Resistência dos Materiais (1)

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Indaial – 2009
Resistência Dos MateRiais
Prof. Felipe Ratajenski
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2009
Elaboração:
Prof. Felipe Ratajenski
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
R433r
Ratajenski, Felipe .
Caderno de estudos : Resistência dos Materiais I / Felipe 
Ratajenski, Centro Universitário Leonardo Da Vinci. – Indaial : 
ASSELVI, 2009.
133 p. : il.
ISBN 978-85-7830-173-6
1. Resistência de Materiais – Engenharia 2. Torção 
 I. Ratajenski, Felipe II Centro Universitário Leonardo Da 
Vinci. Núcleo de Ensino a Distância. II. Título.
 CDD 620.112 
III
apResentação
Prezados(as) acadêmicos(as)!
A resistência dos materiais é o ramo da Mecânica que estuda as relações 
entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das 
forças internas que atuam dentro do corpo. Esse assunto abrange também o 
cálculo de deformação do corpo e o estudo de sua estabilidade, quando ele 
está sujeito a forças externas.
Estudamos, na Física e na Mecânica, equações da estática baseadas 
nas leis de Newton, que nos permitem calcular o equilíbrio de corpos rígidos, 
porém não levamos em consideração as propriedades dos materiais que 
compõem estes corpos, assim como não consideramos as suas características 
geométricas. Em resistência dos materiais, utilizaremos este conhecimento da 
estática que possuímos para determinar forças e reações a elas, que atuam sobre 
elementos mecânicos e estruturais, mas estaremos focados nas deformações 
provocadas por elas, e o limite em que estas deformações são admissíveis, 
sem comprometer a estabilidade e segurança das estruturas e mecanismos. 
Para que esta análise seja possível, estudaremos as características mecânicas 
dos materiais, quando submetidos a esforços diversos e as equações que 
regem o efeito de cada um desses esforços de maneira a relacioná-las com 
aplicações práticas da Engenharia. 
Nosso estudo estará baseado então nas forças externas que 
agem sobre um corpo, nas características do material que o compõe, nas 
características geométricas do mesmo, no ambiente em que se encontra e nos 
critérios de segurança a serem respeitados. Observe que muitas fórmulas e 
procedimentos de projeto, definidos nas normas de engenharia e usados na 
prática, baseiam-se nos fundamentos da resistência dos materiais e, por essa 
razão, compreender os princípios dessa matéria é muito importante.
Portanto, mãos à obra!
Professor Felipe Ratajenski
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
V
VI
VII
UNIDADE 1 - ESTUDO DAS TENSÕES .......................................................................................... 1
TÓPICO 1 - INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO MECÂNICO DE MATERIAIS 
 ELÁSTICOS, INELÁSTICOS E PLÁSTICOS ........................................................... 3
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 3
2 CASO GERAL DA LEI DE HOOKE................................................................................................ 3
3 MÓDULO DE ELASTICIDADE (E) ................................................................................................ 9
4 ENERGIA DA DEFORMAÇÃO ELÁSTICA ............................................................................... 10
5 RESILIÊNCIA, TENACIDADE, DUCTILIDADE, FRAGILIDADE ....................................... 12
RESUMO DO TÓPICO 1.................................................................................................................... 13
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 14
TÓPICO 2 - TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM CORPOS SÓLIDOS SUBMETIDOS 
 A ESFORÇO NORMAL ............................................................................................... 15
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 15
2 TIPOS DE ESFORÇOS .................................................................................................................... 15
3 TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS .................................................................................... 17
4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA TRAÇÃO/COMPRESSÃO SIMPLES ........................... 18
RESUMO DO TÓPICO 2.................................................................................................................... 22
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 23
TÓPICO 3 - VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA E DIMENSIONAMENTO 
 SEGUNDO CRITÉRIO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS ..................................... 25
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 25
2 TIPOS DE CARGAS ......................................................................................................................... 25
2.1 CARGA ESTÁTICA ..................................................................................................................... 25
2.2 CARGA INTERMITENTE .......................................................................................................... 26
2.3 CARGA ALTERNADA ............................................................................................................... 26
3 TENSÃO ADMISSÍVEL .................................................................................................................. 27
RESUMO DO TÓPICO 3.................................................................................................................... 29
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 30
TÓPICO 4 - ESTADO DE CISALHAMENTO PURO ................................................................... 31
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 31
2 TENSÃO DE CISALHAMENTO ...................................................................................................31
3 TENSÕES DE CISALHAMENTO SIMPLES .............................................................................. 32
4 TENSÕES DE CISALHAMENTO DUPLO ................................................................................. 33
5 DIMENSIONAMENTO PELA TENSÃO DE CISALHAMENTO .......................................... 33
RESUMO DO TÓPICO 4.................................................................................................................... 35
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 36
TÓPICO 5 - TORÇÃO E CISALHAMENTO .................................................................................. 39
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 39
2 DEFINIÇÕES ..................................................................................................................................... 39
suMáRio
VIII
3 DEFORMAÇÕES DE TORÇÃO DE UMA BARRA CIRCULAR ............................................ 41
4 A FÓRMULA DE TORÇÃO ............................................................................................................ 46
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 50
RESUMO DO TÓPICO 5.................................................................................................................... 51
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 52
UNIDADE 2 - ESTUDO DA FLEXÃO ............................................................................................. 53
TÓPICO 1 - FLEXÃO ........................................................................................................................... 55
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 55
2 TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO ................................................................................................. 56
3 FORÇA CORTANTE Q .................................................................................................................... 56
3.1 VIGAS HORIZONTAIS ............................................................................................................... 57
3.2 VIGAS VERTICAIS ...................................................................................................................... 57
4 MOMENTO FLETOR M.................................................................................................................. 57
4.1 MOMENTO POSITIVO............................................................................................................... 57
4.2 MOMENTO NEGATIVO ............................................................................................................ 58
5 DIMENSIONAMENTO NA FLEXÃO .......................................................................................... 58
RESUMO DO TÓPICO 1.................................................................................................................... 66
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 67
TÓPICO 2 - EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 69
2 VARIÁVEIS DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA ............................................................. 69
3 CONDIÇÕES DE CONTORNO .................................................................................................... 70
4 DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA POR INTEGRAÇÃO ........... 71
RESUMO DO TÓPICO 2.................................................................................................................... 82
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 83
TÓPICO 3 - ESTUDO DA FLAMBAGEM ...................................................................................... 87
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 87
2 FLAMBAGEM ................................................................................................................................... 87
3 CARGA CRÍTICA ............................................................................................................................. 88
4 COMPRIMENTO LIVRE DE FLAMBAGEM ............................................................................. 89
5 ÍNDICE DE ESBELTEZ ( λ ) ............................................................................................................ 89
6 TENSÃO CRÍTICA ........................................................................................................................... 89
7 FLAMBAGEM NAS BARRAS NO CAMPO DAS DEFORMAÇÕES
 ELASTO-PLÁSTICAS ..................................................................................................................... 90
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 93
RESUMO DO TÓPICO 3.................................................................................................................... 95
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 96
UNIDADE 3 - COMBINAÇÃO DOS ESFORÇOS ........................................................................ 99
TÓPICO 1 - ANÁLISE DE TENSÕES, ESTADO GERAL DE TENSÕES ............................... 101
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 101
2 TRANSFORMAÇÃO NO ESTADO PLANO DE TENSÕES ................................................ 101
3 OS DIFERENTES ESTADOS DE TENSÃO NUM PONTO ................................................... 102
4 EQUAÇÕES GERAIS DE TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO PARA O 
 ESTADO PLANO ............................................................................................................................ 105
5 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO ...... 107
6 CÁLCULO DAS TENSÕES PRINCIPAIS.................................................................................. 110
IX
RESUMO DO TÓPICO 1.................................................................................................................. 118
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................................... 119
TÓPICO 2 - CÍRCULO DE MOHR ................................................................................................. 121
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 121
2 TRAÇADO DO CÍRCULO DE MOHR ...................................................................................... 121
3 TENSÕES PRINCIPAIS ................................................................................................................. 122
4 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO ...................................................... 123
5 TENSÕES NUM PLANO QUALQUER ...................................................................................... 124
RESUMO DO TÓPICO 2.................................................................................................................. 125
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................................... 126TÓPICO 3 - ESFORÇOS COMBINADOS .................................................................................... 127
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 127
2 COMBINAÇÃO DAS SOLICITAÇÕES ..................................................................................... 127
3 MÉTODO DE ANÁLISE ............................................................................................................... 129
RESUMO DO TÓPICO 3.................................................................................................................. 131
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................................... 132
REFERÊNCIAS ................................................................................................................................... 133
X
1
UNIDADE 1
ESTUDO DAS TENSÕES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Após o estudo desta unidade, o acadêmico estará apto a:
• classificar e interpretar as propriedades mecânicas de materiais 
elásticos, inelásticos e plásticos, que definem suas características 
de resistência;
• entender o conceito de Tensão. Identificar os tipos de esforços e 
suas respectivas tensões;
• dimensionar uma peça estrutural ou elemento mecânico, adequando a 
tensão de operação para a tensão admissível, levando em consideração 
todos os fatores que podem comprometer a resistência de um elemento 
mecânico.
Esta unidade está dividida em cinco tópicos. No final de cada um deles, 
você encontrará atividades que contribuirão para sua reflexão e análise dos 
estudos já realizados.
TÓPICO 1 – INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO MECÂNICO DE 
MATERIAIS ELÁSTICOS, INELÁSTICOS E PLÁSTICOS
TÓPICO 2 – TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM CORPOS SÓLIDOS 
SUBMETIDOS A ESFORÇO NORMAL
TÓPICO 3 – VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA E DIMENSIONAMENTO 
SEGUNDO CRITÉRIO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS
TÓPICO 4 – ESTADO DE CISALHAMENTO PURO
TÓPICO 5 – TORÇÃO E CISALHAMENTO
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO MECÂNICO DE 
MATERIAIS ELÁSTICOS, INELÁSTICOS E PLÁSTICOS
1 INTRODUÇÃO
Quando falamos em propriedades mecânicas de um material, estamos 
nos referindo ao comportamento deste uma vez sujeito a um esforço mecânico, 
ou seja, como se comporta determinado material em termos de deformação 
quando sofre um impacto ou quando uma força o comprime ou traciona. São 
muitos os tipos de esforços mecânicos a que um elemento mecânico pode 
estar sujeito e estes podem agir isoladamente ou combinados. Sabemos, pela 
prática do dia a dia, que materiais distintos reagem de forma distinta a um 
mesmo tipo de esforço mecânico. Por exemplo, se compararmos o material 
“vidro” com “borracha”, podemos perceber que o primeiro é menos resistente 
ao impacto do que o segundo. Porém, se o critério for resistência ao desgaste 
devido a uma força de atrito, a situação se inverte e o vidro se demonstra mais 
resistente do que a borracha.
No estudo da resistência dos materiais, os grandes norteadores dessas 
propriedades são as características elásticas de cada tipo de material, obtidas empiricamente 
por ensaios em laboratórios. Estas características serão apresentadas neste primeiro capítulo 
e um bom entendimento deste assunto é de fundamental importância para o andamento 
das atividades que seguem no estudo dessa disciplina.
IMPORTANT
E
2 CASO GERAL DA LEI DE HOOKE
Vamos voltar um pouco no tempo e relembrar o que aprendemos no estudo 
da Física lá no ensino médio, quando estudamos o comportamento das molas, 
estando estas sujeitas à ação de uma força, seja ela de tração ou compressão. Três 
variáveis estavam envolvidas nos cálculos: “F” força que comprime ou traciona a 
mola; “K“ constante elástica da mola e “x“ deformação linear da mola. Estas estão 
relacionadas matematicamente na seguinte equação:
F=-K.x
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
4
Onde: F – Newton (N)
 K – Newtons por metro (N/m)
 x – metros (m)
 
A variável “K” representa a característica elástica da mola, ou seja, quanto 
ela se deforma linearmente, sujeita à ação de determinada força. 
A lei de Hooke descreve a relação linear entre a força e a deformação da 
mola, sendo estas diretamente proporcionais, quando atuam dentro do limite de 
proporcionalidade da mola, ou seja, sem que haja deformação plástica. Quando 
retirada a ação da força, a mola retornaria à sua condição inicial. Veja o gráfico 
a seguir, neste aparecem alguns termos que serão estudados mais adiante. A 
lei de Hooke abrange este gráfico somente até o ponto A, dentro do limite de 
proporcionalidade.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001, p. 98.
FIGURA 1 – ENSAIO DE TRAÇÃO
TÓPICO 1 | INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO MECÂNICO DE MATERIAIS ELÁSTICOS, INELÁSTICOS E PLÁSTICOS
5
Sendo: ponto O - Início de ensaio carga nula;
 ponto A - Limite de proporcionalidade;
 ponto B - Limite superior de escoamento;
 ponto C - Limite inferior de escoamento;
 ponto D - Final de escoamento início da recuperação do material;
 ponto E - Limite máximo de resistência;
 ponto F - Limite de ruptura do material.
Conversar com o aluno: no estudo da resistência dos materiais, analisamos 
não mais o comportamento de uma mola, mas o de um elemento mecânico estático ou 
dinâmico, em que uma força é aplicada em uma secção deste provocando uma tensão, 
razão de uma força por uma área, e que provocará determinada deformação, de acordo 
com as características elásticas do material que o compõe. Estas características estarão 
determinadas não mais por um coeficiente de mola “k” como doravante citado e sim 
pelo módulo de elasticidade “E”. Temos, então, a mesma lei de Hooke, agora aplicada 
sob um novo foco e cujas variáveis passam a ser Tensão, Módulo de Elasticidade e 
Deformação unitária.
UNI
Após uma série de experiências, o cientista inglês Robert Hooke, no ano 
de 1678, constatou que uma série de materiais, quando submetidos à ação de 
carga normal, sofre variação na sua dimensão linear inicial, bem como na área 
da secção transversal inicial. Ao fenômeno da variação linear, Hooke denominou 
alongamento, constatando que:
• quanto maior a carga normal aplicada e o comprimento inicial da peça, maior 
o alongamento, e que, quanto maior a área da secção transversal e a rigidez do 
material médio, através do seu módulo de elasticidade, menor o alongamento, 
resultando daí a equação:
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
6
Onde: ∆l - Alongamento da peça (m;.......);
 σ - Tensão normal (Pa;.......);
 F - Carga normal aplicada (N;.......);
 A - Área da secção transversal (m2;.........);
 E - Módulo de elasticidade do material (Pa;........);
 l - Comprimento inicial da peça (m;.........).
O alongamento será positivo quando a carga aplicada tracionar a peça, e 
será negativo quando a carga aplicada comprimir a peça.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 2 – DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL
Onde: ∆l - Alongamento da peça (m;.......);
 L - Comprimento inicial da peça (m;........);
 lƒ - Comprimento final da peça (m;.......). 
Deformação longitudinal (ε) :
 
Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento 
(µ.c) de uma peça submetida à ação de carga axial.
TÓPICO 1 | INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO MECÂNICO DE MATERIAIS ELÁSTICOS, INELÁSTICOS E PLÁSTICOS
7
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 3 – FÓRMULA E EXEMPLO DE DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL (ε)
Deformação transversal (εt)
Determina-se através do produto entre a deformação unitária (ε) e o 
coeficiente de Poisson (ν).
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001 
FIGURA 4 – FÓRMULA E EXEMPLO DE DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL (εt)
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
8
Razão ou coeficiente de Poisson
Sabemos que, além da deformação dos materiais na direção da tensão 
normal aplicada, outra propriedade marcante pode ser observadaem todos os 
materiais sólidos, a saber, a expansão ou contração lateral (transversal) que ocorre 
perpendicularmente a direção da tensão aplicada. Esse fenômeno está ilustrado 
na figura (5a), cujas deformações aparecem exageradas.
Conversar com o aluno: para maior clareza pode-se reescrever assim o 
fenômeno: se um corpo sólido for submetido à tensão axial, ele se contrai lateralmente. 
Por outro lado, se ele for comprimido, o material se expande para os lados. Com isso em 
mente, as direções das deformações laterais são facilmente determinadas, dependendo do 
sentido da tensão normal aplicada.
UNI
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 5 – ILUSTRAÇÃO DE DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL (εt)
A relação entre o valor absoluto da deformação na direção lateral e a 
deformação na direção axial, é a razão ou coeficiente de Poisson, isto é:
Pela experiência, sabe-se que o valor ν flutua para diferentes materiais, 
numa faixa relativamente estreita. Geralmente, está na vizinhança de 0,25 a 0,35. 
TÓPICO 1 | INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO MECÂNICO DE MATERIAIS ELÁSTICOS, INELÁSTICOS E PLÁSTICOS
9
Em casos extremos, ocorrem valores baixos, como 0,1 (alguns concretos) e elevados, 
como 0,5 (borracha). O último valor é o maior possível para materiais isotrópicos, e 
é normalmente alcançado durante o escoamento plástico significando constância 
de volume.
3 MÓDULO DE ELASTICIDADE (E)
Um fio metálico submetido a um esforço de tração sofre uma deformação 
que consiste no aumento de comprimento e em uma contração de sua secção. 
Suponhamos que o aumento de comprimento é o efeito dominante, sobretudo no 
fio grande e de pequena secção. Estudaremos o comportamento elástico dos fios, 
aquele em que existe uma relação de proporcionalidade entre a força F aplicada 
ao fio e o incremento ∆L de seu comprimento, ou então entre o esforço F/S e a 
deformação unitária ∆L/L0.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 6 – REPRESENTAÇÃO DE ELASTICIDADE (E)
Onde S é a secção do fio S=Pi r2, e Y é uma constante de proporcionalidade, 
característica de cada material que é denominado módulo de elasticidade ou 
módulo de Young. O quadro a seguir apresenta valores de E para alguns materiais:
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
10
FONTE: Autor
QUADRO 1 – VALORES DE ELASTICIDADE PARA ALGUNS MATERIAIS (E)
4 ENERGIA DA DEFORMAÇÃO ELÁSTICA
Já foi visto que a ação de qualquer força sobre um corpo altera sua forma, 
isto é, provoca uma deformação.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 7 – GRÁFICO ILUSTRANDO O LIMITE DE ELASTICIDADE
TÓPICO 1 | INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO MECÂNICO DE MATERIAIS ELÁSTICOS, INELÁSTICOS E PLÁSTICOS
11
Por este gráfico, nota-se que a carga aplicada cresce uniformemente de zero 
até um certo P. Este esforço despendido realiza um trabalho que é armazenado 
sob forma de energia potencial de deformação e desenvolvido quando o corpo de 
prova readquire a forma primitiva. 
Se a carga for aplicada lenta e gradualmente até o valor P inferior ao 
limite de elasticidade, o trabalho armazenado é medido pela área do triângulo 
hachurado em figura. Logo:
Quando a carga P atinge o limite de elasticidade, a energia armazenada 
pela peça sem sofrer deformações permanentes é a máxima. Conclui-se que uma 
carga aplicada repentinamente produz um esforço interno duas vezes maior do 
que aplicado lenta e gradualmente. Nestes casos, o fator de segurança deverá ser 
o dobro.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 8 – EXEMPLO DE LIMITE DE ELASTICIDADE E FATOR DE SEGURANÇA
Evidenciar um erro comum:
1° - Não confundir resiliência com rigidez ou resistência. Resistência é a capacidade de 
um corpo de resistir à ação de forças, rigidez é a capacidade de um corpo de resistir às 
deformações e a resiliência é a resistência aos choques.
2° - Os materiais de pequena resiliência são chamados frágeis enquanto os de grande 
resiliência são chamados tenazes.
ATENCAO
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
12
5 RESILIÊNCIA, TENACIDADE, DUCTILIDADE, FRAGILIDADE
Neste item, veremos que, conforme as características elásticas de cada 
material, o mesmo será classificado como dúctil ou frágil.
Palavras como ductilidade e fragilidade serão muito utilizadas no decorrer do 
nosso estudo. Portanto, é de suma importância o entendimento desses termos.
IMPORTANT
E
Aproveitamos este momento também para definir em que consiste a 
resiliência e a tenacidade. Portanto:
Materiais Dúcteis: Qualquer material que possa ser submetido a grandes 
deformações antes da ruptura é chamado de material dúctil. O aço doce é um 
exemplo. Os engenheiros escolhem materiais dúcteis para o projeto, porque são 
capazes de absorver choques ou energia e, quando sobrecarregados, exibem, em 
geral, grande deformação antes de falhar.
Materiais Frágeis: São materiais que se rompem antes de se deformarem de 
forma significativa, ou seja, após a fase elástica, vem o rompimento sem que haja 
nenhuma ou muito pouca deformação plástica. Exemplo: Concreto.
Resiliência: É a resistência aos choques, ou seja, a capacidade de absorver 
energia mecânica durante um choque. Quanto maior o índice de resiliência de 
um material, maior é a capacidade do material de resistir a um impacto.
Tenacidade: A tenacidade está diretamente relacionada à resiliência e indica a 
medida da quantidade de energia que um material pode absorver antes de fraturar.
13
Neste tópico, vimos que:
• As propriedades mecânicas dos materiais serão os grandes balizadores do 
nosso estudo por definir as características de resistência de cada material.
• A lei de Hooke descreve a relação linear entre a força e a deformação de um 
corpo, sendo elas diretamente proporcionais quando atuam dentro do limite 
de proporcionalidade.
• Esforços de tração e compressão provocam deformações longitudinais e 
transversais e a relação entre as duas é equacionada pelo coeficiente de Poisson.
• O módulo de elasticidade consiste em uma aplicação da lei de Hooke à 
resistência dos materiais, relacionando tensão x deformação. 
• A resiliência é uma característica que define a capacidade de um determinado 
material absorver energia de impacto.
• Qualquer material que possa ser submetido a grandes deformações antes da 
ruptura é chamado de material dúctil.
• Materiais Frágeis são materiais que se rompem antes de se deformarem de 
forma significativa.
RESUMO DO TÓPICO 1
14
Ao final deste tópico, para exercitar seus conhecimentos adquiridos, resolva as 
questões que seguem. 
1 O corpo de prova de alumínio, mostrado na figura a seguir, tem um 
diâmetro do=25 mm e um comprimento nominal Lo=250 mm. Se uma força 
de 165 KN alonga o comprimento em 1,2 mm, determine o módulo de 
elasticidade do material.
AUTOATIVIDADE
FIGURA 9 – ILUSTRAÇÃO - CORPO DE PROVA - PARA O EXERCÍCIO
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
15
TÓPICO 2
TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM CORPOS SÓLIDOS 
SUBMETIDOS A ESFORÇO NORMAL
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
No estudo da Física, vimos o efeito de uma força que age sobre um 
corpo sem que ocorram deformações e sem levar em consideração as suas 
características geométricas. Em resistência dos materiais, precisamos saber o 
efeito desta força quando atua em uma secção do corpo, que pode ser quadrada, 
circular, maciça ou vazada etc. Para isto, utilizamos o conceito de tensão que 
representa a intensidade de força aplicada por unidade de área. Os tipos de 
esforços que geram estas tensões e a sua classificação serão o objeto de estudo 
deste tópico.
2 TIPOS DE ESFORÇOS
A resistência dos materiais é, na verdade, um conjunto de capítulos, 
divididos em função do tipo de esforço que possa vir a comprometer a peça ou 
estrutura em questão. Para nós, é importante, então, o conhecimento de todos os 
esforços existentes e as respectivas tensões a serem consideradas em cada caso. A 
princípio, será feito um comentário geral sobre cada tipo de esforço, ficandosua 
análise detalhada nos capítulos seguintes.
Esforço de TRAÇÃO - esforço que tende a esticar ou alongar o corpo/estrutura em 
questão. Trata-se de um esforço axial (ao longo do eixo) e a tensão correspondente 
é a tensão normal.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 10 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE TRAÇÃO
Esforço de COMPRESSÃO - esforço que tende a “empurrar” ou encurtar o 
corpo/estrutura em questão. Trata-se também de um esforço axial (ao longo do 
eixo) e a tensão correspondente é a tensão normal.
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
16
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 11 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE COMPRESSÃO
Esforço de CISALHAMENTO - esforço que tende a cortar ou cisalhar o corpo/
estrutura em questão. Trata-se de um esforço transversal (perpendicular ao eixo) 
e a tensão correspondente é a tensão tangencial.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 12 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE CISALHAMENTO
Esforço de FLEXÃO - esforço que tende a flexionar ou encurvar uma viga/
eixo em questão. Trata-se de um esforço normal (ao longo do eixo) e a tensão 
correspondente é a tensão normal (trata-se, na verdade, de uma combinação dos 
esforços de tração e compressão, conforme se verá mais adiante).
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 13 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE FLEXÃO
Esforço de TORÇÃO - esforço que tende a girar uma secção transversal em relação 
a outra adjacente de um eixo de transmissão. Trata-se de um esforço tangencial 
(perpendicular ao eixo) e a tensão correspondente é a tensão tangencial.
TÓPICO 2 | TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM CORPOS SÓLIDOS SUBMETIDOS A ESFORÇO NORMAL
17
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 14 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE TORÇÃO
3 TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 15 – REPRESENTAÇÃO DAS TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS
Onde: p = tensão total resultante, atuante sobre a secção transversal 
 considerada
 σ	 = componente de “p”, normal ao plano – TENSÃO NORMAL
 τ	 = componente de “p”, tangente ao plano – TENSÃO TANGENCIAL
Genericamente, pode-se definir “tensão” como a resistência interna de 
um corpo a uma força externa aplicada sobre ele, por unidade de área.
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
18
4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA TRAÇÃO/COMPRESSÃO 
SIMPLES
Agora que já vimos os tipos de esforços e a classificação das tensões, 
em normais e tangenciais, estamos prontos para estudar cada uma destas 
separadamente, focando em suas peculiaridades e métodos analíticos para 
cálculo dos efeitos produzidos por cada uma. 
Iniciamos este estudo com as tensões normais de tração e compressão. 
Quanto às deformações causadas por este tipo de tensão, já tivemos uma 
introdução quando vimos a lei de Hooke. 
Tensão Normal σ
A carga normal F, que atua na peça, origina nesta uma tensão normal 
que é determinada através da relação entre a intensidade da carga aplicada, e a 
área da secção transversal da peça.
Onde: σ- tensão normal (Pa)
 F - força normal ou axial (N)
 A - área da secção transversal da peça (m2)
Unidade de Tensão no SI (Sistema Internacional)
A unidade de tensão no SI é o pascal, que corresponde à carga de 1N 
atuando sobre uma superfície de 1m2.
FONTE: Autor
FIGURA 16 – REPRESENTAÇÃO DA UNIDADE DE TENSÃO NO SI 
TÓPICO 2 | TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM CORPOS SÓLIDOS SUBMETIDOS A ESFORÇO NORMAL
19
Como a unidade pascal é infinitesimal, utiliza-se com freqüência os seus 
múltiplos: 
MPa (mega pascal) = 106 Pa, 
kPa (quilo pascal) = 103 Pa
IMPORTANT
E
A unidade MPa (mega pascal, corresponde à aplicação de 106 N (um 
milhão de newtons) na superfície de um metro quadrado (m2). Como m2 = 106 
mm2, conclui-se que:
MPa corresponde à carga de 1N atuando sobre a superfície de 1mm2.
Podemos verificar então que esforços de tração e compressão geram 
tensões normais, porém seus efeitos são contrários, como veremos a seguir:
• Tração: devido a um esforço de traça, o elemento tracionado deverá sofrer um 
alongamento no sentido tracionado (longitudinal) e uma diminuição da secção 
transversal. O quanto este corpo deforma vai depender de suas características 
elásticas (módulo de elasticidade) e da intensidade da tensão. A relação entre 
a deformação longitudinal e transversal será dada pelo coeficiente de Poisson, 
doravante citado quando estudamos a lei de Hooke.
• Compressão: devido a um esforço de compressão, o elemento deve ter 
diminuição de sua dimensão longitudinal com aumento da secção transversal. 
O quanto este corpo deforma vai depender de suas características elásticas 
(módulo de elasticidade) e da intensidade da tensão. A relação entre a 
deformação longitudinal e transversal será dada pelo coeficiente de Poisson, 
doravante citado quando estudamos a lei de Hooke.
Em termos analíticos, utilizamos as seguintes equações para fins de 
determinar deformações e/ou dimensionar um elemento:
σ = E. ε
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
20
Veremos agora alguns exemplos de aplicação destas equações:
Exemplo 1 
Um fio de comprimento 30 cm e diâmetro 1 mm foi submetido ao ensaio 
de tração e com uma carga de 40 Kg e se obteve um alongamento total de 0,08 
cm. Calcular o alongamento unitário, alongamento porcentual, tensão e módulo 
de elasticidade.
a. Alongamento unitário e percentual:
b. Tensão:
c. Módulo de elasticidade:
TÓPICO 2 | TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM CORPOS SÓLIDOS SUBMETIDOS A ESFORÇO NORMAL
21
Exemplo 2: 
Escolher a corrente destinada a resistir uma carga intermitente de 1 t. 
Material: aço ABNT 1040.
Exemplo 3: 
Calcular o diâmetro de um arame de aço ABNT 1030, destinado a manter 
suspenso um peso de 200 Kg.
22
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, vimos que:
• Diversos tipos de esforços serão objeto de nosso estudo ao longo da disciplina. 
São eles: tração, compressão, torção, flexão e cisalhamento.
• Estes esforços provocarão uma tensão considerada na secção transversal. A 
tensão provocada é dada pela relação entre a força e a área da secção e sua 
unidade no S.I é o Pascal.
• De acordo com a direção de atuação dos esforços, as tensões são classificadas 
em Normal e Tangencial.
23
Para exercitar seus conhecimentos adquiridos, resolva as questões 
a seguir:
1 No dispositivo em figura, a bucha é de aço ABNT 1010 e o parafuso de aço 
ABNT 1030. Calcular os diâmetros do, e D quando a porca exerce uma 
força axial de 2t e d=20mm.
AUTOATIVIDADE
FIGURA 17 – EXEMPLO DEMONSTRATIVO PARA O EXERCÍCIO
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
24
25
TÓPICO 3
VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA E DIMENSIONAMENTO 
SEGUNDO CRITÉRIO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Para fins de projeto de uma peça estrutural ou elemento mecânico, 
temos como obter em tabelas a tensão de resistência do material que o compõe, 
determinada por ensaios em laboratório, com corpos de prova devidamente 
normatizados. Porém, na prática, algumas condições de fabricação, funcionamento 
e ambiente em que estão inseridos diferem das condições ensaiadas em 
laboratórios. Portanto, devemos adequar a tensão de operação para uma tensão 
que chamamos de tensão admissível, para cada caso em particular, de forma a 
garantir que fatores particulares a cada situação não comprometam a resistência 
do elemento em questão. Para isto, utilizamos o coeficiente de segurança 
representado pela letra “K”.
Na definição do coeficiente de segurança a ser aplicado, levamos em 
consideração os processos de fabricação das peças, a forma com que a carga 
é aplicada, o ambiente de operação, dentre outros fatores. Estes fatores são 
sobrepostos através do produto de valores que representa o quanto cada um 
desses afeta a resistência do material. Para um bom entendimento, faremos agora 
uma breve distinção entre as formas que um carregamento pode se apresentar,tornando- se mais ou menos crítica para cada situação em particular.
2 TIPOS DE CARGAS
Agora você estudará os tipos de cargas, as quais podem ser: carga estática, 
carga intermitente e carga alternada.
2.1 CARGA ESTÁTICA
A carga é aplicada na peça e permanece constante.
26
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 18 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA CARGA ESTÁTICA
2.2 CARGA INTERMITENTE
Neste caso, a carga é aplicada gradativamente na peça, fazendo com que 
o seu esforço atinja o máximo, utilizando, para isso, um determinado intervalo de 
tempo. Ao atingir o ponto máximo, a carga é retirada gradativamente no mesmo 
intervalo de tempo utilizado para se atingir o máximo, fazendo com que a tensão 
atuante volte a zero. E assim sucessivamente. Ex.: o dente de uma engrenagem.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 19 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA CARGA INTERMITENTE
2.3 CARGA ALTERNADA
Neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça varia de máximo 
positivo para máximo negativo ou vice-versa, constituindo-se uma situação 
muito crítica para o material.
TÓPICO 3 | VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA E DIMENSIONAMENTO SEGUNDO CRITÉRIO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS
27
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 20 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA CARGA ALTERNADA
3 TENSÃO ADMISSÍVEL
Para determinar o coeficiente de segurança em função das circunstâncias 
apresentadas, deverá ser utilizada a expressão a seguir:
Valores para x (fator de tipo de material)
x = 2 para materiais comuns.
x = 1,5 para aços de qualidade e aço liga.
Valores para y (fator do tipo de solicitação)
y = 1 para carga constante.
y = 1 para carga intermitente.
y = 3 para carga alternada.
Valores para z (fator do tipo de carga)
z = 1 para carga gradual.
z = 1,5 para choques leves.
z = 2 para choques bruscos.
Valores para w (fator que prevê possíveis falhas de fabricação)
w = 1 a 1,5 para aços e outros materiais.
w = 1,5 a 2 para fofo.
28
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
Para carga estática, normalmente, utiliza-se 2≤ k ≤3 aplicado a σe (tensão de 
escoamento do material), para o material dúctil e ou aplicado a σ (tensão de ruptura do 
material) para o material frágil. Para o caso de cargas intermitentes ou alternadas, o valor de 
k cresce como nos mostra a equação para sua obtenção.
IMPORTANT
E
A tensão admissível é determinada através da relação entre (tensão de 
escoamento) e coeficiente de segurança para os materiais dúcteis, σr (tensão de 
ruptura) e coeficiente de segurança para os materiais frágeis.
Exemplo 1
Um determinado tipo de aço que compõe um elemento de uma máquina 
possui tensão de escoamento de 480 Mpa. Como o mesmo opera com carga 
intermitente na definição do K, temos: 
x = 1,5 para aços de qualidade e aço liga.
y = 1 para carga intermitente.
Portanto: K= x.y = 1,5 . 1,0= 1,5.
A tensão admissível é, então, 480/1,5 = 320 MPa.
29
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, vimos que:
• Um mesmo tipo de esforço pode ser provocado por cargas atuando de formas 
diferentes, provocando efeitos com maior ou menor impacto sobre a resistência do 
corpo solicitado. Estas são classificadas como estáticas, intermitentes e alternadas.
• As condições de trabalho normalmente diferem das ensaiadas em laboratório. 
Portanto, utilizamos a tensão chamada de tensão admissível para fins de 
cálculo da resistência de um elemento mecânico.
• A tensão admissível é resultado da divisão da tensão de resistência ao 
escoamento ou à ruptura, obtida em ensaios normatizados pelo coeficiente de 
segurança K.
• O coeficiente de segurança K é obtido a partir do produto de valores que 
representam a influência de fatores como: processo de fabricação, tipo de carga, 
ambiente de trabalho, dentre outros que podem comprometer a resistência de 
um elemento mecânico.
30
Exercite seus conhecimentos, resolvendo as questões a seguir:
1 Determine o diâmetro da barra de aço 1 indicada na figura a seguir. A barra 
está presa ao solo no ponto C e sujeita as forças mostradas. Admita que o 
material possui as seguintes características: σ(adm)=220 Mpa; fator falha de 
fabricação = 1; material comum; carga constante e gradual.
2 A barra rígida AB mostrada na figura a seguir é suportada pela barra de 
alumínio AC, que está acoplada por meio de pinos. Determine o diâmetro 
da barra de alumínio e dos pinos, sujeitos a cisalhamento duplo, sabendo 
que σ(adm) alumínio = 10,6 x 10³ Ksi e σ (adm) aço = 29 x 10³ Ksi. Utilize um 
fator de segurança K = 2 para oalumínio e um fator K = 2,5 para o aço.
AUTOATIVIDADE
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 21 – REPRESENTAÇÃO ILUSTRATIVA DE UMA BARRA DE AÇO PARA O EXERCÍCIO 
FIGURA 22 – REPRESENTAÇÃO ILUSTRATIVA DE UMA BARRA RÍGIDA AB, SUPORTADA POR 
OUTRA BARRA DE ALUMÍNIO AC.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
31
TÓPICO 4
ESTADO DE CISALHAMENTO PURO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Nos Tópicos 1, 2, 3 desta unidade, vimos que a tensão pode ser classificada 
como Normal ou Tangencial. Neste tópico, teremos um primeiro contato com as 
tensões do tipo tangencial que, como o próprio nome diz, age tangencialmente 
na secção transversal, tendendo a cisalhar o elemento solicitado. Devemos, neste 
estudo, observar com atenção qual a área de secção transversal que está sendo 
solicitada bem como se um mesmo elemento está sujeito a esforços que tendem 
a cisalhar em mais de uma secção, situação em que temos que distribuir a carga 
entre as áreas.
2 TENSÃO DE CISALHAMENTO
A tensão de cisalhamento decorre de uma força que tende a cisalhar uma 
secção. Esta age tangencialmente ao plano. Portanto, trata-se de tensão tangencial.
Tensão de Cisalhamento: Age tangencialmente à superfície do material
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 23 – CONEXÃO PARAFUSADA EM QUE O PARAFUSO É CARREGADO POR 
CISALHAMENTO DUPLO.
32
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
Sob a ação de forças de tração P, a barra e a junta irão exercer uma pressão 
cortante contra o parafuso, e as tensões de contato, chamadas de tensões cortan-
tes, serão criadas. A barra e a junta tendem a cisalhar o parafuso (cortá-lo). Essa 
tendência é resistida por tensões de cisalhamento no parafuso.
Tensão Cortante Média
3 TENSÕES DE CISALHAMENTO SIMPLES
O cisalhamento é provocado pela ação direta da carga aplicada F. Ocorre 
frequentemente em vários tipos de acoplamentos simples que usam parafusos, 
pinos, material de solda etc.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 
2000.
Em casos como este, aplica-se direto a equação:
FIGURA 24 – EXEMPLO DE CHAPAS COM ACOPLAMENTOS SIMPLES, USANDO PARAFUSOS, 
PINOS MATERIAL DE SOLDA.
TÓPICO 4 | ESTADO DE CISALHAMENTO PURO
33
4 TENSÕES DE CISALHAMENTO DUPLO
Neste caso, temos duas secções sendo cisalhadas em um mesmo elemento. 
Ainda é válida a mesma equação, porém temos que ficar atentos para observar 
que a carga está distribuída em duas secções transversais. Portanto, ao aplicar a 
equação da tensão, devemos duplicar a área ou dividir a carga por dois.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
Escrevemos, então, a equação da seguinte forma:
Onde “n” representa o número de áreas sujeitas a esforço de cisalhamento.
FIGURA 25 – REPRESENTAÇÃO DE TENSÕES DE CISALHAMENTO DUPLO.
5 DIMENSIONAMENTO PELA TENSÃO DE CISALHAMENTO
Para o dimensionamento de um elemento pela tensão de cisalhamento, 
utilizamos a mesma equação citada e utilizamos a tensão de ruptura do material, 
lembrando de aplicar o coeficiente de segurança sempre que necessário. 
Vejamos um exemplo:
Projetar a junta rebitada para que suporte uma carga de 125 kN, aplicada 
conforme a figura a seguir. A junta deverá contar com 5 rebites. τ= 105 MPa; tch = 
8mm (espessura das chapas).
34
UNIDADE1 | ESTUDO DAS TENSÕES
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 26 – ILUSTRAÇÃO DA PROJEÇÃO DE UMA JUNTA REBITADA PARA SUPORTE DE CARGA
Solução: 
a. Cisalhamento nos rebites: Observa- se na figura que a junta é 
simplesmente cisalhada, ou seja, cada rebite sofre cisalhamento na sua respectiva 
secção AA. Tem- se, então, que:
Como os rebites possuem secção transversal circular, a área do circulo é 
dada por:
A fórmula da tensão do cisalhamento, então, passa a ser:
35
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico, vimos que:
• A tensão de cisalhamento decorre de uma força que tende a cisalhar uma secção. 
Esta age tangencialmente ao plano. Portanto, trata-se de tensão tangencial.
• A tensão de cisalhamento simples é provocada pela ação direta da carga 
aplicada F. Ocorre frequentemente em vários tipos de acoplamentos simples 
que usam parafusos, pinos, material de solda etc.
• No caso de cisalhamento duplo, temos duas secções sendo cisalhadas em um 
mesmo elemento.
• Para o cálculo da tensão de cisalhamento, utilizamos a equação: 
• Para o dimensionamento de um elemento pela tensão de cisalhamento, 
utilizamos a mesma equação citada e utilizamos a tensão de ruptura do material, 
lembrando de aplicar o coeficiente de segurança sempre que necessário. 
36
AUTOATIVIDADE
Ao final deste tópico, resolva os exercícios a seguir, visando à fixação 
do conhecimento adquirido: 
1 Uma prensa usada para fazer furos em placas de aço é mostrada na Figura 
27a. Assuma que uma prensa com diâmetro de 0,75 in. é usada para fazer 
um furo em uma placa de ¼ in., como mostrado na vista transversal (Figura 
27b). Se uma força P=28000 lb é necessária para criar o furo, qual é a tensão 
de cisalhamento média na placa e a tensão de compressão média na prensa?
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 27 – ILUSTRAÇÃO PARA SUPORTE DO EXERCÍCIO 1
2 O elo do tirante mostrado na figura 28 suporta uma força de 600 Lb, 
aplicada pelo cabo. Se o pino tem um diâmetro de 0,25in, determine a 
tensão cisalhante média no pino.
FONTE: Autor
FIGURA 28 – ILUSTRAÇÃO DE UM ELO TIRANTE PARA SUPORTE DO EXERCÍCIO 2
37
3 A alavanca mostrada na figura é mantida fixa ao eixo através de um pino 
localizado em AB, cujo diâmetro é de 6 mm. Se um homem aplica as forças 
mostradas na figura ao girar a alavanca, determine a tensão cisalhante 
média no pino na seção entre este e a alavanca.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 29 – ILUSTRAÇÃO DE UMA ALAVANCA FIXA AO UM EIXO POR PINOS PARA 
SUPORTE DO EXERCÍCIO 3
4 A luminária mostrada na figura a seguir, é suportada pelo pino A, cujo 
diâmetro é de 1/8” in. Se a luminária pesa 4 Lb e o braço AB do suporte 
pesa 0,5 Lb/ft, determine a tensão cisalhante média no pino necessária para 
suportar a luminária.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 30 – ILUSTRAÇÃO DE UMA LUMINÁRIA FIXA NO PONTO “A”. 
5 A junta mostrada na figura utiliza dois parafusos para unir as placas. 
Determine o diâmetro necessário aos parafusos, considerando que a tensão 
cisalhante admissível τ(adm)=110 MPa. Admita que a carga seja igualmente 
distribuída entre os parafusos.
38
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 31 – ILUSTRAÇÃO DE PLACAS UNIDAS POR DOIS PARAFUSOS. 
6 A alavanca mostrada na figura é fixada ao eixo A por uma chaveta de largura 
d e comprimento de 25 mm. Se o eixo está fixo e uma força de 200 N é aplicada 
perpendicularmente à alavanca, determine a dimensão d considerando que a 
tensão cisalhante admissível para o material da chaveta é τ(adm)=35 MPa. 
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 32 – ILUSTRAÇÃO DE UMA ALAVANCA FIXADA A UM EIXO “A”.
Obs:
1ksi = 6,867 MPa
1Ksi = 1000 Psi
Atividades complementares: Observações: Resolver os exercícios da seção 
de tensão cisalhamento e tensão admissível do livro Resistência dos Materiais, do autor, 
Hibbeler, 2000.
NOTA
Psi = Lb/in.in
1in = 2,54 cm
1ft = 12 in
39
TÓPICO 5
TORÇÃO E CISALHAMENTO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Neste item, utilizaremos uma linguagem um pouco mais complexa 
e faremos uso de equações diferenciais para justificar alguns conceitos. Vocês 
serão apresentados também a duas características geométricas importantes no 
que tange a elementos sujeitos a esforços que tendem a provocar rotação. São eles 
o raio de giração e o momento polar de inércia.
2 DEFINIÇÕES
A torção se refere ao giro de uma barra retilínea, quando carregada por 
momentos (ou torques) que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal 
da barra. Veja a Figura 33.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 33 – TORÇÃO DE UMA CHAVE DE FENDA DEVIDO A UM TORQUE T APLICADO NO CABO.
40
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
Exemplos de barras em torção: Hastes, eixos, eixos propulsores, hastes de 
direção e brocas de furadeiras. Caso idealizado do carregamento de torção:
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
Os momentos que produzem giro na barra, como os momentos T1 e T2 da 
Figura 34, são chamados de torques ou momentos torçores.
Os membros cilíndricos submetidos a torques e que transmitem potência 
através de rotação são chamados de eixos.
Ex.: O virabrequim de um automóvel ou o eixo propulsor de um navio. A 
maioria dos eixos tem seções transversais circulares, sólidas ou tubulares.
FIGURA 34 – BARRA SUBMETIDA À TORÇÃO PELO TORQUE T1 E T2.
TÓPICO 5 | TORÇÃO E CISALHAMENTO
41
3 DEFORMAÇÕES DE TORÇÃO DE UMA BARRA CIRCULAR
Considere uma barra prismática de seção transversal circular girada por 
torques T agindo nas extremidades como na Figura 35.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 35 – DEFORMAÇÕES DE UMA BARRA CIRCULAR EM TORÇÃO PURA.
Torção Pura: Toda a seção transversal está submetida ao mesmo torque 
interno T.
Considerações
Das condições de simetria, as seções transversais da barra não variam 
na forma enquanto rotacionam sobre o eixo longitudinal. Em outras palavras, 
todas as seções transversais permanecem planas e circulares e todos os raios 
permanecem retos. Caso o ângulo de rotação entre uma extremidade da barra e 
outra seja pequeno, nem o comprimento da barra e nem seu raio irão variar.
Variáveis: f, φ - Ângulo de torção.
O ângulo de torção varia ao longo do eixo da barra: 0 ≤φ (x)≤φ
Se toda a seção transversal da barra tem o mesmo raio e está submetida 
ao mesmo torque (torção pura). O ângulo φ (x) irá variar linearmente. Considere 
a Figura 36:
42
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 36 – DEFORMAÇÃO DE UM ELEMENTO DE COMPRIMENTO DX EXTRAÍDO DE UMA 
BARRA EM TORÇÃO.
Os ângulos no canto do elemento, na Figura 36b não são mais iguais a 90º. O 
elemento está em um estado de cisalhamento puro e a magnitude da deformação de 
cisalhamento γ max é igual à diminuição no ângulo no ponto a, isto é, a diminuição 
no ângulo bad. Da figura, vemos que a diminuição nesse ângulo é:
Onde γ max é medido em radianos, bb’ é a distância através da qual o 
ponto b se move e ab é o comprimento do elemento (igual a dx). Com r denotando 
o raio da barra, podemos expressar a distância bb’ como rdφ, em que dφ também 
é medido em radianos. Dessa maneira, a equação anterior fica:
Essa equação relaciona a deformação de cisalhamento na superfície 
externa da barra com o ângulo de torção. A relação dφ/ dx é a razão da variação 
do ângulo de torção φ em relação à distância x medida ao longo do eixo da barra.Vamos denotar dφ/ dx pelo ângulo θ e nos referimos a ele como razão de torção 
ou ângulo de torção por unidade de comprimento.
TÓPICO 5 | TORÇÃO E CISALHAMENTO
43
Equação para deformação de cisalhamento na superfície externa
Torção Pura
• Razão de torção
• Deformação de cisalhamento
As deformações por cisalhamento no interior da barra podem ser 
encontradas pelo método usado para encontrar a deformação de cisalhamento 
γ max na superfície externa. Como os raios nas seções transversais permanecem 
retos e não distorcidos durante o giro, vemos que a discussão anterior para um 
elemento abcd na superfície externa (Figura 36 b) também se aplica para um 
elemento similar situado na superfície de um cilindro interno de raio ρ , como 
na Figura 36c. Dessa forma, elementos internos também estão em cisalhamento 
puro com as deformações de cisalhamento correspondentes dadas pela equação:
A Figura 37 apresenta a variação linear na deformação de cisalhamento 
entre a deformação máxima na superfície externa e a deformação mínima na 
superfície interna. As equações para essas deformações são as seguintes:
44
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
Considere-se que r1 e r2 são raios interno e externo, respectivamente, do 
tubo.
Essas equações são válidas para qualquer material, tanto para comporta-
mento elástico ou inelástico, linear ou não linear. As equações são limitadas para 
barras tendo pequenos ângulos de rotação e pequenas deformações.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 37 – DEFORMAÇÕES DE CISALHAMENTO EM UM TUBO CIRCULAR.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 38 – TENSÕES DE CISALHAMENTO EM UMA BARRA CIRCULAR EM TORÇÃO.
Barras Circulares de Materiais Elásticos Lineares
As direções das tensões são determinadas por inspeção como indica a 
Figura 38.
TÓPICO 5 | TORÇÃO E CISALHAMENTO
45
Como explicado em aulas anteriores, usualmente desenhamos elementos 
de tensão em duas dimensões, como na Figura 38b, mas devemos lembrar que os 
elementos de tensão na realidade são objetos tridimensionais com uma espessura 
perpendicular ao plano da figura. Caso o material seja elástico-linear, podemos 
usar a lei de Hooke em cisalhamento.
Em que G é o módulo de elasticidade de cisalhamento e γ é a deformação 
de cisalhamento em radianos.
Em que τ max é a tensão de cisalhamento na superfície externa da 
barra (raio r), τ é a tensão de cisalhamento em um ponto interior (raio ρ ) e θ é 
a razão de torção. (Nessas equações, θ tem unidades de radianos por unidade 
de comprimento). As equações acima mostram que as tensões de cisalhamento 
variam linearmente com a distância com o centro da barra, como ilustrado pelo 
diagrama de tensão triangular na Figura 38c. Essa variação linear de tensão é 
uma consequência da Lei de Hooke. As tensões de cisalhamento, agindo num 
plano transversal, são acompanhadas pelas tensões de cisalhamentos de mesma 
magnitude agindo em planos longitudinais como na Figura 39.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 39 – TENSÕES DE CISALHAMENTO LONGITUDINAL E TRANSVERSAL EM UMA BARRA 
CIRCULAR SUBMETIDA À TORÇÃO.
46
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
O estado de cisalhamento puro na superfície de uma barra é equivalente 
a tensões iguais de compressão e tração agindo num elemento orientado num 
ângulo de 45º. Verifique a Figura 40.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 40 – TENSÕES DE COMPRESSÃO E TRAÇÃO AGINDO EM UM ELEMENTO DE TENSÃO 
ORIENTADO A 45º DO EIXO LONGITUDINAL.
Se uma barra é feita de um material que é mais frágil em tração do que em 
cisalhamento, a falha irá ocorrer em tração ao longo de uma hélice a 45º do eixo.
4 A FÓRMULA DE TORÇÃO
A distribuição de tensões de cisalhamento agindo em uma seção 
transversal foi ilustrada anteriormente. Como essas tensões agem continuamente 
ao redor da seção transversal, têm uma resultante na forma de um momento – um 
momento igual ao torque agindo na barra. Analise a Figura 41.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 
2000.
FIGURA 41 – DETERMINAÇÃO DA RESULTANTE DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO AGINDO 
EM UMA SEÇÃO TRANSVERSAL.
TÓPICO 5 | TORÇÃO E CISALHAMENTO
47
Conversar com o aluno: Objetivo: Determinar a relação entre as tensões de 
cisalhamento e o torque T.
UNI
Força de cisalhamento agindo no elemento da Figura 41.
τdA
Onde τ é a tensão de cisalhamento no raio ρ. O momento elementar dessa 
força sobre o eixo da barra é:
O momento resultante (igual ao torque) é a soma de todos os momentos 
elementares sobre a área da seção transversal.
Em que
é o momento de inércia polar da seção transversal circular. Para um círculo 
de raio r, e diâmetro do momento de inércia polar é:
48
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
Portanto, tem–se a seguinte expressão para a tensão de cisalhamento 
máxima:
τ= Tr
 Ip
Esta expressão é conhecida como a fórmula de torção. A tensão de 
cisalhamento máxima é diretamente proporcional ao torque aplicado, T, e 
inversamente proporcional ao momento de inércia polar, I P.
A fórmula aplica-se para barras sólidas e tubos circulares. A tensão de 
cisalhamento à distância ρ do centro da barra é:
Ângulo de Torção 
Para obter o ângulo de torção, utilizamos a seguinte expressão:
Em que θ tem unidades de radianos por unidade de comprimento. Essa 
equação mostra que a razão de torção θ é diretamente proporcional ao torque T 
e inversamente proporcional ao produto GIP, conhecido como rigidez de torção 
da barra. 
O ângulo de torção total para uma barra em torção pura φ = θL.
Tubos circulares
Conversar com o aluno: Tubos circulares são mais eficientes do que barras 
sólidas. Por quê? (Pense e responda).
UNI
TÓPICO 5 | TORÇÃO E CISALHAMENTO
49
As mesmas expressões básicas para as tensões de cisalhamento podem 
ser usadas. Logicamente, a distância radial ρ está limitada ao intervalo r1 até r2 , 
onde r1 é o raio interno e r2 é o raio externo da barra, como na Figura 42.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 42 – MOMENTO DE INÉRCIA POLAR DA ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL DO TUBO
Momento de Inércia Polar da área de Seção Transversal do Tubo:
50
UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES
LEITURA COMPLEMENTAR
MEDIDA DO MÓDULO DE ELASTICIDADE (E)
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 43 – ILUSTRAÇÃO DE UM DISPOSITIVO EXPERIMENTAL
Na figura 43, é mostrado o dispositivo experimental. É empregado um fio 
de um metro de comprimento, disposto horizontalmente fiado por um extremo, 
enquanto que no outro passa por uma polia. Do extremo livre, pendem pesos de 
100 g, 250 g ou 500 g. 
Ao colocar pesos sobre o extremo livre do fio, este é esticado e a polia gira 
um ângulo igual a ∆L/r. Sendo r o raio da polia.
Como o alongamento ∆L é pequeno, pode ser medido mediante uma 
agulha indicadora que marca sobre um setor circular cujo raio é R=10·r vezes o 
raio da polia.
Exemplo:
• Raio da secção do fio, 0.25 mm 
• Material, Alumínio 
• Se colocamos 6 pesos de 250 g no extremo livre do fio 
A força aplicada é F=mg=6·0.25·9.8 N
A leitura na escala graduada semicircular é s=1.19 cm, que corresponde a 
uma deformação de ∆L=1.19 mm.
O quociente entre o esforço e a deformação é o módulo de Young ( E ) 
Y=6.29·1010 N/m2.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001, p. 98
51
RESUMO DO TÓPICO 5
Neste tópico, vimos que:
• A torção se refere ao giro de uma barra retilínea quando carregada por momentos 
(ou torques) que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra.
• A tensão gerada por um esforço de torção varia de um valor mínimo no centro 
da secção transversal em que o raio de giraçãoé zero até uma tensão máxima 
na extremidade da secção em que o raio de giração é máximo.
• O ângulo de torção varia ao longo do eixo da barra: 0 ≤φ (x)≤φ
• Para obter o ângulo de torção, utilizamos a seguinte expressão:
• A chamada fórmula da torção máxima para uma secção circular é dada por: 
τ= T.r/Ip
52
Para exercitar seus conhecimentos, resolva as questões a seguir:
1 Calcular a tensão de cisalhamento máxima de um eixo de 25 mm de 
diâmetro, submetido a 5000 kgf.cm de torque.
2 Calcular a tensão máxima e mínima para um eixo vazado de diâmetro 
externo 25 mm e interno 12 mm, quando um momento torçor de 5000 kgf.
cm atua sobre o mesmo. 
3 Um momento de torção de 3 KN.m é aplicado ao cilindro maciço de bronze 
indicado. Determinar: a) a máxima tensão de cisalhamento; b) a tensão de 
cisalhamento no ponto D que fica em uma circunferência de 15 mm de raio; 
c) a parcela do momento (%) resistida pelo cilindro interior (imaginário) de 
15 mm de raio.
AUTOATIVIDADE
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 44 – REPRESENTAÇÃO PARA O EXERCÍCIO
4 Sabe-se que as tensões admissíveis das barras circulares AB e BC são 
respectivamente 83 MPa e 48 MPa. O momento torçor aplicado em A é 
de 7,5 KN.m. Determinar o diâmetro necessário: a) da barra AB; b) da 
barra BC.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 45 – REPRESENTAÇÃO PARA O EXERCÍCIO
53
UNIDADE 2
ESTUDO DA FLEXÃO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Após o estudo desta unidade, o(a) acadêmico(a) estará apto a:
• dimensionar peças submetidas a esforço de flexão, utilizando a 
tensão admissível;
• determinar analiticamente a deflexão e a inclinação em pontos 
específicos de eixos e vigas, levando em consideração como os 
vários tipos de apoio implicam a limitação da inclinação ou o 
deslocamento;
• entender em que consiste uma peça esbelta e sua influência sobre a 
resistência de uma estrutura sujeita à compressão.
Esta unidade está dividida em três tópicos, sendo que em cada um deles 
você encontrará atividades que o auxiliarão na apropriação do conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – FLEXÃO
TÓPICO 2 – EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
TÓPICO 3 – ESTUDO DA FLAMBAGEM
54
55
TÓPICO 1
FLEXÃO
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Nesta segunda unidade, estudaremos esforços que tendem a provocar 
efeitos de flexão. Este tipo de efeito pode ser proveniente de cargas concentradas 
ou cargas distribuídas e, ainda, combinações destas. Muitos fatores devem 
ser considerados durante este estudo, tais como: tipos de engastes, geometria 
do corpo, posição relativa entre esforços e secção transversal, assim como as 
características elásticas dos materiais. Precisamos então estabelecer algumas 
convenções quanto a sinais e metodologias de cálculo, para padronizar análises 
gráficas que servirão para perceber como se distribuem estes efeitos ao longo da 
estrutura de um corpo em estudo. 
O esforço de flexão configura-se na peça quando esta sofre a ação de 
cargas cortantes, que venham a originar momento fletor significativo.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 46 – REPRESENTAÇÃO DO ESFORÇO DE FLEXÃO SOBRE UMA PEÇA
UNIDADE 2 | ESTUDO DA FLEXÃO
56
Onde tensão máxima nas fibras comprimidas, também como se 
convenciona o momento fletor nas fibras comprimidas negativo, será sempre 
< 0 (negativo). Tensão máxima nas fibras tracionadas. Como, por convenção, o 
momento fletor é positivo nas fibras tracionadas, será sempre > 0 (positivo).
A flexão é denominada simples quando as secções transversais da peça 
estiverem submetidas à ação de força cortante e momento fletor simultaneamente. 
Exemplos: intervalos AC e DB da figura anterior. Neste caso, atuam tensão normal 
e tensão tangencial.
2 TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO
Suponha-se que a figura representada a seguir seja uma peça com secção 
transversal de qualquer comprimento, que encontra-se submetida à flexão pela 
ação das cargas cortantes representadas.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 47 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO SOBRE UMA PEÇA
A tensão normal atuante máxima, também denominada tensão de flexão, 
é determinada em relação à fibra, aos distantes da secção transversal através da 
relação entre o produto do momento fletor atuante e a distância entre a linha 
neutra e a fibra, e o momento de inércia baricêntrico da secção.
3 FORÇA CORTANTE Q
A força cortante será positiva quando provocar na peça momento fletor 
positivo.
TÓPICO 1 | FLEXÃO
57
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 48 – REPRESENTAÇÃO DA FORÇA CORTANTE POSITIVA
3.1 VIGAS HORIZONTAIS
Convenciona-se a cortante como positiva aquela que atua à esquerda da 
secção transversal estudada, de baixo para cima.
3.2 VIGAS VERTICAIS
Convenciona-se cortante positiva aquela que atua à esquerda da secção 
estudada, com o sentido dirigido da esquerda para a direita.
4 MOMENTO FLETOR M
O momento fletor pode ser positivo ou negativo.
4.1 MOMENTO POSITIVO
O momento fletor é considerado positivo quando as cargas cortantes 
atuantes na peça tracionam as suas fibras inferiores.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 49 – REPRESENTAÇÃO MOMENTO FLETOR POSITIVO
UNIDADE 2 | ESTUDO DA FLEXÃO
58
4.2 MOMENTO NEGATIVO
O momento fletor é considerado negativo quando as forças cortantes 
atuantes na peça comprimirem as suas fibras inferiores.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 50 – REPRESENTAÇÃO MOMENTO FLETOR NEGATIVO
Para facilitar a orientação, convenciona-se o momento horário à esquerda da 
secção transversal estudada, como positivo.
ATENCAO
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 51 – REPRESENTAÇÃO MOMENTO HORÁRIO À ESQUERDA - POSITIVO
5 DIMENSIONAMENTO NA FLEXÃO
Para o dimensionamento das peças submetidas a esforço de flexão utiliza-
se a tensão admissível, que será a tensão atuante máxima na fibra mais afastada, 
não importando se a fibra estiver tracionada ou comprimida.
TÓPICO 1 | FLEXÃO
59
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Onde: σx e σy - tensão normal atuante na fibra mais afastada (PA;.......);
 δ - tensão admissível (PA;N/mm2.......)
 M - momento fletor (Nm; N.mm;.......)
 Wx e Wy - módulo de resistência da secção transversal (m
3; mm3;.....)
 Xmax e Ymax - distância máxima entre LN (linha neutra) e extremidade 
 da secção (m; mm;.....)
Exemplos:
Força Cortante Q
Obtém-se a força cortante atuante em uma determinada secção transversal 
da peça, através da resultante das forças cortantes atuantes à esquerda da secção 
transversal estudada.
FIGURA 52 – REPRESENTAÇÃO DE UMA PEÇA SUBMETIDA A UM ESFORÇO DE FLEXÃO
UNIDADE 2 | ESTUDO DA FLEXÃO
60
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Momento Fletor M
O momento fletor atuante em uma determinada secção transversal da 
peça obtém-se através da resultante dos momentos atuantes à esquerda da secção 
estudada.
FIGURA 53 – REPRESENTAÇÃO DE FORÇA CORTANTE ATUANDO SOBRE SECÇÃO 
TRANSVERSAL DA PEÇA
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Exemplos de exercícios resolvidos.
1 Determinar as expressões de força cortante (Q) e Momento fletor (M) 
e construir os respectivos diagramas na viga em balanço solicitada pela carga 
concentrada P atuante na extremidade livre, conforme mostra a figura.
FIGURA 54 – REPRESENTAÇÃO DE UM MOMENTO FLETOR ATUANTE SOBRE UMA SECÇÃO 
TRANVERSAL DA PEÇA
TÓPICO 1 | FLEXÃO
61
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001
FIGURA 55 – REPRESENTAÇÃO PARA AUXÍLIO NO ENTENDIMENTO DO EXERCÍCIO
Solução:
a) Através da variável x, estudam-se todas as secções transversais da viga, da 
extremidade livre ao engastamento. O momento fletor máximo ocorreráno 
engastamento, ou seja, para o maior valor de x.
b) Expressões de Q e M
Q = - P M = - P . x
Obs:
c) Construção dos diagramas
A equação da Q é uma constante negativa; portanto, o diagrama será um 
segmento de reta paralela à linha zero da Q. A distância entre a linha zero da Q e 
a linha limite inferior do diagrama representa a intensidade da carga P.
A equação do M é do 1° grau com a < 0; portanto, a sua representação será 
uma reta decrescente que parte da linha zero do M até o valor que representa 
Mmáx.
2- Determinar as reações nos apoios nas vigas solicitadas pela ação das 
cargas distribuídas, conforme as figuras dadas.
UNIDADE 2 | ESTUDO DA FLEXÃO
62
TÓPICO 1 | FLEXÃO
63
Na solução deste exercício, vimos dividir o trapézio em um triângulo 
e um retângulo, obtendo desta forma as concentradas a seguir.
d)
UNIDADE 2 | ESTUDO DA FLEXÃO
64
3- Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos 
diagramas da viga AB da construção representada na figura.
Para determinar Q e M na viga AB é necessário conhecer a intensidade da 
carga axial atuante na barra (1).
a) Carga Axial na barra (1)
Como a concentrada da carga distribuída é simétrica ao apoio C e a barra 
1, conclui-se que:
b) Expressões de Q e M na viga AB Reações nos apoios A e B
TÓPICO 1 | FLEXÃO
65
a) Diagramas de Q e M
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001
O intervalo 2 < x < 3 pode ser calculado através da variável x ’, 
partindo do apoio B até a extensão total da carga distribuída. Tem-se então 
o intervalo 0 < x ’ < 1. A utilização deste artifício implica a inversão da 
convenção de sinais.
66
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, vimos que:
• O esforço de flexão configura-se na peça quando esta sofre a ação de cargas 
cortantes, que venham a originar momento fletor significativo.
• A tensão normal atuante máxima, também denominada tensão de flexão, é 
determinada em relação à fibra, aos distantes da secção transversal através da 
relação entre o produto do momento fletor atuante e a distância entre a linha 
neutra e a fibra, e o momento de inércia baricêntrico da secção.
• A força cortante será positiva quando provocar na peça momento fletor 
positivo.
• O momento fletor é considerado positivo quando as cargas cortantes atuantes 
na peça tracionam as suas fibras inferiores.
• O momento fletor é considerado negativo quando as forças cortantes atuantes 
na peça comprimirem as suas fibras inferiores.
• Para o dimensionamento das peças submetidas a esforço de flexão utiliza-se 
a tensão admissível, que será a tensão atuante máxima na fibra mais afastada, 
não importando se a fibra estiver tracionada ou comprimida.
• Obtém-se a força cortante atuante em uma determinada secção transversal da 
peça através da resultante das forças cortantes atuantes à esquerda da secção 
transversal estudada.
• O momento fletor atuante em uma determinada secção transversal da peça 
obtém-se através da resultante dos momentos atuantes à esquerda da secção 
estudada.
67
AUTOATIVIDADE
Ao final deste tópico, para aprofundar seus conhecimentos, resolva as 
questões que seguem.
1 Uma viga simples AB com um vão de comprimento L=22 ft suporta um 
carregamento uniforme de intensidade q=1,5 k/ft e uma carga concentrada 
P=12 k. O carregamento uniforme inclui uma margem para o peso da viga. 
A carga concentrada age em um ponto 9,0 ft da extremidade esquerda da 
viga, como apresenta a Figura 56. A viga é feita de madeira laminada colada 
e tem uma seção transversal de largura b=8,75 in. e altura h=27 in. Determine 
as tensões de flexão máximas.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 56 – ILUSTRAÇÃO DE UMA VIGA - AB
2 A viga ABC ilustrada na Figura 57 tem apoios simples A e B e uma extremidade 
suspensa de B até C. O comprimento do vão é 3,0 m e o comprimento da 
extremidade suspensa é de 1,5 m. Um carregamento uniforme de intensidade 
q=3,2 kN/m atua ao longo de todo o comprimento da viga (4,5 m). A viga 
tem uma seção transversal na forma de canal com largura b=300 mm e 
altura h=80 mm, como mostra a Figura. A espessura da alma é t = 12 mm, e 
a espessura média nos flanges é a mesma. Com o propósito de calcular as 
propriedades da seção transversal, assuma que a seção transversal consiste 
de três retângulos, conforme ilustrado na Figura.
Obtenha os gráficos de esforços cortantes e o de momentos fletores.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 57 – ILUSTRAÇÃO DE UMA VIGA - ABC
68
69
TÓPICO 2
EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Frequentemente é preciso estabelecer limites para o valor da deflexão 
que uma viga ou um eixo podem suportar quando submetidos a cargas; por 
conta disso, neste capítulo discutiremos métodos para determinar a deflexão e 
a inclinação em pontos específicos de vigas e eixos. Ao diagrama de deflexão do 
eixo longitudinal que passa pelo centróide de cada área de secção transversal da 
viga denominamos Linha elástica. Ao fazer o diagrama, entretanto, é necessário 
saber como os vários tipos de apoio limitam a inclinação ou o deslocamento. Em 
geral, os apoios que resistem a forças, como um pino, limitam o deslocamento e 
os que resistem a momento, como uma parede, limitam a rotação ou a inclinação, 
bem como o deslocamento. Veremos na figura 58 dois exemplos de linhas elásticas 
com carga, traçadas em escala exagerada.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 58 – EXEMPLOS DE LINHAS ELÁSTICAS COM CARGA
2 VARIÁVEIS DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
A equação será regida pela lei de Hooke e a fórmula da flexão; teremos 
como variáveis, então, o módulo de elasticidade E, o momento de inércia da 
secção transversal I, o raio de curvatura de um ponto específico da curva elástica 
UNIDADE 2 | ESTUDO DA FLEXÃO
70
ρ, e o momento fletor interno da viga no ponto em que ρ deve ser determinado. 
1/ρ= M/E.I
3 CONDIÇÕES DE CONTORNO
Para determinarmos analiticamente a equação da linha elástica utilizamos 
condições de contorno, de forma a facilitar a eliminação de incógnitas, tornando 
sistemas de equações inicialmente indeterminados, com maior número de 
incógnitas do que equações, em determinados, ou seja, com número de incógnitas 
compatíveis com o número de equações disponíveis. Estas condições serão 
apresentadas na figura a seguir.
FONTE: BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Makron Books, 1995.
FIGURA 59 – INCÓGNITAS COMPATÍVEIS
TÓPICO 2 | EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
71
4 DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA POR 
INTEGRAÇÃO
Caro(a) Acadêmico(a)! Agora iremos estudar a determinação da deflexão de 
vigas prismáticas submetidas a um dado carregamento. O interesse da determinação da 
máxima deflexão, em uma viga sujeita a um determinado carregamento, está no fato de 
que as especificações do projeto de uma viga incluem um valor máximo admissível para 
esta deflexão.
UNI
Sabemos que uma viga prismática, sujeita à flexão pura, se encurva 
tomando a forma de um arco de circunferência e que, dentro do regime elástico, 
a curvatura da superfície neutra pode ser expressa por:
1/ρ= M/E.I (Equação 1)
Quando uma viga está sujeita a um carregamento transversal, a 
Equação 1 ainda permanece válida para qualquer secção transversal, dentro 
das condições de aplicação do princípio de Saint-Venant. No entanto, o 
momento fletor e a curvatura superfície neutra variam de seção para seção. 
Denotando por x a distância da extremidade esquerda da viga até a seção 
considerada, escrevemos:
1/ρ= M(x)/ E.I (Equação 2)
Para estabelecer a declividade e a deflexão de vigas em um determinado 
ponto deduzimos a equação diferencial da linha elástica, a qual rege a curva ou 
linha elástica, que caracteriza a forma da viga deformada.
d2y/dx2 = M(x)/EI (Equação 3)
Se