AE VC M2T2

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ANÁLISE ESTRUTURAL I - 
VIGAS CONTÍNUAS 
 
MÓDULO 2 
TÓPICO 2 
 
PROFESSOR ESPECIALISTA ANTÔNIO OTTO NEVES FILHO 
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MÓDULO II – ANÁLISE ESTRUTURAL: VIGAS 
(CONTINUAÇÃO) 
 
Tópico 2 – Flecha e Deflexão 
Estruturas, como todos os outros corpos físicos, deformam e mudam de formato 
quando submetidos a forças. Outras causas comuns de deformações em estruturas incluem 
mudanças de temperatura e recalques de apoio. 
Se as deformações desaparecem após cessar a aplicação da carga, isto é, a estrutura 
volta novamente a sua forma original, denomina-se deformação elásticas. 
Já quando as cargas são removidas e ainda assim não houve o retorno para a forma 
original, denomina-se como deformações plásticas. 
Neste tópico, o foco será mantido nas deformações elásticas lineares. Tais 
deformações variam linearmente com carga aplicada e faz-se necessário recordar que para 
uma estrutura responder linearmente a cargas aplicadas, ela deve ser composta por material 
elástico linear e deve sofrer pequenas deformações. O princípio da superposição é válido para 
tais estruturas. 
Em resumo, frequentemente é preciso estabelecer limites para o valor da deflexão que 
uma viga pode suportar quando submetidos a cargas, pois tais elementos, muitas vezes 
ocultados nas estruturas, tem papel vital e seu projeto impacta diretamente a segurança dos 
usuários desta. 
 
Figura 1. Exemplo de viga colapsada por deflexão 
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Figura 2. Três vigas de um viaduto do Rodoanel em obras caíram sobre a rodovia Régis 
Bittencourt em 13/11/2009. 
 
1. A LINHA ELÁSTICA 
 
Antes de determinar a inclinação ou o deslocamento em um ponto de uma viga, 
geralmente convém traçar um rascunho da forma defletida da viga quando carregada, de 
modo a “visualizar” quaisquer resultados calculados e, com isso, fazer uma verificação parcial 
desses resultados. 
O diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centroide de cada área da 
seção transversal da viga é denominado linha elástica. 
Torna-se importante sua análise, uma vez que, saber como a inclinação ou o 
deslocamento da viga são restringidos pelos vários tipos de apoio. 
Considere a viga da Fig. (a) e seu diagrama de momento associado mostrado em (b). 
Devido aos apoios de rolete e pino, o deslocamento em B e D deve ser nulo. Tem-se que AC 
a linha elástica é côncava para baixo enquanto em CD é para cima. 
Consequentemente, deve haver um ponto de inflexão em , no qual a concavidade C
inverte de cima para baixo, já que o momento nesse ponto é nulo, como visto em (c). 
Em E, tem-se a inclinação é nula e lá a deflexão da viga pode ser máxima. 
 
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Figura 3. Flecha e ponto de inflexão 
 
2. INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO 
 
Devido à carga, a deformação da viga é provocada pela força cortante interna, bem 
como pelo momento fletor. Se o comprimento da viga for muito maior que sua altura, a maior 
deformação será causada por flexão. Observe a equação relação momento-curvatura: 
 
1
𝜌
=
𝑀
𝐸. 𝐼
 
 
Onde: 
ρ: Raio de curvatura em um ponto específico sobre a curva da linha elástica (1/ρ 
é denominado curvatura); 
M: Momento fletor interno na viga no ponto onde ρ deve ser determinado; 
E: Módulo de elasticidade longitudinal do material; 
I: Momento de inércia da seção transversal. 
 
! O produto do módulo de elasticidade longitudinal pelo momento de inércia é dito 
rigidez à flexão, e em alguns casos pode ser considerado uma constante. 
! 
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EI = rigidez à flexão 
A relação momento-curvatura deve ser adaptada por meio de novas integrações as 
situações que a qual deve se adaptar. 
A partir desta relação momento-curvatura, é possível identificar a tensão de deflexão 
máxima. 
 
Exemplo 1: 
 
Um atleta executa um salto em altura com vara. A partir da imagem, por estimativa, o raio de 
curvatura mínimo da vara é 4,5 m. Se a vara tiver 40 mm de diâmetro e for feita de plástico 
reforçado com fibra de vidro, determine a tensão deflexão máxima da vara. Ev = 131 GPa. 
 
 
 
 Desta matéria, sabemos: 
1
𝜌
=
𝑀
𝐸.𝐼
 
 Dos conceitos de Resistência dos Materiais, temos: 𝜎 =
𝑀.𝑐
𝐼
 
 Unificando os dois conceitos, obtemos: 𝜎 =
𝐸.𝑐
𝜌
 
 Aplicando a equação: 
 
𝜎 =
𝐸.𝑐
𝜌
→ 
131 𝐺𝑃𝑎 . 
40 𝑚𝑚
2
4500 𝑚𝑚
= 0,582 𝐺𝑃𝑎 = 582 𝑀𝑃𝑎 
 
! Para maior clareza quanto as unidades e diferenciá-las de eventuais incógnitas, 
as mesmas são escritas em vermelho. 
! 
 
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! 
Neste caso, não pode-se calcular pela equação da flexão (𝜎 =
𝑀.𝑐
𝐼
) devido à falta 
de condições para cálculo de momento, entretanto, conhecendo o raio de 
curvatura, foi possível determinar a tensão que a vara é submetida. 
! 
 
3. CÁLCULO DE DEFLEXÃO E FLECHA 
 
Para todas as peças/elementos submetidos à flexão é necessário verificar a deflexão. 
A deflexão máxima atuante é calculada utilizando-se as expressões, e depende do tipo 
de apoio e carregamento. Seguem as oito principais situações com suas respectivas flechas e 
deflexão angular. 
 
 
 
 
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! Observa-se que em alguns casos há duas fórmulas de deformação angular, sendo 
que cada uma refere-se a um dos apoios. 
! 
 
! Existem outras situações além das mostradas em diferentes referências, algumas 
outras serão mostradas ao longo deste tópico. 
! 
 
Exemplo 2: 
O acrobata pesa 750 N e está suspenso pelos braços uniformemente no centro da barra alta. 
Determine a tensão de flexão máxima no tubo (barra) e sua deflexão máxima. O tubo é feito 
de aço L2 (E = 200 GPa) e tem diâmetro externo de 25 mm e espessura da parede de 3 mm. 
 
 
! Para determinar a flexão máxima na barra, utilizaremos os conceitos de 
Resistência dos Materiais 
! 
 
Inércia da barra: 
𝐼𝑡𝑢𝑏𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐. =
𝜋
4
. (𝑐𝑒
4 − 𝑐𝑖
4) =
𝜋
4
∗ [(25𝑚𝑚 2⁄ )
4
− (19𝑚𝑚 2⁄ )
4
] = 12.777,6𝑚𝑚4 
 
Momento máximo: 
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𝑀𝑚á𝑥 = 900𝑚𝑚 ∗
750𝑁
2⁄ = 337.500,0 𝑁. 𝑚𝑚 
 
Tensão máxima: 
𝑀 =
𝐼. 𝜎
𝑐
→ 𝜎 =
𝑀. 𝑐
𝐼
∴ 𝜎𝑚á𝑥 =
337500𝑁. 𝑚𝑚 ∗ 25𝑚𝑚 2⁄ 
12.777,6𝑚𝑚4
= 330,17𝑀𝑃𝑎 
 
! 
A configuração de aplicação de carga (peso transmitido pelos braços) é um dos 
casos não previstos na tabela, ela pode ser obtida por fontes externas. 
O procedimento é: 
! 
 
𝜃𝑚á𝑥 =
𝑃. 𝑎
24. 𝐸. 𝐼
. (3𝐿2 − 4𝑎²) 
 
Onde: 
 P = Carga aplicada, neste caso é o peso dividido por dois, devido a estar suspenso 
pelos dois braços; 
 L = Comprimento total da viga; 
 a = Comprimento do apoio até a carga aplicada. 
 
𝜃𝑚á𝑥 =
750𝑁
2⁄ ∗ 900𝑚𝑚
24 ∗ 200𝑥103𝑀𝑃𝑎 ∗ 12777,6𝑚𝑚4
∗ [3. (2250𝑚𝑚)2 − 4. (900𝑚𝑚)²] = 65,74𝑚𝑚 
 
 
4. MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO 
 
Nos casos apresentados, há ocorrência de eventos isolados, entretanto, é comum 
deparar-se com situações em que existe uma “composição” de cargas, onde nenhuma situação 
acima seria suficiente para definir. 
O método da superposição consiste em analisar o cenário complexo por meio de 
outros mais simples com o uso de equações tabeladas de modo a representar com esses o caso 
real. Para maior esclarecimento, observe a demonstração. 
 
Exemplo 3: 
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Determine o deslocamento no ponto C e a inclinação no apoio A da viga mostrada. Adote E.I 
como constante. 
 
 
Observa-se que a situação é composta de uma carga distribuída (2 kN/m) ao longo de 
metade de seu comprimento e ainda recebe uma carga concentrada (8 kN) ao longo da viga 
biapoiada. Tal combinação não é prevista em tabela, logo, deve-se idealizar que a vigasofresse as duas situações de carregamento separadamente, e ao término dos cálculos, os 
resultados devem ser somados. 
 
 
 
! Será considerado como positivo os seguintes sentido: ↓ & ↷ ! 
 
1º situação: Carga concentrada 
Deflexão angular: 
(𝜃𝐴)2 =
𝑃. 𝐿2
16. 𝐸. 𝐼
→
8 𝑘𝑁 ∗ (8 𝑚)2
16 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼
=
32 𝑘𝑁. 𝑚²
𝐸𝐼
↷ 
 
Flecha máxima: 
(𝑣𝐶)2 =
𝑃. 𝐿3
48. 𝐸. 𝐼
→
8 𝑘𝑁 ∗ (8 𝑚)3
48 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼
=
85,33 𝑘𝑁. 𝑚³
𝐸𝐼
↓ 
 
 
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2º situação: Carga distribuída 
 
! As equações para esse caso estão em um material externo, extraído do apêndice 
C da 7ª edição de Resistência dos Materiais (Hibbeler) 
! 
 
Deflexão angular: 
(𝜃𝐴)1 =
3. 𝑤. 𝐿³
128. 𝐸. 𝐼
→
3 ∗ 2 𝑘𝑁𝑚 ∗ (8 𝑚)
3
128 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼
=
24 𝑘𝑁. 𝑚²
𝐸𝐼
↷ 
 
Flecha máxima: 
(𝑣𝐶)2 =
𝑃. 𝐿3
48. 𝐸. 𝐼
→
8 𝑘𝑁 ∗ (8 𝑚)3
48 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼
=
85,33 𝑘𝑁. 𝑚³
𝐸𝐼
↓ 
 
Superposição: soma dos valores obtidos 
Deflexão angular: 
(+↷) 𝜃𝐴 = (𝜃𝐴)1 + (𝜃𝐴)2 =
56 𝑘𝑁. 𝑚²
𝐸𝐼
↷ 
 
Flecha máxima: 
(+↓) 𝑣𝐶 = (𝑣𝐶)1 + (𝑣𝐶)2 =
139 𝑘𝑁. 𝑚³
𝐸𝐼
↓ 
 
Exemplo 4: 
A estrutura é composta por duas vigas de aço A-36 (E = 200 GPa) em balanço CD e BA e uma 
viga simplesmente apoiada CB. Se cada uma for feita de aço e tiver momento de inércia em 
torno do seu eixo principal I
x
 = 46x106 mm4, determine a deflexão no centro G da viga CB. 
 
 
 
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! 
Observe que no exercício é pedido para analisar o ponto G, logo as reações e 
tudo mais que ocorre em A e D não é de interesse. Porém, a flecha que ocorre 
nas vigas AB e DC, afeta na deflexão de G. 
! 
 
! Será considerado como positivo os seguintes sentido: ↓ & ↷ ! 
 
1º situação: Carga concentrada diretamente sobre G 
𝜃𝐺 =
𝑃. 𝐿3
48. 𝐸. 𝐼
→
75 𝑘𝑁 ∗ (4800 𝑚𝑚)3
48. 𝐸. 𝐼
=
1,728𝑥1011 𝑘𝑁. 𝑚𝑚³
𝐸𝐼
 
 
2º situação: Deflexão causada em C (igual a B) pela carga 
𝜃𝐶 =
𝑃. 𝐿3
3. 𝐸. 𝐼
→
75 𝑘𝑁
2
∗ (4800 𝑚𝑚)3
3. 𝐸. 𝐼
=
1,3824 𝑥1012 𝑘𝑁. 𝑚𝑚³
𝐸𝐼
 
 
Superposição: soma dos valores obtidos 
𝜃𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝐺 =
1,728𝑥1011 𝑘𝑁. 𝑚𝑚³
𝐸𝐼
+
1,3824𝑥1012 𝑘𝑁. 𝑚𝑚³
𝐸𝐼
=
1,5552𝑥1012 𝑘𝑁. 𝑚𝑚³
𝐸. 𝐼
 
 
 
Substituindo E.I: 
𝜃𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝐺 =
1,5552𝑥1012 𝑘𝑁. 𝑚𝑚³
200 𝐺𝑃𝑎 . 46𝑥106 𝑚𝑚4
= 169,04 𝑚𝑚 
 
 
Exemplo 5: 
Determine o deslocamento no ponto C da viga mostrada. Adote E.I como constante e igual a 
90500 kN.m². 
 
 
! Neste caso, ocorrem duas cargas distribuídas de diferentes intensidades, porém 
ainda em mesmo comprimento; e há também uma carga concentrada. 
! 
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! Será considerado como positivo os seguintes sentido: ↓ & ↷ ! 
 
1º situação: Carga distribuída de 2 kN/m 
(𝜃𝐶)1 =
5. 𝑤. 𝐿4
768. 𝐸. 𝐼
→
5 ∗ 2 𝑘𝑁
𝑚
∗ (8 𝑚)4
768 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼
=
53,33 𝑘𝑁. 𝑚³
𝐸𝐼
 
 
2º situação: Carga concentrada de 8 kN 
(𝜃𝐶)2 =
𝑃. 𝐿3
48. 𝐸. 𝐼
→
8 𝑘𝑁 ∗ (8 𝑚)3
48 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼
=
85,33 𝑘𝑁. 𝑚³
𝐸𝐼
 
 
3º situação: Carga distribuída de 4 kN/m 
(𝜃𝐶)3 =
5. 𝑤. 𝐿4
768. 𝐸. 𝐼
→
5 ∗ 4 𝑘𝑁
𝑚
∗ (8 𝑚)4
768 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼
=
106,67 𝑘𝑁. 𝑚³
𝐸𝐼
 
 
Superposição: soma dos valores obtidos e substituindo E.I 
𝜃𝐶 = (𝜃𝐶)1 + (𝜃𝐶)2 + (𝜃𝐶)3 =
245,33 𝑘𝑁. 𝑚³
90500 𝑘𝑁. 𝑚³
= 2,7108𝑥10−3 𝑚 = 2,7108 𝑚𝑚 
 
5. PROPOSTA DE PESQUISA 
 
Afim de complementar os temas aqui abordados, propõem-se que seja feita uma 
pesquisa bibliográfica dos tipos de flexão e deflexão, nos mais variados artigos, livros e teses. 
Todo este conteúdo será significativo para a aplicação no estudo das vigas.