse:
F1F2
x
a
y
0c-5
b
c 5
-2
2
Figura 143
8.3 Circunferência
É o conjunto de pontos que equidistam de um ponto fixo. Chamamos essa distância de raio r, e o 
ponto fixo de centro C. 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
A equação reduzida da circunferência de centro C (0, 0), é dada por:
x y 2 2 2+ = r
x
y
0 r
Figura 144
Exemplo:
Esboçar a circunferência de equação x y 92 2+ = 4
Resolução:
A circunferência tem centro (0,0) e raio r 9 7= =4
x
y
0 7
Figura 145 
8.4 Hipérbole
Para definir a hipérbole, precisamos de 2 pontos fixos, F1 e F2, que chamamos de focos, e de uma 
constante a, 0 < a < c.
260
Unidade III
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Chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos P do plano que satisfazem:
 F F 2 a1 2d P d P( , ) ( , )− =
Os focos da hipérbole podem ser pontos do eixo x, do eixo y ou, de forma mais geral, podem estar 
em qualquer reta paralela aos eixos.
Para simplificar nosso estudo, vamos tomar os focos no eixo x. Assim, teremos:
F2 F1
x
c c
y
0
Figura 146
Os focos têm coordenadas F1 = (c, 0) e F2 = (-c, 0). A medida 2c é chamada de distância focal, e o 
centro da hipérbole é o ponto médio do segmento F1 F2.
A equação da hipérbole de centro (0, 0), é dada por:
x 
 a 
 
 y 
 
 
2
2
2
− =
b 2
1
Representação geométrica da hipérbole:
F2 F1 x
a
b
y
0
Figura 147
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Se os focos estão no eixo y, a equação passa a ser:
− + =
x 
 a 
 
 y 
 
 
2
2
2
b 2
1
F2 F1 x
a
b
y
0
Figura 148
Exemplo:
Represente a hipérbole de equação:
a) 
x 
 4 
 
 y 
 
2 2
− =
9
1
Resolução:
A hipérbole tem foco no eixo x. Observando a equação, os focos ficam no eixo que tem sinal positivo.
Conforme o enunciado, temos:
a 2
b 3
c a b
c 2 3
c 4 9 13
2 2 2
2 2 2
2
=
=
= +
= +
= + =
=c 13
A partir disso, os focos terão coordenadas iguais a:
F ( 0 F (- 01 213 13= =, ) , )
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Representando graficamente:
F2 F1 x
2
3
y
0
Figura 149
b) 
− + =
x 
 4 
 
 y 
 
 
2 2
9
1
Resolução:
A hipérbole tem foco no eixo x. Observando a equação, os focos ficam no eixo que tem sinal 
positivo.
Conforme o enunciado, temos:
a 2
b 3
c a b
c 2 3
c 4 9 13
2 2 2
2 2 2
2
=
=
= +
= +
= + =
=c 13
A partir disso, os focos terão coordenadas iguais a:
F ( 0
F (- 0
1
2
13
13
=
=
, )
, )
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Representando graficamente:
F2
F1 xa 3-3
-2
2
b
y
0
Figura 150
 Saiba mais
Você pode estudar mais sobre cônicas com centro fora da origem em:
BOULOS, P.; CAMARGO,I. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 
São Paulo: Prentice Hall, 2005, capítulos 22 e 23.
8.5 Ampliando seu leque de exemplos
1) Estude a posição relativa das retas:
a) r : x (1, 0, 0) 0, 1, - 2) e s : x (1, 3, 0) 1,= + = +α β( ( 2, 1)
Resolução:
Vamos verificar se os vetores diretores são LI ou LD.
Para cada reta, temos um vetor diretor e um ponto base. Dessa forma:
 r : 
R (1, 0, 0)
 u 0,1, -2) 
 s : 
S 
r
=
=

=
� ��
(
 (1, 3, 0)
 u 1, 2, 1) s
� ��
=
 (
Comparando os vetores diretores de r e s, notamos que são LI. Logo, as retas podem ser concorrentes 
ou reversas.
264
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Para decidir se são concorrentes ou reversas, vamos calcular o determinante formado pelas 
coordenadas de u ur s , e RS 
��� ��� ���
. Se for nulo, os vetores são coplanares e, portanto, as retas são 
concorrentes, caso contrário, serão reversas.
Portanto, temos:
 
x y z
l m n
x y z
 
0 1 -2
1 2 1
1
 
0 1 -2
1 2 1
S S S− − −
=
− − −
=
x y zR R R 1 3 0 0 0 0 3 0
 = − ≠6 0
Os vetores não são coplanares, logo, as retas são reversas.
Vamos aproveitar e verificar se as retas são ortogonais. Para isso, devemos fazer o produto escalar 
dos vetores diretores.
Calculando o produto escalar, temos:
u u 0, 1, -2) . 1, 2, 1)
u u 
r s
r s
� �� � ��
� �� � ��
. ( (
.
=
== + +
=
0
0
 . 1 1 . 2 (-2) . 1
u u r s
� �� � ��
.
s
r
u r
���
us
��
Figura 151
Os vetores são ortogonais, logo, as retas são ortogonais.
b) r : 
x
y
z
 s : x (1, 0, -1)
= −
= − +
= −



= +
2
1 3
4
α
α
α
ββ -1, 3, -1) (
Para cada reta, temos um vetor diretor e um ponto base. Assim, temos:
 r : 
R (2, -1, 4) 
 u -1, 3, -1) 
 s : 
S
r
=
=

� ��
(
==
=

 (1, 0, -1)
 u -1, 3, -1) s
� ��
(
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Comparando os vetores diretores de r e s, notamos que são LD, logo, as retas podem ser paralelas 
ou coincidentes.
Para decidir se são paralelas ou coincidentes, devemos verificar se o vetor formado por um ponto 
de r e um ponto de s é ou não paralelo aos vetores diretores. Se for paralelo, as retas são coincidentes, 
caso contrário, são paralelas.
u r
���
us
��
S
s
R
r
Figura 152
Tomemos o vetor R S RS 1, 0, 1 2, 1, 4 1, 1, 5)
� ��
= − = − − − = − −( ) ( ) ( . Devemos verificar se é paralelo a 
um dos vetores diretores, u -1, 3, -1)r
� ��
= ( .
Comparando os vetores, notamos que são LI, isto é, RS
���
 e u r
���
 não têm coordenadas proporcionais. 
Logo, as retas são paralelas. 
2) Estude a posição relativa da reta r : X (0,1,-2) 1,-1,4) = + α ( e do plano
pi {4 x y 2 z 3 0 + − − =
Para verificar a posição relativa entre planos e retas, devemos primeiro verificar se o vetor diretor da 
reta e o vetor normal ao plano são ortogonais.
Para a reta e o plano dados, temos:
 r : 
R (0,1,-2)
 u 1,-1,4) 
 vetor nor
r
=
=

� ��
(
mmal n (4, 1, -2)
�
=
Para verificar se são ortogonais, devemos calcular o produto escalar entre os vetores, assim:
u . n 1, -1, 4) . (4, 1, -2)
u . n 
r
r
� �� �
� �� �
=
=
(
 1 . 4 (-1) . 1 4 . (-2)
u . n 4 1 8
u
r
+ +
= − −
� �� �
 . n 5 0r
� �� �
= − ≠
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Logo, os vetores não são ortogonais. Nesse caso, a reta fura o plano, isto é, r ∩ p = {P}.
p
n

u r
���
P
r
Figura 153
Sempre que existe um ponto em comum, vamos querer determinar as coordenadas desse ponto. Para 
determinar o ponto P, vamos substituir as coordenadas de um ponto qualquer da reta na equação do plano.
As coordenadas do ponto P são dadas pelas equações paramétricas da reta. Vamos escrever as 
equações paramétricas de r: 
r : X (0,1,-2) 1,-1,4)
r : 
x 
y
z 
= +
=
= −
= − +

α
α
α
α
(
1
2 4


Assim, as coordenadas do ponto serão P 1- - 2 4 )= +( , ,α α α . Vamos agora substituir na 
equação do plano e determinar o valor de α.
Substituindo em p:
pi
α α α
α α
 { 4 x y 2 z 3 0
4 (1- ) 2 (-2 ) 3 0
4 1
+ − − =
+ − + − =
+ −
4
++ − − =
− + =
=
4 8 3 0
5 2 0
 
2
5
α
α
α
Substituindo em P:
P 1 - - 2 4 . )
P - 2 
= +
= +
( , ,
( , ,
2
5
2
5
2
5
2
5
3
5
222
5
2
5
3
5
12
5
)
P )= ( , ,
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
3) Estude a posição relativa da reta r : X (1,-1,-2) 1, 0 ,5)= + α ( e do plano
pi { -5 x y z 6 0 + + + = .
Para verificar a posição relativa entre planos e retas, devemos primeiro verificar se o vetor diretor da 
reta e o vetor normal ao plano são ortogonais.
Para a reta e o plano dados, temos:
 r : 
R (1, -1, -2)
 u , 0, 5) 
 vetor
r
=
=

� ��
(1
 normal n (-5, 1, 1)
�
=
Para verificar se são ortogonais, devemos calcular o produto escalar entre os vetores, assim:
u . n , 0, 5) . (- 5, 1, 1)
u . n 1 .
r
r
� �� �
� �� �
=
=
(1
((-5) 0 . 1 5 . 1
u . n -5 0 5
u . n 
 
r
r
+ +
= + +
=
� �� �
� �� �
0
 
Logo, os vetores são ortogonais. Nesse caso, a reta está contida no plano ou é paralela ao plano.
Para decidir qual dos casos acontece, devemos verificar se existe ponto comum. Substituindo o 
ponto base da reta no plano, teremos duas possibilidades: o ponto pertence ao plano e, nesse caso, a 
reta está contida no plano; ou o ponto não pertence ao plano e, então, a reta é paralela ao plano.
Vamos, então, substituir o ponto R = ( 1, -1,-2) na equação do plano:
pi { -5 x y z 6 0
- . 1 1 . (-1) 1 (
+ + + =
+ +5 . --2) 6 0
- 1 2 6 0
0 (F)
+ =
− − + =
− =
5
2
Portanto, o ponto não pertence ao plano, isto é, P ∉ p.
Assim,a reta é paralela ao plano:
p
n

u r
���
u r
���
R
r
Figura 154
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4) Estude a posição relativa entre os planos pi 1 { 2 x 2 y 3 z 7 0+ − − =
pi { - x 2 y 3 z 8 0 2 + − − =
Resolução:
Para estudar a posição relativa de dois planos, devemos primeiro comparar os vetores normais, 
verificando se são paralelos ou não.
Para os planos dados, temos:
pi pi n , 2, -3) d n1 1 2 2 2
�� ���
= = −{ = −( (2 7 1 , 2, -3) d 2 = −{ 8
Comparando n n e 1 2
� �� � ��
a
a
 
b
b
 
c
c
2
-1
 
2
2
 
-3
-3
1
2
1
2
1
2
= =
≠ =
Os vetores não são paralelos, logo, os planos são transversais, ou seja, têm uma reta em comum, 
pi pi1 2 r∩ = .
Devemos determinar a equação dessa reta. 
A reta está nos dois planos, logo, pela definição de vetor normal ao plano, temos que: u n r 1
� �� ��
⊥ e 
u n r 2
� �� ���
⊥ .
Sabemos que um vetor que satisfaz essas duas condições é o produto vetorial. Assim, vamos utilizar 
o vetor n nr 2 
�� ���
∧ como vetor diretor de r.
Calculando o produto vetorial:
n n
n n
r 2
r 2
 
 i j k 
2 2 -3
-1 2 -3
 
 6 i 
�� ���
� � �
�� ��� �
∧ =
∧ = − ++ +
∧
 3 j 4 k - ( - 2 k - 6 i - 6 j )
 r 2
� � � � �
�� ���
n n == +
∧ =
9
0
 j 6 k 
 , 9 , 6 )
 
r 2
� �
�� ���
n n (
Assim, n nr 2 , 9 , 6 ) 
�� ���
∧ = ( 0
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Falta ainda determinar um ponto da reta. Para isso, vamos fixar o valor de uma das coordenadas do 
ponto (por exemplo, x = 0) e substituir no sistema formado pelas equações dos planos.
 2 x 2 y 3 z 7 
- x 2 y 3 z 8 0 
 
+ − − =
+ − − =

0
Substituindo x = 0:
 
 0 2 y 3 z 7 
0 2 y 3 z 8 0 
 
+ − − =
+ − − =

0
O sistema obtido é incompatível, isto é, não tem solução. 
Precisamos fazer outra tentativa, vamos agora fixar y = 0 e substituir na equação dos planos.
Assim:
 2 x 2 y 3 z 7 
- x 2 y 3 z 8 0 
 
+ − − =
+ − − =

0
Substituindo y = 0:
 2 x 2 . 0 3 z 7 
 2 . 0 3 z 8 0 
 
 
+ − − =
− + − − =

0
x
22 x 3 z 7 
 3 z 8 0 
 
− − =
− − − =

0
x
Resolvendo o sistema, temos x = − = −
1
3
 e z 
23
9
Logo, R = − −




1
3
 , 0, 
23 
9
 
A equação da reta será r : X (-
1
3
, 0, -
23
9
) 0, 9 , 6) = + α (
5) Estudar a posição relativa dos planos pi { 3 x 6 y 9 z 15 0 1 − + + =
pi { 1 x 2 y 3z 5 0 2 − + + =
Para estudar a posição relativa de dois planos, devemos primeiro comparar os vetores normais, 
verificando se são paralelos ou não.
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Para os planos dados, temos:
pi pi n , -6, 9) d n 1 1 1 2 2
� �� �
= ={ (3 1 5 ��� = ={ ( , -2, 3) d 21 5
Comparando n n e 1 2
� �� � ��
:
a
a
 
b
b
 
c
c
1
2
1
2
1
2
= =
3
1
 
-6
-2
 
9
3
= = , isto é, 3 = 3 = 3
Os vetores são paralelos, logo, os planos são paralelos ou coincidentes.
Para decidir, devemos comparar também os valores de d1 e d2:
a
a
 
b
b
 
c
c
 
d
d
3
1
 
-6
-2
 
9
3
 
15
5
3 3 3 
1
2
1
2
1
2
1
2
= = =
= = =
= = = 3
Como todas as frações são iguais, temos planos coincidentes, isto é, p1 ≡ p2 .
6) Determine o ângulo entre as retas r: X (3,-2, 0) , 3, 1)= + −α ( 2 e s: X (0,0, 2) , 2, 2) = + α (1 .
O ângulo entre as retas é dado por:
cos 
 
 . 
 
 
θ = •| |u u
u u
r s
r s
��� ��
��� ��
Pelo enunciado, temos:
 r : 
R (3, -2, 0)
 u - , 3, 1) 
 
r
=
=

� ��
( 2
 s : 
S (0, 0, 2)
 u , 2, 2) s
=
=

� ��
(1
Inicialmente, vamos calcular o produto escalar e o módulo dos vetores diretores:
u ur s ( -2, 3, 1) . (1 , 2, 2) -2 6 2 
��� ��
• = = + + = 6
 6 
 2, 3, 1) 
 
 
| |
( ( )
u u
u
r s
r
��� ��
���
• = =
= − = − +
6
2 32 2 ++ =
= = + + = =
1 14
1 1 2 2 9 3
2
2 2 2 , 2, 2) u s
���
(
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Substituindo na expressão:
cos 
 
 . 
cos 
 
 
θ
θ
=
•
=
| |u u
u u
r s
r s
��� ��
��� ��
66
0 5345 5
14 . 3
 0,5345
cos 7,69o
=
= ⇒ =θ θ,
7) Determine o ângulo entre a reta r : X (1,3, 1) ( 3 , 1, -3) = + −α e o plano 
pi { - x 3 y 6 0− + =
Para saber o ângulo entre um plano e uma reta, devemos saber qual a posição dela em relação ao 
plano.
Devemos determinar o produto escalar entre o vetor diretor e o vetor normal.
Para a reta e o plano dados, temos:
 r : 
R (1, 3,1)
 u - , 1, -3) 
 vetor
r
=
=

� ��
( 3
 normal n (-1, -3, 0)
�
=
Calculando o produto escalar:
u . n , 1, -3) . (-1, -3, 0)
u . 
r
r
� �� �
� ��
= −( 3
 n (-3) . (-1) 1 . (-3) . 0
u . nr
�
� �� �
= + + 3
 3 3 0
u . n 0r
= − +
=
� �� �
Logo, a reta está contida no plano ou é paralela ao plano e, nesse caso, θ = âng(r,p) = 0º ou 0 rad .
8) Determine o ângulo entre o plano pi { 5 x 2 y z 10 0 1 + + − = e o plano
pi2 { 10 x 4 y z 20 0 + − − =
Vamos verificar se os vetores normais são paralelos ou não.
Para os planos dados, temos n ( 5, 2, 1) e n ( 10, 4, -1)1 2
� �� � ��
= =
Comparando as coordenadas:
5
10
 
2
4
 
1
-1
= ≠
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Os vetores não são paralelos, logo, os planos são concorrentes, isto é, p1 ∩ p2 = r.
Nesse caso, o ângulo entre os planos é dado por:
cos cos ng( , ))
 
 . 
1 2
 
 
θ pi pi= = •( | |n n
n n
1 2
1 2
��� ���
��� ����
 
âng
Calculando o produto escalar e os módulos:
n n1 2 (5, 2, 1) . (10, 4, -1) 50 8 1 57
� �� � ��
• = = + − =
|| |
(
u
n
r 
1
 n 57 
 , 2, 1) 
 
��� �
��
• = =
= = + + =
57
5 5 2 1 302 2 2
nn , 4, -1) 2
���
= = + + − =( ( )10 10 4 1 1172 2 2
Substituindo na expressão:
cos 
 
 . 
cos 
 7
30 
θ
θ
=
•
=
| |n n
n n
1 2
1 2
5
�� ���
�� ���
.. 117
cos ,9620 ang ( , ) 1
=
= ⇒ = ≅
0 9620
0 15 852
,
,θ θ pi pi oo^
9) Calcule a distância entre as retas paralelas:
r : 
x 
y
z 
 e s : x (0, 0, 1) 3, 1,
= −
= +
=



= − + −
2 3
2
α
α
α
α ( 1)
Resolução:
 Como as retas são paralelas, vamos calcular a distância entre elas determinando distância entre 
Pr e a reta s.
 Do enunciado, temos: