01MN_apresentacao

Prévia do material em texto

Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno
2017
APRESENTAÇÃO
 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI 
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO 
TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS 
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
étodos
uméricos
Breve Referência Histórica
Os algoritmos numéricos são quase tão antigos quanto a civilização humana:
• Os babilônios, vinte séculos antes de Cristo, já possuíam tabelas de
quadrados de todos os inteiros entre 1 e 60.
• Os egípcios, que já usavam frações, inventaram o chamado método da
falsa posição para aproximar as raízes de uma equação. Esse método
encontra-se descrito no papiro de Rhind (cerca de 1650 anos antes da era
cristã).
• Na Grécia antiga muitos foram os matemáticos que deram contribuições
para o impulso desta disciplina. Por exemplo, Arquimedes de Siracusa
(278-212, a.C.) desenvolveu o chamado método da exaustão para
calcular comprimentos, áreas e volumes de figuras geométricas. Este
método, quando usado como método para calcular aproximações, é muito
próximo do que hoje se faz em analise numérica; por outro lado, foi
também um importante precursor do desenvolvimento do cálculo
integral por Isaac Newton (1643-1729) e Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716).
Breve Referência Histórica
• Heron, o velho, no século I a.C., deduziu um procedimento para
determinar a .
• No ano 250 da nossa era, Diofanto obteve um processo para a
determinação das soluções de uma equação quadrática.
• Durante a Idade Media, as grandes contribuições para o desenvolvimento
da matemática algorítmica vieram, sobretudo, do médio oriente, Índia e
China. O contributo maior foi, sem duvida, a simplificação introduzida com
a chamada numeração hindu-árabe.
• O aparecimento do cálculo e a criação dos logaritmos, no século XVII,
vieram dar um grande impulso ao desenvolvimento de procedimentos
numéricos. Os novos modelos matemáticos propostos não podiam ser
resolvidos de forma explícita e assim tornava-se imperioso o
desenvolvimento de métodos numéricos para obter soluções aproximadas.
O próprio Newton criou vários métodos numéricos para a resolução de
muitos problemas, métodos esses que possuem, hoje, o seu nome.
a
Breve Referência Histórica
• Tal como Newton, muitos vultos da matemática dos séculos XVIII e XIX
trabalharam na construção de métodos numéricos. De entre eles pode-se
destacar Leonhard Euler (1707-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
e Carl Friedrich Gauss (1777-1875).
• Foi, no entanto, o aparecimento, na década de 40 do século XX, dos
primeiros computadores que contribuiu decisivamente para o forte
desenvolvimento da disciplina. Apesar de tanto Pascal como Leibniz terem
construído, já no sec. XVII, as primeiras maquinas de calcular e de
Charles Babage, milionário inglês, ter construído o que é considerado o
primeiro computador (nunca funcionou!), foi apenas com o aparecimento do
ENIAC, nos anos 40, que a ciência usufruiu, de fato, desses
dispositivos de cálculo.
Processo de Resolução de um Problema 
No processo de resolução de um problema pode-se distinguir varias fases:
1. Formulação de um modelo matemático que descreve uma situação real.
Tal formulação deve ser feita recorrendo a equações algébricas,
integrais, diferenciais, etc. E necessário ter muito cuidado nesta fase
uma vez que a grande complexidade dos problemas físicos pode conduzir
a simplificações no modelo, simplificações essas que não devem alterar
significativamente o comportamento da solução.
2. Obtenção de um método numérico que permite construir uma solução
aproximada para o problema. Um método numérico que possa ser usado
para resolver o problema e traduzido por algoritmo, conduz a solução do
problema. Esta fase constitui o cerne da analise numérica. Assim, dado um
determinado método numérico, é necessário saber em que condições as
soluções por ele obtidas convergem para a solução exata; em que medida
pequenos erros poderão afetar a solução final; qual o grau de precisão da
solução obtida.
3. Programação do algoritmo (FORTRAN, o PASCAL, o C++, entre outras. Mais
recentemente e usual o recurso a programas como o MATHEMATICA ou o
MATLAB).
Processo de Resolução de um Problema 
Objetivos
Por que técnicas numéricas ?
▪ Nem sempre (quase nunca ?) é possível resolver os
problemas reais de maneira analítica.
 ax2 + bx + c = 0
 solução analítica ? Sim: fórmula de Bashkara.
▪ x6 - 20x5 -110x4 + 50x3 - 5x2 + 70x -100 =0
Objetivos
Os Métodos Numéricos correspondem a um conjunto de 
ferramentas ou métodos usados para se obter a 
solução de problemas matemáticos de forma 
aproximada. Esses métodos se aplicam a problemas que 
não apresentam uma solução exata ou ela é muito 
complexa, portanto precisam ser resolvidos 
numericamente.
Objetivos
▪ Conhecer e aplicar os principais métodos numéricos
computacionais para resolução de problemas clássicos
nas ciências exatas e engenharias, associados à
modelagem de fenômenos e dispositivos
eletromagnéticos, controle, análise e modelagem de
sistemas e a planejamento e operação de sistemas
elétricos de potência.
A Disciplina
A analise numérica é a disciplina da matemática que se
ocupa da elaboração e estudo de métodos que permitem
obter, de forma efetiva, soluções numéricas para
problemas matemáticos, quando por qualquer razão não é
possível usar métodos analíticos.
Interdisciplinaridades
▪ Aplicada em todas as disciplinas do curso.
Conteúdo
1. Erros.
2. Sistemas de equações lineares: solução por métodos diretos e
iterativos.
3. Interpolação, aproximação e ajuste funções.
4. Derivação e integração numéricas.
5. Raízes de equações
6. Resolução numérica de equações diferenciais.
7. Novas técnicas numéricas avançadas
1. Método dos momentos,
2. Meshless
3. Lower bound error
4. Método de Monte Carlo
5. Técnicas de programação aplicada aos métodos numéricos (MATLAB/C++).
Avaliação
1. Trabalhos computacionais ao longo da disciplina. Cada
trabalho será avaliado com nota igual a 100. A média
dos trabalhos será a nota T.
2. Seminário (S). Ao final da disciplina os alunos
individualmente ou em grupo deverão entregar um
trabalho no formato de artigo para congresso e
realizar uma apresentação.
3. A final será dada por: NF = 0,06T + 0,04S
4. O aluno será aprovado somente se obter NF ≥ 6,0.
Bibliografia – Básica 
1. Campos, F. F. Algoritmos Numéricos. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
2. Pina, H. Métodos Numéricos, McGraw-Hill, 1995.
3. Lambers, J. V. and Sumner, A. C. Explorations in Numerical Analysis,
University o California at Irvine, 2016.
4. Campos, F. F. Algoritmos Numéricos. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
5. Franco, N. B. Cálculo Numérico. 1. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2006.
6. Sperandio, D.; Mendes, J. T.; Silva, L. H. M. Cálculo Numérico:
Características Matemáticas e Computacionais dos Métodos
Numéricos. 1. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2003.
7. Burdem, R. L., Faires, J. D., Análise Numérica , Thompson – 2003.
8. Wood, A. Introduction to Numerical Analysis, Addison Wesley, 1999.
Bibliografia – Complementar
1. Mathews, J. H. e Fink, K. D. Numerical Methods Using MatLab, Prentice
Hall, 1999;
2. Fauset, L. V. Applied Numerical Methods Using MatLab, Prentice Hall,
1999;
3. Arfken, G. B. e Weber, H. J. Mathematical Methods For Physicists,
Academic Press; 6 edição, 2005.
4. G. F. Carey e T. J. Oden, "Finite Element: An Introduction, Vol.
1, Prentice-Hall, NJ, 1986.
5. T. J. R. Hughes, "The Finite Element Method", Prentice-Hall, NJ, 1987.
6. Kelley C.T., "Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations",
SIAM, 1995.
7. Taflove, A; Hagness, S.C. Computational electrodynamics; the finite-
difference time domain method. Boston: Artech House, 2000.
8. Sewell, G. The numerical solution of ordinary and partial differential
equations. Boston: Academic Press, 1988.
9. Kwon, Y. W.; Bang H.C. The finite element method using Matlab. Boca
Raton FL: CRC Press, 2000.
Bibliografia – Complementar
10. Harrington, R. F. Field computation by moment methods. New York:Macmillan,
1968.
11. Burnett, D.S. Finite element analysis: from concepts to applications. Mass.:
Addison-Wesley Pub. Co., 1987.
12. Silvester, P.P.; Ferrari, R. L. Finite elements for electrical engineers. New York:
Cambridge University, 1996.
13. CUMINATO, J. A. E MENEGUETTE JUNIOR, M. - Técnicas de Diferenças Finitas -
http://www.lcad.icmc.usp.br/projetos/siae98/livro_poti/poti.pdf
14. Ruggiero, M. A. G.; Lopes, V. L. R. Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e
Computacionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1996.
15. Nepomuceno, E. G., & Mendes, E. M. A. M. A. M. (2017). On the analysis of pseudo-
orbits of continuous chaotic nonlinear systems simulated using discretization schemes in
a digital computer. Chaos, Solitons & Fractals, 95, 21–32. (doi)
16. Silva, B., Milani, F., Nepomuceno, E., Martins, S., & Amaral, G. (2016). Revisiting
Hammel et al. (1987): Does the shadowing property hold for modern computers?
In 6th International Conference on Nonlinear Science and Complexity (pp. 1--4). (doi)
17. Nepomuceno, E. G., & Martins, S. A. M. (2016). A lower bound error for free-
run simulation of the polynomial NARMAX. Syst. Sci. & Contr. Eng., 4(1), 50-58. (doi)
18. Mendes, E. M. A. M., & Nepomuceno, E. G. (2016).
A Very Simple Method to Calculate the (Positive) Largest Lyapunov Exponent Using Inte
rval Extensions. Int. J. of Bifurc. and Chaos, 26(13), 1650226. (doi)
http://doi.org/10.1016/j.chaos.2016.12.002​
http://doi.org/10.20906/CPS/NSC2016-0055​
http://doi.org/10.1080/21642583.2016.1163296  ​
http://doi.org/10.1142/S0218127416502266  ​