Exercícios de Cálculo 1

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Universidade Federal de Uberlaˆndia.
Disciplina: Ca´lculo 1 (GGI002)-2015-1.
Curso: Graduac¸a˜o em Gesta˜o da Informac¸a˜o.
Lista de Exerc´ıcios 2.
1. Uma cultura de bacte´rias em um mero nutriente homogeˆneo comec¸a com 500 indiv´ıduos
e dobra de tamanho a cada hora. Se o nu´mero de bacte´rias for p(t) onde t e´ medido em
horas, e a populac¸a˜o inicial for p(0) = 500 determine a populac¸a˜o apo´s 20 horas.
2. Ache o domı´nio e esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = ln(−x) b) f(x) = ln(x− 1) c) f(x) = ln|x| d) f(x) = 1
x− 4
e) f(x) = |senx| f) f(x) = −x3 g) f(x) = 1−x2 h) f(x) = √x+ 3 i) f(x) =√|x|
3. Qual a func¸a˜o inversa de f(x) =
x+ 1
x− 1 ?
4. Seja f(x) = x + ex. Mostre que f e´ invers´ıvel e esboce os gra´ficos de f e de sua func¸a˜o
inversa.
5. Calcule:
a) arc tg
(√
3
3
)
b) arc sen
(√
3
2
)
c) arc sen
(
−1
2
)
d) arc tg 1 e) arc tg
√
3
6. Sejam a e b nu´meros reais quaisquer verifique que
(a) sena cosb =
1
2
[sen(a+ b) + sen(a− b)]
(b) cosa cosb =
1
2
[cos(a+ b) + cos(a− b)]
(c) sena senb =
1
2
[cos(a− b)− cos(a+ b)]
7. Mostre que, para todo x, com cosx
2
6= 0, tem-se:
a) senx =
2 tg x
2
1 + tg2 x
2
b) cosx =
1− tg2 x
2
1 + tg2 x
2
8. Deˆ os domı´nios e esboce os gra´ficos de f + g e
f
g
, onde:
a) f(x) = x e g(x) = x2 − 1 b) f(x) = 1 e g(x) = √x− 1
9. Verifique que Imf ⊂ Dg e determine a composta h(x) = g(f(x))
(a) g(x) = 3x+ 1 e f(x) = x+ 2
(b) g(x) =
√
x e f(x) = 2 + x2
(c) g(x) =
2
x− 2 e f(x) = x+ 1, x 6= 1.
10. Sejam f(x) = x2 + 2 e g(x) = x+ a. Determinar o valor de a de modo que
(f ◦ g)(3) = (g ◦ f)(a− 1).
11. Sejam f, g : R→ R tal que: f(x) = x2 + 2x+ 3, g(x) = x− 5. Calcular
[
(g ◦ f)(1) + (f ◦ g)(2).(f ◦ g)(3)− (g ◦ g)(2)
(f ◦ g)(2)
]−2
1
Ca´lculo 1.
12. Sejam f e g func¸o˜es injetoras tal que f ◦ g existe. Mostre que f ◦ g e´ injetora.
13. Mostre que a func¸a˜o f(x) = 5x, ∀x ∈ R e´ injetora.
14. A func¸a˜o f : (−4, 3]→ [−9, 13) definida por f(x) = −2x+ 1 e´ bijetora?
15. Seja f(x) = 4
√
x− x, 0 ≤ x ≤ 1. Mostre que existe f−1 e calcule a` inversa.
16. Esboce o gra´fico de:
a) f(x) = log2x b) h(x) = log 1
2
x
17. Calcule:
a) log10100 b)log5(−5) c)log3243 d)log 1
2
√
2
18. Se f : R→ B e´ uma func¸a˜o sobrejetora tal que f(x) = |x− 3| − x.
Determine o conjunto B.
Eduard Rojas C. UFU-FAMAT. 2 Gesta˜o da Informac¸a˜o.