WEB AULA 01 CALCULO numerico

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Unidade 2 – Cálculo Numérico
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Introdução
Na unidade anterior, você estudou que uma das maneiras de se trabalhar com uma função definida por uma tabela de valores é a interpolação polinomial.
Contudo, existem alguns casos para os quais a interpolação polinomial não é a mais viável e, por isso, daremos início, nessa segunda unidade, a um novo método para trabalhar com situações em que precisamos lidar com uma função definida por uma tabela de valores. Esse método consiste na aproximação de função a uma variável real pelo método dos mínimos quadrados.
Método dos Mínimos Quadrados
De acordo com Ruggiero e Lopes (1996, p. 268), existem alguns casos para os quais a interpolação polinomial não é viável. Estes casos são:
quando é necessário obter um valor aproximado da função em um determinado ponto que se encontra fora da curva (fora do intervalo tabelado);
quando os valores inseridos e organizados em tabelas são oriundos de resultados de pesquisa ou experimento, o que pode apresentar erros que muitas vezes não são previsíveis.
Nos casos elencados perceba que se faz necessário ajustar a curva da função, de maneira a obter uma função aproximada que nos permita extrapolar os valores tabelados, porém, com certa margem considerável de segurança.
Mas antes de iniciarmos os estudos sobre o que é exatamente o método dos mínimos quadrados é essencial que você entenda que ao realizar a aproximação de uma função podemos nos deparar com duas situações diferentes: com caso discreto ou com caso contínuo.
Questão para Reflexão
O que é uma função discreta? E uma função contínua?
No caso discreto lidamos com o problema de ajuste linear de curvas que apresentam tabelas de pontos em que  são elementos que pertencem a um intervalo . Nessa situação, escolhidas n funções contínuas  no intervalo obtemos n constantes  tais que a função  se aproxima o máximo possível de .
Nesse caso, como os coeficientes  aparecem de maneira linear, independente das funções  serem lineares ou não, dizemos que a função  obtida é um modelo linear.
Para escolher as funções  basta observar o gráfico de pontos tabelados ou, simplesmente, pautar-se nos fundamentos teóricos dos experimentos dos quais foram obtidos os dados tabelados.
Esses pontos tabelados, quando representados graficamente, obtemos o diagrama de dispersão e é por meio deste que visualizar a curva que melhor se ajusta aos dados.
A título de exemplo, considere uma empresa que deseja avaliar o número de vendas a partir do dinheiro empregado em propaganda. Para isso, foram coletados os dados de investimentos em propaganda e os dados referentes às vendas.
Nessa situação, nós temos que o investimento em propaganda é a variável independente (x) e que a venda é a variável dependente (y).
Observe os dados tabelados para essa situação:
Tabela 2.1 – Os dados de investimento gasto em propaganda e os dados referentes às vendas
Colocando esses dados em um gráfico, obtemos o diagrama de dispersão, conforme mostra a figura a seguir:
Figura 2.1 – Diagrama de dispersão: investimento gasto em propaganda x vendas
No diagrama de dispersão apresentado na figura 1, os pontos azuis representam as coordenadas (dados) da tabela 1. Os pontos rosas representam a aproximação realizada. Esses pontos rosas nos permitem traçar uma reta, ou seja, obter um modelo matemático linear que associa as variáveis envolvidas na situação. Essa reta chamamos de Reta de Regressão.
No caso contínuo, o ajuste de curvas se dá da seguinte maneira: considerando uma função  contínua em um intervalo  e escolhidas as funções  todas, do mesmo modo, contínuas em , determinar n constantes  de maneira que a função  se aproxima o máximo possível de .
Nesse caso, o segredo está em escolher uma função  de maneira que o módulo da área sob a curva  seja o mínimo possível. Veja um exemplo na figura a seguir:
Figura 2.2 – Reta de regressão no caso contínuo
Na Figura 2.2 temos a função  cuja curva é representada na cor vermelha. A aproximação é dada pela curva de regressão  destacada na cor azul.
Questão para Reflexão
Tanto no caso discreto quanto no contínuo, o que significa
Agora que você já conheceu os dois casos em que podemos trabalhar com ajuste de curvas, vamos entender o método dos mínimos quadrados.
A partir do que você estudou até o momento nessa segunda unidade, você deve ter notado que a ideia principal ao ajustar curvas é impor que o desvio entre  e  seja mínimo para cada ponto. E, para impor que esses desvios sejam mínimos existem diversos métodos, dentre os quais destacamos em nosso estudo o método dos mínimos quadrados.
Considerando os pontos  e as n funções  escolhidas e, considerando, ainda, que o número de pontos m tabelados é sempre maior ou igual ao n número de funções escolhidas ou o número de coeficientes  a se determinar, o objetivo no método de mínimos quadrados é encontrar coeficientes  de maneira que  se aproxima o máximo possível de .
Dentro dos mínimos quadrados, os coeficientes  que fazem com que  se aproxime ao máximo de  são aqueles que minimizam a função.
Integração Numérica
Ao estudar Cálculo Diferencial e Integral, você, provavelmente, conheceu que por meio da integral definida de Riemann podemos obter um resultado que pode ser interpretado como a área (integral simples) ou o volume de figuras geométricas (integral múltipla).
Mas ao lidarmos com funções aproximadas, resolvê-las por técnicas de integração não é um processo trivial. Para esses casos precisamos utilizar métodos específicos para calcular a integral definida.
Considerando que se uma função  é contínua em um intervalo , então essa função tem uma primitiva neste intervalo, de acordo com o que você já estudou na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. Ou seja, para a função  nessas condições existe , que é uma primitiva tal que . Assim, temos a integral definida dessa função, neste intervalo, que é dada por:
Mas, como já foi mencionado anteriormente, existem casos em que obter essa primitiva não é tarefa fácil, o que dificulta e, até mesmo, impossibilita calcular essa integral.
Entretanto, nesses casos, é possível obter uma aproximação para a integral definida de  a partir da utilização de métodos numéricos específicos, que constituem o estudo da integração numérica.
De uma maneira bem simples, você pode compreender que a ideia básica da integração numérica é a substituição da função  por um polinômio, de maneira que este aproxime razoavelmente no intervalo . Assim, o processo de resolução torna-se mais simples, pois resolveremos o problema por meio da integração de polinômios, o que não é tão complicado fazer.
Questões para Reflexão
A partir do que foi estudado até agora sobre integração numérica você consegue estabelecer alguma relação entre esse conceito e o de interpolação ou método dos mínimos quadrados? Em caso afirmativo, que relações?
São diversos os métodos numéricos existentes na integração numérica, mas você estudará em seu curso apenas os mais utilizados. Antes de conhecer quais são esses métodos, destacamos que eles podem ser classificados em dois grupos:
(a)  Fórmulas de Newton-Cotes: para os valores de  empregados, temos que os valores de  são igualmente espaçados.
(b)  Fórmula de quadratura gaussiana: utiliza pontos espaçados de maneiras diferentes, sendo estes espaçamentos determinados por propriedades polinomiais”.
Em ambos dos casos, as fórmulas que deduziremos partirão da seguinte expressão:
Solução Numérica de Equações Diferenciais 
As equações diferencias ordinárias (EDOs) são necessárias na busca de solução de inúmeros problemas relacionados a diversos tipos de fenômenos. Porém, existem situações em que estudar diretamente uma EDO, por seus próprios procedimentos analíticos, pode ser um processo trabalhoso ou, até mesmo, impossível.
Para esses casos, em que recorrer aos procedimentos analíticos de EDOs não é o suficiente ou a maneira mais eficaz para estudar uma EDO,necessitamos de métodos numéricos para determinar a solução de equações diferenciais (SPERANDIO; MENDES; SILVA, 2014).
Nos dedicaremos ao estudo dos métodos numéricos que se referem ao cálculo da solução numérica de equações diferenciais de primeira ordem (problemas de valor inicial) e ao cálculo da solução numérica de equações diferenciais de ordem superior (problemas de valor de contorno).
Mas antes de iniciarmos as abordagens sobre esses métodos numéricos, é muito importante que você compreenda em que consiste uma equação diferencial.
Chamamos de equações diferenciais as equações que envolvem derivada de funções. Quando uma equação diferencial possui apenas uma única variável independente, então ela é classificada como equação diferencial ordinária. Veja alguns exemplos:
 
Quando na equação diferencial estão envolvidas mais que uma variável independente, consideramos que se trata de uma equação diferencial parcial. Veja um exemplo:
Questão para Reflexão
Que relação você consegue estabelecer entre a equação diferencial parcial e as derivadas parciais?
A solução de uma equação diferencial ordinária corresponde a uma função da variável independente que satisfaça a equação. Assim, temos:
Diante do exposto até agora, é notável que uma equação diferencial possui uma família de soluções. Veja um exemplo na figura a seguir:
Figura 2.3 – Família de soluções para a EDO .
Outro aspecto importante a se observar no estudo das equações diferencias é quanto à ordem de uma equação diferencial que está associada à mais alta ordem de derivação de uma equação. Assim, por exemplo, dizemos que uma equação diferencial ordinária é linear quando a função e suas derivadas aparecem de maneira linear na equação.
Perceba que, de acordo com o que você estudou em Cálculo Diferencial e Integral, uma equação linear não possui uma solução única e, para que seja possível individualizar uma solução é preciso impor algumas condições: uma equação de ordem  requer  condições adicionais tendo em vista uma única solução e estas condições podem ser de diversos tipos.
Chamamos de problema de valor inicial (PVI) uma equação de ordem , em que a função e as suas derivadas, até a ordem de , são especificadas em um único ponto.  E, chamamos de problema de valor de contorno (PVC) quando envolve equações diferenciais ordinárias de ordem , , em que as  condições estabelecidas para busca da solução única não são todas elas dadas em um único ponto (RUGGIERO; LOPES, 1996).
Devido à dificuldade de obter de maneira analítica soluções para equações diferenciais, vamos, a partir de agora, destacar a relevância de conhecermos métodos numéricos para aproximar soluções de problemas de valor inicial (PVI) e problemas de valor de contorno (PVC).
Começando pelos problemas de valor inicial (PVI), não sabemos de maneira exata a expressão analítica da solução, mas, em geral, algo sabemos de início: que a teoria, em muitos casos, nos garante a unicidade e existência de solução.
Os métodos que você estudará se basearão em:
Dado o PVI:
Construímos  que consideramos que estão igualmente espaçados, ainda que isso não seja condição necessária. Ou seja, ,  e calculamos as aproximações  nestes pontos, usando informações anteriores.
Se para calcular  utilizarmos apenas  teremos um método de passo simples ou de passo um. Agora, se forem necessários mais valores, teremos um método de passo múltiplo.
Considerando PVI de primeira ordem temos uma aproximação inicial de  para a solução. Logo, vamos considerar os métodos de passo um como auto iniciantes, enquanto que para os métodos de passo múltiplo será necessário recorrermos a alguma estratégia para obtermos aproximações iniciais de forma exata.
Algumas características dos métodos de passo simples podem ser destacadas: primeira, que em geral é necessário calcular o valor de  e suas derivadas em muitos pontos e, segunda, que temos dificuldades em estimar o erro.
Quanto às equações de ordem superior, muitas vezes podemos nos deparar com equações diferenciais de ordem  escritas, por exemplo, na forma:
Muitas vezes, transformar uma equação de ordem  em um sistema de  equações de ordem 1 pode ser um procedimento simples. Primeiramente, aplicamos o método de Euler Aperfeiçoado em uma equação diferencial de segunda ordem:
Para os problemas de valor de contorno (PVC) com os quais trabalharemos serão representados de forma mais geral como:
Na expressão dada,  são constantes reais conhecidas, de maneira que nem  e , nem  e  se anulam ao mesmo tempo.
Se ,  o problema apresentado, de acordo com a expressão dada, é dito problema homogêneo. Nesse caso, é evidente que  é solução.
Para que seja possível fazer as aproximações que você irá estudar, necessitamos enunciar a seguinte definição:
Definição: Dizemos que  é , se existe uma constante  tal que .
De maneira mais simples, o Método das diferenças finitas consiste em transformar o problema de resolver uma equação diferencial em um problema de resolver um sistema de equações algébricas.  Tendo em vista essa finalidade, fazemos uso de aproximações, por diferenças finitas, das derivadas que estão presentes na equação.
Para isso, fazemos ,  e dividiremos o intervalo em  partes iguais de comprimento:
 
Logo:
 e , .
Caso  seja linear (em  e ) então, o sistema a ser resolvido será, também, linear. Ainda, poderemos utilizar os métodos que você já estudou, principalmente o que você estudou sobre resolução de sistemas lineares, para resolvê-lo.
De maneira equivalente, se  for não linear, teremos, do mesmo modo, um sistema não linear de equações algébricas e, para resolvê-lo, podemos fazer uso dos métodos que foram estudados sobre resolução de sistemas não-lineares.
A seguir, elencamos as aproximações mais utilizadas para a primeira derivada no ponto :
Mas fique atento, pois utilizar essas aproximações (A, B e C) para aproximar  é um erro.
Supondo  com tantas derivadas quanto necessárias, a fórmula de Taylor de () em torno de  é que constituirá a ferramenta matemática que utilizaremos para mensurar o erro local cometido.
Por um processo longo de demonstração é possível provar que:
Onde temos que:
Além disso, temos que esta aproximação é  supondo  limitada em .
A partir da análise realizada concluímos que o erro na fórmula centrada é da ordem de h² e, como h < 1, podemos afirmar que esta fórmula é bem mais precisa se comparada com as outras duas.
Ainda, utilizando mais uma vez a fórmula de Taylor, é possível aproximarmos a derivada segunda, assim como definir uma expressão do erro para ela.
Assim, consideraremos  nos pontos  e , respectivamente:
Somando essas duas expressões, obtemos:
Assim temos a expressão:
Com erro da ordem de h², se  for limitada em .