Lista de Exercicio Incerteza

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Lista de Micro IV - Incerteza 
Q1) A riqueza total, W, de um investidor tem duas componentes: uma renda do trabalho e uma 
riqueza financeira: 
𝑊 = 𝑊𝐿 + 𝑊𝐹 
onde 
𝑊𝐹 = (1 + 𝑅𝑖)𝑊𝑖, 
𝑊𝐿 = renda do trabalho (salário), 
𝑊𝑖 = montante investido no fundo i 
𝑅𝑖 = retorno do fundo i. 
Esse investidor pode escolher apenas uma das três possibilidades de aplicação: 
1) um fundo doméstico, D; 
2) um fundo estrangeiro, E; 
3) uma caderneta de poupança, S. 
O salário 𝑊𝐿 e os retornos 𝑅𝑖 dependerão do estado da economia, se em expansão ou recessão. 
Então, 
𝑊𝐿 = {
1.000 se expansão
200 se recessão
 𝑅𝐷 = {
0,10 se expansão
−0,10 se recessão
 
𝑅𝐸 = {
−0,10 se expansão
0,10 se recessão
 𝑅𝑆 = {
0,0 se expansão
0,0 se recessão
 
Note: a caderneta de poupança sempre dá retorno 0,0%, independente do estado da economia. 
Esse investidor é avesso ao risco e tem utilidade de Bernoulli 𝑢(𝑊) = ln 𝑊. 
a) Suponha inicialmente que 𝑊𝐹 = 0. Qual o equivalente-certeza da riqueza? 
b) Suponha agora que 𝑊𝐹 = 1.000 e que o investidor poderá aplica-la em apenas um ativo. 
Qual o ativo ele escolherá? Ou seja, com qual aplicação ele terminará com a maior 
utilidade esperada? Aproveite e encontre os retornos e as riquezas totais esperadas 
também. 
c) Com base no exemplo anterior, comente a afirmação: se dois ativos têm o mesmo retorno 
esperado, então um investidor avesso ao risco sempre prefere o de menor variância. 
 
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Q2) Considere as duas funções de utilidade de se investir em um certo portfólio: 
 𝑉(𝜎, 𝑅) = 𝑅 −
𝑏
2
(𝜎2 + 𝑅2), 𝑈(𝜎, 𝑅) = 𝑅 −
𝑐
2
𝜎2 
onde R e σ são, respectivamente, a média e o desvio-padrão do portfólio, b e c são constantes 
positivas sendo b < 1/μ. 
a) Mostre que nos dois casos a utilidade cresce com R e diminui com σ. 
b) Intuitivamente, quanto maior c, maior ou menor a aversão ao risco? 
 
Q3) Considere duas aplicações, f e m. 
 f tem retorno 𝑅𝑓 e risco 0 (ativo risk free) 
 m é um ativo arriscado com retorno médio 𝑅𝑚 > 𝑅𝑓 e desvio-padrão 𝜎𝑚 
Vimos em sala que se um investidor aplica uma fração b de sua riqueza no ativo sem risco e uma 
fração (1 − 𝑏) no de risco, então seu portfolio ótimo deve obedecer a relação: 
𝑅𝑝 = 𝑅𝑓 +
𝑅𝑚−𝑅𝑓
𝜎𝑚
𝜎𝑝 (“restrição orçamentária”) 
Se a função de utilidade do aplicador é 𝑈 = 𝑅𝑝 −
𝑐
2
𝜎𝑝
2, encontre o portfólio ótimo, ou seja, 
encontre a combinação entre retorno e risco que maximiza a utilidade do aplicador. Represente 
graficamente. 
Resposta: Maximize U em relação a Rp e a σp sujeita à restrição orçamentária. Você encontrará: 
𝜎𝑝 =
1
𝑐
𝑅𝑚−𝑅𝑓
𝜎𝑚
 e 𝑅𝑝 = 𝑅𝑓 +
1
𝑐
(
𝑅𝑚−𝑅𝑓
𝜎𝑚
)
2
 
 
Q4) Considere as funções de utilidade de Bernoulli abaixo: 
𝑢(𝑥) =
𝑥1−𝜆
1−𝜆
 onde 𝜆 ≠ 1 e 𝑣(𝑥) = −exp (−𝐴𝑥) onde 𝐴 > 0. 
Verifique que a atitude da pessoa em relação ao risco depende dos valores dos parâmetros λ e A. 
 
 
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Q5) João é um empresário avesso ao risco que possui uma fábrica no valor de 𝑊0 (medido em 
milhões de $). Um incêndio pode ocorrer com probabilidade π, o que causa uma perda de L 
(milhões de $). Uma seguradora (neutra ao risco), vende seguro contra incêndio com prêmio de γ 
por cada unidade de seguro contratada, onde 0 < 𝛾 < 1: se João contratar um seguro no valor K, 
então ele recebe K se houver incêndio, mas paga 𝛾𝐾 havendo ou não incêndio. A utilidade de 
Bernoulli de João é 𝑢 = 𝑢(𝑊). 
a) Descreva o problema de otimização de João ao escolher o valor de K. Estabeleça a 
condição de otimização. 
b) Determine o lucro esperado da seguradora em função dos parâmetros do modelo. Qual a 
condição para que a seguradora não queira sair do mercado? 
c) Suponha um mercado competitivo com livre entrada e saída de seguradoras. Mostre que 
o contrato ótimo de seguro independe de p e do grau de aversão ao risco. Determine esse 
contrato ótimo (ou seja, encontre o K ótimo) e o lucro esperado das seguradoras. 
 
No item abaixo, considere 𝑢(𝑊) =
𝑊1−𝜆
1−𝜆
, onde λ é uma constante positiva mas diferente de 
1. Também considere 𝑊0 = 𝐿 = 1 milhão. 
 
d) Prove que o contrato ótimo é: 
𝐾∗ =
1
(1 − 𝛾) (
𝛾
1 − 𝛾
1 − 𝜋
𝜋 )
1
𝜆
+ 𝛾
 
Q6) (ANPEC 2007) Um indivíduo tem função de utilidade 𝑢(𝑥) = 𝑘
𝑎
𝑥
 conde k e a são constantes 
positivas e x > a/k. Este indivíduo é convidado a participar de uma loteria que triplica sua riqueza 
com probabilidade p e reduz à terça parte com probabilidade (1-p). Qual deve ser o valor mínimo 
de p para que o indivíduo aceite participar da loteria?