Geometria Analítica e Álgebra Linear - Unidade III

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Unidade III
7 POSIÇÃO RELATIVA, DISTÂNCIA E ÂNGULOS
Na geometria analítica, é útil compararmos a posição de pontos, retas e planos. Para tal, dividiremos 
nosso estudo em três partes: reta‑reta, reta‑plano e plano‑plano.
7.1 Posição relativa
7.1.1 Reta‑reta
Consideremos duas retas r e s. Para facilitar nosso estudo, vamos representar os vetores diretores 
das retas como ur
��
 e us
��
.
Sejam rr : X A u= + α

 e ss : X B u= + b 

 as equações vetoriais das retas r e s.
Para estudar a posição entre essas retas, vamos comparar os vetores diretores quanto à dependência 
linear, isto é, se são LI ou LD.
1) r su , u LI
 
 
Se os vetores são LI, isto é, não são paralelos, podemos ter retas concorrentes ou retas reversas.
a) r e s concorrentes (têm ponto comum)
Representando graficamente, temos:
P B s
A
r
p
ur
��
us
��
Figura 100 
Observando a figura, notamos que os vetores ur
��
, us
��
 e AB
� ��
 são coplanares, e, como já sabemos, o 
determinante formado pelas coordenadas dos três vetores será igual a zero. Assim:
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Unidade III
B A B A B A
x y z
r e s concorrentes l m n 0
x ‑ x y ‑ y z ‑ z
⇔ = 
Como as retas têm um ponto comum, vamos querer saber esse ponto. Para isso, podemos igualar as 
equações paramétricas e resolver o sistema.
b) r e s reversas (não coplanares)
Observe a representação a seguir:
B
A
s
r
p2
p1
ur
��
us
��
Figura 101 
Notamos que não existe um plano que contenha os vetores, ur
��
, us
��
 e AB
� ��
 , logo, eles não são 
coplanares. Assim, o determinante formado pelas coordenadas dos vetores será diferente de zero.
B A B A B A
x y z
r e s reversas l m n 0
x ‑ x y ‑ y z ‑ z
⇔ ≠ 
 Lembrete
Vetores diretores LI – desenvolver o determinante formado pelas 
coordenadas dos vetores ur
��
, us
��
 e AB
� ��
 . Se for igual a zero, as retas serão 
concorrentes, senão, serão reversas.
c) retas ortogonais e retas perpendiculares
Se os vetores diretores são ortogonais, isto é, ur
��
 . us
��
 = 0, teremos:
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
c1) Se r ∩ s ≠ ∅, então r e s são perpendiculares:
s
r
ur
��
us
��
Figura 102 
c2) Se r ∩ s ≠ ∅, então r e s são ortogonais:
s
r
ur
��
us
��
Figura 103 
 Observação
Dois seguimentos de reta que formam ângulo reto entre si serão sempre 
ortogonais. No entanto, só serão ditos perpendiculares se os seguimentos 
de reta se tocarem em um ponto.
2) ur
��
 . us
��
 LD
Se os vetores são LD, isto é, são paralelos, podemos ter retas paralelas ou retas coincidentes.
a) r e s paralelas (r // s)
Nesse caso, os vetores diretores são paralelos e não existe ponto comum entre as retas, isto é, r ∩ s = ∅:
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Unidade III
B
s
A
r
ur
��
us
��
Figura 104 
Escolhendo um ponto de r e um ponto de s, teremos que o vetor AB
� ��
 não é paralelo a ur
��
 e a us
��
, assim:
r sr e s paralelas AB não é paralelo a u ( e au )⇔
  
 
b) r e s coincidentes (r ≡ s)
Os vetores diretores são paralelos e existem infinitos pontos em comum.
B
A
r≡s
ur
��
us
��
Figura 105 
Nesse caso, o vetor AB
� ��
 é paralelo a ur
��
 e a us
��
, assim:
r sr e s coincidentes AB é paralelo a u ( e au )⇔
  
 
 Lembrete
Vetores diretores LD – verificar se o vetor formado por um ponto de 
cada reta é paralelo a eles. Se for, as retas são coincidentes, caso contrário, 
são paralelas.
Exemplos:
Estude a posição relativa da reta r : X = (2, 1, 1) + α (0, 1, 1) em relação a reta s:
a) s : X = (1, 0, 0) + b (3, 1, 2)
Para estudar a posição relativa de duas retas, devemos inicialmente verificar se os vetores diretores 
das retas são LI ou LD.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Para cada reta, temos um vetor diretor e um ponto base. Assim, obtém‑se:
 r : 
R (2,1,1)
 u 0,1,1) 
 s : 
S (
r
�
�
�
�
�
��
�
� ��
(
11,0,0)
 u 3,1,2)s
� ��
�
�
�
�
�� (
Comparando os vetores diretores de r e s, notamos que são LI, logo, as retas podem ser concorrentes 
ou reversas.
Para decidir se são concorrentes ou reversas, vamos calcular o determinante formado pelas 
coordenadas de r su , u e RS
  
 . Se for nulo, os vetores são coplanares, portanto, as retas são 
concorrentes; caso contrário, serão reversas.
Assim, temos:
S R S R S R
x y z 0 1 1 0 1 1
l m n 3 1 2 3 1 2 ‑1 0
x ‑ x y ‑ y z ‑ z 1‑2 0 ‑1 0 ‑1 ‑1 ‑1 ‑1
= = = ≠ 
Os vetores não são coplanares, logo, as retas são reversas.
b) s : X = (2, 1, 1) + b (0, 0, 1)
Para cada reta, temos um vetor diretor e um ponto base. Vejamos:
r : 
R (2,1,1)
 u 0,1,1) 
 s : 
S (2
r
�
�
�
�
�
��
�
� ��
(
,,1,1)
 u 0,1,1) s
� ��
�
�
�
�
�� (
Comparando os vetores diretores de r e s, notamos que são LI, logo, as retas podem ser concorrentes 
ou reversas.
Para decidir se são concorrentes ou reversas, vamos calcular o determinante formado pelas 
coordenadas de r su , u e RS
  
 . Se for nulo, os vetores são coplanares, portanto, as retas são concorrentes, 
caso contrário, serão reversas.
Assim, temos:
S R S R S R
x y z 0 1 1 0 1 1
l m n 0 0 1 0 0 1 0
x ‑ x y ‑ y z ‑ z 2 ‑2 1‑1 1‑1 0 0 0
= = = 
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Unidade III
Os vetores são coplanares, logo, as retas são concorrentes.
Nesse caso, você pode estudar também se as retas são ortogonais ou não.
c) s : X = (3, 1, ‑1) + b (0, 1, 1)
Para cada reta, temos um vetor diretor e um ponto base. Então, obtém‑se:
sr
S (3,1,‑1)R (2,1,1)
r : s :
u (0,1,1)u (0,1,1)
==  
 
==  

 
 
 
Comparando os vetores diretores de r e s, notamos que são LD, logo, as retas podem ser paralelas 
ou coincidentes.
Para decidir se são paralelas ou coincidentes, devemos verificar se o vetor formado por um ponto 
de r e um ponto de s é ou não paralelo aos vetores diretores. Se for paralelo, as retas são coincidentes, 
caso contrário, são paralelas.
Tomemos o vetor RS S ‑R (3,1,‑1) ‑(2,1,1) (1, 0, ‑ 2)= = =

 . Devemos verificar se é paralelo a um dos 
vetores diretores, por exemplo, ru (0,1,1)=

 .
Comparando os vetores, notamos que são LI, isto é, RS
���
 e ur
��
 não têm coordenadas proporcionais.
Logo, as retas são paralelas.
d) s : X = (2, 2, 2) + b (0, 1, 1)
Para cada reta, temos um vetor diretor e um ponto base. Vejamos:
r : 
R (2,1,1)
 u 0,1,1) 
 s : 
S (2
r
�
�
�
�
�
��
�
� ��
(
,, 2, 2)
 u 0,1,1) s
� ��
�
�
�
�
�� (
Comparando os vetores diretores de r e s, notamos que são LD, logo, as retas podem ser paralelas 
ou coincidentes.
Para decidir se são paralelas ou coincidentes, devemos verificar se o vetor formado por um ponto 
de r e um ponto de s é ou não paralelo aos vetores diretores. Se for paralelo, as retas são coincidentes, 
caso contrário, são paralelas.
O vetor RS
���
 = S – R = (2, 2, 2) – (2, 1, 1) = (0, 1, 1) é paralelo ao vetor diretor.
Logo, as retas são coincidentes.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
7.1.2 Reta‑plano
Quando estudamos a posição relativa de retas e planos, temos três resultados possíveis: a reta pode 
estar contida no plano, pode furar o plano ou ser paralela a ele.
Consideremos a reta com equação r : X = A + α ur
��
, o plano com equação geral p {ax + by + cz + d = 0 
e vetor normal n

 = (a, b, c). Para determinarmos a posiçãoentre a reta e o plano, devemos verificar se 
o vetor diretor da reta é ou não ortogonal ao vetor normal ao plano.
1) u n
 
r ⊥
ur
��
p
n

n

Figura 106 
Quando o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano são ortogonais, temos dois casos possíveis: 
a reta está contida no plano ou a reta é paralela ao plano.
a) r ⊂ p (todo ponto da reta é ponto do plano)
pur
��
n

r
A
Figura 107 
Nesse caso, teremos infinitos pontos em comum. Para definir se a reta está contida no plano, basta 
que você encontre um ponto comum, por exemplo, verificar se o ponto base da nossa reta é também 
ponto do plano.
Como verificar isso?
Um ponto pertence ao plano se suas coordenadas satisfazem a equação do plano, isto é, se a 
substituição das coordenadas torna a equação verdadeira.
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Unidade III
b) r / / p (r ∩ p = ∅)
p
ur
��
ur
��
n

r
A
Figura 108 
Nesse caso, não existem pontos em comum. Para determinar se a reta é paralela ao plano, basta que 
você encontre um ponto da reta que não pertença ao plano, por exemplo, verificar se o ponto base da 
nossa reta não é ponto do plano.
2) ur
��
, n

 não ortogonais
Nesse caso, a reta fura o plano, isto é, existe um ponto comum entre a reta e o plano.
p
ur
��
n

r
P
Figura 109 
Assim, r ∩ p ={P}.
Como determinar o ponto P?
O ponto P é comum ao plano e à reta. Então, se você escrever as equações paramétricas da reta e 
substituir na equação do plano, vai determinar as coordenadas do ponto P.
No caso de rn / / u
 
 , temos que a reta é perpendicular ao plano, isto é, r ⊥ p:
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
p
ur
��
n

r
P
Figura 110 
 Lembrete
Posição relativa reta‑plano – comparar o vetor diretor da reta com o 
vetor normal. Se são ortogonais, a reta é paralela ao plano ou está contida 
no plano, caso contrário, a reta fura o plano.
Exemplos:
1) Verifique se o ponto P(2, 1, 5) pertence ao plano p {3x + y + z – 12 = 0
Resolução:
Um ponto pertence a um plano se suas coordenadas satisfazem a equação do plano.
Substituindo as coordenadas do ponto P na equação do plano, temos:
3x + y + z – 12 = 0
3. 2 + 1 + 5 – 12 = 0
12 – 12 = 0
 0 = 0
Logo, o ponto pertence ao plano, isto é, P ∈ p.
2) Verifique se o ponto P(3, 1, 2) pertence ao plano p {2x + y ‑ 4z – 2 = 0.
Resolução:
Um ponto pertence a um plano se suas coordenadas satisfazem a equação do plano.
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Unidade III
Substituindo as coordenadas do ponto P na equação do plano, temos:
2x + y ‑ 4z – 2 = 0
2 . 3 + 1 – 4 . 2 – 2 = 0
6 + 1 – 8 – 2 = 0
–3 ≠ 0
Logo, o ponto não pertence ao plano, isto é, P ∉ p.
3) Verifique a posição relativa entre o plano p {–x + 2y – 4z — 7 = 0 e a reta:
a) r: X = (0, 1, –1) + α (2, –1, 1)
Para avaliar a posição relativa entre planos e retas, devemos inicialmente verificar se o vetor diretor 
da reta e o vetor normal ao plano são ortogonais.
Para a reta e o plano dados, temos:
r
R (0,1,‑1)
r : vetor normal n (‑1, 2, ‑ 4)
u (2,‑1,1)
= =
=


 
 
 
Para verificar se são ortogonais, devemos calcular o produto escalar entre os vetores, assim:
ru . n (2,‑1,1) . (‑1, 2, ‑ 4)=

 
ru . n 2 . ( 1) ( 1) . 2 1. ( 4)= − + − + −

 
ru . n 2 2 4= − − −

 
ru . n 8 0= − ≠

 
Logo, os vetores não são ortogonais. Nesse caso, a reta fura o plano, isto é, r ∩ p = {P}.
Sempre que existe um ponto em comum, determinamos as coordenadas desse ponto. Para definir o 
ponto P, substituímos as coordenadas de um ponto qualquer da reta na equação do plano.
As coordenadas do ponto P são dadas pelas equações paramétricas da reta. Vamos escrever as 
equações paramétricas de r:
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
r: X = (0, 1, –1) + α (2, –1, 1)
x 2
r : y 1‑
z ‑1
= α 
 = α 
 = + α
 
 
Assim, as coordenadas do ponto serão P = (2α, 1–α, –1+α). Agora vamos substituir na equação do 
plano e determinar o valor de α.
Substituindo em p:

  
 { x 2 y 4 z 7 0
 2 2 (1 ) 4 ( 1 )
    
      7 0
 2 2 2 4 4 7 0
 8 1 0
 
 
      
  
  

   1
8
Substituindo em P, temos:
1 1 1
P 2 ,1 , 1
8 8 8
  = − + − −    
 
1 9 9
P , ,
4 8 8
 = − − 
 
 
b) r: X = (1, 1, 0) + α (–2, 3, 2)
Para avaliar a posição relativa entre planos e retas, devemos inicialmente verificar se o vetor diretor 
da reta e o vetor normal ao plano são ortogonais.
Para a reta e o plano dados, temos:
 r : 
R (1,1,0)
 u 2, 3, 2) 
 vetor 
r
�
� �
�
�
�
��
� ��
(
nnormal n (‑1, 2, ‑4) 
�
�
Para verificar se são ortogonais, devemos calcular o produto escalar entre os vetores, assim:
ur
��
 . n

 = (–2, 3, 2) . (–1, 2, –4)
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Unidade III
ur
��
 . n

 = (–2) . (–1) + 3 . 2 + 2 . (—4)
ur
��
 . n

 = 2 + 6 —8
ur
��
 . n

 = 0
Logo, os vetores são ortogonais. Nesse caso, a reta está contida no plano ou é paralela ao plano.
Para decidir qual dos casos acontece, devemos verificar se existe ponto comum. Substituindo o 
ponto base da reta no plano, teremos duas possibilidades: o ponto pertence ao plano e então a reta está 
contida no plano, ou o ponto não pertence ao plano e então a reta é paralela ao plano.
Substituindo o ponto R = (1, 1, 0) na equação do plano, obtém‑se:
{ x 2y 4z 7 0p − + − − = 
1 2 .1 4 . 0 7 0− + − − = 
1 2 7 0− + − = 
– 6 ≠ 0
Logo, o ponto não está no plano, isto é, P ∉ p.
Assim, a reta é paralela ao plano.
c) r: X = (–1, 1, –1) + α (2, 1, 0)
Para verificar a posição relativa entre planos e retas, devemos inicialmente avaliar se o vetor diretor 
da reta e o vetor normal ao plano são ortogonais.
Para a reta e o plano dados, temos:
r
R (‑1,1,‑1)
r : vetor normal n (‑1, 2, ‑ 4)
u (2 , 1, 0)
= =
=


 
 
 
Para avaliar se são ortogonais, devemos calcular o produto escalar entre os vetores, assim:
ur
��
 . n

 = (2, 1, 0) . (–1, 2, —4)
ur
��
 . n

 = 2 . (–1) + 1 . 2 + 0 . (–4)
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
ur
��
 . n

 = –2 + 2 + 0
ur
��
 . n

 = 0
Logo, os vetores são ortogonais. Nesse caso, a reta está contida no plano ou é paralela ao plano.
Para decidir qual dos casos acontece, devemos verificar se existe ponto comum. Substituindo o 
ponto base da reta no plano, teremos duas possibilidades: o ponto pertence ao plano e então a reta está 
contida no plano, ou o ponto não pertence ao plano e então a reta é paralela ao plano.
Substituindo o ponto R = ( ‑1, 1,‑1) na equação do plano, obtém‑se:
p{–x + 2y – 4z –7 = 0
–1 . (–1) + 2 . 1 –4 . (–1) –7 = 0
1 + 2 + 4 – 7 = 0
0 = 0
Logo, o ponto pertence ao plano, isto é, P ∈ p.
Assim, a reta está contida no plano.
7.1.3 Plano‑plano
Quando estudamos a posição relativa de dois planos, podemos ter planos paralelos, coincidentes 
ou transversais.
Consideremos os planos p1 e p2 com equação geral:


1 { a x b y c z d 0 
{ a x b y c z 
1 1 1 1
2 2 2 2
   
    d 0 2
Para saber a posição dos planos, devemos verificar se os vetores n1
��
 e n2
���
 são paralelos ou não.
1) n1
��
 // n2
���
 (paralelos)
Nesse caso, os planos podem ser paralelos ou coincidentes.
a) p1 ≡ p2 (coincidentes)
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Unidade III
p1 ≡ p2
1
2n

n

Figura 111 
Devemos ter todos os coeficientes proporcionais, isto é:
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
a b c da b c d
p ≡ p ⇔ = = = 
b) p1 // p2 (paralelos)
p2
2n

p1
1n

Figura 112 
Devemos ter todos os coeficientes dos vetores normais proporcionais, mas a proporção dos termos 
d1 e d2 será diferente, isto é:
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
a b c d
/ / 
a b c d
p p ⇔ = = ≠ 
2) n1
��
, n2
���
 não paralelos
Nesse caso, os planos são transversais, isto é, têm em comum uma reta:
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
1n

p1
p2 r
2n

Figura 113 
Assim, 1 2 rp ∩ p = .
Você está curioso para saber como determinar essa reta? Como encontrar a equação da reta r? Para 
responder a essas questões, vamos observar a figura anterior.
A reta está nos dois planos, logo, pela definição de vetor normal ao plano, temos que r 1u n⊥
 
 e 
r 2u n⊥
 
 .
Sabemos que um vetor que satisfaz essas duas condições é o produto vetorial, assim, vamos utilizar 
o vetor n1
��
 ∧ n2
���
 como vetor diretor de r.
Falta ainda determinar um ponto da reta. Para isso, vamos fixar o valor de uma das coordenadas do 
ponto, por exemplo, x = 0. Substituímos esse valor na equação dos dois planos e determinamos o valor 
das outras coordenadas.
Se 1 2n n⊥
 
 , os planos são perpendiculares, 1 2p ⊥ p :
2n

1n

Figura 114 
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18
Unidade III
1 2 1 2 1 2 n n n . n 0p ⊥ p ⇔ ⊥ ⇔ =
   
 
Exemplos:
Estude a posição relativa entre o plano 1 { ‑ x 2 y ‑ 3 z ‑ 5 0p + = e o plano:
a) 2 { ‑ x 2 y ‑ 4 z ‑ 7 0p + = 
Para tal, devemos inicialmente comparar os vetores normais, verificando se são paralelos ou não.
Para os planos dados, temos:
{ {1 1 1 2 2 2n ( 1, 2, 3) d 5 n ( 1, 2, 4) d 7p = − − = − p = − − = −
 
 
Comparando n1
��
e n2
���
:
1 1 1
2 2 2
a b c
 
a b c
= = 
1 2 3
 
1 2 4
− −
= ≠
− −
Os vetores não são paralelos, logo, os planos são transversais, isto é, têm uma reta em comum, 
1 2 rp ∩ p = .
Devemos determinar a equação dessa reta.
A reta está nos dois planos, logo, pela definição de vetor normal ao plano, temos que r 1u n⊥
 
 e 
r 2u n⊥
 
 .
Sabemos que um vetor que satisfaz essas duas condições é o produto vetorial, assim, vamos utilizar 
o vetor nr
��
 ∧ n2
���
 como vetor diretor de r.
Calculando o produto vetorial:
n nr 2 
 i j k 
‑1 2 ‑3
‑1 2 ‑4
 
�� ���
� � �
� �
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 V
ito
r -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
n nr 2 8 i 3 j ‑ 2 k ‑ ( ‑ 2 k ‑ 6 i 
�� ��� � � � � �
� � � � � 4 j )
 i j
 , ‑1 , 
r 2
r 2
�
�� ��� � �
�� ���
n n
n n
� � � �
� � �
2
2( 00 ) 
Assim, r 2n n
�� � ��
� � � �( , , )2 1 0
Falta ainda determinar um ponto da reta. Para isso, vamos definir o valor de uma das coordenadas 
do ponto, por exemplo, x = 0 e substituir no sistema formado pelas equações dos planos.
‑ x 2 y ‑ 3 z ‑ 5 0
‑ x 2 y ‑ 4 z ‑ 7 0
+ =
 + =
 
 
Substituindo x = 0
0 2 y ‑ 3 z ‑ 5 0
0 2 y ‑ 4 z ‑ 7 0
+ =
 + =
 
 
Resolvendo o sistema, temos y � � � �
1
2
 e z 2
Logo, 
1
R 0, , 2
2
 = − − 
 
 .
A equação da reta será 
1
r : X (0, , 2) ( 2, 1, 0)
2
= − − + α − − .
b) 2 { x 2 y 3 z 7 0p − + − − = 
Comparamos os vetores normais do mesmo modo do exemplo anterior.
Para os planos dados, temos:
{ {1 1 1 2 2 2n ( 1, 2, 3) d 5 n ( 1, 2, 3) d 7p = − − = − p = − − = −
 
 
Comparando n1
��
e n2
���
:
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
= = 
1 2 3
1 2 3
− −
= =
− −
 
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Unidade III
Os vetores são paralelos, logo, os planos são paralelos ou coincidentes.
Para decidir, devemos comparar também os valores de d1 e d2.
1 1 1 1
2 2 2 2
a b c d
 
a b c d
= = = 
1 2 3 5
 
1 2 3 7
− − −
= = ≠
− − −
Como d1 e d2 não estão na mesma proporção das outras frações, temos planos paralelos, isto é, 
p1 // p2.
c) 2{2x 4y 6z 10 0p − + + = 
Para estudar a posição relativa de dois planos, novamente procedemos como no primeiro exemplo.
Para os planos dados, temos:
{ {1 1 1 2 2 2n ( 1, 2, 3) d 5 n ( 2 , 4, 6) d 10p = − − = − p = − =
 
 
Comparando n1
��
e n2
���
:
1 1 1
2 2 2
a b c
 
a b c
= = 
1 2 3 1 1 1
, isto é,
2 4 6 2 2 2
− − − − −
= = = =
−
 
Os vetores são paralelos, logo, os planos são paralelos ou coincidentes.
Para decidir, devemos comparar também os valores de d1 e d2:
1 1 1 1
2 2 2 2
a b c d
 
a b c d
= = = 
1 1 1 5
 
2 2 2 10
− − − −
= = = 
Como todas as frações são iguais, temos planos coincidentes, isto é, p1 ≡ p2.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
7.2 Ângulos
Agora vamos estudar ângulo entre retas e planos. Para isso, vamos dividir em três casos: reta‑reta, 
reta‑plano e plano‑plano.
7.2.1 Reta‑reta
Se as retas são concorrentes, definimos o ângulo θ como o menor dos ângulos formados por elas:
us
��
ur
��
s
r
θ
us
��
ur
��
s
r
θ
A) B)
Figura 115 – Ambas são retas concorrentes
Se as retas são reversas, definimos o ângulo θ como o menor dos ângulos formados por uma delas 
e uma reta paralela à outra.
Na representação a seguir, temos r e s reversas e o ângulo entre elas será dado pelo ângulo entre a 
reta r, e a reta s’, paralela à reta s.
B
A
s
s
s’
r r
θ
p2
p1
ur
�� ur
��
us
��
us
��
A) B)
Figura 116 – Retas reversas
Conforme a definição, o ângulo será sempre agudo, isto é, 0º ≤ θ ≤ 90º ou 0 rad
2
rad� ��
� .
Observe que para as retas concorrentes (a) e para as reversas temos que o ângulo entre as retas é 
igual ao ângulo entre os vetores diretores, porém, no caso das retas concorrentes (b), o ângulo θ entre 
elas será dado pela relação r s180º‑ âng (u , u )θ =
 
 , isto é, r s180º âng (u , u )θ = −
 
 .
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Unidade III
Para definir o ângulo θ, vamos utilizar o que já sabemos do produto escalar e, como 0º ≤ θ ≤ 90º, 
teremos que cos θ ≥ 0, então podemos escrever:
r s r su u u u cos ⋅ = ⋅ θ
   
 
r s
r s
|u u |
cos 
u u
⋅
θ =
⋅
 
 
 
 
 
 
Exemplo:
Determinar o ângulo entre as retas:
a) r: X = (1, 0, 0) + α (1, 2, 0) e s: X = (0, 1, 0) + α (–2, 1, 0)
O ângulo entre as retas é dado por:
r s
r s
|u u |
cos 
u u
⋅
θ =
⋅
 
 
 
 
 
 
Pelo enunciado, temos:
 r : 
R (1,0,0)
 u , 2, 0) 
 
r
�
�
�
�
�
��
� ��
( 1
 s : 
S (0,1,0)
 u 2, 1, 0) s
�
� �
�
�
�
��
� ��
(
Inicialmente, vamos calcular o produto escalar e o módulo dos vetores diretores:
r s
r s
2 2 2
r
2 2 2
s
u u ( 1, 2, 0) ( 2 ,1, 0) ‑ 2 2 0 0
|u u | 0 0
u (1, 2,0) 1 2 0 5
u ( 2,1,0) ( 2) 1 0 5
⋅ = ⋅ − = + + =
⋅ = =
= = + + =
= − = − + + =
 
 


 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na expressão:
r s
r s
|u u |
cos 
u u
⋅
θ =
⋅
 
 
 
 
 
 
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2/
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
0
cos 0
5 5
θ = =
⋅
 
 
cos � � �
�
� � � �0 90
2
o ou
 Observação
Nesse caso, as retas são ortogonais ou perpendiculares. Para isso, você 
precisa verificar se as retas são reversas ou concorrentes.
b) r: X = (1, —1, 0) + α (2, 3, 0) e s: X = (0, 1, 2) + α (1, 1, 0) 
O ângulo entre as retas é dado por:
r s
r s
|u u |
cos 
u u
⋅
θ =
⋅
 
 
 
 
 
 
Pelo enunciado, temos:
sr
S (0,1,2)R (1,‑1,0)
r : s :
u (1,1, 0)u ( 2 , 3, 0)
==  
 
== 

 
 
 
Inicialmente, vamos calcular o produto escalar e o módulo dos vetores diretores:
r su u ( 2, 3, 0) . (1,1, 0) 2 3 0 5⋅ = = + + =
 
 
r s|u u | 5 5⋅ = =
 
 
2 2 2
ru (2, 3,0) 2 3 0 13= = + + =

 
2 2 2
su (1,1,0) 1 1 0 2= = + + =

 
Substituindo na expressão:
r s
r s
|u u |
cos 
u u
⋅
θ =
⋅
 
 
 
 
 
 
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2/
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Unidade III
5
cos 0,9806
13 . 2
θ = =
 
 
cos θ = 0,9806 ⇒ θ = 11,30º
7.2.2 Reta‑plano
Para estudar o ângulo entre uma reta e um plano, precisamos inicialmente saber a posição da reta 
em relação ao plano.
a) r / / ou rp ⊂ p 
r // p r ⊂ p
r
r
p p
n

n

ur
��
ur
��
A) B)
Figura 117 
Nesse caso, o ângulo entre r e p é igual a 0º ou 0 rad.
r / / ou r âng (r, ) 0º ou 0 radp ⊂ p ⇔ θ = p =
b) r ⊥ p
r ⊥ p
p
n

ur
��
r
Figura 118 
r âng (r, ) 90º ou rad
2
p
⊥ p ⇔ θ = p =
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
c) r fura p e r não é perpendicular a p
r ∩ p ={P}
P r’
r
p
θ
90º ‑ θ
n

 
Figura 119 
O ângulo θ entre o plano e a reta é o complemento do ângulo entre a reta r e o vetor normal n

.
Da geometria elementar, sabemos que cos (90º – θ) = sen θ, então:
r
r
|u n|
sen
u n
⋅
θ =
⋅
 
 
 
 
 
 
Exemplos:
Determinar o ângulo entre o plano { 3x 2y z 6 0p − − + + = e a reta:
a) r: X = (2, 1, –1) + α (0, 1, 1)
Para saber o ângulo entre um plano e uma reta, devemos saber qual a posição dela em relação ao plano.
Devemos definir o produto escalar entre o vetor diretor e o vetor normal.
Para a reta e o plano dados, temos:
r
R (2,1, 1)
r : vetor normal n ( 3, 2,1)
u ( 0,1,1)
= − = − −
=


 
 
 
Calculando o produto escalar:
ru . n (0,1,1) . ( 3, 2,1)= − −

 
ru . n 0 . ( 3) 1 . ( 2) 1.1= − + − +

 
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Unidade III
ru . n 0 2 1= − +

 
ru n 1 0⋅ = − ≠

 
Logo, a reta fura o plano.
O ângulo entre a reta e o plano será dado por:
r
r
|u n|
sen
u n
⋅
θ =
⋅
 
 
 
 
 
 
Inicialmente, vamos calcular o produto escalar e o módulo dos vetores:
ru n 1⋅ = −

 
r|u n | 1 1⋅ = − =

 
2 2 2
ru (0,1,1) 0 1 1 2= = + + =

 
2 2 2n ( 3, 2,1) ( 3) ( 2) (1) 14= − − = − + − + =
 
Substituindo na expressão:
r
r
|u n|
sen
u n
⋅
θ =
⋅
 
 
 
 
 
 
1
sen 0,1890
2 14
θ = =
⋅
 
 
sen 0,1890 âng (r, ) 10,89ºθ = ⇒ θ = p = 
b) r: X = (1, 1, 1) + α (–1, 1, –1)
Para saber o ângulo entre um plano e uma reta, devemos saber qual a posição dela em relação ao plano.
Devemos fixar o produto escalar entre o vetor diretor e o vetor normal.
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2/
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Para a reta e o plano dados, temos:
r
R (1,1,1)
r : vetor normal n ( 3, 2,1)
u ( 1,1, 1)
= = − −
= − −


 
 
 
Calculando o produto escalar:
ru n (‑1,1, 1) . ( 3, 2,1)⋅ = − − −

 
ru n ( 1) ( 3) 1 ( 2) ( 1) 1⋅ = − ⋅ − + ⋅ − + − ⋅

 
ru n 3 2 1⋅ = − −

 
ru n 0⋅ =

 
Logo, a reta está contida no plano ou é paralela ao plano e, nesse caso, θ = âng(r, p) = 0º ou 0 rad.
c) r : X (1,1,1) ( 3 , 2,1)= + α − − 
Para saber o ângulo entre um plano e uma reta, devemos saber qual a posição dela em relação ao 
plano.
Para a reta e o plano dados, temos:
r
R (1,1,1)
r : vetor normal n ( 3, 2,1)
u ( 3, 2,1)
= = − −
= − −


 
 
 
Calculando o produto escalar:
ru n ( 3, 2,1) ( 3, 2,1)⋅ = − − ⋅ − −

 
ru n ( 3) ( 3) ( 2) ( 2) 1 1⋅ = − ⋅ − + − ⋅ − + ⋅

 
ru n 9 4 1⋅ = + +

 
ru n 14 0⋅ = ≠

 
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Unidade III
Logo, a reta fura o plano.
O ângulo entre a reta e o plano será dado por:
r
r
|u n|
sen
u n
⋅
θ =
⋅
 
 
 
 
 
 
Inicialmente, vamos calcular o produto escalar e o módulo dos vetores:
ru n 14⋅ =

 
r|u n | 14 14⋅ = =


 
2 2 2
ru ( 3, 2,1) ( 3) ( 2) (1) 14= − − = − + − + =

 
2 2 2n ( 3, 2,1) ( 3) ( 2) (1) 14= − − = − + − + =
 
Substituindo na expressão:
r
r
|u n|
sen
u n
⋅
θ =
⋅
 
 
 
 
 
 
14 14
sen 1
1414 14
θ = = =
⋅
 
 
sen ng r ou rad � � � �� � � � � �1 90
2
â , º
 Observação
Nesse exemplo, nota‑se que ur
��
 e n

 são paralelos, logo, a reta é 
perpendicular ao plano.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
7.2.3 Plano‑plano
a) p1 // p2
O ângulo θ entre os planos é zero:
p1 // p2 ⇔ θ = âng(p1, p2) = 0º ou 0 rad
b) p1 ∩ p2 = r
O ângulo θ entre os planos é igual ao ângulo formado pelas retas s1 e s2, paralelas aos vetores 
normais que passam por um ponto comum aos planos.
P
r
S2
p2
p1
S1
θ
θ
n2
���
n2
���
n1
��
n1
��
Figura 120 
Assim, para calcular o ângulo θ entre os planos p1 e p2, deve‑se determinar o ângulo entre as retas 
concorrentes s1 e s2. Logo:
1 2
1 2
1 2
|n n |
cos cos (âng( , ))
n n
⋅
θ = p p =
⋅
 
 
 
 
 
 
 Lembrete
Para determinar o ângulo entre planos, verifique inicialmente se os 
vetores normais são paralelos, se forem, os planos são paralelos.
Exemplos:
Dê o ângulo entre o plano p1{2x + 3y + z – 8 = 0 e o plano:
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Unidade III
a) p2{2x + 3y + z +10 = 0
Inicialmente, vamos verificar se os vetores normais são paralelos ou não.
Para os planos dados, temos 1 2n ( 2, 3,1) e n ( 2, 3,1)= =
 
 , logo, os vetores são paralelos, então, os 
planos também são paralelos.
Portanto:
1 2âng ( , ) 0 º ou 0 radθ = p p = 
b) p2{1x + 2y + z +4 = 0
Vamos verificar se os vetores normais são paralelos ou não.
Para os planos dados, temos 1 2n ( 2, 3,1) e n ( 1, 2,1)= =
 
 .
Comparando as coordenadas:
2 3 1
 
1 2 1
≠ ≠ 
Os vetores não são paralelos, logo, os planos são concorrentes, isto é, p1 ∩ p2 = r.
Nesse caso, o ângulo entre os planos é dado por:
1 2
1 2
1 2
|n n |
cos cos(âng( , ))
n n
⋅
θ = p p =
⋅
 
 
 
 
 
 
Calculando o produto escalar e os módulos:
1 2n n (2, 3,1) (1, 2,1) 2 6 1 9⋅ = ⋅ = + + =
 
 
r|u n | 9 9⋅ = =


 
2 2 2
1n (2, 3,1) 2 3 1 14= = + + =

 
2 2 2
2n (1, 2,1) 1 2 1 6= = + + =

 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Substituindo na expressão:
1 2
1 2
|n n |
cos
n n
⋅
θ =
⋅
 
 
 
 
9
cos 0,9820
14 6
θ = =
⋅
 
 
cos θ = 0,9820 ⇒ θ = âng (p1, p2) ⇒ θ = 10,88º
7.3 Distâncias
7.3.1 Distância entre dois pontos
Dados dois pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2), a distância entre eles é igual ao módulo do vetor AB
� ��
.
2 2 2
2 1 2 1 2 1d (A, B) (x x ) (y y ) (z z )= − + − + − 
Exemplo:
Calcule a distância entre os pontos A = (2, 1, 5) e B = (3, ‑1, 4).
Resolução:
Para calcular a distância de A até B, vamos usar a expressão:
d x x y y z z
d
 A, B) 
 A, B)
2 2 2( ( ) ( ) ( )
( (
� � � � � �
� �
2 1 2 1 2 1
3 2)) ( ) ( )
( ( ) ( )
 
 A, B) 
2 2 2
2 2
� � � � �
� � � � �
1 1 4 5
1 2 1d 
 A, B) 
 A, B) 
2
d
d
(
(
� � �
�
1 4 1
6
240
Re
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 Dia
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ár
ci
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Unidade III
7.3.2 Distância entre ponto e reta
Por definição, é a menor distância entre o ponto A e os pontos da reta r. Você obtém essa distância 
através da perpendicular à reta r, baixada do ponto A.
A
r
d(A, r)
Figura 121 
Já sabemos a definição de distância entre ponto e reta. Mas como determinar o valor de d(A, r)?
Inicialmente, vamos representar na figura o vetor diretor de r e um ponto P da reta. A seguir, 
montamos o paralelogramo formado pelos pontos A e P e pelo vetor diretor da reta r.
A
rP
d(A, r)
ur
��
Figura 122 
Observa‑se que a área do paralelogramo é dada pelo produto vetorial dos vetores:
paralelogramo r rA | PA u | | (A ‑ P ) u |= ∧ = ∧
  
 
Da geometria elementar, sendo d = d(A, r), sabemos que:
paralelogramo rA base x altura |u | d= = ⋅

 
Igualando as duas expressões, temos:
d d A   r) |(A ‑ P ) u |
|u | 
r
r
( ,
��
��
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Exemplo:
Calcular a distância entre a reta r : 
x
y
z
 
� �
� �
�
�
�
�
�
�
0
1
2
�
� e o ponto A = (1, 4, 3).
Resolução:
Do enunciado, temos:
r
P (0,1, 2)
r :
u (1,1, 0)
=

=

 
 
 
Calculando o produto vetorial de rPA e u
 
 e do módulo do vetor diretor da reta, obtemos:
PA A P
ur
���
��
 
 
� � � � �
� � �
( , , ) ( , , ) ( , , )1 4 3 0 1 2 1 3 1
1 1 02 2 2 �� 2
r
i j k
PA u 1 3 1 ( 1,1, 2)
1 1 0
∧ = = − −
  
 
 
 
2 2 2
rPA u ( 1,1, 2) ( 1) 1 ( 2) 6∧ = − − = − + + − =
 
 
Substituindo na expressão:
d d A
d d A
� �
�
�
 r) 
| (A ‑ P ) u |
| u | 
 
r
r
( ,
( ,
� ��
� ��
rr) 
6
2 
� � � �
6
2
3 1732,
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Unidade III
7.3.3 Distância entre retas paralelas
A distância entre retas paralelas é a menor distância entre os pontos das duas retas:
Ps
Pr r
s
d(r, s)
Figura 123 
Observando a figura, notamos que para determinar a distância entre as retas paralelas r e s, basta 
definir a distância entre um ponto qualquer de uma delas e a outra reta.
Assim:
r s s
r
s
|P P u |
d (r, s) d(P , s)
| u |
∧
= =
 

 
 
 
 
ou
s r r
S
r
|P P u |
d (r, s) d(P , r)
| u |
∧
= =
 

 
 
 
 
Exemplo:
Calcule a distância entre as retas paralelas:
x 1
r : y 2
z 2
= − α
 = + α
 = α
 
 
 e s : X (0,1, 1) ( 1,1, 2)= − + α − 
Resolução:
Como as retas são paralelas, vamos calcular a distância entre elas, determinando a distância entre Pr e a reta s.
Do enunciado, temos:
sr
r s
P (0,1, 1)P (1, 2, 0)
r : s :
u ( 1,1, 2) u ( 1,1, 2)
= −=  
 
= − = −  
 
 
 
 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Vamos adotar a expressão:
r s s
r
s
|P P u |
d (r, s) d(P , s)
| u |
∧
= =
 

 
 
 
 
Você precisará calcular o produto vetorial de r s sP P e u
 
 e o módulo do vetor diretor de r.
Assim:
r s s rP P P P (0,1, 1) ‑ (1, 2, 0) ( 1, 1, 1)= − = − = − − −

 
2 2 2
su ( 1) 1 2 6= − + + =

 
r s s
i j k
P P u 1 1 1 ( 1, 3, 2)
1 1 2
∧ = − − − = − −
−
  
 
 
 
 
2 2 2
r s sP P u ( 1, 3, 2) ( 1) 3 ( 2) 14∧ = − − = − + + − =
 
 
Substituindo na expressão:
r s s
r
s
|P P u |
d (r, s) d(P , s)
| u |
∧
= =
 

 
 
 
 
r
14 14 7
d d (P , s) 1,527
6 36
= = = = = 
 
7.3.4 Distância entre um ponto e um plano
A distância entre A (x0, y0, z0) e o plano p {ax + by + cz + d = 0 é dada pela expressão:
0 0 0| a x by c z d |d(A, )
| n |
+ + +
p =

 
 
Exemplo:
Determine a distância do ponto A (4, 2, 1) ao plano {2x 1y 2z 5 0p + − + = .
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Unidade III
Resolução:
Vamos utilizar a expressão:
0 0 0| ax by cz d |d(A, )
| n |
+ + +
p =

 
 
Segundo o enunciado, temos:
0 0 0A (x , y , z ) (4, 2,1)= = 
{2x 1y 2z 5 0p + − + = , e daí: a = 2, b = 1, c = ‑2 e d = 5.
n ( 2,1, 2 )= −
 
Substituindo os dados na expressão:
| 2 4 1 2 ( 2) 1 5 |
d(A, )
| (2,1, 2) |
⋅ + ⋅ + − ⋅ +
p =
−
 
 
2 2 2
| 8 2 2 5 |
d(A, )
2 1 ( 2)
+ − +
p =
+ + −
 
13 13
d(A, ) 4,333
39
p = = = 
7.3.5 Distância entre reta e plano (paralelos)
É a menor das distâncias entre os pontos da reta e os pontos do plano.
Essa distância é igual a distância de um ponto qualquer da reta até o plano. Para determinar a 
distância entre a reta e o plano, podemos usar a fórmula anterior:
r // p
r
p
n

ur
��
Figura 124 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Assim, sendo R= (x0, y0, z0) um ponto qualquer da reta r e p {ax + by + cz + d = 0 a equação do 
plano, teremos:
0 0 0| ax by cz d |d(r, ) d(R, )
| n |
+ + +
p = p =

 
 
 Observação
Todos os pontos da reta, paralela ao plano, equidistam do plano.
Exemplo:
Dê a distância da reta 
x 4 ‑
r : y 2 2
z 1
= α
 = + α
 =
 e o plano {2x y 2 z 7 0p + − + = 
Resolução:
Segundo os dados do enunciado, temos:
0 0 0
r
R (x , y , z ) (4, 2,1)
r
u ( 1, 2, 0)
= =

= −

 
 
 
{2x y 2z 7 0 ,
a 2, b 1, c ‑2 e d 7 n ( 2,1, 2 )
p + − + =
= = = = = −

 
 
Substituindo os dados na expressão:
0 0 0| ax by cz d |d(r, ) d(R, )
| n |
+ + +
p = p =

 
 
| 2 4 1 2 ( 2) 1 7 |
d(r, ) d(R, )
| (2,1, 2) |
⋅ + ⋅ + − ⋅ +
p = p =
−
 
 
2 2 2
| 8 2 2 7 |
d(r, ) d(R, )
2 1 ( 2)
+ − +
p = p =
+ + −
 
 
15 15
d(r, ) d(R, ) 5
39
p = p = = = 
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Unidade III
7.3.6 Distância entre planos paralelos
Da mesma forma que a distância entre uma reta e um plano, para fixar a distância entre planos 
paralelos, basta determinar a distância entre um ponto qualquer de um dos planos em relação ao outro.
Assim, sendo A (x0, y0, z0) um ponto qualquer do plano p1 e p2{ax + by + cz + d = 0 a equação do 
outro plano, teremos:
 p p p

0 0 0
1 2 2
| a x +b y + c z + d |d( , ) = d(A , ) =
| n | 
 Observação
Você também pode calcular a distância entre os dois planos paralelos 
usando um ponto do plano p2 e o plano p1. O resultado será o mesmo.
Exemplo:
Calcule a distância entre os planos p1{3x + 5y + z + 8 = 0 e p2{3x + 5y + z – 2 = 0 .
Resolução:
Para esse cálculo, vamos escolher um ponto de um dos planos e calcular a distância dele até o 
outro plano.
Adotemos um ponto do plano p1. Para isso, deve‑se fixar o valor de duas das coordenadas do ponto 
e substituir na equação do plano para determinar a outra coordenada.
Considerando x = 0 e y = 0, substituindo na equação de p1 temos:
p1{3x + 5y + z + 8 = 0
3.0 + 5.0 + z + 8 = 0
0 + 0 + z + 8 = 0
z + 8 = 0
z = – 8
Logo, o ponto de p1 é A = (0, 0, – 8).
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Calculando a distância de A ao plano p2, temos:
0 0 0
1 2 2
2
| a x b y c z d |
d( , ) d(A, )
| n |
+ + +
p p = p = 
 
 
1 2 2
| 3.0 5.0 ( 8).1 ( 2) |
d( , ) d(A, )
| (3, 5,1) |
+ + − + −
p p = p =
 
 
1 2 2 2 2 2
| 0 0 8 2 |
d( , ) d(A, )
3 5 1
+ − −
p p = p =
+ +
 
 
| 10 |
d(r, ) d(A, )
9 25 1
−
p = p =
+ +
 
 
10
d(r, ) d(A, ) 1,690
35
p = p = = 
8 SEÇÕES CÔNICAS
Agora vamos estudar cônicas. Para entender um pouco sobre o assunto, faça a seguinte experiência.
Pegue umalanterna ou uma luminária e acenda‑a. Aponte para uma parede e se aproxime. O que 
você vê?
Incline um pouco a lanterna ou a luminária. O que você vê agora? Mudou a forma da imagem na parede?
O que você está vendo na parede é uma forma cônica.
O feixe de luz tem o formato de um cone, e a parede funciona como um plano que corta esse cone. 
Dependendo da inclinação do feixe de luz, você verá formas diferentes. Essas formas serão o nosso 
objeto de estudo nesta unidade: circunferência, elipse, parábola e hipérbole.
Algumas luminárias são projetadas para, quando utilizadas, terem um efeito específico. Observando 
a figura a seguir, notamos que os focos de luz iluminam o chão, criando uma elipse.
Há vários exemplos de formas cônicas. Na astronomia, temos as órbitas elípticas dos planetas do 
sistema solar. Na física, destacam‑se as trajetórias parabólicas dos projéteis. Devido às propriedades 
de reflexão e de refração das cônicas, suas formas são usadas, por exemplo, na construção de radares, 
antenas, lanternas, óculos e microscópios.
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Unidade III
Para estudarmos as cônicas em geral, usamos um cone duplo e fazemos cortes com um plano. 
Dependendo da inclinação do plano, teremos uma cônica diferente. O primeiro indivíduo que mostrou 
que com um único cone podemos obter as cônicas (elipse, hipérbole e parábola) foi Apolônio de Perga, 
apenas variando a inclinação do plano de secção.
Imagine um cone duplo e um plano cortando este cone. Conforme você inclina o plano, o corte feito 
no cone é diferente. Observe as várias possibilidades e as cônicas resultantes:
A) B) C)
Figura 125 – A) Elipse; B) Hipérbole; C) Parábola
 Saiba mais
Para saber mais sobre Apolônio de Perga e sua contribuição para a 
geometria, veja o capitulo 9 de:
BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1996.
A seguir estudaremos um pouco cada uma dessas cônicas, iniciando com as parábolas.
8.1 Parábola
Seja F um ponto fixo e uma reta d que não contém o ponto F. Chamamos o ponto F de foco e a reta 
d de diretriz. O conjunto dos pontos que equidistam de F e de d é dito parábola, isto é, P é ponto da 
parábola se, e somente se:
d(P, F) = d(P, d)
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Representando o foco F e a diretriz d, temos:
d
M F x
Figura 126 
O ponto médio de MF será o vértice da parábola. Representando o vértice e os pontos P1 e P2 da 
parábola no sistema anterior, temos:
d
M 0
a a
P1 (x, y)
P2
F x
Figura 127 
Se o vértice 0 está na origem do sistema Oxy, podemos escrever a equação da diretriz d, d: x = – a, 
e as coordenadas do foco F, F = (a,0). Unindo os pontos da parábola, obtém‑se:
d
M 0
a a
P1 (x, y)
P2
F x
Figura 128 
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Unidade III
 Observação
O eixo x divide a parábola em dois ramos simétricos.
Você já sabe como é a aparência de uma parábola, falta agora determinar a sua equação.
Para tal, vamos lembrar a condição para que um ponto P seja da parábola, isto é, 
P ∈ parábola ⇔ d(P, d) = d (P, F). Observando a figura anterior, notamos que a distância do ponto P1 
à reta d é igual à distância de P2 a d e P2 = (–a, y).
Usando a definição de distância de ponto a ponto e de ponto a reta, temos:
d (P, d) d (P, F)= 
2 2 2 2(x ‑ a) (y ‑ 0) (x a) (y ‑ y)+ = + + 
2 2 2(x ‑ a) y (x a)+ = + 
 Observação
Nessa demonstração, utilizamos a letra d para nos referirmos à reta 
diretriz. Caso você se sinta mais confortável, pode chamá‑la de r e, assim, 
passará a ler a definição como d (P, r) = d(P, F). No entanto, observe que isso 
não altera a definição.
Prosseguindo, elevamos os dois lados ao quadrado:
( ) ( )2 22 2 2(x ‑ a) y (x a)+ = + 
2 2 2(x ‑ a) y (x a)+ = + 
Simplificando:
y2 = 4ax
Para traçar o gráfico da parábola, utilize o valor de P, as coordenadas do foco F e a e equação da 
diretriz d.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Quando alteramos a localização do foco F em relação aos eixos coordenados, temos outras 
possibilidades de posição e outras equações para as parábolas.
a a
a
a a
a
x x
d
d
y yy
F
F
F0 00
y
a
F a
d
=
=
=
4
0
 x
 y ‑a
2
( , )
:
y a
F a
d
2 4
0
 
 

 x
 
 x a
( , )
:
y
a
F a
d
 
 

4
0
 x
 
 y a
2
( , )
:
Figura 129 
 Observação
Diferente do nosso texto, alguns autores indicam a distância do foco 
à diretriz como p. Nesse caso, as equações deveriam ser escritas de forma 
diferente, por exemplo, a equação: y2 = 4ax passaria a ser escrita y2 = 2px.
Você deve ficar atento à teoria.
Exemplos:
1) Dadas as equações das parábolas, determine o valor de a, as coordenadas do foco F e a equação da 
diretriz d:
a) y2 = 8x
Inicialmente, você deve comparar a expressão dada com as quatro opções possíveis. Assim, vemos 
que a forma dada é do tipo y2 = 4ax.
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Unidade III
Comparando as expressões y2 = 8x e y2 = 4ax, notamos que 4a = 8, logo, a = 2.
Nesse caso, o foco tem coordenadas (a, 0), assim, F = (2, 0).
A diretriz da parábola tem equação d: x = – a, logo, d: x = – 2.
b) y2 = – 8x
A princípio, deve‑se comparar a expressão dada com as quatro opções possíveis. Assim, vemos que a 
forma dada é do tipo y2 = – 4ax.
Comparando as expressões, y2 = – 8x e y2 = – 4ax, notamos que – 4a = – 8, logo, a = 2.
Nesse caso, o foco tem coordenadas (‑ a, 0). Assim, F = (‑ 2, 0).
Assim, a diretriz da parábola tem equação d: x = a. Logo, d: x = 2.
c) y = – x2 ou x2 = – y
Deve‑se, inicialmente, comparar a expressão dada com as quatro opções possíveis. Assim, vemos que 
a forma dada é do tipo 2
a
y x
4
= − .
Comparando as expressões, y = –x2 e 2
a
y x
4
= − , notamos que 2 2a x x
4
− = − , logo, a = 4.
Nesse caso, o foco tem coordenadas (0, ‑a), assim F = (0, –4).
A diretriz da parábola, nesse caso, tem equação d:y = 4.
d) y = 4x2 ou 2
y
x
4
= 
A princípio, deve‑se comparar a expressão dada com as quatro opções possíveis. Assim, vemos que a 
forma dada é do tipo 2ay x
4
= .
Comparando as expressões, y = 4x2 e 2
a
y x
4
= , notamos que 2 2
a
x 4x
4
= , logo, a = 16.
Nesse caso, o foco tem coordenadas (0, a), assim F = (0, 16).
A diretriz da parábola tem equação d: y = – 16.
2) Vamos esboçar o gráfico das parábolas do exercício anterior:
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a) y2 = 8x
Já sabemos que:
a = 2
F = (2, 0)
d : x = – 2
Representando graficamente, temos:
aa
x
d
y
F
0‑2 2
Figura 130 
b) y2 = – 8x
Assim:
a = 2
F = (‑ 2, 0)
d : x = 2
Representando graficamente, temos:
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Unidade III
aa
x
y
F
d
0‑2 2
Figura 131 
c) y = – x2 ou x2 = – y
Então:
a = 4
F = (0, – 4)
d : y = 4
Representando graficamente, temos:
a
a
d
x
4
–4
y
F
0
Figura 132 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
d) y = 4x2 ou x2 = 4y
Sabe‑se que:
a = 16
F = (0, 16)
d : y = – 16
Representando graficamente, temos:
a
a
d
16
‑16
x
y
0
Figura 133 
8.2 Elipse
Para definir uma elipse, precisamos de dois pontos fixos, F1 e F2, que chamamos de focos, e de uma 
constante a, duas vezes maior que a distância entre os focos, d (F1, F2) = c. Assim, a > c.
Denominamos elipse o conjunto dos pontos P do plano que satisfazem:
d (P, F1) + d (P, F2) = 2a
Os focos da elipse podem ser pontos do eixo x, do eixo y ou, de forma mais geral, podem estar em 
qualquer reta paralela aos eixos.
Para simplificar nosso estudo, adotemos os focos no eixox. Assim, teremos:
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Unidade III
F2 F1
x
c c
y
0
Figura 134 
Os focos têm coordenadas F1 = (c, 0) e F2 = (‑c, 0). A medida 2c é chamada de distância focal, e o 
centro da elipse é o ponto médio do segmento F1 F2 .
Para determinar a equação da elipse, usamos a definição:
P ∈ elipse ⇔ d (P, F1) + d (P, F2) = 2a
Substituindo as coordenadas dos focos e tomando P = (x, y), temos:
( ) ( )2 22 2x c y x c y 2a− + + + + = 
( ) ( )2 2 2 2x c y 2a x c y− + = − + + 
Quadrando e simplificando, temos:
(a2 – c2) x2 + a2 y2 = a2 (a2 – c2)
Como a2 (a2 – c2) > 0, podemos escrever:
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a c x a a ca y
a a c a a c a a c
− −
+ =
− − −
 
 
Simplificando:
( )
2 2
2 2 2
x y
1
a a c
+ =
−
 
 
Chamando b2 = a2 – c2, temos a equação reduzida da elipse:
x
 a 
 y
 
 
2
2
2
� �
b2
1
257
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 V
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r -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: M
ár
ci
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/1
2/
20
18
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Vejamos a representação geométrica da elipse:
F2 F1
x
a
y
0c
b
c
Figura 135 
Nesse caso, o eixo maior a está em x, e o eixo menor b está em y. Os focos ficam sempre no eixo maior.
Se o eixo maior está em y e eixo menor em x, teremos alteração na equação e os focos estarão 
no eixo y.
A nova equação será:
x
 b 
 y
 
 
2
2
2
� �
a2
1
A representação, nesse caso, passará a ser:
F1
F2
x
a
y
0
c
c
b
Figura 136 
258
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18
Unidade III
 Lembrete
A letra a indica sempre o eixo maior, e a letra b indica o eixo menor.
Exemplos:
Esboce graficamente as elipses:
a) 
2 2x y
1
4 9
+ = 
 
Resolução:
A princípio, devemos destacar os valores de a e b para, em seguida, verificar quem é o eixo maior e 
o menor e em quais eixos estão.
Em nosso exemplo, o eixo maior está em y e o eixo menor em x. Assim, a = 3 e b = 2.
Falta ainda determinar o valor de c, ou seja, a distância do foco até o centro.
Na elipse, temos a2 = b2 + c2, logo:
c a b
c 3 2
c 9 4
c
2 2
2 2
� �
� �
� �
� 5
As coordenadas dos focos serão F1 0 5� � �, e F2 0 5� �� �,
Representando a elipse:
259
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 V
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
F1
F2
x
a
y
0
c
c
b 2
3
‑2
‑3
Figura 137 
b) 
2 2x y
1
25 4
+ =
 
 
Resolução:
Inicialmente, devemos fixar os valores de a e b para, em seguida, verificar quem é o eixo maior e o 
menor e em quais eixos estão.
Em nosso exemplo, o eixo maior está em x e o eixo menor em y. Assim, a = 5 e b = 2.
Falta ainda determinar o valor de c, ou seja, a distância do foco até o centro.
Na elipse, temos a2 = b2 + c2, logo:
c a b
c 5 2
c 2 4
c 
2 2
2 2
� �
� �
� �
�
5
21
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Unidade III
As coordenadas dos focos serão F1 21 0� � �, e F2 21 0� �� �,
Representando a elipse:
F1F2
x
a
y
0c‑5
b
c 5
‑2
2
Figura 138 
8.3 Circunferência
É o conjunto de pontos que equidistam de um ponto fixo. Chamamos essa distância de raio r, e o 
ponto fixo de centro C.
A equação reduzida da circunferência de centro C (0, 0), é dada por
x2 + y2 = r2
x
y
0 r
Figura 139 
Exemplo:
Esboce a circunferência de equação x2 + y2 = 49
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Resolução:
A circunferência tem centro (0,0) e raio r = =49 7
x
y
0 7
Figura 140 
8.4 Hipérbole
Para definir a hipérbole, precisamos de dois pontos fixos, F1 e F2, que chamamos de focos, e de uma 
constante a, tal que 0 < a < c.
Chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos P do plano que satisfazem
|d(P, F1) – d(P, F2)| = 2a
Os focos da hipérbole podem ser pontos do eixo x, do eixo y ou, de forma mais geral, podem estar 
em qualquer reta paralela aos eixos.
Para simplificar nosso estudo, vamos tomar os focos no eixo x. Assim, teremos:
F2 F1
x
c c
y
0
Figura 141 
Os focos têm coordenadas F1 = (c, 0) e F2 = (‑ c, 0). A medida 2c é chamada de distância focal, e o 
centro da hipérbole é o ponto médio do segmento F1 F2.
262
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Unidade III
A equação da hipérbole de centro (0, 0), é dada por
2 2
2 2
x y
1
a b
− = 
 
Representação geométrica da hipérbole:
F2 F1 x
a
b
y
0
Figura 142 
Se os focos estão no eixo y, a equação passa a ser:
2 2
2 2
x y
1
a b
− + = 
 
Assim, a representação geométrica da hipérbole será:
F2
F1
xa
b
y
0
Figura 143 
263
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Exemplo:
Represente a hipérbole de equação:
a) 
2 2x y
1
4 9
− = 
 
Resolução:
A hipérbole tem foco no eixo x. Observando a equação, os focos ficam no eixo que tem sinal positivo.
Conforme o enunciado temos,
a = 2
b = 3
c2 = a2 + b2
c2 = 22 + 32
c2 = 4 + 9 = 13
c = 13
A partir disso, os focos terão coordenadas iguais a:
1F ( 13, 0)= e 2F ( 13, 0)= − 
Representando graficamente:
F2 F1 x
2
3
y
0
Figura 144 
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Unidade III
b) 
2 2x y
1
4 9
− + =
 
 
Resolução:
A hipérbole tem foco no eixo y. Observando a equação, os focos ficam no eixo que tem sinal positivo.
Conforme o enunciado, temos:
a = 2
b = 3
c2 = a2 + b2
c2 = 22 + 32
c2 = 4 + 9 = 13
c = 13
A partir disso, os focos terão coordenadas iguais a:
F1 13 0� � �, e F2 13 0� �� �,
Representando graficamente:
F2
F1
F1 xa 3‑3
‑2
2
b
y
0
Figura 145 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
 Saiba mais
Você pode estudar mais sobre cônicas com centro fora da origem nos 
capítulos 22 e 23 de:
BOULOS, P.; OLIVEIRA, I. C. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 
São Paulo: Prentice Hall, 2005.
8.5 Ampliando seu leque de exemplos
1) Estude a posição relativa das retas:
a) r: X = (1, 0, 0) + α (0, 1, –2) e s: X = (1, 3, 0) + b (1, 2, 1)
Resolução:
Vamos verificar se os vetores diretores são LI ou LD.
Para cada reta, temos um vetor diretor e um ponto base. Dessa forma:
 
 
 
 r
R
u
s
S
r
:
( , , )
( , , )
:
�
� �
�
�
�
��
�1 0 0
0 1 2
� ��
 
 
( , , )
( , , )
1 3 0
1 2 1u s
� ��
�
�
�
�
��
Comparando os vetores diretores de r e s, notamos que são LI. Logo, as retas podem ser concorrentes 
ou reversas.
Para decidir se são concorrentes ou reversas, vamos calcular o determinante formado pelas 
coordenadas de ur
��
, us
��
 e RS
���
. Se for nulo, os vetores são coplanares, portanto, as retas são concorrentes, 
caso contrário, serão reversas.
Assim, temos:
x y z 0 1 2 0 1 2
l m n 1 2 1 1 2 1 6 0
x x y y z z 1 1 3 0 0 0 0 3 0R R RS S S
− −
= = = − ≠
− − − − − −
 
Os vetores não são coplanares, logo, as retas são reversas.
Vamos aproveitar e verificar se as retas são ortogonais. Para isso, devemos fazer o produto escalar 
dos vetores diretores.
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Unidade III
Calculando o produto escalar, temos:
ur
��
 . us
��
 = (0, 1, –2) . (1, 2, 1)
ur
��
 . us
��
 = 0.1 + 1 . 2 +(–2) . 1
ur
��
 . us
��
 = 0
s
r
ur
��
us
��
Figura 146 
Os vetores são ortogonais, logo, as retas são ortogonais.
b) r
x
y
z
s x : : ( , , ) (
� �
� � �
� �
�
�
�
�
�
� � � �
2
1 3
4
1 0 1
�
�
�
� 11 3 1, , ) �
Resolução:
Para cada reta temos um vetor diretor e um ponto base. Assim, temos:
r
R
u
s
S
r
:
( , , )
( , , )
:
(� �
� � �
�
�
�
��
� 
 
 
 2 1 4
1 3 1
1
��
,, , )
( ,, )
 
 
0 1
1 3 1
�
� � �
�
�
�
�� us
��
Comparando os vetores diretores de r e s, notamos que são LD. Logo, as retas podem ser paralelas 
ou coincidentes.
Para decidir se são paralelas ou coincidentes, devemos verificar se o vetor formado por um ponto 
de r e um ponto de s é ou não paralelo aos vetores diretores. Se for paralelo, as retas são coincidentes, 
caso contrário, são paralelas.
ur
��
us
��
S
s
R
r
Figura 147 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Tomemos o vetor RS S R (1, 0, 1) (2, 1, 4) ( 1,1, 5)= − = − − − = − −

 . Devemos verificar se é paralelo a 
um dos vetores diretores, ru ( 1,3, 1)= − −

.
Comparando os vetores, notamos que são LI, isto é, RS
���
 e ur
��
 não têm coordenadas proporcionais.
Logo, as retas são paralelas. 
2) Estude a posição relativa da reta r : X = (0, 1, –2) + α(1, –1, 4) e do plano p{4x + y – 2z – 3 = 0.
Para avaliar a posição relativa entre planos e retas, devemos inicialmente verificar se o vetor diretor 
da reta e o vetor normal ao plano são ortogonais.
Para a reta e o plano dados, temos:
r
R (0,1, 2)
r : vetor normal n (4,1, 2)
u (1, 1,4)
= − = −
= −


 
 
 
Para verificar se são ortogonais, devemos calcular o produto escalar entre os vetores, assim:
ru n (1, 1, 4) (4,1, 2)⋅ = − ⋅ −

 
ru n 1 4 ( 1) 1 4 ( 2)⋅ = ⋅ + − ⋅ + ⋅ −

 
ru n 4 1 8⋅ = − −

 
ru n 5 0⋅ = − ≠

 
Logo, os vetores não são ortogonais. Nesse caso, a reta fura o plano, isto é, r ∩ p = {P}.
p
n

ur
��
P
r
Figura 148 
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2/
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Unidade III
Sempre que existir um ponto em comum, vamos determinar as coordenadas desse ponto. Para 
definir o ponto P, substituímos as coordenadas de um ponto qualquer da reta na equação do plano.
As coordenadas do ponto P são dadas pelas equações paramétricas da reta. Vamos escrever as 
equações paramétricas de r:
r : X = (0, 1, –2) + α(1, –1, 4)
x
r : y 1
z ‑2 4
= α
 = − α
 = + α
 
 
Assim, as coordenadas do ponto serão P = (α, 1–α, –2 + 4α). Então, substituímos na equação do 
plano e determinamos o valor de α.
Substituindo em p:
p{4x + y – 2z – 3 = 0
4α + (1–α) –2 (–2 + 4α) – 3 = 0
4α + 1 – α + 4 – 8α – 3 = 0
–5α + 2 = 0
� �
2
5
Substituindo em P:
2 2 2
P ,1 , 2 4 .
5 5 5
 = − − + 
 
 
2 3 8
P , , 2
5 5 5
 = − + 
 
 
2 3 2
P , ,
5 5 5
 = − 
 
 
3) Estude a posição relativa da reta r : X = (1, –1, –2) + α (1, 0, 5) e do plano p {–5x + y + z + 6 = 0.
Para verificar a posição relativa entre planos e retas, devemos inicialmente avaliar se o vetor diretor 
da reta e o vetor normal ao plano são ortogonais.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Para a reta e o plano dados, temos:
r
R (1, 1, 2)
r : vetor normal n ( 5,1,1)
u (1, 0, 5)
= − − = −
=


 
 
 
Para verificar se são ortogonais, devemos calcular o produto escalar entre os vetores, assim:
ru n (1, 0, 5) ( 5,1,1)⋅ = ⋅ −

 
ru n 1 ( 5) 0 1 5 1⋅ = ⋅ − + ⋅ + ⋅

 
ru n 5 0 5⋅ = − + +

 
ru n 0⋅ =

 
Logo, os vetores são ortogonais. Nesse caso, a reta está contida no plano ou é paralela ao plano.
Para decidir qual dos casos acontece, devemos avaliar se existe ponto comum. Substituindo o ponto 
base da reta no plano, teremos duas possibilidades: o ponto pertence ao plano e, nesse caso, a reta está 
contida no plano; ou o ponto não pertence ao plano e, então, a reta é paralela ao plano.
Então, substituímos o ponto R = (1, – 1, – 2) na equação do plano:
{ 5 x y z 6 0p − + + + = 
–5 . 1 + 1 . (–1) + 1 . (–2) + 6 = 0
–5 –1 –2 + 6 = 0
–2 = 0 (F)
Logo, o ponto não pertence ao plano, isto é, P ∉ p.
Assim, a reta é paralela ao plano:
p
n

ur
��
ur
��R
r
Figura 149 
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Unidade III
4) Estude a posição relativa entre os planos p1{2x + 2y – 3z –7 = 0 e p2{–x + 2y – 3z –8 = 0.
Resolução:
Para estudar a posição relativa de dois planos, devemos comparar os vetores normais, verificando se 
são paralelos ou não.
Para os planos dados, temos:
{ {1 1 1 2 2 2n ( 2 , 2, 3) d 7 n ( 1, 2, 3) d 8p = − = − p = − − = −
 
 
Comparando 1 2n e n
 
 :
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
= = 
2 2 3
1 2 3
−
≠ =
− −
 
Os vetores não são paralelos, logo, os planos são transversais, ou seja, têm uma reta em comum, 
p1 ∩ p2 = r.
Devemos determinar a equação dessa reta.
A reta está nos dois planos, logo, pela definição de vetor normal ao plano, temos que ur
��
 ⊥ n1
��
 e ur
��
 
⊥ n2
���
.
Sabemos que um vetor que satisfaz essas duas condições é o produto vetorial. Assim, vamos utilizar 
o vetor nr
��
 ∧ n2
���
 como vetor diretor de r.
Calculando o produto vetorial:
n n
i j k
r
�� ���
� � �
 
 
 � � �
� �
2 2 2 3
1 2 3
n n i j k k i jr
�� ��� � � � � � �
� � � � � � � � �2 6 3 4 2 6 6( )
n n j kr
�� ��� � �
� � �2 9 6 
n nr
�� ���
� �2 0 9 6( , , ) 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Desse modo, nr
��
 ∧ n2
���
 = (0, 9, 6).
Falta ainda determinar um ponto da reta. Para isso, vamos fixar o valor de uma das coordenadas do 
ponto (por exemplo, x = 0) e substituir no sistema formado pelas equações dos planos.
2 2 3 7 0
2 3 8 0
 
 
 
x y z
x y z
� � � �
� � � � �
�
�
�
Substituindo x = 0:
0 2y 3z 7
0 2y 3z 8 0
� � � �
� � � �
�
�
�
0
O sistema obtido é incompatível, isto é, não tem solução.
Precisamos fazer outra tentativa, vamos agora fixar y = 0 e substituir na equação dos planos.
Assim:
2 x 2y 3z 7 0
x 2y 3z 8 0
+ − − =
− + − − =
 
 
 
Substituindo y = 0:
2x 2 . 0 3z 7 0
x 2 . 0 3z 8 0
+ − − =
− + − − =
 
 
2 x 3z 7 0
x 3z 8 0
− − =
− − − =
 
 
Resolvendo o sistema, temos 
1 23
x e z
3 9
= − = − .
Logo, R � � ��
�
�
�
�
�
1
3
 , 0, 
23 
9
.
A equação da reta será r X: , , , ,� � ��
�
�
�
�
� � � �
1
3
0
23
9
0 9 6 � .
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Unidade III
5) Estude a posição relativa dos planos 1 {3 x 6y 9z 15 0p − + + = e 2{1x 2y 3z 5 0p − + + = .
Para estudar a posição relativa de dois planos, devemos inicialmente comparar os vetores normais, 
verificando se são paralelos ou não.
Para os planos dados, temos:
{ {1 1 1 2 2 2n (3, 6, 9) d 15 n ( 1, 2, 3) d 5p = − = p = − =
 
 
Comparando n1
��
 e n2
���
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
= = 
3 6 9
1 2 3
−
= =
−
 , isto é, 3 = 3 = 3
Os vetores são paralelos, logo, os planos são paralelos ou coincidentes.
Para decidir, devemos comparar também os valores de d1 e d2:
1 1 1 1
2 2 2 2
a b c d
a b c d
= = = 
3 6 9 15
1 2 3 5
−
= = =
−
 
3 = 3 = 3 = 3
Como todas as frações são iguais, temos planos coincidentes, isto é, p1 ≡ p2.
6) Determine o ângulo entre as retas r : X = (3, –2, 0) + α (–2, 3, 1) e s : X = (0, 0, 2) + α (1, 2, 2) .
O ângulo entre as retas é dado por:
r s
r s
|u u |
cos
u u
⋅
θ =
⋅
 
 
 
 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Pelo enunciado, temos:
sr
S (0,0,2)R (3, 2,0)
r : s :
u (1, 2, 2)u ( 2 , 3,1)
== −  
 
== −  

 
 
 
Inicialmente, vamos calcular o produto escalar e o módulo dos vetores diretores:
r su u ( 2, 3,1) (1, 2, 2) 2 6 2 6⋅ = − ⋅ = − + + =
 
 
r s|u u | 6 6⋅ = =
 ( ) ( )2 2 2ru 2, 3,1 2 3 1 14= − = − + + =

 
( ) 2 2 2su 1, 2,2 1 2 2 9 3= = + + = =

 
Substituindo na expressão:
cos
| |
cos ,
co
 
 
 
 
 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
u u
u u
r s
r s
��� ��
��� ��
6
14 3
0 5345
ss , , � �� � �0 5345 57 63o
7) Dê o ângulo entre a reta r: X = (1, 3, 1) + α (–3, 1, –3) e o plano p{–x –3y + 6 = 0.
Para saber o ângulo entre um plano e uma reta, devemos saber qual a posição dela em relação ao plano.
Devemos determinar o produto escalar entre o vetor diretor e o vetor normal.
Para a reta e o plano dados, temos:
( )
( )
( )
r
R 1,3,1
r : vetor normal n 1, 3, 0
u 3,1, 3
 = = − −
= − −


 
 
 
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Unidade III
Calculando o produto escalar:
( ) ( )ru n 3,1, 3 1, 3, 0⋅ = − − ⋅ − −

 
( ) ( ) ( )ru n 3 1 1 3 3 0⋅ = − ⋅ − + ⋅ − + ⋅

 
ur
��
 . u = 3 – 3 + 0
ur
��
 . u = 0
Logo, a reta está contida no plano ou é paralela ao plano e, nesse caso, θ = âng(r, p) = 0º ou 0 rad.
8) Defina o ângulo entre o plano p1{5x + 2y + z –10 = 0 e o plano p2{10x + 4y – z ‑ 20 = 0.
Vamos verificar se os vetores normais são paralelos ou não.
Para os planos dados, temos n1
��
 = (5, 2, 1) e n2
���
 = (10, 4, –1).
Comparando as coordenadas:
5
10
2
4
1
1
� �
�
Os vetores não são paralelos, logo, os planos são concorrentes, isto é, p1 ∩ p2 = r.
Nesse caso, o ângulo entre os planos é dado por
cos cos ,
| |
 
 
 
� � �� � �� � � �
�
âng
n n
n n
1 2
1 2
1 2
�� ���
��� ���
Calculando o produto escalar e os módulos:
1 2n n (5, 2,1) (10, 4, 1) 50 8 1 57⋅ = ⋅ − = + − =
 
 
r|u n | 57 57⋅ = =


 
2 2 2
1n ( 5, 2,1) 5 2 1 30= = + + =

 
( ) ( )22 22n 10 , 4, 1 10 4 1 117= − = + + − =

 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Substituindo na expressão, obtém‑se:
cos 
 
 
cos 
 7
30 . 117
�
�
�
�
�
� �
| |n n
n n
1 2
1 2
5
0
�� ���
�� ���
,,
,
9621
0 15 822cos ,9620 ng , 1� � � �� � � � � �â o
9) Calcule a distância entre as retas paralelas:
x 2 ‑ 3
r : y 2
z
= α
 = + α
 = α
 
 
 
 e s: X = (0, 0, –1) + α(–3, 1, 1)
Resolução:
Como as retas são paralelas, vamos calcular a distância entre elas determinando a distância entre Pr 
e a reta s.
Do enunciado, temos:
( )
( )
( )
( )
r s
r s
P 2, 2, 0 P 0, 0, 1
r : s :
u 3,1,1 u 3,1,1
 = = − 
 
= − = −  
 
 
 
 
Ps
Pr
r
s
d(r, s)
Figura 150 
Adotemos a seguinte expressão:
( ) ( ) r s sr
s
|P P u |
d r, s d P , s
| u |
∧
= =
 

 
 
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Unidade III
Você precisará calcular o produto vetorial de r s sP P e u
 
 e o módulo do vetor diretor de s.
Assim:
P P P P
u
r s s r
s
 
 
� ���
��
� � � �� � � � � � � � �� �0 0 1 2 2 0 2 2 1, , , , , ,
 
 
 
 
� �� � � � �
� � � � �
�
3 1 1 11
2 2 1
3 1 1
2 2 2
P P u
i j k
r s s
� ��� ��
� � �
 
 
� � �� �
� � �� � � �� � � �
1 5 8
1 5 8 1 52 2
, ,
‑ , ,P P ur s s
� ��� ��
��� � � �8 90 3 102 
Substituindo na expressão:
( ) ( ) r s sr
s
|P P u |
d r, s d P , s
| u |
∧
= =
 

 
 
( ) 3 10d d r, s 2,860
11
= = =
 
 
10) Determine a distância da reta 
x 3
r : y 2 2
z 1
= − α
 = + α
 = + α
 
 
 ao plano {x y z 3 0p + − + = .
Resolução:
Segundo os dados do enunciado, temos:
( ) ( )
( )
0 0 0
r
A x , y , z 3, 2,1
r
u 1, 2,1
 = =

= −

 
 
 
 e ( )
{ x y z 3 0
a 1, b 1, c 1 e d 3 n 1,1, 1
p + − + =
= = = − = = −

 
 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
p
n

ur
��
r // p
r
Figura 151 
Substituindo os dados na expressão:
( ) ( ) 0 0 0| ax by cz d |d r , d R ,
| n |
+ + +
p = p =

 
 
|1 3 1 2 1 1 3 |
d(r, ) d(R, )
| (1,1, 1) |
⋅ + ⋅ − ⋅ +
p = p =
−
 
 
( )
( )22 2
| 3 2 1 3 |
d(r, ) d R,
1 1 1
+ − +
p = p =
+ + −
 
 
( ) ( ) 7d r, d R,
3
p = p = 
 
( ) ( )d r, d R, 4,041p = p = 
 Resumo
Nesta unidade, estudamos posição relativa de retas e planos, distância e 
seções planas. Destacaremos a seguir os principais itens abordados.
Posição relativa
Reta/reta:
• ur
��
, us
��
 LI: retas concorrentes ou reversas;
• ur
��
, us
��
 LD: retas paralelas ou coincidentes.
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Unidade III
Reta/plano:
• ur
��
 ⊥ n

: reta contida no plano ou reta paralela ao plano;
• ur
��
, n

 não ortogonais: reta fura o plano.
Plano/plano:
• n1
��
 // n2
���
: planos paralelos ou coincidentes;
• n1
��
, n2
���
 não paralelos: planos transversais (p1 ∩ p2 = r).
Ângulos
Reta/reta: (retas concorrentes).
r s
r s
|u u |
cos
u u
⋅
θ =
⋅
 
 
 
 
 
 
Reta/plano:
• r // p ou r ⊂ p– θ = âng(r, p) = 0º
• r fura o plano sen
u n
u n
r
r
� �
�
�
�� �
�� �
Plano/plano:
• p1 // p2 ⇔ θ = âng(p1, p2) = 0º ou 0 rad
• p1 ∩ p2 = r, cos cos ng , 1 2� � �� � �� � � �
�
â
| |n n
n n
1 2
1 2
�� ���
�� ���
Distância
Ponto/ponto: d x x y y z z A, B) 2 2 2( ( ) ( ) ( )     2 1 2 1 2 1
Ponto/reta: d d A   r) | (A ‑ P ) u |
| u | 
r
r
( ,
� ��
� ��
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Reta/reta: d r s) d(P , s)
|P P u |
|u | r 
r s s
s
( ,   
� ���� ��
��
Ponto/plano: d(A, )
| x b y c z d |
| n | 
o o o    a

Reta/plano: d(r , ) d(R , )
| x b y + c z d |
| n | 
o o o    a

Plano/plano: d( , ) d(A , )
| x b y c z + d |
| n | 1
o o o  2 2 
 a

Seções cônicas: cônicas com centro na origem.
Parábola: d(P, F) = d(P, d)
Elipse: d(P, F1) + d(P, F2) = 2a
Equação reduzida: 
2 2
2 2
x y
1
a b
+ = 
 
 ou 
2 2
2 2
x y
1
b a
+ = 
 
Circunferência: x2 + y2 = r2
Hipérbole: |d (P, F1) – d(P, F2) | = 2a
Equação reduzida:
• 
2 2
2 2
x y
1
a b
− = 
 
, focos no eixo x;
• 
2 2
2 2
x y
1
a b
− + = 
 
, focos no eixo y.
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REFERÊNCIAS
Textuais
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1986.
BOULOS, P.; OLIVEIRA, I. C. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: Prentice Hall, 
2005.
BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1996.
GIRALDE, E. et al. Curso de álgebra linear e geometria analítica. Lisboa: McGrawHill, 1995.
KOLMAN, B. Introdução à álgebra linear: com aplicações. São Paulo: LTC, 2006.
MACHADO, A. S. Álgebra linear e geometria analítica. São Paulo: Atual, 1982.
STEINBRUCH, A. Álgebra linear e geometria analítica. São Paulo: Mcgraw‑hill do Brasil, 1987.
WINTERLE, P. Introdução à álgebra linear. São Paulo: Makron Books, 1990.
___. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2000.
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Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000