Limites infinitos e no infinito Aula 03

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Curso de Matema´tica 1
Aula 03 - Limites infinitos e no infinito
Objetivos da aula:
Entender o conceito de limite infinito
Entender o conceito de limite no infinito
Identificar ass´ıntotas verticais e horizontais
Pressa˜o de ga´s em um pista˜o
Um ga´s e´ mantido a uma temperatura constante em um pista˜o.
Suponha que o seu volume seja dado, em func¸a˜o da pressa˜o, por
V (p) = 200p e que queremos estudar o comportamento de V
quando p esta´ pro´ximo de zero, isto e´, lim
p→0+
200
p .
So´ faz sentido tomar o limite lateral pela direita, pois a
func¸a˜o na˜o esta´ definida para valores negativos de p.
Na˜o podemos simplesmente substituir o valor p = 0, pois isso
anularia o denominador.
A expressa˜o 200p na˜o sugere nenhum tipo de fatorac¸a˜o ou
simplificac¸a˜o que nos permita contornar o fato do
denominador aproximar-se de zero.
O volume de um ga´s em um pista˜o
Dado qualquer M > 0, temos que
p <
200
M
⇒ V (p) = 200
p
> M.
Isso mostra que os valores V (p) ficam cada vez maiores a` medida
que p fica perto de 0.
Escrevemos enta˜o
lim
p→0+
V (p) = lim
p→0+
200
p
= +∞.
Limite infinito
Suponha que uma func¸a˜o f esta´ definida em um intervalo aberto
contendo a, exceto possivelmente em x = a. Escrevemos
lim
x→a f (x) = +∞,
quando os valores f (x) se tornam cada vez maiores a` medida que
x se aproxima a.
A expressa˜o acima deve ser lida da seguinte maneira: o limite de
f (x), quando x tende para a, e´ mais infinito.
Limite infinito
De maneira ana´loga, podemos definir
lim
x→a f (x) = −∞, limx→a− f (x) = +∞, limx→a+ f (x) = −∞,
lim
x→a−
f (x) = −∞, lim
x→a−
f (x) = +∞.
Quando escrevemos lim
x→a f (x) = +∞ na˜o estamos falando que o
limite existe pois, para que ele exista, a func¸a˜o deve se aproximar
de um nu´mero quando x → a. O que ocorre neste caso e´ que o
limite na˜o existe mas, apesar disso, sabemos que a func¸a˜o assume
valores muito grandes quando x esta´ pro´ximo de a.
Exemplo 1
Para a func¸a˜o f ao lado temos
que
lim
x→1+
f (x) = −∞,
lim
x→7−
f (x) = −∞
lim
x→7+
f (x) = +∞.
1 7
2
Ass´ıntota vertical
Dizemos que reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico de
f (x) quando um dos limites laterais no ponto x = a e´ igual a +∞
ou −∞.
As retas x = 1 e x = 7 sa˜o ass´ıntotas
verticais de func¸a˜o f ao lado. Ainda
que lim
x→1−
f (x) = 2, a reta x = 1 e´
uma ass´ıntota vertical, pois o limite
pela direita em x = 1 e´ −∞.
1 7
2
Exemplo 2
Para a func¸a˜o V (p) do volume do ga´s temos que
lim
p→0+
V (p) = lim
p→0+
200
p
= +∞,
de modo que a reta p = 0 e´ uma ass´ıntota vertical.
Geometricamente, o que
acontece e´ que o gra´fico da
func¸a˜o se aproxima da reta
p = 0 quando p → 0+.
100
2
Denominadores que se aproximam de zero
Suponha que lim
x→a f (x) = L e limx→a g(x) = M. Se M 6= 0 sabemos
que lim
x→a
f (x)
g(x) =
L
M . Se M = 0 temos duas possibilidades:
se L = 0 ocorre uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0 e o ca´lculo
do limite exige algum tipo de manipulac¸a˜o alge´brica.
se L 6= 0 temos uma ass´ıntota vertical se o denominador tem
sinal definido nas proximidades de x = a. Quando isto ocorre,
temos que estudar o sinal de g(x) nas proximidades de x = a
para determinar se o limite e´ +∞ ou −∞.
Exemplo 3
Vamos estudar a func¸a˜o
f (x) =
x2 + x − 3
1− x .
Quando x → 1−, o numerador se aproxima de 12 + 1− 3 = −1 < 0
e o denominador vai para 0 por valores valores positivos, pois
x < 1. Deste modo, a frac¸a˜o e´ negativa e temos que
lim
x→1−
x2 + x − 3
1− x = −∞.
Por outro lado, quando x → 1+, o denominador vai para 0 por
valores negativos, de modo que
lim
x→1+
x2 + x − 3
1− x = +∞.
Um exemplo curioso
Pode ocorrer de, quando x → a, o numerador se aproximar de um
nu´mero na˜o nulo, o denominador se aproximar de 0 e mesmo assim
na˜o termos uma ass´ıntota vertical em x = a. Um exemplo e´ a
func¸a˜o
f (x) =
1
x2 cos( 1x )
.
Quando x → 0, o denominador se aproxima de 0. Mas o seu sinal
fica oscilando entre negativo e positivo, por causa do termo que
envolve o cosseno. Deste modo, a func¸a˜o assume valores que, em
mo´dulo, va˜o ficando muito grandes, mas o seu sinal oscila entre
negativo e positivo.
Observac¸a˜o importante
Nos exemplos anteriores obtivemos ass´ıntotas verticais do tipo
x = a quando o denominador se anulava neste ponto. Pore´m,
esteja atento a um fato:
ATENC¸A˜O
Encontrar ass´ıntotas verticais na˜o e´ o mesmo que igualar o
denominador de uma frac¸a˜o a zero! Ao encontramos os zeros do
denominador estamos encontrando somente os candidatos a`
ass´ıntotas. E´ necessa´rio checar se, de fato, algum dos limites
laterais naquele ponto e´ infinito.
Exemplo 4
O denominador da func¸a˜o
g(x) =
x + 1
x2 − x − 2
se anula para x = −1 e x = 2. Logo, temos dois candidatos a`
ass´ıntotas verticais. Para o primero, temos que
lim
x→−1
g(x) = lim
x→−1
x + 1
x2 − x − 2 = limx→−1
(x + 1)
(x − 2)(x + 1) = −
1
3
,
de modo que x = −1 na˜o e´ ass´ıntota vertical! Por outro lado,
lim
x→2±
g(x) = lim
x→2±
1
(x − 2) = ±∞,
e portanto x = 2 e´ ass´ıntota vertical.
A concentrac¸a˜o de medicamento no sangue
Suponha que a concentrac¸a˜o de medicamento no sangue de um
paciente seja dada pela func¸a˜o
C (t) =
3t
2t2 + 8
, t ≥ 0,
apo´s t ≥ 0 horas de aplicac¸a˜o da medicac¸a˜o.
O que acontece com esta concentrac¸a˜o para valores grandes de t?
Se na˜o ha´ nova aplicac¸a˜o de medicamento, e´ natural imaginar que,
com o passar do tempo, a concentrac¸a˜o deve diminuir, se
aproximando cada vez mais de 0.
A concentrac¸a˜o de medicamento no sangue
Isto pode ser mais bem compreendido a partir da igualdade abaixo:
C (t) =
3t
2t2 + 8
=
t2 · 3t
t2
(
2 + 8
t2
) = 3t
2 + 8
t2
.
Note que, quando t cresce, o termo
3/t vai se aproximando de zero, o
mesmo ocorrendo com 8/t2. Deste
modo, a frac¸a˜o se aproxima de
0
2 + 0
= 0.
Escrevemos enta˜o
lim
t→+∞C (t) = 0.
2
0.1
0.2
0.3
0.4
Limite no infinito
Suponha que uma func¸a˜o f esta´ definida em um intervalo do tipo
(b,+∞) e considere L ∈ R. Escrevemos
lim
x→+∞ f (x) = L,
quando os valores f (x) se aproximam de L a` medida em que x se
torna cada vez maior.
A expressa˜o acima deve ser lida da seguinte maneira: o limite de
f (x), quando x tende para infinito, e´ igual a L.
De maneira ana´loga, podemos definir
lim
x→−∞ f (x) = L.
Ass´ıntota horizontal
Dizemos que a reta y = L e´ uma ass´ıntota horizontal do gra´fico
de f (x) quando
lim
x→−∞ f (x) = L ou limx→+∞ f (x) = L
As retas y = 1 e y = 0 sa˜o ass´ıntotas
horizontais de func¸a˜o f ao lado, pois
lim
x→−∞ f (x) = 1
e
lim
x→+∞ f (x) = 0.
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1
Exemplo 5
A reta y = 0 e´ uma ass´ıntora horizontal da func¸a˜o
C (t) =
3t
2t2 + 8
, t ≥ 0,
pois lim
t→+∞C (t) = 0. Note que, neste caso, na˜o tem sentido tentar
calcular lim
t→−∞C (t), pois o dom´ınio e´ [0,+∞).
Do ponto de vista geome´trico, o que
ocorre e´ que o gra´fico da func¸a˜o vai
se aproximando da reta y = 0 quando
t vai ficando grande.
5 10 15 20 25 30
0.1
0.2
0.3
0.4
Exemplo 6
Retomando o volume do ga´s, suponha que, ao atingir a pressa˜o
cr´ıtica de 100 torr, o ga´s se liquidifica, havendo nesse momento
uma variac¸a˜o brusca de volume. Em seguida, o seu volume passa a
ser dado pela func¸a˜o V (p) = −0, 01p + 2, ate´ que seja atingida a
nova pressa˜o cr´ıtica de 150 torr, a partir da qual o volume
permanece constante e igual a 0, 5 litro.
Deste modo, a func¸a˜o volume a´ agora dada por
V (p) =

200
p , se 0 < p ≤ 100,
−0, 01p + 2, se 100 < p ≤ 150,
1
2 , se 150 < p.
Exemplo 6
A ass´ıntota vertival permance a mesma de antes.Para estudar as
ass´ıntoas horizontais, temos que calcular
lim
p→+∞V (p) = limp→+∞
1
2
=
1
2
,
e portanto a reta y = 1/2 e´ uma ass´ıntota horizontal.
No ca´lculo do limite acima, usamos
somente a expressa˜o de V (p) que vale
para p > 150, pois estamos interessa-
dos em saber o que ocorre com V (p)
quando p e´ grande.
100 150
1
2
Um exemplo importante
Se n ∈ N, enta˜o
lim
x→+∞
1
xn
= 0.
Para verificar isso, suponha que queiramos que |x−n| < ε. Para
x > 0, uma conta simples mostra que
|x−n| = 1
xn
< ε ⇐⇒ x > ε−1/n.
De uma maneira geral, temos que
Se a ∈ R e n ∈ N, enta˜o
lim
x→+∞
a
xn
= 0 = lim
x→−∞
a
xn
.
Exemplo 7
Temos que
lim
x→±∞
4x3 − 3x + 1
2x3 + x2
= lim
x→±∞
x3(4− 3
x2
+ 1
x3
)
x3(2 + 1x )
= lim
x→±∞
(4− 3
x2
+ 1
x3
)
(2 + 1x )
=
4− 0 + 0
2 + 0
= 2.
Ocorre que, quando |x | e´ grande, o termo 4x3 do numerador fica
muito maior (em mo´dulo), do que os outros termos. Da mesma
forma, no demoninador, o termo dominante e´ 2x3. Logo, quando
|x | cresce, a frac¸a˜o se comporta como 4x3
2x3
= 2.
Exemplo 8
Temos que
lim
x→+∞
x +
√
x
x2 − 9 = limx→+∞
x2( 1x +
1
x3/2
)
x2(1− 9
x2
)
= lim
x→+∞
( 1x +
1
x3/2
)
(1− 9
x2
)
=
0 + 0
1− 0 = 0.
Como no exemplo anterior, podemos identificar aqui o termo
dominante do numerador e denominador. Quando x e´ grande, a
frac¸a˜o se comporta como x
x2
= 1x → 0, quando x → +∞. Por isso
o limite e´ igual a zero.
Neste exemplo na˜o tem sentido fazer x → −∞, por conta do
termo
√
x .
Propriedades do limite no infinito
Teorema
Se
lim
x→±∞ f (x) = L, limx→±∞ g(x) = M,
enta˜o
1 lim
x→±∞[f (x) + g(x)] = L + M;
2 lim
x→±∞[f (x)− g(x)] = L−M;
3 lim
x→±∞[f (x) · g(x)] = L ·M;
4 lim
x→±∞
[
f (x)
g(x)
]
=
L
M
, desde que M 6= 0;
5 lim
x→±∞
n
√
f (x) = n
√
L, desde que L > 0 se n for par.
Exemplo 9 (cuidado com a intuic¸a˜o)
Vamos calcular o limite
lim
x→+∞(
√
x2 + x − x).
Veja que o termo que envolve o radical fica muito grande, o
mesmo ocorrendo com o termo x que esta´ sendo subtra´ıdo.
Dizemos enta˜o que temos uma indeterminac¸a˜o do tipo ∞−∞.
Poder´ıamos pensar que, quando x e´ grande, o termo
√
x2 + x se
comporta como
√
x2 = x , de modo que o limite deveria ser igual a
zero. Mas temos que tomar cuidado!
Exemplo 9 (cuidado com a intuic¸a˜o)
Observe que
(
√
x2 + x−x) = (
√
x2 + x−x)(
√
x2 + x + x)
(
√
x2 + x + x)
=
x√
x2
(
1 + 1x
)
+ x
Como podemos supor que x > 0, temos
√
x2 = |x | = x . Assim,
lim
x→+∞(
√
x2 + x − x) = lim
x→+∞
x
x
√
1 + 1x + x
= lim
x→+∞
1√
1 + 1x + 1
=
1
2
.
Limite infinito no infinito
Em algumas situac¸o˜es temos que considerar limites infinitos no
infinito, como no exemplo abaixo:
lim
x→+∞
−x2 − x − 2
3x + 1
= lim
x→+∞
x2(−1− 1x − 2x2 )
x(3 + 1x )
= lim
x→+∞ x
[
−1− 1x − 2x2
3 + 1x
]
= −∞,
pois termo entre colchetes se aproxima de −1/3 < 0 e x > 0 fica
cada vez maior. De maneira ana´loga, temos que
lim
x→−∞
−x2 − x − 2
−3x + 1 = limx→−∞ x
[
−1− 1x − 2x2
3 + 1x
]
= +∞.