aula02 estatistica matemática

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PROFESSORA
PAULA KLEFENS
Bacharel em Matemática
Mestre em Estatística Agronômica
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
Aula 2
Princípio Fundamental 
da Contagem e Análise Combinatória
Medidas de Dispersão ou de Variabilidade:
São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o 
grau de variabilidade ou dispersão, dos valores 
em torno da média aritmética.
Considere os seguintes conjuntos:
A = {50, 50, 50, 50, 50}    
B = {48, 49, 50, 51, 52}    
C = {5, 10, 30, 50, 155}
MEDIDAS DE VARIABILIDADE
Note que a média de cada 
um desses conjuntos é a mesma:
MEDIDAS DE VARIABILIDADE
Mas note que o conjunto A é homogêneo, ou 
seja, não apresenta variabilidade;
Já os conjuntos B e C são mais heterogêneo em 
relação ao conjunto A, pois apresentam 
variabilidade.
Como medir essa variabilidade?
MEDIDAS DE VARIABILIDADE
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Variância populacional (2)  e amostral (s 2):
Esta medida tem difícil interpretação por 
apresentar a sua unidade de medida igual ao 
quadrado da unidade de medida dos dados.
MEDIDAS DE VARIABILIDADE
Desvio Padrão populacional () e amostral (s):
É a raiz quadrada da variância. Use a mesma 
unidade de medida dos dados fornecidos 
inicialmente.
MEDIDAS DE VARIABILIDADE
Coeficiente de variação (CV):
É adimensional, isto é, sem unidade de medida, 
podendo ser expresso em termos decimais ou 
percentuais.
CV < 20% = O conjunto de dados é considerado 
Homogêneo.
CV > 20% = O conjunto de dados é considerado 
Heterogêneo.
MEDIDAS DE VARIABILIDADE Exemplo:Calcule a variância amostral
para o conjunto de dados B do 
exemplo anterior:
B = {48, 49, 50, 51, 52}. 
(Média = 50)
xi
48
49
50
51
52
Resolução:
Já sabemos que a média do conjunto B é 50.
Portanto, esse conjunto 
de dados varia 2,5 unidades2
xi (xi‐média) (xi‐média)2 (xi‐média)2*fi
48 ‐2 4 4
49 ‐1 1 1
50 0 0 0
51 1 1 1
52 2 4 4
Total 10
Software EXCEL:
Variância Amostral (s2)  
=VAR.A(5;7;8;9;11)
Desvio Padrão Amostral (s)  
=DESVPAD.A(5;7;8;9;11)
Variância Populacional (2)  
=VAR.P(5;7;8;9;11)
Desvio Padrão Populacional () 
=DESVPAD.P(5;7;8;9;11)
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O coeficiente de variação (CV), além de mostrar a 
variabilidade do conjunto de dados, por ser dado 
também em porcentagem, nos permite comparar 
conjuntos de dados diferentes.
MEDIDAS DE VARIABILIDADE
Exemplo:
Tomemos os resultados das estaturas e dos pesos 
de um mesmo grupo de indivíduos:
Variável estatura: 
Variável peso:
MEDIDAS DE VARIABILIDADE
Discriminação  Média  Desvio padrão
Estatura 175cm 5,0 cm
pesos 68 kg 1,5 kg
Variável estatura: Variável peso: 
Portanto, entre os dois conjuntos estudados, o 
conjunto da variável estatura apresentou maior 
variabilidade, apesar de ambas indicarem 
heterogeneidade no conjunto de dados
MEDIDAS DE VARIABILIDADE
PERGUNTAS
É um princípio combinatório 
que indica de quantas formas 
se pode escolher um elemento 
de cada um de n conjuntos 
finitos.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL 
DA CONTAGEM
Princípio Fundamental da Contagem é o mesmo 
que a Regra do Produto, um princípio 
combinatório que indica quantas vezes e as 
diferentes formas que um acontecimento pode 
ocorrer.
O acontecimento é formado por dois estágios 
caracterizados como sucessivos e independentes:
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL 
DA CONTAGEM
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Ou seja, se uma ação é composta de duas etapas 
sucessivas, sendo que a primeira pode ser feita de 
m modos e, para cada um destes, a segunda pode 
ser feita de n modos, então o número de modos de 
se realizar a ação é m∙n.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL 
DA CONTAGEM
IMPORTANTE LEMBRAR:
Método Aditivo: 
Para a escolha de um elemento de A ou um 
elemento de B, existem (m + n) possibilidades;
Método Multiplicativo: 
Para a escolha de um elemento de A e um 
elemento de B existem (m x p) possibilidades.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL 
DA CONTAGEM
Exemplo:
Para ir de uma cidade A até 
uma cidade B, existem dois 
percursos, passando pela 
cidade C ou pela cidade D. 
Os caminhos possíveis estão 
indicados no esquema que segue. Quantas são as 
possibilidades de sair da cidade A e chegar à 
cidade B? 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL 
DA CONTAGEM
Note que temos que levar em 
conta cada caminho 
separadamente.
Para ir de A até B, passando 
por C, existem: 
3 possibilidades de A ate´ C 
e 5 possibilidades de C até B, resultando assim 
em 3 x 5 = 15 caminhos diferentes.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL 
DA CONTAGEM
Já, para ir de A até B, 
passando por D, existem: 
5 possibilidades de A até D, 
e 2 possibilidades de D até B. 
Sendo assim, resulta em 
5 x 2 = 10 caminhos diferentes.
Assim, existem 15 + 10 = 25 caminhos diferentes 
de A até B.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL 
DA CONTAGEM
Método Fatorial de contagem:
Representado por n!, o fatorial é o produto dos 
números naturais começando por n e 
decrescendo até o número 1.
Esse método admite apenas um único 
agrupamento.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL 
DA CONTAGEM
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Por definição tanto o 0!  como o 1! são iguais a 1, 
ou seja, 
Para n = 0, temos 0! = 1
Para n = 1, temos 1! = 1
Já para n ≥ 2, temos n! = n . (n – 1).(n – 2). ... .2.1, 
ou seja, é o produto dos n fatores decrescendo 
até o número 1.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL 
DA CONTAGEM
Exemplo:
1) 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
2) 2! = 2 . 1 = 2 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL 
DA CONTAGEM
Podemos escrever:
N! = n(n – 1)
15! = 15 ● 13!
PARA REFLETIR
2) Simplifique a expressão:
a) .
b) .
ATIVIDADE  EM  SALA
Análise Combinatória é um conjunto de 
procedimentos que possibilita a construção de 
grupos diferentes formados por um número finito 
de elementos de um conjunto sob certas 
circunstâncias.
Os principais tipos de agrupamentos, sendo que 
eles podem ser simples ou com repetição são:
ANÁLISE COMBINATÓRIA
ANÁLISE COMBINATÓRIA
ANÁLISE COMBINATÓRIA
ARRANJO
Trabalha‐se 
com alguns 
elementos;
Ordem 
importa.
COMBINAÇÃO
Trabalha‐se 
com alguns 
elementos;
Ordem não 
importa.
PERMUTAÇÃO
Trabalha‐se 
com todos 
elementos
ARRANJO SIMPLES
Dado um conjunto A com n elementos, 
chamamos de arranjos simples dos n elementos, 
tomados p a p, cada um dos agrupamentos 
ordenados que podem ser formados contendo, 
sem repetição, p elementos de A.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
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Exemplo:
De quantas maneiras Antônio (A), Benedito (B) e 
Carlos (C) podem ocupar os cargos de presidente 
e vice‐presidente de um grêmio estudantil?
Resolução:
Devemos fazer o arranjo de 3 pessoas (n=3), para 
duas vagas (p = 2). Logo:
ANÁLISE COMBINATÓRIA
ARRANJO COM ELEMENTO REPETIDO
Consideremos A um conjunto com n elementos. 
Os arranjos dos n elementos de A, tomados p a p 
é qualquer agrupamento de p elementos.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Exemplo:
Quantos números de 2 algarismos podemos 
formar com os algarismos1; 2; 3?
Resolução:
Esquematizando o número de arranjos com 
repetição de elementos teremos: {11, 12, 13, 21, 
22, 23, 31, 32, 33} = 9 números diferentes.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
3) Em uma escola está sendo 
realizado um torneio de 
futebol de salão, no qual 
dez times estão participando. 
Quantos jogos podem ser 
realizados entre os times 
participantes em turno 
e returno?
ATIVIDADE  EM  SALA
DANTE, L. R. Matemática Contextos e Aplicações –
volume único. 3ª ed. São Paulo: Editora Atica. 2009.
FERNANDES et. Al. Estatística e Probabilidade. Londrina: 
Editora e Distribuidora Educacional S. A., 2014
MELLO, M.P., SANTOS, J.P.O.S., MURARI, I.T.C. Introdução à 
Análise Combinatória. 2ª ed. Ciência Moderna. 2008
MORGADO A., CARVALHO P. C. E FERNANDEZ P. Análise 
Combinatória e Probabilidade. SBM, 2004.
REFEÊNCIAS
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no Sistema de Ensino Presencial Conectado.