IAL I I Exercicios Resolvidos 02[1]

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Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  7
8) Encontre um vetor unitário ortogonal a ambos e
 
101u
 
110v
8) Encontre um vetor unitário ortogonal a ambos                     e 
Solução:
 
1,0,1u  1,1,0v
 ‐ Considere um vetor qualquer                          ortogonal a u e v 
zyx ,,w
                      xxxxzzx  ,,00 wuw
- Encontrar o vetor unitário = Normalização de w 
 
         xzyzy  ,,00vw
                   


3
1
3
1
3
1
ˆ
3
1
ˆ
1
ˆ
2
,-,x,x,-x
x
www
w
w
Obs.: o vetor                                                  também é ortogonal a u e v.      ‐   

 
3
1
3
1
3
1
ˆ
,,w  333
Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  8
9) Encontre a área do paralelogramo no espaço9) Encontre a área do paralelogramo, no espaço 
tridimensional, formado pelos vetores u e v
v
h
Solução:
u
sinvh
‐ Área do paralelogramo:
cálculo da altura:                          ;  Portanto  
hAalturabaseA u )).((
sinvuAsvh ; sinvuA
Identidade de Lagrange:  2222
vuvuvu 
‐ Outra expressão para o cálculo da área
Identidade de Lagrange:  
vuvuvu 
 
   
cos
2
22
2
2222
2222
vuvuvu 
   
 

sin
)(cos1cos
2
22
2
22
2
2222
vu
vuvuvu


              
              
 sinsin vuvuvuvu  A                       
Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  9
10) Encontre a área do triângulo, no espaço tridimensional, determinado pelos 
Solução:
) g , p ç , p
pontos                    ,                      e                  .     
0,2,2
1
P
 
2,0,1
2
P  3,4,0
3
P
Solução:
‐Observe que a área do triângulo é ½ da área do 
paralelogramo formado pelos vetores             e          .
21
PP
1
31
PP
2
P
3
P
‐Portanto,  
3121
2
1
PPPPA 
1
P
 
  kji
kji
10510223
322
2,2,3
3121
21 

PPPP
PP
PP
      
15



 
322
3,2,2
31 PP
1510025100
3121
 PPPP
2
15



 A    
1510025100
3121
 PPPP 
Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  10
11) Mostre que
2222
22 vuvuvu 
Sabendo que tem‐se:
Solução:
11) Mostre que
22 vuvuvu 
xxx 2Sabendo que                        , tem se:
       
       
(1)        
222
222
22 vvuuvvvuuuvuvuvu 
xxx 
Faça
       
(2)       
222
22 vvuuvvvuuuvuvuvu 
                 (2)(1)
2222
22 vuvuvu ç ( )( )
12) Mostre que
22
11
vuvuvu 
12) Mostre que
44
vuvuvu 
Solução:
Utilize as equações (1) e (2) do exercício anterior.q ç ( ) ( )
Faça
                   (2)(1) vuvuvu  422
Portanto
22
4
1
4
1
vuvuvu 
Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  11
13) Sejam i j e k os vetores unitários ao longo dos13) Sejam i, j e k os vetores unitários ao longo dos 
eixos  x, y e z positivos de um sistema de coordenadas 
retangulares no espaço tridimensional. Se v=(a,b,c) é 
um vetor não nulo, então os ângulos ,  e  entre i, j
e k, respectivamente, são chamados ângulos diretores 
de v (veja a figura) e os números cos(), cos() e 
cos() são s cossenos diretores de v.
a) Mostre que 
a)cos(
) q
b) Encontre                 e
v
)(
)cos( )cos(
c) Mostre que
d) Mostre que
 
)cos()cos()cos( v
     
1)cos()cos()cos(
222  
d) Mostre que  )cos(),cos(),cos( 
v
Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  12
Solução:Solução:
a)
iv
iv
iviv
 )cos()cos(      
 
 
   
vv
v
i
v
acba
cba


)cos(
0,0,1,,
)cos(
,,
0,0,1                  
b)
 
vv
v cba ,,
jv
jvjv
 )cos()cos( 
     j
jv
jvjv
bcba 

)cos(
0,1,0,,
)cos(
0,1,0
)cos()cos(

     
 
vv
v cba
 )cos()cos(,,                 
kv 
     k
kv
kv
kvkv
ccba


100
100
)cos()cos(       
 
 
   
vv
v
k
ccba
cba


)cos(
1,0,0,,
)cos(
,,
1,0,0                  
Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  13
   cba11c)   



vvvv
vv
v
v
cba
cba ,,,,
1
ˆ
1
ˆ     
d)
‐ Utilizando os resultados obtidos nos itens (a) e (b)  
)cos(),cos(),cos(
ˆ  v   
Utili lt d btid it ( )d)
     
1)cos()cos()cos(1
ˆˆ
222   vv      unitário vetor
‐ Utilize o resultado obtido no item (c)
14) Em relação ao exercício anterior, mostre que dois vetores não nulos v
1
e v
2
do 
t idi i l ã di l tespaço tridimensional são perpendiculares se, e somente se, seus cossenos 
diretores satisfazem
0)cos()cos()cos()cos()cos()cos(
212121
 
Solução:ç
‐ Utilizando os resultados do exercício anterior, tem‐se
  



 i
i
i
b
a
i
icba
v
v )cos(
)cos(
21 

epara
 




i
i
i
i
c
i
iiiii
icba
v
v
v
)cos(
)cos(21,,

          e para 
Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  14
ortogonaisvetores 0vv
  por equação a divida      0
ortogonais vetores      


21212121
21
0
vv
vv
ccbbaa
ccbbaa
0
21
21
21
21
21
21
vvvvvv
ccbbaa
0)cos()cos()cos()cos()cos()cos(
212121
 Então:
15)
 
3
   
15) Suponha que                            . Calcule                     e                    .    3 wvu  vwu    uvw 
Solução:
321
uuu
 
3
321
321

www
vvvwvu
‐ Do enunciado tem‐se
 
3
321
321
321
321
 vvv
uuu
www
uuu
vwu      
321
321
321
321
wwwvvv
Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  15
 
3
321
321
321
321
 vvv
uuu
uuu
www
vuw    
321321
wwwvvv
16) Encontre sabendo que e
vu
1 vu 5vu
16) Encontre            sabendo que                     e                     . 
Solução:
vu  1 vu 5 vu
        222        
       
(2)        
(1)       
222
222
22
22
vvuuvvvuuuvuvuvu
vvuuvvvuuuvuvuvu


Faça
P t t
                   (2)(1) vuvuvu  422
Portanto
          65
4
1
1
4
1
4
1
4
1
22
22  vuvuvuvuvu
4444
Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  16
17) Dados e encontre o componente vetorial de
 3211a  
1412 u17) Dados                               e                            , encontre o componente vetorial de 
u ao longo de a e o componente vetorial de u ortogonal a a.
Solução:
 3,2,1,1a  
1,4,1,2u
‐ componente vetorial de u ao longo de a
     32111412 au      
   43812
3,2,1,1
)3()2()1()1(
3,2,1,11,4,1,2
proj
2222
2

 a
a
au
u
a
                                      3,2,1,1
15
4
proj3,2,1,1
9411
3812 
 u
a
‐ componente vetorial de u ortogonal a a
       
3,2,1,1
15
4
1,4,1,2
15
15
3,2,1,1
15
4
1,4,1,2proj
2
 aauuuu
a
       
                                    27,52,11,34
1
1
proj
151515
p j
2
 uu
a
a
a 
,,,
15
p j
a
Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  17
18) Verifique se é uma transformação linear
22
: T
18) Verifique se                           é uma transformação linear.
a) .
b)
   
yxyxT ,1, 
: T
   
xyyxT 
‐ Considere os vetores e
b) .
Solução:
   
xyyxT ,, 
 
aaA   bbB Considere os vetores                          e                        .
‐ Para que uma transformação seja linear deve‐se ter:       BTATBAT  
   
 
21
,aaA   
21
,bbB 
a)    
 
       2211
22112121
,1
,),(),(
baba
babaTbbaaT




                                       
b)
       
21212121
,,,,1 bbTaaTbbaa                                        
   
)()( bbTbbT
‐ A transformação é não linear
b)    
 
       1122
22112121
,
,),(),(
bbTTbb
baba
babaTbbaaT





                                       
       
21211212
,,,, bbTaaTbbaa                                        
‐ A transformação é linear