prova 3

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Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas - CCE
Departamento de Matemática
Terceira Prova de MAT140 - Turma 5
Cálculo I - 04/12/2014
Professor: Allan
Nome: Matrícula:
Em todas as questões justifique suas respostas.
1ª Questão: (15 pontos)
a) (5 pontos) Esboce o gráfico da região R delimitada pelas curvas abaixo:
y = 9− x2, o eixo x, o eixo y e y = 3.
b) (10 pontos) Determine a área de R.
1
2ª Questão: (15 pontos) Calcule a integral:
´ pi
pi/2
x.cos (x) dx.
3ª Questão: (15 pontos) Calcule a integral:
´ x2
(x2 + 4)2
dx.
2
4ª Questão: (15 pontos) Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas e
quadradas a partir de pedaços de papelão com 12cm2 cortando quadrados iguais dos quatro
cantos e dobrando os lados para cima. Encontre o comprimento do lado do quadrado
a ser cortado para obter uma caixa com o menor volume possível.
a) (5 pontos) Determine a função a ser otimizada.
b) (10 pontos) Otimize a função encontrada no item anterior.
3
5ª Questão: (40 pontos) Para a função f dada abaixo, faça o que se pede:
f (x) =
x
(−1 + x)2/3 .
a) (4 pontos) Determine o domínio de f .
b) (6 pontos) Verifique que f ′ (x) = −3+x
3(−1+x)5/3 e determine os pontos críticos (se exis-
tem).
c) (6 pontos) Determine intervalos de crescimento e de decrescimento (se existem).
d) (4 pontos) Encontre os máximos e mínimos locais (se existem).
4
e) (6 pontos) Sabendo que f ′′ (x) = − 2(−6+x)
9(−1+x)8/3 , determine os intervalos de concavi-
dade (se existem).
f) (4 pontos) Encontre os pontos de inflexão (se existem).
g) (6 pontos) Determine as assintotas verticais e horizontais (se existem).
5
h) (4 pontos) Esboce o gráfico de f utilizando as informações dos itens anteriores.
6