2 EXERCÍCIOS DE COORDENADAS

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1. Considere a figura e os seguintes elementos: 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: 
𝑋𝐴 = 0,00 𝑚 
𝑌𝐴 = 0,00 𝑚 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 57,00 𝑚 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 50,00 𝑚 
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 114,74 𝑚 
𝐴𝐹̅̅ ̅̅ = 64,81 𝑚 
𝐹𝐸̅̅ ̅̅ = 33,44 𝑚 
𝑅𝐴𝐵 = 58°𝑁𝐸 
𝐶�̂�𝐴 = 100° 
𝐵�̂�𝐹 = 70° 
𝐴�̂�𝐶 = 95° 
𝐶�̂�𝐸 = 80° 
𝐹�̂�𝐶 = 60° 
𝐹�̂�𝐵 = 95° 
𝐷�̂�𝐹 = 150° 
Determine: 
a) O rumo da direção (CE); R:: 3°0´33,34´´ SW 
b) O rumo da direção (CD); R: 73°0´13,46´´ NE 
c) A distância BF̅̅̅̅ e o rumo(BF). R: 70,16 m e 2°13´47,65´´ SE 
a) 
Trajeto ABC 
𝑥𝐵 = 𝑥𝐴 + 𝑑𝐴𝐵 . 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑧𝐴𝐵 
𝑥𝐵 = 0,00 + 57,00. 𝑠𝑖𝑛58° = 48,34 𝑚 
𝑦𝐵 = 𝑦𝐴 + 𝑑𝐴𝐵 . 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑧𝐴𝐵 
𝑦𝐵 = 0,00 + 57,00. 𝑐𝑜𝑠58° = 30,21 𝑚 
AzBC = 58°+ 80°= 138° 
𝑥𝐶 = 𝑥𝐵 + 𝑑𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑧𝐵𝐶 
𝑥𝐵 = 48,34 + 50,00. 𝑠𝑖𝑛138° = 81,80 𝑚 
𝑦𝐶 = 𝑦𝐵 + 𝑑𝐵𝐶 . 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑧𝐵𝐶 
𝑦𝐵 = 30,21 + 50,00. 𝑐𝑜𝑠138° = −6,95 𝑚 
Trajeto AFE 
AzAF = 58° + 70° = 128° 
𝑥𝐹 = 𝑥𝐴 + 𝑑𝐴𝐹 . 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑧𝐴𝐹 
𝑥𝐹 = 0,00 + 64,81. 𝑠𝑖𝑛128° = 51,07 𝑚 
𝑦𝐹 = 𝑦𝐴 + 𝑑𝐴𝐹 . 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑧𝐴𝐹 
𝑦𝐹 = 0,00 + 64,81. 𝑐𝑜𝑠128° = −39,90 𝑚 
∆𝑥𝐹𝐶 = 𝑥𝐶 − 𝑥𝐹 = 81,80 − 51,07 = +30,73 𝑚 (𝐸) 
∆𝑦𝐹𝐶 = 𝑦𝐶 − 𝑦𝐹 = −6,95 + 39,90 = +32,95 𝑚 (𝑁) 
𝑅𝐹𝐶 = 𝑡𝑎𝑛
−1 (
30,73
32,95
) 𝑁𝐸 
𝑅𝐹𝐶 = 43°0´12,15´´𝑁𝐸 
AzFE = 43°0´12,15´´ + 80° = 123°0´12,15´´ 
𝑥𝐸 = 𝑥𝐹 + 𝑑𝐹𝐸 . 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑧𝐹𝐸 
𝑥𝐸 = 51,07 + 33,44. 𝑠𝑖𝑛123°0´12,15´´ = 79,11 𝑚 
𝑦𝐸 = 𝑦𝐹 + 𝑑𝐹𝐸 . 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑧𝐹𝐸 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
𝑦𝐸 = −39,90 + 33,44. 𝑐𝑜𝑠123°0´12,15´´ = −58,12 𝑚 
∆𝑥𝐶𝐸 = 𝑥𝐸 − 𝑥𝐶 = 79,11 − 81,80 = −2,69 𝑚 (𝑊) 
∆𝑦𝐶𝐸 = 𝑦𝐸 − 𝑦𝐶 = −58,12 + 6,95 = −51,17 𝑚 (𝑆) 
𝑅𝐶𝐸 = 𝑡𝑎𝑛
−1 (
2,69
51,17
) 𝑆𝑊 
𝑅𝐶𝐸 = 3°0´33,34´´𝑆𝑊 
Resolvendo pelo trajeto ABCE 
Cálculo da distância CE. (lei dos senos) 
𝐶𝐸̅̅̅̅
sin 80°
=
33,44
sin 40°
 
𝐶𝐸̅̅̅̅ = 51,23 𝑚 
AzCE = RFC + 30° + 110° = 183°0´12,15´´ 
𝑥𝐸 = 𝑥𝐶 + 𝑑𝐶𝐸 . 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑧𝐶𝐸 
𝑥𝐸 = 81,80 + 51,23. sin 183°0´12,15´´ = 79,12 𝑚 
𝑦𝐸 = 𝑦𝐶 + 𝑑𝐶𝐸 . 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑧𝐶𝐸 
𝑦𝐸 = −6,95 + 51,23. cos 183°0´12,15´´ = −58,11 𝑚 
∆𝑥𝐶𝐸 = 𝑥𝐸 − 𝑥𝐶 = 79,12 − 81,80 = −2,68 𝑚 (𝑊) 
∆𝑦𝐶𝐸 = 𝑦𝐸 − 𝑦𝐶 = −58,11 + 6,95 = −51,16 𝑚 (𝑆) 
𝑅𝐶𝐸 = 𝑡𝑎𝑛
−1 (
2,68
51,16
) 𝑆𝑊 
𝑅𝐶𝐸 = 2°59´55,25´´𝑆𝑊 
A diferença entre as duas respostas deve-se ao arredondamento. (0°0´38,09´´) 
b) 
AzCD = 43°0´12,15´´ + 30° = 73°0´12,15´´ 
𝑥𝐷 = 𝑥𝐶 + 𝑑𝐶𝐷 . 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑧𝐶𝐷 
𝑥𝐷 = 81,80 + 114,74. sin 73°0´12,15´´ = 191,53 𝑚 
𝑦𝐷 = 𝑦𝐶 + 𝑑𝐶𝐷 . 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑧𝐶𝐷 
𝑦𝐷 = −6,95 + 114,74. cos 73°0´12,15´´ = 26,59 𝑚 
∆𝑥𝐶𝐷 = 𝑥𝐷 − 𝑥𝐶 = 191,53 − 81,80 = 109,73 𝑚 (𝐸) 
∆𝑦𝐶𝐷 = 𝑦𝐷 − 𝑦𝐶 = 26,59 + 6,95 = 33,54 𝑚 (𝑁) 
𝑅𝐶𝐸 = 𝑡𝑎𝑛
−1 (
109,73
33,54
) 𝑁𝐸 
𝑅𝐶𝐸 = 73°0´13,46´´𝑁𝐸 
c) 
∆𝑥𝐵𝐹 = 𝑥𝐹 − 𝑥𝐵 = 51,07 − 48,34 = 2,73 𝑚 (𝐸) 
∆𝑦𝐵𝐹 = 𝑦𝐹 − 𝑦𝐵 = −39,90 − 30,21 = −70,11 𝑚 (𝑆) 
𝑅𝐶𝐸 = 𝑡𝑎𝑛
−1 (
2,73
70,116
) 𝑆𝐸 
𝑅𝐶𝐸 = 2°13´47,65´´𝑆𝐸 
𝐷𝐵𝐹 = √2,732 + (70,11)2 
𝐷𝐵𝐹 = 70,16 𝑚 
 
 
 
 
 
 
2. Considere a poligonal representada na figura, da qual se obtiveram os seguintes elementos: 
 
 
 
A(−100 , 5) 
B(−20 , −15) 
C(200 , −3) 
BC̅̅̅̅ = 80,00 m 
CD̅̅ ̅̅ = 70,00 m 
EF̅̅̅̅ = 90,00 m 
DĈB = 130° 
DÊF = 140° 
RAB = 40°NE 
Determine: 
1. O RAB; R: 75°57´49,52´´SE 
2. A distância AB; R: 86,46 m 
3. O ângulo 𝐴�̂�𝐶; R:115°57´49,52´´ 
4. Coordenadas dos pontos D e F. D(101,42 m , 46,28 m) F(287,54 m , 17,92 m) 
 
3. Uma pequena rede topográfica de controle tem quatro estações a, b, c e d. as estações c e d estão 
situadas a este da linha ab. a partir dos seguintes dados, calcule as coordenadas de d. 
 
A(4763,252 m , 6372,156 m) 
B(2477,361 m , 1544,789 m) 
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 4366,890 𝑚 
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 3632,471 𝑚 
𝐶�̂�𝐵 = 49°26´15´´ 
𝐵�̂�𝐴 = 65°37´39´´ 
 
R: D(8786,492 m , 4674,136 m) 
 
4. Três pontos, P, Q e R têm as seguintes coordenadas: 
P(950,00 m , 1200,00 m) Q(983,50 m , 1340,00 m) R(1027,69 m , 1239,74 m) 
 
 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
um ponto s é materializado sobre PQ, tal que a perpendicular, nele, à reta PQ passe por R. quais são os 
comprimentos de SP, SQ e SR? 
𝑆𝑃̅̅̅̅ = 56,72 𝑚 
𝑆𝑄̅̅̅̅ = 87,23 𝑚 
𝑆𝑅̅̅̅̅ = 66,31 𝑚 
5. As coordenadas de duas estações topográficas, A e B são: 
A(323679,35 m , 340431,32 m) B(324022,07 m , 342846,89 m) 
 
As distâncias de uma terceira estação, C, situada a este de A e B são: 
𝐶𝐴̅̅ ̅̅ = 1901,624 𝑚 
𝐶𝐵̅̅ ̅̅ = 1388,901 𝑚 
Calcule as coordenadas da estação C. 
R: C(324967,91 m , 341829,82 m) 
 
6. Determinar as coordenadas retangulares do ponto C, sendo conhecidos os ângulos indicados na 
figura e a distância BC = 1500 m. 
 
I(-25313 m , -34568 m) II(12125 m , 5332 m) B(85425 m , 44575 m) 
 
R: 84582,46 m , 4333,98 m) 
7. Sejam A e B duas estações de coordenadas: 
A(3669,35 m , 1746,89 m) B(3812,07 m , 1675,00 m) 
 
Pretende-se materializar no terreno uma estação C de coordenadas: 
C(3700,00 m , 1675,00 m) 
Calcule: 
a) O ângulo 𝐵�̂�𝐶; R: 27°54´35,29´´ 
b) O ângulo 𝐴�̂�𝐶; R: 60°17´35,14´´ 
c) As distâncias horizontais 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . R: DAC = 78,151 m DBC = 120,281 m