Notas de aula Física III (prof. Elvis)

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2-Lei_de_Gauss.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro | Instituto de Física
Física III | 2014/2
Cap. 2 - Lei de Gauss
Prof. Elvis Soares
Nesse capítulo, descreveremos a Lei de Gauss e um procedimento alternativo para cálculo de
campos elétricos a partir dessa lei.
1 Fluxo Elétrico
O fluxo do campo elétrico é proporcional ao número de linhas de campo que passam por uma
dada superfície.
Consideremos uma superfície qualquer divida em um número muito grande de elementos de
área que são suficientemente pequenos, de área dA, onde o campo elétrico é uniforme uma
vez que o elemento de superfície é suficientemente pequeno. Desta forma, o fluxo elétrico dΦE
através desse elemento de área é
dΦE = EdA
Se a superfície em consideração não é perpendicular ao campo, o fluxo através dela pode mudar.
É fácil entender pela figura a seguir, onde a normal à superfície dA2 faz um ângulo θ com o
campo elétrico, enquanto a normal à superfície dA1 é paralela a ele.
Porém, o número de linhas de campo que atravessam a superfície dA1 é o mesmo que atravessam
a superfície dA2, uma vez que dA1 = dA2 cos θ é a projeção da superfície dA2, nesse caso. Então,
o fluxo elétrico sobre as duas superfícies é igual nesse caso a
Prof. Elvis Soares 1 Fluxo Elétrico
dΦE = ~E · nˆ1dA1 = ~E · nˆ2dA2 ≡ ~E · d ~A
Se quisermos calcular o fluxo elétrico sobre uma superfície, devemos calcular a soma do fluxo
de cada elemento de superfície infinitesimal, conforme a figura. Sendo assim, o fluxo elétrico se
reduz a integral
ΦE =
∫
~E · d ~A (1)
que é uma integral feita sobre a superfície desejada, ou seja, ela depende do campo elétrico e
da forma da superfície em questão.
2
1 Fluxo Elétrico Prof. Elvis Soares
Exemplo: Fluxo através do Cubo
Consideremos um campo elétrico uniforme ~E orientado ao longo da direção x positivo. Vamos
calcular o fluxo elétrico total através da superfície de um cubo de arestas l, como mostra a
figura.
O fluxo total é a soma dos fluxos através de
todas superfícies do cubo. Primeiramente, no-
tamos que o fluxo através das faces 3©, 4© e
daquelas não numeradas é zero pois ~E é per-
pendicular a d ~A nessas faces.
O fluxo através das faces 1© e 2© é
ΦE =
∫
1
~E · d ~A+
∫
2
~E · d ~A
Na face 1©, ~E é constante e tem a direção oposta ao vetor d ~A1, de modo que o fluxo sobre essa
face é ∫
1
~E · d ~A =
∫
1
(Exˆ) · (−xˆdA1) = −E
∫
1
dA1 = −El2
Na face 2©, ~E é constante e tem a mesma direção do vetor d ~A2, de modo que o fluxo sobre
essa face é ∫
2
~E · d ~A =
∫
2
(Exˆ) · (xˆdA2) = E
∫
2
dA2 = El
2
Portanto, o fluxo total sobre a superfície do cubo é
ΦE = −El2 + El2 + 0 + 0 + 0 + 0
ΦE = 0
3
Prof. Elvis Soares 2 Lei de Gauss
Exemplo: Fluxo através da Esfera devido a uma Carga
Consideremos uma carga puntiforme positiva q localizada no centro de uma esfera de raio R,
como mostra a figura.
+
O fluxo total através da superfície da esfera deve
ser calculado como
ΦE =
∮
~E · d ~A
onde o elemento de área da esfera é d ~A = rˆdA,
de modo que o fluxo através da esfera é
ΦE =
∮ (
k
q
R2
rˆ
)
· (rˆdA) = k q
R2
(4piR2)
Lembrando que k = 1/4pi�0, podemos escrever o fluxo através da esfera como
ΦE =
q
�0
Notamos que o fluxo total através da superfície da esfera é proporcional a carga interna. O
fluxo é independente do raio R porque a área da superfície da esfera é proporcional a R2 e, o
campo elétrico é proporcional a 1/R2. Então, o produto da área pelo campo elétrico independe
do raio R.
2 Lei de Gauss
Vamos considerar algumas superfícies fechadas em volta de uma carga q, conforme a figura. A
superfície A1 é esférica, mas as superfícies A2 e A3 não são.
Pelo exemplo anterior, o fluxo que passa através da superfície A1 é q/�0. Como discutido
anteriormente, o fluxo é proporcional ao número de linhas de campo elétrico que passam através
da superfície. E da figura vemos que o número de linhas que passam através de A1 é igual ao
4
2 Lei de Gauss Prof. Elvis Soares
número de linhas que passam pelas superfícies não-esféricas A2 e A3. Portanto, concluímos que
o fluxo total através de qualquer superfície fechada envolta de uma carga q é dado por q/�0 e é
independente da forma dessa superfície.
Agora, vamos considerar uma carga localizada fora de uma superfície de forma arbitrária,
conforme a figura.
Como podemos ver, qualquer linha de campo que entra na superfície sai da mesma por outro
ponto. O número de linhas de campo entrando na superfície é igual ao número deixando a
superfície. Portanto, concluímos que o fluxo total através de uma superfície fechada que não
engloba nenhuma carga é zero.
Consideremos agora o sistema de cargas e superfícies conforme a figura a seguir.
A superfície S engloba somente uma carga, q1; assim, o fluxo total através de S é q1/�0. O
fluxo através de S devido às cargas q2, q3, e q4 fora dela é zero pois cadas linha de campo que
entra em S num ponto sai da superfície por outro ponto. A superfície S ′ engloba as cargas q2
e q3; assim, o fluxo total através dela é (q2 + q3)/�0. E finalmente, o fluxo total através de S ′′
é zero pois não há nenhuma carga no interior da superfície. Isso é, todas as linhas de campo
que entram em S ′′ por um ponto saem dela em outros pontos. Notemos que a carga q4 não
contribui para o fluxo em nenhuma superfície porque ela está fora de todas as superfícies.
Assim, a Lei de Gauss, que é a generalização do que descrevemos aqui, estabelece que o fluxo
total sobre qualquer superfície fechada é
5
Prof. Elvis Soares 3 Aplicações da Lei de Gauss
ΦE =
∮
~E · d ~A = Qint
�0
(2)
onde Qint representa a carga total no interior da superfície e ~E representa o campo elétrico em
qualquer ponto na superfície.
3 Aplicações da Lei de Gauss
A lei de Gauss é útil para determinar campos elétricos de distribuições de cargas com alto grau
de simetria.
A idéia é escolher uma superfície gaussiana que satisfaz uma ou mais condições a seguir:
1. O valor do campo elétrico pode ser constante sobre a superfície devido à simetria.
2. O produto escalar ~E · d ~A é zero porque ~E e d ~A são perpencilares, enquanto ~E · d ~A é
±EdA pois ~E e d ~A são paralelos.
3. O campo pode ser zero sobre a superfície.
Essas condições serão usadas nos exemplos a seguir.
6
3 Aplicações da Lei de Gauss Prof. Elvis Soares
Exemplo: Campo Elétrico de uma Carga Puntiforme
Vamos determinar o campo elétrico de uma carga puntiforme q a partir da Lei de Gauss.
+
Como o espaço em volta da carga tem sime-
tria esférica, essa simetria nos diz que o campo
elétrico deve ser radial apenas, de forma que
escrevemos
~E = E(r)rˆ
Escolheremos uma superfície gaussiana que satisfaça algumas das propriedades listadas acima,
e a melhor opção parece ser uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na carga
puntiforme, conforme figura. Com isso, podemos escrever o fluxo do campo elétrico como
ΦE =
∮
~E · d ~A =
∮
E(r)dA =
q
�0
onde usamos o fato que o campo elétrico é normal à superfície gaussiana. Além disso, o campo
elétrico possui a mesma intensidade em todos os pontos da superfície esférica, devido à distância
ser a mesma em todos os pontos, de modo que∮
E(r)dA = E(r)
∮
dA = E(r)(4pir2) =
q
�0
e assim
E(r) =
q
4pi�0r2
= k
q
r2
Obs: Se a carga não estivesse no centro da esfera, a lei de Gauss permaneceria válida, mas
não haveria simetria suficiente para determinar o campo elétrico, pois a intensidade do campo
elétrico iria variar ao longo da superfície gaussiana.
7
Prof. Elvis Soares 3 Aplicações
da Lei de Gauss
Exemplo: Campo Elétrico de uma Esfera Carregada Uniformemente
Vamos determinar o campo elétrico de uma esfera isolante de raio a e carregada uniformemnte
com uma carga Q.
Como a distribuição de cargas é esfericamente simétrica, sabemos que o campo deve ser radial
para fora
~E = E(r)rˆ
e que a superfície gaussiana deve ser uma superfície esférica, conforme as figuras abaixo.
No caso em que r > a, conforme figura (a) e do exemplo anterior, sabemos que
ΦE =
∮
E(r)dA = E(r)
∮
dA = E(r)(4pir2) =
Q
�0
cujo resultado é
E(r > a) = k
Q
r2
No caso em que r < a, conforme figura (b), o fluxo do campo elétrico deve ser
ΦE =
∮
E(r)dA = E(r)
∮
dA = E(r)(4pir2) =
Qint
�0
porém, nesse caso, a carga interna à superfície gaussiana é dada a partir da densidade de carga
da esfera ρ = Q/4
3
pia3 na forma
Qint = ρ
(
4
3
pir3
)
= Q
r3
a3
que juntos resultam em
E(r < a) = k
Q
a3
r
8
3 Aplicações da Lei de Gauss Prof. Elvis Soares
Sendo assim, o campo elétrico dentro e fora da
esfera tem formas diferentes e podemos analisá-
los na forma de um gráfico.
E(r) =
{
k Q
a3
r se r < a
k Q
r2
se r > a
Exemplo: Campo Elétrico de um Fio Infinito Carregado Uniformemente
Vamos determinar o campo elétrico de um fio delgado infinito e isolante carregado uniforme-
mente com uma densidade de carga linear λ.
+
+
+
+
+
+
Como a distribuição de cargas é cilindricamente si-
métrica, sabemos que o campo deve ser radial cilín-
drico para fora, conforme a figura (b)
~E = E(s)sˆ
e que a superfície gaussiana deve ser uma superfície
cilíndrica, conforme a figura (a).
Usando a Lei de Gauss, sabemos que o fluxo do
campo elétrico através da superfície gaussiana é pro-
porcional à carga interna à gaussiana
ΦE =
∮
~E · d ~A = E(s)
∫
dA = E(s)(2pisl) =
λl
�0
onde usamos o fato que o campo elétrico ~E é per-
pendicular aos vetores d ~A nas superfícies da tampa
e do fundo do cilindro, de modo que o resultado é
E(s) =
λ
2pi�0s
Assim, o campo elétrico de uma distribuição de car-
gas com simetria cilíndrica cai com 1/r enquanto que
o de uma distribuição com simetria esférica cai com
1/r2. Tal campo foi encontrado no exemplo do fio
carregado, no capítulo anterior, no limite em que o
fio é infinito.
Obs: Se o fio fosse finito, não poderíamos afirmar que na borda desse fio o campo teria a forma
~E = E(s)sˆ. Na verdade, apareceriam componentes do campo que são parelelas ao fio.
9
Prof. Elvis Soares 4 Cargas em Condutores
Exemplo: Campo Elétrico de um Plano Infinito Carregado Uniformemente
Vamos determinar o campo elétrico de um plano delgado infinito e isolante carregado unifor-
memente com uma densidade de carga superficial σ.
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+
Como a distribuição de cargas tem simetria planar,
ou seja, simetria na forma de um plano, sabemos que
o campo deve ser perpendicular à superfície
~E = E(n)nˆ
e que a superfície gaussiana pode ser uma superfície
cilíndrica, conforme a figura.
Usando a Lei de Gauss, sabemos que o fluxo do campo elétrico através da superfície gaussiana
é proporcional à carga interna à gaussiana
ΦE =
∮
~E · d ~A = E(n)
∫
dA = 2E(n)A =
σA
�0
onde usamos o fato que o campo elétrico ~E é perpendicular aos vetores d ~A na lateral do cilindro
e somente há fluxo nas tampas do cilindro, de modo que o resultado é
E(n) =
σ
2�0
Assim, o campo elétrico de uma distribuição de cargas plana infinita independe da distância
ao plano. Tal campo foi encontrado no exemplo do disco carregado, no capítulo anterior, no
limite em que o disco é infinito.
4 Cargas em Condutores
Como vimos no capítulo anterior, um bom condutor elétrico contem cargas (elétrons) que não
estão ligados aos átomos e portanto estão livres para se moverem dentro do material.
Quando não há nenhum movimento
Um condutor em equilíbrio eletrostático tem as seguintes propriedades:
1. O campo elétrico é zero em qualquer lugar no interior do condutor.
2. Se um condutor isolado está carregado, sua carga reside na superfície.
3. O campo elétrico no exterior muito próximo do condutor é perpendicular à superfície e
de módulo σ/�0.
4. Num condutor de forma irregular, a densidade de carga σ é maior onde menor for o raio
de curvatura da superfície.
10
4 Cargas em Condutores Prof. Elvis Soares
Vamos verificar as primeiras três propriedades a seguir, e a quarta propriedade é apresentada
aqui apenas para completar a lista de propriedades de um condutor em equilíbrio eletrostático,
mas será verificada apenas no capítulo seguinte.
Primeira propriedade: Vamos considerar uma chapa condutora imersa num campo elétrico
externo ~E.
+
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
O campo elétrico dentro do condutor deve ser
zero sobre a hipótese que estamos em equilíbrio
eletrostático. Se o campo não fosse zero, os elétrons
livres experimentariam uma força elétrica e iriam
acelerar devido a essa força. Esse movimento dos
elétrons, contudo, significaria que o condutor não
está em equilíbrio eletrostática.
Assim, a existência do equilíbrio eletrostático é con-
sistente apenas com o campo zero no condutor.
Segunda propriedade: Vamos considerar um condutor de forma arbitrária. Uma superfície
gaussiana é desenhada dentro do condutor e pode estar próxima da superfície do condutor o
quanto quisermos.
Como já mostramos, o campo elétrico no interior do
condutor deve ser nulo quando está em equilíbrio
eletrostático. Portanto, o campo elétrico deve ser
nulo em todos os pontos da gaussiana, de modo que
o fluxo total sobre essa superfície deve ser nulo. E
pela Lei de Gauss, concluímos que a carga total no
interior da gaussiana é zero.
Assim, como a carga total dentro do condutor deve
ser nula, a carga total no condutor reside na sua su-
perfície.
Terceira propriedade: Vamos usar a lei de Gauss para mostrar essa propriedade. Notamos
que se o campo elétrico ~E tiver componente paralela à superfície do condutor, elétrons livres
sofrerão força e estarão postos a se mover ao longo da superfície, o que no caso de equilíbrio
eletrostático é proibido. Então, o vetor ~E deve ter apenas componente normal à superfície.
+ +
+ +
+
+
+
+
++
+
+
+
+++
+
+
+
+
Vamos usar uma gaussiana na forma de um cilin-
dro tão pequeno quanto quisermos, cujas faces pla-
nas são paralelas à superfície do condutor, enstando
parte do cilindro fora do condutor e parte dentro. O
fluxo sobre a superfície lateral do cilindro é zero, pois
o campo é paralelo à superfície, e na superfície den-
tro do condutor é zero pois o campo é zero naquela
região.
11
Prof. Elvis Soares 4 Cargas em Condutores
Então, o fluxo na gaussiana é apenas
ΦE =
∮
EdA = EA =
Qint
�0
=
σA
�0
de modo que o campo na superfície do condutor deve ter módulo igual a
E =
σ
�0
tendo a direção perpendicular à superfície do condutor.
Exemplo: Esfera dentro de uma Casca Esférica Condutores
Vamos determinar o campo elétrico de um plano delgado infinito e isolante carregado unifor-
memente com uma densidade de carga superficial σ.
Como a distribuição de cargas tem simetria esférica,
a direção do campo elétrico deve ser radial de tal
forma que
~E = E(r)rˆ
Região 1: Para encontrar o campo dentro da esfera sólida, consideremos uma superfície
gaussiana de raio r < a. Como a carga total dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático
é zero, Qint = 0 , então, usando a
Lei de Gauss e simetria, E(r < a) = 0.
Região 2: Nessa região, consideremos uma gaussiana esférica de raio r onde a < r < b e
notemos que a carga no interior dessa superfície é +2Q (a carga da esfera sólida). Devido à
simetria esférica, o campo elétrico deve ser radial, de modo que pela Lei de Gauss
E(4pir2) =
2Q
�0
e assim
E(a < r < b) = k
2Q
r2
Região 3: Nessa região, o campo elétrico deve ser zero pois a casca esférica é também um
condutor em equilíbrio, então E(b < r < c) = 0.
12
4 Cargas em Condutores Prof. Elvis Soares
Região 4: Usando uma gaussiana esférica de raio r onde r > c e notando que a carga interna
a essa superfície é Qint = +2Q+ (−Q) = Q, temos
E(r > c) = k
Q
r2
Desta forma, o campo elétrico dessa distribuição de cargas pode ser escrito e representado num
gráfico como a seguir.
E(r) =

0 se r < a
k 2Q
r2
se a < r < b
0 se b < r < c
k Q
r2
se r > c
13
		Fluxo Elétrico
		Lei de Gauss
		Aplicações da Lei de Gauss
		Cargas em Condutores
3-Potencial_Eletrostatico.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de F´ısica
F´ısica III — 2014/2
Cap. 3 - Potencial Eletrosta´tico
Prof. Elvis Soares
Nesse cap´ıtulo, estudaremos o potencial eletrosta´tico criado por cargas puntiformes e distri-
buic¸o˜es de cargas, bem como diferenc¸as de potenciais entre pontos.
1 Forc¸a Ele´trica como Forc¸a Conservativa
Uma das propriedades mais interessantes da Lei de Coulomb e´ o fato da forc¸a eletrosta´tica
entre cargas ele´tricas ser uma forc¸a conservativa, que obedece a condic¸a˜o∮
~F el · d~l = 0,
sendo d~l um elemento diferencial de deslocamento, denotado por d~l = dxxˆ + dyyˆ + dzzˆ no
sistema de coordenadas cartesiano. Lembremos que essa integral representa o trabalho feito
pela forc¸a ele´trica sobre uma carga ao longo de qualquer caminho fechado, de modo que
W
(el)
A→B =
∫ B
A
~F el · d~l (1)
e´ o trabalho da forc¸a ele´trica entre quaisquer dois pontos A e B deve ser o mesmo para qualquer
caminho que escolhamos entre esses dois pontos.
Assim como no caso das forc¸as gravitacional e ele´trica, que sa˜o forc¸as conservativas, podemos
associar a` forc¸a ele´trica uma diferenc¸a de energia potencial eletrosta´tica, W
(el)
A→B = −(U (el)B −
U
(el)
A ), sendo escrita na forma integral
U
(el)
B − U (el)A = −
∫ B
A
~F el · d~l. (2)
2 Diferenc¸a de Potencial e Potencial Eletrosta´tico
Para um deslocamento infinitesimal d~l de uma carga, o trabalho realizado pela forc¸a ele´trica
numa carga e´ ~F el·d~l = q0 ~E ·d~l, sendo q0 a carga teste que experimenta o campo ele´trico ~E criado
Prof. Elvis Soares 2 Diferenc¸a de Potencial e Potencial Eletrosta´tico
por alguma distribuic¸a˜o fonte de carga. Como essa quantidade de trabalho e´ feita pelo campo, a
energia potencial do sistema carga-campo e´ mudada por uma quantidade dU = −q0 ~E·d~l. E para
um deslocamento finito entre os pontos A e B, a mudanc¸a na energia potencial ∆U = UB−UA
do sistema e´
∆U = −q0
∫ B
A
~E · d~l (3)
e a integrac¸a˜o e´ feita ao longo do caminho que a carga q0 segue de A para B. Como a forc¸a
q0 ~E e´ conservativa, essa integral de linha na˜o depende do caminho que ligue A a B.
Dividindo a energia potencial pela carga teste obtemos uma quantidade f´ısica que depende
somente da distribuic¸a˜o fonte de cargas, essa quantidade e´ denominada potencial eletrosta´tico
V . Assim, a diferenc¸a de potencial ∆V = VB−VA entre dois pontos A e B num campo ele´trico
e´ definida como a mudanc¸a de energia potencial do sistema quando uma carga teste e´ deslocada
entre os pontos dividida pela carga teste q0
∆V = −
∫ B
A
~E · d~l (4)
A unidade de potencial eletrosta´tico no S.I e´ o Volt, V ≡ C/m. Como o campo ele´trico se
relaciona com o potencial, e´ comum utilizarmos como unidade de campo V/m, ale´m de N/C.
Exemplo: Diferenc¸a de Potencial num Campo Ele´trico Uniforme
Vamos determinar a diferenc¸a de potencial (d.d.p.) entre os pontos A e B sujeitos a um campo
ele´trico uniforme ~E e a variac¸a˜o da energia potencial necessa´ria para levar uma carga q de um
ponto a outro, conforme figura.
O campo ele´trico nessa regia˜o e´ ~E = −Eyˆ, de modo que
o produto escalar ~E · d~l = Edy, e nesse caso temos
VB − VA = −
∫ B
A
~E · d~l = −
∫ B
A
Edy = −Ed.
Assim, o potencial em B deve ser menor do que o poten-
cial em A pois a diferenc¸a de potencial e´ negativa entre
os pontos. Isso significa que o campo ele´trico aponta no
sentido em que ha´ decre´scimo do potencial.
∆V = −Ed
A variac¸a˜o da energia potencial eletrosta´tica e´ dada por ∆U = q∆V , enta˜o
∆U = −qEd.
O que nos informa que a energia potencial do sistema diminui fazendo com que a energia
cine´tica da part´ıcula aumentasse ∆K = −∆U , uma vez que na˜o ha´ forc¸as dissipativas durante
a trajeto´ria.
2
3 Potencial de Cargas Puntiformes Prof. Elvis Soares
3 Potencial de Cargas Puntiformes
Agora que sabemos determinar a diferenc¸a de potencial entre dois pontos do espac¸o, podemos
o potencial eletrosta´tico num ponto espac´ıfico do espac¸o localizado a uma distaˆncia r de uma
carga puntiforme. Para isso, comec¸aremos com a expressa˜o geral
VB − VA = −
∫ B
A
~E · d~l
onde A e B sa˜o os dois pontos arbitra´rios conforme a figura. Em qualquer ponto do espac¸o, o
campo ele´trico de uma carga puntiforme e´ ~E = kqrˆ/r2, onde rˆ e´ um vetor unita´rio dirigido da
carga para o ponto. A quantidade ~E · d~l pode ser expressa como
~E · d~l = k q
r2
rˆ · d~l
O produto escalar rˆ · d~l = dl cos θ, onde θ e´ o aˆngulo entre
rˆ e d~l. Ale´m disso, dl cos θ e´ a projec¸a˜o de d~l em rˆ, enta˜o,
dl cos θ = dr. Isto e´, qualquer deslocamento d~l ao longo do
caminho de A para B produz uma mudanc¸a dr na magnitude
de rˆ, o vetor posic¸a˜o do ponto com relac¸a˜o a carga fonte do
campo. Fazendo essa substituic¸a˜o, encontramos que ~E · d~l =
(kq/r2)dr, e assim, a expressa˜o para a diferenc¸a de potencial
se torna
VB − VA = −kq
∫ rB
rA
dr
r2
= kq
[
1
r
]rB
rA
= k
q
rB
− k q
rA
Essa equac¸a˜o nos mostra que a diferenc¸a de potencial entre quaisquer dois pontos A e B num
campo criado por uma carga puntiforme depende somente das coordenadas radiais rA e rB, ou
seja, indepente do caminho escolhido de A para B, como discutido anteriormente.
Uma vez estabelecido uma refereˆncia para o potencial no ponto A, qualquer ponto B tera´
seu potencial definido univocamente, isto e´, o valor de VB depende do valor de VA. E´ comum
escolhermos a refereˆncia do potencial ele´trico, no caso de uma carga puntiforme, sendo V = 0 em
rA =∞. Com essa escolha de refereˆncia, o potencial ele´trico criado por uma carga puntiforme
em qualquer ponto a uma distaˆncia r da carga e´
V (r) = k
q
r
, (5)
de modo que, o potencial eletrosta´tico depende apenas da posic¸a˜o V = V (x, y, z), ou seja, o
potencial e´ um campo escalar.
Para um conjunto de duas ou mais cargas puntiformes, o potencial eletrosta´tico total pode ser
obtido pelo princ´ıpio da superposic¸a˜o, isto e´, o potencial total num determinado ponto do espac¸o
devido ao conjunto de cargas e´ a soma dos potenciais devido a cada carga independentemente
naquele ponto. Assim, para um conjunto de cargas, o potencial eletrosta´tico total e´
3
Prof. Elvis Soares 4 Gradiente do Potencial e Equipotenciais
V (r) =
∑
i
Vi =
∑
i
k
qi
ri
. (6)
4 Gradiente do Potencial e Equipotenciais
Uma vez que conhecemos o potencial de uma dada configurac¸a˜o de cargas, sera´ que consegui-
remos inferir algo sobre o campo ele´trico? De fato, sabemos que a diferenc¸a de potencial entre
dois pontos
infinitesimalmente pro´ximos e´ dada pela pro´pria definic¸a˜o do potencial
dV = −~E · d~l,
sendo assim, o campo ele´trico e´ proporcional ao gradiente do potencial ~∇V e de fato
~E = −~∇V = −∂V
∂x
xˆ− ∂V
∂y
yˆ − ∂V
∂z
zˆ (7)
Isto e´, a componente x do campo ele´trico e´ igual ao negativo da derivada do potencial com
respeito a x. Processo similar pode ser feito para as componentes y e z. Esse fato e´ a afirmac¸a˜o
matema´tica que o campo ele´trico e´ uma medida da taxa de variac¸a˜o do potencial com a posic¸a˜o.
Vamos agora imaginar um caminho d~l que seja perpendicular ao campo ele´trico ~E. A diferenc¸a
de potencial nesse caminho e´ dV = −~E ·d~l = 0, ou seja, a diferenc¸a de potencial e´ nula quando
caminhamos sobre uma superf´ıcie que e´ perpendicular ao campo ele´trico. Essas superf´ıcies
recebem o nome de equipotenciais, pelo fato de terem o mesmo potencial em todos seus pontos.
+
Na figura acima vemos equipotenciais (linhas tracejadas) e linhas de campo (linhas cheias) para
(a) um campo ele´trico uniforme produzido por um plano infinito de carga, (b) uma carga pun-
tiforme, e (c) um dipolo ele´trico. E em todos os casos, o campo ele´trico e´ sempre perpendicular
a`s superf´ıcies equipotenciais e tem sentido que aponta na direc¸a˜o do potencial decrescente.
4
5 Potencial Devido a Distribuic¸o˜es Cont´ınuas de Carga Prof. Elvis Soares
5 Potencial Devido a Distribuic¸o˜es Cont´ınuas de Carga
Para distribuic¸o˜es cont´ınuas de carga, podemos calcular o potencial eletrosta´tico de duas ma-
neiras apresentadas a seguir.
Se a distribuic¸a˜o de carga e´ conhecida, podemos considerar
o potencial devido a um pequeno elemento de carga dq, tra-
tando esse elemento como uma carga puntiforme. O potencial
eletrosta´tico dV em algum ponto P devido ao elemento de
carga dq e´
dV = k
dq
r
onde r e´ a distaˆncia do elemento de carga ao ponto P .
Para obter o potencial total no ponto P , integramos a equac¸a˜o acima para incluir contribuic¸o˜es
de todos elementos de carga da distribuic¸a˜o. Como cada elemento esta´, em geral, a distaˆncias
diferente do ponto P , podemos expressar
V = k
∫
dq
r
(8)
onde r depende do elemento de carga dq, e assumimos que o potencial e´ zero quando o ponto
P e´ infinitamente distante da distribuic¸a˜o de carga.
Se o campo ele´trico ja´ e´ conhecido por outras considerac¸o˜es, tais como Lei de Gauss, podemos
calcular o potencial ele´trico devido a` distribuic¸a˜o cont´ınua de carga usando a definic¸a˜o do
potencial. Se a distribuic¸a˜o de carga tem simetria suficiente, primeiro calculamos ~E em qualquer
ponto usando a Lei de Gauss e enta˜o substitu´ımos em ∆V = − ∫ ~E · d~l para determinar a
diferenc¸a de potencial entre quaisquer dois pontos. E por fim, escolhemos o potencial V sendo
zero em algum ponto conveniente do espac¸o.
5
Prof. Elvis Soares 5 Potencial Devido a Distribuic¸o˜es Cont´ınuas de Carga
Exemplo: Potencial devido a um Aro Uniformemente Carregado
Vamos determinar o potencial eletrosta´tico em qualquer localizado num eixo central perpendi-
cular a um aro uniformemente carregado de raio R e carga total Q.
Consideremos, como na figura, que o aro esta´ orientado
tal que seu plano e´ perpendicular ao eixo x e seu centro
esta´ na origem. Para analisar o problema, considerare-
mos o ponto P estando a uma distaˆncia x do centro do
aro, conforme figura. O elemento de carga dq esta´ a uma
distaˆncia
√
x2 +R2 do ponto P . Assim, podemos expres-
sar V como
V = k
∫
aro
dq
r
= k
∫
aro
dq√
x2 +R2
.
Como cada elemento dq esta´ a mesma distaˆncia do ponto P , podemos tirar
√
x2 +R2 da
integral, e V se reduz a
V = k
1√
x2 +R2
∫
aro
dq,
e usando o fato que
∫
aro
dq e´ a carga total do aro Q, temos
V (P ) = k
Q√
x2 +R2
A u´nica varia´vel nessa expressa˜o para V e´ x, uma vez que nosso ca´lculo e´ va´lido somente para
pontos ao longo do eixo x. A partir desse resultado, o campo ele´trico pode ser determinado a
partir do gradiente do potencial como
~E = −∇V = −dV
dx
xˆ = −kQ d
dx
(x2 +R2)−1/2
= −kQ(−1
2
)(x2 +R2)−3/2(2x)
enta˜o
~E(P ) = k
Qx
(x2 +R2)3/2
xˆ
6
5 Potencial Devido a Distribuic¸o˜es Cont´ınuas de Carga Prof. Elvis Soares
Exemplo: Potencial devido a um Disco Uniformemente Carregado
Vamos determinar o potencial eletrosta´tico em qualquer ponto localizado no eixo central per-
pendicular a um disco uniformemente carregado de raio R e densidade superficial de carga
σ.
Novamente, escolhemos o ponto P no eixo x a uma
distaˆncia x do centro do disco. Simplificamos o pro-
blema dividindo o disco num conjunto de aros carre-
gados de espessura infinitesimal dr. O potencial de-
vido a cada aro e´ dado pelo exemplo anterior. Con-
sideremos um desses aros de raio r e espessura dr,
conforme figura. A a´rea desse aro e´ dA = 2pirdr, de
modo que a carga desse aro e´ dq = σdA = σ2pirdr.
Assim, o potencial no ponto P devido a esse aro e´
dV = k
dq√
x2 + r2
= k
σ2pirdr√
x2 + r2
onde x e´ uma constante e r uma varia´vel. Para encontrar o potencial total em P , somamos
sobre todos os aros formando o disco. Isto e´, integramos dV de r = 0 a r = R
V = pikσ
∫ R
0
2rdr√
x2 + r2
= pikσ
∫ R
0
(x2 + r2)−1/2d(r2)
e assim
V (P ) = 2pikσ
[
(x2 +R2)1/2 − x]
Como no exemplo anterior, podemos determinar o campo ele´trico em qualquer ponto axial do
disco usando o gradiente do potencial
~E = −dV
dx
xˆ = −2pikσ d
dx
[
(x2 +R2)1/2 − x]
= −2pikσ
[
1
2
(x2 +R2)−1/2(2x)− 1
]
enta˜o
~E(P ) = 2pikσ
(
1− x√
x2 +R2
)
xˆ
O ca´lculo de V e ~E para um ponto qualquer fora do eixo do disco e´ muito dif´ıcil de realizar, e
na˜o trataremos esses exemplos nesse curso.
7
Prof. Elvis Soares 5 Potencial Devido a Distribuic¸o˜es Cont´ınuas de Carga
Exemplo: Potencial devido a uma Esfera Uniformemente Carregado
Vamos determinar o potencial eletrosta´tico em qualquer regia˜o do espac¸o criado por uma esfera
uniformemente carregada de raio R e carga total Q.
Comecemos pelos pontos no exterior da esfera, isto
e´, r > R, tomando o potencial como zero em r =∞.
Nos cap´ıtulos anteriores, encontramos que a inten-
sidade do campo ele´trico no exterior de uma esfera
uniformemente carregada de raio R e´
E(r > R) = k
Q
r2
onde o campo e´ radial para fora quando Q e´ positivo. Nesse caso, para obter o potencial num
ponto exterior, tal como B na figura, usamos ∆V = − ∫ B
A
~E · d~l, escolhendo o ponto A como
r =∞
VB − VA = −
∫ rB
rA
E(r)dr = −kQ
∫ rB
rA
dr
r2
= kQ
[
1
rB
− 1
rA
]
VB − 0 = kQ
[
1
rB
− 0
]
e assim sabemos que o potencial na regia˜o exterior a` esfera e´ dado por
V (r > R) = k
Q
r
Por continuidade em r = R, o potencial num ponto C na superf´ıcie da esfera deve ser VC =
kQ/R. Para um ponto no interior da esfera, vamos lembrar que o campo ele´trico no interior
de uma esfera isolante uniformemente carregada e´
E(r < R) = k
Q
R3
r
Podemos usar esse resultado para calcular a diferenc¸a de potencial VD − VC em algum ponto
interior D
VD − VC = −
∫ rD
rC
E(r)dr = −k Q
R3
∫ r
R
rdr
VD − kQ
R
= k
Q
2R3
(R2 − r2)
de modo que o potencial na regia˜o interior a` esfera e´ dado por
V (r < R) = k
Q
2R
(
3− r
2
R2
)
8
6 Potencial Devido a um Condutor Carregado Prof. Elvis Soares
V (r) =
{
k Q
2R
(
3− r2
R2
)
se r < R
kQ
r
se r > R
Podemos esboc¸ar um gra´fico do potencial V (r) como
func¸a˜o da distaˆncia r ao centro da esfera,
definindo
V0 = 3kQ/(2R).
6 Potencial Devido a um Condutor Carregado
Vimos no cap´ıtulo anterior que quando um condutor so´lido em equil´ıbrio esta´ carregado, sua
carga reside na sua superf´ıcie, fato que os difere dos isolantes. Assim, o campo ele´trico pro´ximo
a superf´ıcie externa e´ perpendicular a mesma e dentro do condutor o campo e´ nulo.
Consideremos dois pontos A e B na superf´ıcie de um condutor carregado, conforme figura.
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + ++
+
+
+
+
+
+
Usando um caminho ao longo da superf´ıcie que ligue os dois pontos, vemos que o campo ~E
e´ sempre perpendicular ao deslocamento d~l, de modo que ~E · d~l = 0. Usando esse resultado,
vemos que
VB − VA = −
∫ B
A
~E · d~l = 0
que vale para quaisquer dois pontos na superf´ıcie, portanto V e´ constante na superf´ıcie.
Assim, a superf´ıcie de um condutor carregado em equil´ıbrio eletrosta´tico e´ uma superf´ıcie equi-
potencial.
9
Prof. Elvis Soares 6 Potencial Devido a um Condutor Carregado
Exemplo: Potencial de uma Esfera Condutora
Consideremos uma esfera condutora de carga Q e de raio R, como mostra a figura (a).
+ +
+ +
+ +
+ ++
+ +
+ +
+ ++
O campo ele´trico obtido via Lei de Gauss e´
E(r) =
{
0 se r < R
k Q
r2
se r > R
O potencial pode enta˜o ser obtido via campo
ele´trico por integrac¸a˜o, como no exemplo ante-
rior, de modo que
V (r) =
{
kQ
R
se r < R
kQ
r
se r > R
Portanto, o potencial ele´trico no interior da es-
fera condutora e´ uniforme e de mesmo valor que
o potencial na superf´ıcie (figura (b)), uma vez
que a diferenc¸a de potencial entre a superf´ıcie
e qualquer ponto no interior da esfera deve ser
nula, pois o campo no interior do condutor e´
tambe´m nulo (figura (c)).
Conclu´ımos enta˜o que o potencial eletrosta´tico de um condutor carregado e´ constante em qual-
quer ponto no interior do condutor e de mesmo valor que na superf´ıcie.
Exemplo: Poder das Pontas
Consideremos um condutor representado por duas esferas condutoras de raios R1 e R2 conec-
tadas por um fio condutor, como mostra a figura.
Como as esferas esta˜o conectadas por fio condu-
tor, elas devem ambas terem o mesmo potencial
V = k
Q1
R1
= k
Q2
R2
Assim, a raza˜o entre suas cargas e´
Q1
Q2
=
R1
R2
Pore´m, a raza˜o entre suas densidades superficiais de cargas deve enta˜o ser
σ1
σ2
=
R2
R1
que mostra que a densidade de carga e´ maior na esfera de menor raio, ou seja, quanto menor
for a curvatura da superf´ıcie maior sera´ a densidade de carga num condutor.
10
		Força Elétrica como Força Conservativa
		Diferença de Potencial e Potencial Eletrostático
		Potencial de Cargas Puntiformes
		Gradiente do Potencial e Equipotenciais
		Potencial Devido a Distribuições Contínuas de Carga
		Potencial Devido a um Condutor Carregado
4-Capacitancia_e_Dieletrico.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de F´ısica
F´ısica III — 2014/2
Cap. 4 - Capacitaˆncia e Diele´tricos
Prof. Elvis Soares
Nesse cap´ıtulo, estudaremos o conceito de capacitaˆncia, aplicac¸o˜es de capacitores e diele´tricos.
1 Capacitaˆncia
Considere dois condutores carregando cargas de mesmo sinal e sinais opostos, conforme figura.
Essa combinac¸a˜o de dois condutores chamaremos de capacitores, sendo ambos condutores al-
gumas vezes chamados de placas. E devido a` presenc¸a das cargas, existe uma diferenc¸a de
potencial ∆V entre os condutores.
O que determina quanta carga esta´ nas placas de um capacitor para uma dada voltagem?
Experimentos mostram que a quantidade de carga Q num capacitor e´ linearmente proporcional
a diferenc¸a de potencial ∆V entre os condutores. Sendo assim, a capacitaˆncia C de um condutor
e´ definida como a raza˜o entre a intensidade da carga num dos condutores pela intensidade da
diferenc¸a de potencial entre eles
C ≡ Q
∆V
(1)
Note que por definic¸a˜o capacitaˆncia e´ sempre uma quantidade positiva. Ale´m disso, capa-
citaˆncia e´ uma medida da capacidade de um capacitor em armazenar energia, pois cargas po-
sitivas e negativas esta˜o separadas no sistema dos dois condutores de um capacitore, existindo
uma energia potencial ele´trica armazenada no sistema.
Prof. Elvis Soares 2 Ca´lculo de Capacitaˆncia
A capacitaˆncia no sistema SI tem unidade de Coulomb por Volt, sendo definida como Farad
F = C/V , em homenagem a Michael Faraday.
Consideremos um capacitor formado por um par de placas paralelas, conforme figura.
+
–
Com o capacitor inicialmente descarregado, conectamos
cada placa a um terminal de uma bateria, que age como
uma fonte de diferenc¸a de potencial, estabelecendo um
campo ele´trico nos fios condutores quando essa conexa˜o
e´ feita. Na placa conectada ao terminal negativo da bate-
ria, o campo ele´trico forc¸a os ele´trons a irem em direc¸a˜o a`
placa, o processo continua ate´ a placa, o fio, e o terminal
da bateria terem o mesmo potencial, de modo que na˜o
ha´ mais diferenc¸a de potencial entre o terminal e a placa,
na˜o ha´ mais movimento de ele´trons, e a placa agora esta´
carregada negativamente.
Um processo similar ocorre na outra placa do capacitor, com ele´trons saindo da placa para o fio,
deixando a placa carregada positivamente. Nessa configurac¸a˜o final, a diferenc¸a de potencial
entre as placas do capacitor e´ a mesma daquela entre os terminais da bateria.
2 Ca´lculo de Capacitaˆncia
Para determinar a capacitaˆncia de um certo tipo de capacitor vamos usar o seguinte proce-
dimento: assumimos uma carga de magnitude Q numa das placas, em seguida calculamos a
diferenc¸a de potencial ∆V entre as placas usando as te´cnicas do cap´ıtulo anterior, e por u´ltimo
usamos a expressa˜o C = Q/∆V para determinar a capacitaˆncia.
Exemplo: Capacitaˆncia de uma Esfera Condutora
Imaginemos um condutor esfe´rico carregado. As linhas de campo ao redor desse condutor sa˜o
exatamente as mesmas que no caso se existisse uma casca esfe´rica condutora de raio infinito,
conceˆntrica com a esfera e carregando uma carga de mesma intensidade e sinal oposto, de
modo que essa casca esfe´rica imagina´ria pode ser identificada como um segundo condutor de
um capacitor de dois condutores.
Assim, podemos calcular a capacitaˆncia para essa situac¸a˜o usando o fato que o potencial de
uma esfera de raio R e carga Q e´ simplesmente kQ/R na sua superf´ıcie, e V = 0 na casca
infinitamente grande, enta˜o
C =
Q
∆V
=
Q
kQ/R
=
R
k
= 4pi�0R,
mostrando que a capacitaˆncia de uma esfera carregada e´ proporcional ao seu raio e independe
da carga na esfera e da diferenc¸a de potencial.
2
2 Ca´lculo de Capacitaˆncia Prof. Elvis Soares
A capacitaˆncia de uma par de condutores depende somente da geometria dos condutores. Vamos
ilustrar isso com duas geometrias familiares: placas paralelas e cilindros conceˆntricos.
Exemplo: Capacitor de Placas Paralelas
Consideremos duas placas meta´licas de a´reas iguais A separadas por uma distaˆncia d, conforme
figura. Uma placa esta´ carregada com carga Q, a a outra carregada com carga −Q.
Se as placas esta˜o muito pro´ximas, de tal forma que
a distaˆncia d e´ muito menor que as dimenso˜es t´ıpicas
das placas, podemos considerar o campo ele´trico uni-
forme na regia˜o entre as placas com valor igual a
E =
σ
�0
=
Q
�0A
,
e nulo na regia˜o fora das placas. Enta˜o, como o campo entre as placas e´ uniforme, a diferenc¸a
de potencial entre as placas e´
∆V = V+ − V− = Ed = Qd
�0A
.
Substituindo esse resultado na definic¸a˜o de capacitaˆncia, temos para o capacitor de placas
paralelas
C =
Q
∆V
=
Q
Qd/�0A
,
portanto
C =
�0A
d
Isto e´, a capacitaˆncia de um capacitor de placas paralelas e´ proporcional a` a´rea das suas placas
e inversamente proporcional a` separac¸a˜o entre as placas.
3
Prof. Elvis Soares 2 Ca´lculo de Capacitaˆncia
Exemplo: Capacitor Cil´ındrico
Consideremos um condutor cil´ındrico so´lido de raio a e carga Q e´ coaxial a uma casca cil´ındrica
de raio b > a e espessura desprez´ıvel, com carga −Q.
Se os condutores tiverem um comprimento L muito
maior que os raio a e b, podemos desprezar os efeitos
de borda sobre as linhas de campo, de tal forma que
nesse caso o campo ele´trico e´ perpendicular ao eixo
dos cilindros e e´ confinado na regia˜o entre eles.
A partir da Lei de Gauss, a intensidade do campo
ele´trico de um cilindro com distribuic¸a˜o de carga uni-
forme λ e´ .
E(r) =
2kλ
r
=
2Q/L
r
,
e como o campo ele´trico da casca cil´ındrica na˜o influencia na regia˜o entre os cilindros, esse
deve ser o campo na regia˜o entre a e b. Enta˜o, como conhecemos o campo entre os cilindros, a
diferenc¸a de potencial entre eles e´
∆V = V+ − V− = −
∫ a
b
E(r)dr = −2k(Q/L)
∫ a
b
dr
r
= 2k(Q/L) ln
(
b
a
)
.
Substituindo esse resultado na definic¸a˜o de capacitaˆncia, temos para o capacitor cil´ındrico
C =
Q
∆V
=
Q
2k(Q/L) ln (b/a)
,
portanto
C =
L
2k ln (b/a)
Isto e´, a capacitaˆncia de um capacitor cil´ındrico e´ proporcional ao comprimento dos cilindros.
4
3 Associac¸a˜o de Capacitores Prof. Elvis Soares
3 Associac¸a˜o de Capacitores
Agora que sabemos determina a capacitaˆncia de capacitares devido a sua geometria, podemos
associar diferentes capacitares para obter qualquer valor de capacitaˆncia que necessitarmos.
Existem dois de associac¸o˜es: paralela e se´rie.
3.1 Capacitores em Paralelo
Numa associac¸a˜o em paralelo, conforme figura (b), as diferenc¸as de potenciais em cada capacitor
individualmente sa˜o as mesmas e iguais a` diferenc¸a de potencial aplicada sobre a associac¸a˜o
inteira.
+
–
+ –
+ –
+ – + –
Quando os capacitores sa˜o conectados ao circuito conforme a figura (a), ele´trons sa˜o transferidos
entre os fios e as placas, permitindo as placas da direita se carregarem negativamente e as placas
da esquerda se carregarem positivamente. O fluxo de carga cessa quando a voltarem sobre os
capacitares e´ igual a`quela dos terminais da bateria, e os capacitares ficam carregados com cargas
Q1 e Q2. A carga total Q armazenada nos capacitores e´
Q = Q1 +Q2
Isso e´, a carga total nos capacitares conectados em paralelo e´ a soma das cargas de cada
capacitor individual. E como a voltarem sobre cada capacitor e´ a mesma, as cargas que eles
carregam sa˜o
Q1 = C1∆V e Q2 = C2∆V
Suponha que no´s desejamos trocar esses capacitores por um capacitor equivalente tendo uma
capacitaˆncia Ceq, conforme figura (c). O efeito desse capacitor no circuito deve ser o mesmo
5
Prof. Elvis Soares 3 Associac¸a˜o de Capacitores
do conjunto de capacitores anteriores, isto e´, esse capacitor equivalente deve armazenar carga
Q quando conectado a d.d.p de ∆V . Assim, para o capacitor equivalente,
Q = Ceq∆V
Substituindo essas treˆs relac¸o˜es para as carga na equac¸a˜o da carga total do circuito, temos
Ceq∆V = C1∆V + C2∆V
Ceq = C1 + C2
Assim, a capacitaˆncia equivalente de uma associac¸a˜o de capacitores em paralelo e´ a soma
alge´brica das capacitaˆncias individuais e e´ maior que qualquer uma das capacitaˆncia individuais.
Ceq = C1 + C2 + C3 + . . . (em paralelo) (2)
3.2 Capacitores em Se´rie
Numa associac¸a˜o em se´rie, conforme figura (b), as cargas em cada capacitor individualmente
sa˜o as mesmas e iguais a` carga total armazenada na associac¸a˜o inteira.
–+ + –
+
–
Quando os capacitores sa˜o conectados ao circuito conforme a figura (a), ele´trons sa˜o transferidos
para fora da placa da esquerda de C1 e va˜o para a placa da direita de C2. Como essa carga
negativa se acumula na placa direita de C2, uma quantidade equivalente de carga negativa e´
forc¸ada para fora da placa esquerda de C2, e essa placa esquerda adquire enta˜o um excesso de
carga positiva. A carga negativa deixando a placa esquerda de C2 causa um acumulo de carga
negativa na placa direita de C1. Como resultado, todas as placas da direita ficam com carga
negativa −Q, e todas placas da esquerda com carga +Q. Assim, as cargas nos capacitares
conectados em se´rie sa˜o as mesmas.
Da figura (a), vemos que a voltagem ∆V entre os terminais da bateria e´ dividida entre os
capacitores
∆V = ∆V1 + ∆V2
6
3 Associac¸a˜o de Capacitores Prof. Elvis Soares
Em geral, a diferenc¸a de potencial entre qualquer nu´mero de capacitores conectados em se´rie e´
a soma da diferenc¸a de potencial sobre cada capacitor individualmente. E como as cargas nos
capacitores sa˜o as mesmas, as voltagens sobre eles sa˜o
∆V1 =
Q
C1
∆V e ∆V2 =
Q
C2
Suponha que no´s desejamos trocar esses capacitores por um capacitor equivalente tendo uma
capacitaˆncia Ceq, conforme figura (c). O efeito desse capacitor no circuito deve ser o mesmo
do conjunto de capacitores anteriores, isto e´, esse capacitor equivalente deve armazenar carga
−Q na placa da direita e carga +Q na placa da esquerda quando conectado a d.d.p de ∆V dos
terminais da bateria. Assim, para o capacitor equivalente,
∆V =
Q
Ceq
Substituindo essas treˆs relac¸o˜es para as voltagens na equac¸a˜o da voltarem total do circuito,
temos
Q
Ceq
=
Q
C1
+
Q
C2
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
Assim, o inverso da capacitaˆncia equivalente de uma associac¸a˜o de capacitores em se´rie e´ a
soma alge´brica dos inversos das capacitaˆncias individuais e e´ menor que qualquer uma das
capacitaˆncia individuais.
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+
1
C3
+ . . . (em se´rie) (3)
Exemplo: Capacitaˆncia Equivalente
Consideremos um circuito misto de capacitores, conforme figura (a). A capacitaˆncia equivalente
entre a e b pode ser encontrada reduzindo as associac¸o˜es de capacitores como indicadas nas
partes (b), (c), e (d), usando as regras de associac¸o˜es em se´rie e paralelo.
ba
(b)
ba
( c)
ba
(d)
ba
(a)
7
Prof. Elvis Soares 4 Energia Armazenada num Capacitor
4 Energia Armazenada num Capacitor
Quanta energia deve estar armazenada num capacitor depois que o carregamos?
Para calcular a energia armazenada num capacitor
durante o processo de carregamento, imaginemos
que a carga e´ transferida mecanicamente para o ca-
pacitor, de modo que o trabalho necessa´rio para adi-
cionar uma carga dq ao capacitor e´
dW = ∆V dq
e sabendo que a diferenc¸a de potencial entre as placas do capacitor depende da carga q nele,
podemos escrever
dW =
q
C
dq,
ilustrado na figura. O trabalho total para carregar o capacitor desde uma carga q = 0 ate´ a
carga final q = Q e´
W =
∫ Q
0
q
C
dq =
1
C
∫ Q
0
q dq =
Q2
2C
O trabalho feito para carregar o capacitor aparece como energia potencial ele´trica U armazenada
no capacitor. Usando a capacitaˆncia, podemos expressar a energia potencial armazenada num
capacitor carregado nas seguintes formas
U =
Q2
2C
=
1
2
Q∆V =
1
2
C(∆V )2 (4)
Podemos considerar a energia armazenada num capacitor como sendo armazenada no campo
ele´trico criado entre as placas quando o capacitor esta´ carregado, pois o campo ele´trico e´
proporcional a carga no capacitor. Para um capacitor de placas paralelas, a diferenc¸a de
potencial esta´ relacionada com o campo ele´trico atrave´s da relac¸a˜o ∆V = Ed, e sua capacitaˆncia
e´ C = �0A/d. Substituindo essas expresso˜es na energia, obtemos
U =
1
2
�0A
d
(Ed)2 =
1
2
(�0Ad)E
2.
Como o volume ocupado pelo campo ele´trico e´ Ad, a energia por unidade de volume uE =
U/(Ad), conhecida como densidade de energia, e´
uE =
1
2
�0E
2 (5)
Assim, a densidade de energia em qualquer campo ele´trico e´ proporcional ao quadrado da
intensidade do campo ele´trico num dado ponto.
8
5 Materiais Diele´tricos Prof. Elvis Soares
Para uma dada capacitaˆncia, a energia armazenada aumenta com o aumento da carga e com
o aumento da diferenc¸a de potencial. Na pra´tica, entretanto, ha´ um limite de energia ma´xima
(ou carga) que pode ser armazenada pois, em valores muito altos de voltarem, ocorre descarga
ele´trica entre as placas.
5 Materiais Diele´tricos
O que acontece quando colocamos um material isolante na presenc¸a de um campo ele´trico
externo?
Consideremos um diele´trico feito de mole´culas polares localizadas num campo ele´trico entre as
placas de um capacitor. Os dipolos (isso e´, as mole´culas polares que formam o diele´trico) esta˜o
orientados aleatoriamente na auseˆncia de um campo ele´trico, conforme figura (a). Quando um
campo ele´trico externo ~E0 devido ao capacitor e´ aplicado, conforme figura (b), um torque e´
exercido sobre os dipolos, fazendo com que eles se alinhem parcialmente com o campo. O grau
de alinhamento das mole´culas com o campo ele´trico depende da temperatura e da intensidade
do campo, em geral, aumentando com o aumento da temperatura e do campo. Se as mole´culas
do diele´trico sa˜o apolares, enta˜o o campo ele´trico externo produz alguma separac¸a˜o de cargas
e num momento de dipolo induzido.
E0
–
+ –
+
–
+
–
+
–+–+–
+
–
+
–+
–+
– + –
+
– + –
+ – +
– +– +
– +
– + –
+ – +
– +
– + – +
– +
E0
Eind
– indσ indσ
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
Em ambos materiais feitos de mole´culas polares ou apolares, os campos ele´tricos induzidos
pelos momentos de dipolos ele´tricos alinhados tendem a cancelar parcialmente o campo externo
original, figura (c). Assim, o campo ele´trico resultante ~ET dentro do diele´trico e´ o campo
original ~E0 mais o campo induzido ~Eind
~ET = ~E0 + ~Eind,
ou
ET = E0 − Eind.
Notamos que o campo resultante dentro do diele´trico aponta na direc¸a˜o do campo externo
original. O campo induzido depende do campo externo original na forma Eind = αE0, sendo α
a polarizabilidade do meio material. Com isso, podemos escrever
ET = (1− α)E0,
e denominando κ = 1/(1 − α) a constante diele´trica do meio material, vemos que o campo
resultante no interior do meio diele´trico e´ reduzido de um fator κ
9
Prof. Elvis Soares 6 Capacitores com Diele´tricos
~ET =
~E0
κ
(6)
Ale´m disso, o campo ele´trico externo E0 esta´ relacionado com a densidade de carga σ nas placas
atrave´s da relac¸a˜o E0 = σ/�0, e o campo ele´trico induzido Eind no diele´trico esta´ relacionado
com a densidade de carga induzida σind, conforme figura (b), atrave´s da relac¸a˜o Eind = σind/�0.
Como ET = E0/κ = σ/(κ�0), temos
σ
κ�0
=
σ
�0
− σind
�0
e
σind =
(
κ− 1
κ
)
σ (7)
Como κ > 1, essas expresso˜es mostram que o campo ele´trico no interior do diele´trico ET e´
reduzido, e a densidade de carga induzida σind no diele´trico e´ menor que a densidade de cargas
nas placas.
Existe, pore´m, um valor cr´ıtico para o campo externo, consequentemente para a diferenc¸a de
potencial, acima do qual o material deixa de ser isolante, e ocorre ou uma descarga ele´trica ou
uma ruptura do isolamento. Esse campo ele´trico cr´ıtico fornece a rigidez diele´trica do material,
que e´ medida pelo mo´dulo do campo ele´trico mı´nimo acima do qual se produz a ruptura do
diele´trico.
6 Capacitores com Diele´tricos
Quando inserimos um diele´trico no interior de um capacitor o que acontece com a capacitaˆncia?
Aumenta, diminui, ou na˜o se modifica? Podemos analisar o seguinte experimento para ilustrar
o efeito de um diele´trico num capacitor.
+
–
+
–
Consideremos um capacitor de placas paralelas isolado que sem o diele´trico, conforme figura
(a), tem uma carga Q0 e uma capacitaˆncia C0, de modo que a diferenc¸a de potencial entre as
10
6 Capacitores com Diele´tricos Prof. Elvis Soares
placas e´ ∆V0. Se um diele´trico e´ agora inserido entre as placas, conforme figura (b), a diferenc¸a
de potencial ∆V entre as placas deve ser reduzida de um fator κ pois o campo no interior do
capacitor foi reduzido do mesmo fator, desta forma
∆V =
∆V0
κ
.
Como a carga Q0 no capacitor na˜o mudou, conclu´ımos que a capacitaˆncia deve mudar para o
valor
C =
Q0
∆V
=
Q0
∆V0κ
= κ
Q0
∆V0
enta˜o
C = κC0 (8)
Isso e´, a capacitaˆncia aumenta de um fato κ quando um diele´trico preenche completamente a
regia˜o entre as placas.
11
Prof. Elvis Soares 6 Capacitores com Diele´tricos
Exemplo: Capacitor parcialmente preenchido
Consideremos um capacitor de placas paralelas com separac¸a˜o entre as placas d, que tem capa-
citaˆncia C0 na auseˆncia de um diele´trico, preenchido com diele´trico de constante κ e espessura
d/3 conforme figura (a).
Podemos imaginar o conjunto da figura (a) como
sendo dois capacitores C1 e C2 associados em se´rie,
conforme figura (b). Usando o resultado da capa-
citaˆncia de um capacitor de placas paralelas, temos
C1 =
κ�0A
d/3
e C2 =
�0A
2d/3
.
Como associamos em se´rie, a capacitaˆncia equiva-
lente e´ dada por
1
C
=
1
C1
+
1
C2
=
d/3
κ�0A
+
2d/3
�0A
enta˜o
C =
(
3κ
2κ+ 1
)
�0A
d
e como a capacitaˆncia sem o diele´trico e´ C0 = �0A/d,
podemos escrever
C =
(
3κ
2κ+ 1
)
C0
12
		Capacitância
		Cálculo de Capacitância
		Associação de Capacitores
		Capacitores em Paralelo
		Capacitores em Série
		Energia Armazenada num Capacitor
		Materiais Dielétricos
		Capacitores com Dielétricos
5-Corrente_Resistencia_e_Forca_eletromotriz.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de F´ısica
F´ısica III — 2014/2
Cap. 5 - Corrente, Resisteˆncia e Forc¸a
Eletromotriz
Prof. Elvis Soares
Nesse cap´ıtulo, estudaremos a definic¸a˜o de corrente, com descric¸a˜o microsco´pica, as definic¸o˜es
de resisteˆncia ele´trica e introduzimos o resistor, como uma forc¸a eletromotriz possibilita o fluxo
de corrente em um circuito, e por fim, como obter as energia e poteˆncia em circuitos.
1 Corrente Ele´trica
O que acontece ao ligarmos por um fio meta´lico a`s placas de um capacitor carregado?
Como na˜o pode haver equil´ıbrio eletrosta´tico, pois as extremidades do fio condutor esta˜o em
potenciais diferentes, ha´ movimento de cargas, ou seja, uma corrente ele´trica passa atrave´s do
fio quando a conexa˜o e´ feita.
A intensidade da corrente ele´trica i que atravessa uma
dada sec¸a˜o de um fio condutor e´ definida como a quan-
tidade de carga dq que atravessa esta sec¸a˜o num dado
intervalo de tempo dt, de modo que podemos escrever
i ≡ dq
dt
. (1)
A unidade de corrente ele´trica no SI e´ o Ampe`re, que passa a definir a unidade de Coulomb.
Assim, numa corrente de 1A, a secc¸a˜o do fio e´ atravessada a cada segundo por 1C de carga,
equivalente a 6.2× 1018 C.
Por motivos histo´ricos, e´ convencional definir a corrente tendo a mesma direc¸a˜o do fluxo de
cargas positivas. Em condutores ele´trico, tais como cobre e alumı´nio, a corrente e´ devido ao
movimento de ele´trons.
Portanto, num metal, a direc¸a˜o da corrente num condutor e´ oposta ao
fluxo de ele´trons. Numa laˆmpada fluorescente, os portadores de cargas sa˜o tanto ele´trons como
ı´ons positivos do ga´s, que se deslocam em sentidos opostos sob a ac¸a˜o do campo de descarga.
Prof. Elvis Soares 1 Corrente Ele´trica
1.1 Modelo Microsco´pico para Corrente
Podemos relacionar a corrente ele´trica com o movimento de cargas atrave´s de um modelo
microsco´pico de conduc¸a˜o num metal.
Num condutor isolado, isto e´, a diferenc¸a de potencial e´ zero nele, os ele´trons se movem num mo-
vimento aleato´rio que e´ ana´logo ao movimento das mole´culas num ga´s. Quando uma diferenc¸a
de potencial e´ aplicada nesse condutor, um campo ele´trico aparece nesse condutor exercendo
uma forc¸a nos ele´trons, produzindo uma corrente. Contudo, os ele´trons na˜o se movem em
linhas retas atrave´s do condutor, pois colidem repeditademnte com os a´tomos do metal, e seu
movimento resultante e´ complicado em zig-zag. Apesar das coliso˜es, os ele´trons se movem va-
garosamente atrave´s do condutor (na direc¸a˜o oposta de ~E) com a velocidade de arrasto ~vD,
conforme figura (a).
–
Agora, consideremos um comprimento ∆x de um condutor de sec¸a˜o transversal A, de modo
que o volume dessa regia˜o e´ A∆x, conforme figura (b). Se n e´ o nu´mero de portadores de carga
por unidade de volume, o nu´mero de portadores nessa regia˜o e´ nA∆x. Assim, a carga total
∆Q nessa regia˜o e´
∆Q = (nA∆x)q
onde Q e´ a carga de cada portador. Se os portadores se movem com velocidade de arrasto vD,
devido a` influeˆncia do campo ele´trico externo, o intervalo de tempo que leva para atravessarem
essa regia˜o e´ dado pela relac¸a˜o ∆x = vD∆t. Esse intervalo de tempo e´ aquele necessa´rio para
todas as cargas no cilindro passarem de uma extremidade a outra. Com isso, podemos escrever
∆Q = (nAvD∆t)q
Se dividirmos ambos os lados da equac¸a˜o por ∆t, a corrente ele´trica me´dia nesse condutor e´
imed =
∆Q
∆t
= nqAvD
E com isso, temos uma densidade de corrente ele´trica ~j percorrendo o fio que e´ dada por
j =
i
A
= nqvd
ou
2
2 Lei de Ohm e Condutaˆncia Prof. Elvis Soares
~j = nq~vd (2)
Exemplo: Velocidade de Arrasto no Fio de Cobre
Consideremos um fio de cobre de a´rea de sec¸a˜o transversal A = 3× 10−6 m2, cuja densidade e´
de 8.95 g/cm3 e massa molar igual a 63.5 g/mol, por onde passa uma corrente de 10 A.
A densidade de portadores de carga (para o cobre, ele´trons) e´ dada por
n =
ρ
µ
NA =
(8.95 g/cm3)
(63.5 g/mol)
(6.22× 1023) = 8.8× 1028 e−/m−3.
Assim, a velocidade de arrasto no fio e´ determinada pela corrente atrave´s de
vd =
i
nqA
=
(10 A)
(8.8× 1028 e−/m−3)(1.6× 10−19 C)(3× 10−6 m2) = 0.2 mm/s.
Desta forma, um ele´tron demoraria aproximadamente 1.5 horas para percorre um trecho de 1 m
nesse fio. O fato e´ que na˜o e´ necessa´rio que o ele´tron chegue ate´ o equipamento para aciona´-lo,
basta que o campo ele´trico se propague pelo fio e fac¸a com que todos os ele´trons se movimentem
na mesma direc¸a˜o. O campo ele´trico se propaga com a velocidade da luz no meio material!
2 Lei de Ohm e Condutaˆncia
Anteriormente vimos que o campo ele´trico no interior em equil´ıbrio eletrosta´tico e´ nulo, pore´m
quando as cargas no condutor na˜o esta˜o em equil´ıbrio e´ poss´ıvel que haja um campo ele´trico
em seu interior.
Em alguns materiais, a densidade de corrente ele´trica e´ proporcional ao campo ele´trico
~j = σ ~E (3)
onde a constante de proporcionalidade sigma e´ denominada condutividade do material. Ma-
teriais que obedecem essa relac¸a˜o sa˜o conhecidos como materiais oˆhmicos, em homenagem a
Georg Simon Ohm que descobriu essa relac¸a˜o emp´ırica va´lida somente para certos materiais.
Consideremos agora um pequeno trecho de um fio de comprimento L e sec¸a˜o transversal uni-
forme de a´rea A, conforme figura. Uma diferenc¸a de potencial ∆V = Vb − Va e´ mantida ao
longo do fio, criando no interior do fio um campo ele´trico e portanto uma corrente. Se o campo
puder ser considerado uniforme, a diferenc¸a de potencial esta´ relacionada com o campo atrave´s
da relac¸a˜o
3
Prof. Elvis Soares 2 Lei de Ohm e Condutaˆncia
∆V = EL
Assim, podemos expressar a intensidade da densidade de corrente no fio como sendo
j = σE = σ
∆V
L
,
como j = i/A, podemos escrever
∆V =
L
σ
j =
(
L
σA
)
i = Ri.
A quantidade R = L/σA e´ denominada resisteˆncia ele´trica do fio, que no SI tem unidades ohm,
equivalente a Volt por Ampe`re, Ω = V/A. Assim, a relac¸a˜o entre a diferenc¸a de potencial sobre
um fio e a corrente ele´trica criada no mesmo e´ dada pela famosa Lei de Ohm, escrita na forma
∆V = Ri (4)
O inverso da condutividade e´ a resistividade ρ
ρ =
1
σ
, (5)
como R = L/σA, podemos expressar a resisteˆncia de um fio condutor de material homogeˆneo
e isotro´pico como
R = ρ
L
A
. (6)
Materiais que sa˜o bom condutores de eletricidade apresentam resistividade baixa, como o co-
bre cuja resistividade e´ da ordem de 10−8 Ω.m, enquanto que materiais isolantes apresentam
alta resistividade, como o quartzo cuja resistividade e´ da ordem de 1016 Ω.m. Ale´m disso, a
resistividade, num certo intervalo de temperatura, varia aproximadamente linearmente com a
temperatura de acordo com a expressa˜o
ρ = ρ0[1 + α(T − T0)] (7)
onde ρ e´ a resistividade em alguma temperatura T , ρ0 e´ a resistividade em alguma temepratura
de refereˆncia T0, e α o coeficiente de temperatura da resistividade.
2.1 Modelo Microsco´pico para Condutividade
Podemos pensar num condutor como sendo uma rede regular de a´tomos mais um conjunto
de ele´trons livres, que podemos chamar de ele´trons de conduc¸a˜o. Na˜o ha´ corrente ele´trica no
condutor na auseˆncia de um campo ele´trico externo pois a velocidade de arrasto dos ele´trons e´
zero, isto e´, na me´dia o movimento dos ele´trons e´ zero, conforme figura (a).
4
2 Lei de Ohm e Condutaˆncia Prof. Elvis Soares
–
–
––
–
–
–
–
Com a presenc¸a do campo ele´trico externo a situac¸a˜o muda, ale´m do movimento aleato´rio
devido a` agitac¸a˜o te´rmica, o campo ele´trico ~E causa um arrasto dos ele´trons numa direc¸a˜o
oposta a`quele campo ~E, conforme figura (b).
Quando um ele´tron livre de massa m e carga q esta´ sujeito a um campo ele´trico ~E, ele sofre
uma forc¸ca ~F = q ~E. Como essa forc¸a esta´ relacionada com a acelerac¸a˜o do ele´tron atrave´s da
segunda lei de Newton, ~F = m~a, conclu´ımos que a acelerac¸a˜o do ele´tron e´
~a =
q ~E
m
Essa acelerac¸a˜o, que ocorre somente em um curto intervalo de tempo entre coliso˜es, permite ao
ele´tron adquirir uma pequena velocidade de arrasto. Se ~vi e´ a velocidade inicial do ele´tron no
instante apo´s a colisa˜o (que ocorre num tempo que definiremos como t = 0), enta˜o a velocidade
do ele´tron num tempo t (no qual ocorre a pro´xima colisa˜o) e´
~vf = ~vi + ~at = ~vi +
q ~E
m
t
Em seguida, tomamos uma me´dia sobre todos os valores poss´ıveis de ~vf e ~vi durante um
intervalo de tempo me´dio entre sucessivas coliso˜es τ . Como a distribuic¸a˜o das velocidades
iniciais e´ aleato´ria, o valor me´dio de ~vi e´ zero. De modo que,
~v
(
fmed) = ~vd =
q ~E
m
τ
Relacionando essa expressa˜o para a velocidade de arrasto com a corrente num condutor, en-
contramos que a densidade de corrente e´
j = nqvd =
nq2E
m
τ.
Comparando essa expressa˜o com a lei de Ohm, j = σE, obtemos as seguintes relac¸o˜es para
condutividade e resistividade do material
σ =
nq2τ
m
(8)
ρ =
1
σ
=
m
nq2τ
(9)
5
Prof. Elvis Soares 3 Poteˆncia Ele´trica e Efeito Joule
E de acordo com esse
modelo cla´ssico, a condutividade e a resistividade do material na˜o depende
da intensidade do campo ele´trico externo. O tempo me´dio entre coliso˜es τ esta´ relacionado com
a distaˆncia me´dia entre coliso˜es l (ou livre caminho me´dio) e a velocidade me´dia v¯ atrave´s da
expressa˜o τ = l/v¯.
3 Poteˆncia Ele´trica e Efeito Joule
Agora que sabemos que corrente e´ efetivamente o movimento das cargas no interior de um
condutor, quanta energia deve ser gasta para realizar esse movimento?
Para mover uma quantidade de carga dq = idt entre uma diferenc¸a de potencial ∆V , a quan-
tidade de energia necessa´ria e´ igual ao trabalho
dW = (idt)∆V
de modo que a poteˆncia da fonte, ou seja, da bateria deva ser
Pot =
dW
dt
= i∆V (10)
No caso de um material condutor, podemos usar a lei de Ohm para determinar a poteˆncia
dissipada pelo condutor em formas alternativas
Pot = Ri2 =
(∆V )2
R
(11)
Assim, a energia fornecida pela bateria para o movimento das cargas num condutor acaba sendo
dissipada na forma de calor devido a resisteˆncia do objeto, tal fenoˆmeno e´ conhecido como efeito
Joule. Efeitos como esse sa˜o o que permitem utilizar energia ele´trica para gerar calor, como
num chuveito ele´trico.
De fato, podemos pensar nas coliso˜es a´tomos-ele´trons num condutor como uma fricc¸a˜o interna
efetiva similar aquela sentidas pelas mole´culas de um l´ıquido fluindo atrave´s de um duto. A
energia transferida dos ele´trons para os a´tomos do metal durante as coliso˜es causa aumento da
energia de vibrac¸a˜o dos a´tomos e um correspondente aumento na temperatura do condutor.
6
3 Poteˆncia Ele´trica e Efeito Joule Prof. Elvis Soares
Exemplo: Poteˆncia de um aquecedor ele´trico
Um aquecedor ele´trico e´ constru´ıdo aplicando-se uma diferenc¸a de potencial de 120 V num fio
de nicromo cuja resisteˆncia total e´ de 8.0 Ω.
A corrente ele´trica que passa pelo fio e´ dada pela lei de Ohm como
i =
∆V
R
=
120 V
8.0 Ω
= 15.0 A
A poteˆncia ele´trica dissipada na forma de calor e´ dada por
Pot = Ri2 = (8.0 Ω)(15.0 A)2 = 1.80× 103 W = 1.80 kW
7
		Corrente Elétrica
		Modelo Microscópico para Corrente
		Lei de Ohm e Condutância
		Modelo Microscópico para Condutividade
		Potência Elétrica e Efeito Joule
6-Campo_Magnetico.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de F´ısica
F´ısica III — 2014/2
Cap. 6 - Campo Magne´tico e Forc¸a Magne´tica
Prof. Elvis Soares
Nesse cap´ıtulo, estudaremos as forc¸as que agem em cargas ele´tricas em movimento e em fios
que carregam correntes ele´tricas na presemc¸a de um campo magne´tico.
1 Fatos Experimentais
Na Gre´cia antiga se conheciam as propriedades de um mine´rio de ferro encontrado na regia˜o
da Magne´sia, a magnetita (Fe3O4): um pedac¸o de magnetita e´ um ima˜ permanente, que atrai
pequenos fragmentos de ferro.
Em 1100 a.C., os chineses ja´ haviam descoberto que uma agulha de magnetita capaz de se
orientar livremente num plano horizontal alinha-se aproximadamente na direc¸a˜o norte-sul, e
usavam este aparelho, a bu´ssola, na navegac¸a˜o.
Em 1600, William Gilbert publicou um importante tratado sobre o magnetismo, onde observa,
pela primeira vez, que a pro´pria Terra atua como um grande ima˜.
Um ima˜ permanente tem um po´lo norte (N) e um po´lo sul (S), e e´ fa´cil verificar, com dois ima˜s,
que seus po´los de mesmo nome (N-N e S-S) se repelem, e que seus po´los de nomes contra´rios
(N-S) se atraem.
Entretanto, a experieˆncia mostra que na˜o e´ poss´ıvel separar um po´lo do outro num ima˜. Se o
partirmos em dois, cada um deles continuara´ tendo dois po´los N e S.
Em anos recentes, fez-se um grande esforc¸o experimental para verificar se existem part´ıculas
com “carga magne´tica”, que seriam po´los N ou S isolados (monopo´los magne´ticos). Nenhum
jamais foi detectado. E´ portanto um fato experimental ba´sico no estudo do magnetismo que
na˜o existem cargas magne´ticas (po´los magne´ticos isolados).
Prof. Elvis Soares 2 Forc¸a e Campo Magne´ticos
Quando salpicamos limalha de ferro sobre um ima˜, cada pequeno fragmento de ferro se mag-
netiza por induc¸a˜o e funciona como uma minu´scula agulha imantada (bu´ssola), indicando a
direc¸a˜o do campo, de modo que materializamos assim as linhas de forc¸a magne´ticas, conforme
a figura a seguir.
2 Forc¸a e Campo Magne´ticos
Em nosso estudo de eletricidade, descrevemos as interac¸o˜es entre objetos carregados em termos
de campos ele´tricos, que rodeiam qualquer carga ele´trica. Ale´m de conter o campo ele´trico, a
regia˜o do espac¸o ao redor de qualquer carga em movimento conte´m um campo magne´tico.
A forc¸a magne´tica que atua numa carga puntiforme devido a algum campo magne´tico ~B, tem
as seguindes propriedades:
• a intensidade da forc¸a e´ proporcional a` carga q e a intensidade da velocidade v da part´ıcula.
• quando ~v e ~B tem direc¸o˜es paralelas, a forc¸a magne´tica e´ nula.
• quando ~v e ~B tem direc¸o˜es que fazem um aˆngulo θ 6= 0 entre si, a forc¸a magne´tica tem
a direc¸a˜o perpendicular a`s direc¸o˜es de ~v e ~B e seu mo´dulo proporcional a sen θ.
Podemos resumir essas propriedades escrevendo a forc¸a magne´tica na forma de um produto
vetorial como sendo
~FB = q~v × ~B (1)
A direc¸a˜o da forc¸a magne´tica ~FB agindo numa part´ıcula carregada movendo-se com uma ve-
locidade ~v na presenc¸a de um campo magne´tico ~B e´ perpendicular a ambos ~v e ~B, conforme
figura (a). Forc¸as magne´ticas de sentidos opostos sa˜o exercidas em cargas de sinais opostos que
se movem com a mesma velocidade num campo magne´tico, conforme figura (b), onde as linhas
tracejadas mostram os caminhos das part´ıculas.
2
2 Forc¸a e Campo Magne´ticos Prof. Elvis Soares
–
+
Como a forc¸a magne´tica e´ sempre perpendicular a` velocidade da part´ıcula, podemos dizer que
o campo magne´tico na˜o realiza trabalho. Assim, a energia cine´tica de uma part´ıcula carregada
num campo magne´tico constante permanece tambe´m constante.
Da equac¸a˜o para a forc¸a magne´tica, vemos que a unidade no SI do campo magne´tico e´ o Newton
por Coulomb-metro por segundo, que e´ denominada Tesla (T), sendo enta˜o
1 T ≡ 1 N
C ·m/s ,
e uma outra unidade muito comum e´ denominada Gauss (G), que e´ relacionado com o Tesla
atrave´s da conversa˜o 1 T = 104 G. O campo magne´tico da Terra e´ ∼ 0.6 G.
Para facilitar as ilustrac¸o˜es, vamos definir uma pequena notac¸a˜o para indicar a direc¸a˜o de ~B
quando este esta´ perpendicular ao plano do papel, usaremos � quando este aponta saindo da
pa´gina e ⊗ quando este aponta entrando na pa´gina.
3
Prof. Elvis Soares 2 Forc¸a e Campo Magne´ticos
Exemplo: Forc¸a Resultante na Part´ıcula
Consideremos uma fonte de part´ıculas puntiformes de carga ele´trica q e com velocidades ~v na
direc¸a˜o x. As part´ıculas passam por uma fenda e chegam na regia˜o onde existem simultane-
amente um campo magne´tico uniforme ~B = −Bzˆ e um campo ele´trico uniforme ~E = −Eyˆ,
conforme a figura (a).
+
–
++++++
––––––
× × × × × × ×
× × × × × × ×
× × × × × × ×
× × × × × × ×
× × × × × × ×
× × × × × × ×
× × × × × × ×
Algumas dessas part´ıculas passam por essa regia˜o sem defletir, ou seja, permanecem em movi-
mento com a velocidade constante. Para que isso ocorra, sabemos que a forc¸a resultante sobre
a mesma deve ser nula, conforme figura (b), de modo que∑
~F = q ~E + q~v × ~B = 0,
que corresponde a ~E = −~v × ~B, e como a velocidade da part´ıcula esta´ na direc¸a˜o x, podemos
escrever
−Eyˆ = −(vxˆ)× (−Bzˆ),
sendo necessa´rio que a part´ıcula tenha velocidade cujo mo´dulo e´
v =
E
B
Assim, a forc¸a resultante sobre uma part´ıcula puntiforme em movimento na presenc¸a de campos
ele´trico e
magne´tico e´ dada pela forc¸a de Lorentz, que corresponde a equac¸a˜o
~F L = q ~E + q~v × ~B
onde q e´ a carga ele´trica e ~v e´ a velocidade da part´ıcula.
Obs.: Esse equipamento e´ conhecido como seletor de velocidades, pois permite filtrar as
part´ıculas que tenham somente a velocidade dada por v = E/B.
4
3 Forc¸a Magne´tica numa Corrente Prof. Elvis Soares
3 Forc¸a Magne´tica numa Corrente
Sabemos que uma forc¸a magne´tica e´ exercida numa u´nica part´ıcula quando esta se move atrave´s
de um campo magne´tico. Enta˜o, na˜o deveria ser surpresa que um fio carregado tambe´m deva
experimentar uma forc¸a quando colocado na presenc¸a de um campo magne´tico, pois uma
corrente ele´trica nada mais e´ do que uma colec¸a˜o de cargas em movimento.
Vamos quantificar esse efeito considerando um segmento infinitesimal de fio com comprimento
dl e sec¸a˜o transversal de a´rea A, carregando uma corrente I na presenc¸a de um campo magne´tico
aproximadamente uniforme ~B, conforme figura.
+
× × × × ×
× × × × ×
×
×
A forc¸a magne´tica exercida numa carga q movendo-se com velocidade de arrasto ~vD e´ q~vD× ~B.
A forc¸a magne´tica atuando no fio e´ devido a todas as cargas em movimento em seu interior que
sa˜o nAdl, lembrando que n e´ o nu´mero de cargas por volume. Assim, a forc¸a magne´tica nesse
segmento do fio de comprimento dl e´
d~FB = (q~vD × ~B)nAdl
que pode ser escrita de maneira mais conveniente se usarmos o fato que I = nqvdA, portanto
d~FB = I d~l× ~B
onde d~l e´ o vetor que aponta na direc¸a˜o da corrente I e tem magnitude igual ao comprimento
dl do segmento.
A forc¸a total que age sobre o fio todo, conforme figura,
pode ser integrada sobre o comprimento do fio
~FB = I
∫ B
A
d~l× ~B (2)
onde A e B representam as extremidades do fio. Quando
realizamos essa integrac¸a˜o, a magnitude do campo
magne´tico e sua direc¸a˜o com o vetor d~l pode variar para
pontos diferentes.
5
Prof. Elvis Soares 3 Forc¸a Magne´tica numa Corrente
Consideremos agora um fio suspenso verticalmente entre os po´los de um magneto, conforme
figura (a).
×
×
×
×
×
×
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×
× ×
× ×
Nas figuras (b), (c) e (d) temos o aparato apresentado na parte (a) como visto do po´lo sul do
magneto, tal que o campo magne´tico (cruzes azuis) tem direc¸a˜o entrando na pa´gina. Quando
na˜o ha´ corrente passando pelo fio, este permanece na vertical, conforme figura (b). Quando ha´
uma corrente vertical ascendente, o fio deflete para a esquerda, conforme figura (c). Quando a
corrente e´ descendente, o fio deflete para a direita, conforme figura (d).
Portanto, o sentido da corrente determina o sentido da forc¸a magne´tica, uma vez que trocar
I → −I resulta em levar ~FB → −~FB.
Exemplo: Forc¸a num Fio Curvado
Consideremos um fio curvado que carrega uma corrente I e esta´ localizada num campo
magne´tico uniforme ~B, conforme a figura.
Como o campo e´ uniforme, podemos tirar ~B da integral,
e obtemos
~FB = I
(∫ B
A
d~l
)
× ~B
Mas a quantidade
∫ B
A
d~l representa a soma vetorial de
todos os elementos de linha de A ate´ B. Pela lei da
adic¸a˜o vetorial, a soma e´ igual a ~L
′
, dirigido de A para
B. Portanto, reduzimos nosso resultado a
~FB = I~L
′ × ~B
Assim, a forc¸a magne´tica num fio curvado carregando uma corrente num campo magne´tico
uniforme e´ igual aquela de um fio reto conectando os pontos finais e carregando a mesma
corrente.
6
3 Forc¸a Magne´tica numa Corrente Prof. Elvis Soares
Exemplo: Forc¸a num Loop de Fio
Consideremos um fio na forma de um loop fechado que carrega uma corrente I e esta´ localizada
num campo magne´tico uniforme ~B, conforme a figura.
Novamente como o campo e´ uniforme, podemos tirar ~B
da integral, e obtemos
~FB = I
(∮
d~l
)
× ~B
Como o conjunto de elementos representa um pol´ıgono
fechado, a soma vetorial de todos os elementos deve ser
zero. Isso segue do procedimento da adiac¸a˜o de vetores
pelo me´todo gra´fico. Sendo
∮
d~l = 0, conclu´ımos que
~FB = 0
Assim, a forc¸a magne´tica total agindo em qualquer loop fechado de fio carregando uma corrente
num campo magne´tico uniforme e´ zero.
Consideremos um circuito retangular de lados a e b percorrido por uma corrente estaciona´ria I
e situado num campo magne´tico uniforme ~B, que supomos paralelo ao lado a, conforme figura
(a).
×
Como os lados 1 e 3 sa˜o paralelos a ~B, a forc¸a
magne´tica sobre ambos e´ zero. Usando o sis-
tema de coordenadas da figura, a forc¸a ~F 2 sobre
o lado 2 e´
~F 2 = (Ibzˆ)× (Byˆ) = −IBbxˆ,
igual e contra´ria a` forc¸a ~F 4 sobre o lado 4, o que
corresponde a um bina´rio de torque, conforme
figura (b).
~τ = (ayˆ)× (−IBbxˆ) = IBAzˆ
onde A = ab e´ a a´rea do circuito e definimos
~µ = IAxˆ = IAnˆ ≡ I ~A
como o momento de dipolo magne´tico da espira,
onde ~A = Anˆ e´ a sua a´rea orientada (visto da
extremidade de nˆ, o circuito e´ percorrido em
sentido anti-hora´rio).
Sendo assim, o torque magne´tico sobre uma espira com momento de dipolo magne´tico ~µ num
campo magne´tico uniforme ~B e´ dado facilmente via
~τ = ~µ× ~B
A posic¸a˜o de equil´ıbrio corresponde a ~µ// ~B, ou seja, o circuito tende a se orientar perpendi-
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Prof. Elvis Soares 4 Movimento de Cargas num Campo Magne´tico Uniforme
cularmente ao campo magne´tico. E´ devido a esse fato que uma bu´ssola se orienta na presenc¸a
do campo magne´tico terrestre, o momento de dipolo magne´tico da bu´ssola se alinha ao campo
magne´tico da Terra!
4 Movimento de Cargas num Campo Magne´tico Uni-
forme
Vimos que a forc¸a magne´tica agindo numa part´ıcula carregada em movimento num campo
magne´tico e´ perpendicular a` velocidade da part´ıcula e consequentemente o trabalho feito pela
forc¸a magne´tica sobre essa part´ıcula e´ nulo.
Consideremos o caso especial de uma part´ıcula com carga positiva que se move num campo
magne´tico uniforme com sua velocidade inicial perpendicular ao campo. Conforme a part´ıcula
muda a direc¸a˜o da sua velocidade devido a` forc¸a magne´tica, a forc¸a magne´tica permanece
perpendicular a` velocidade. E como a forc¸a e´ sempre perpendicular a` velocidade, a trajeto´ria
da part´ıcula e´ um c´ırculo! A figura a seguir mostra a part´ıcula se movendo num c´ırculo num
plano perpendicular ao campo magne´tico.
+
+
+
× × × × ×
× × × ×
×
× × × ×
× × × ×
A part´ıcula se move num c´ırculo porque a forc¸a magne´tica
~FB e´ perpendicular a ~v e ~B e tem uma intensidade cons-
tante qvB, e tem orientac¸a˜o anti-hora´ria para uma carga
positiva. Sendo assim, a forc¸a centr´ıpeta e´ igual a forc¸a
magne´tica ∑
F = macp
FB = qvB =
mv2
R
R =
mv
qB
Assim, o raio da trajeto´ria e´ proporcional ao momentum linear mv da part´ıcula e inversamente
proporcional a intensidade da carga q dela e a` intensidade do campo magne´tico B. A velocidade
angular da part´ıcula e´
ω =
v
R
=
qB
m
Esse resultado mostra que a velocidade angular da part´ıcula e o per´ıodo da o´rbita circular
na˜o dependem da velocidade linear da mesma ou do raio da o´rbita. A velocidade angular ω
e´ algumas vezes denominada de frequeˆncia c´ıclotron pois part´ıculas carregadas circulam com
essa frequeˆncia angular num tipo de acelerador chamado de c´ıclotron.
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4 Movimento de Cargas num Campo Magne´tico Uniforme Prof. Elvis Soares
Exemplo: Trajeto´ria Helicoidal
Consideremos um campo magne´tico