provas de calculo 3

FUNDAC¸ ˜AO UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS CˆAMPUS UNIVERSIT´ARIO DE PALMAS ENGENHARIA CIVIL - ENGENHARIA EL´ETRICA
Professor: Gilmar Pires Novaes Aluno(a): Matr´ıcula:
 LISTA DE EXERC´ICIOS DE C´ALCULO III
CAMPOS VETORIAIS
[Exerc´ıcios: 1-7] Dados os campos vetoriais bidimensionais F a seguir, verifique qual(is) ´e(sa˜o) conservativo(s). Para aquele(s) que ´e(s˜ao) conservativo(s), obtenha a(s) fun¸ca˜o(o˜es) potencial(is) f correspondente(s) (ou seja, tal(is) que F = ∇f). 1. F = (yex + seny) i + (ex + xcosy) j. 2. F = (xycosh(xy) + senh(xy)) i + (x2cosh(xy)) j. 3. F = (e2y −2xy) i + (2xe2y −x2 + 1) j. 4. F =2x y − 3y2 x4i +2y x3 − x2 y2 + 1 √yj. 5. F = 2x5 2 −3y5 3 2x 5 2y 2 3 !i + 3y5 3 −2x5 2 3x 3 2y 5 3 !j. 6. F = (x2arcseny) i + x3 3p1−y2 −lny!j.7. F =arctgy √1−x2 + x yi +arcsenx 1 + y2 − x2 2y2 + 1j.[ Exerc´ıcios: 8-12] Dados os campos vetoriais tridimensionais F a seguir, verifique qual(is) ´e(sa˜o) conservativo(s). Para aquele(s) que ´e(s˜ao) conservativo(s), obtenha a(s) fun¸ca˜o(o˜es) potencial(is) f correspondente(s) (ou seja, tal(is) que F = ∇f). 8. F = (ycosz−yzex) i + (xcosz−zex) j−(xysenz + yex) k. 9. F = (2ye2x + ez) i + (3ze3y + e2x) j + (xez + e3y) k. 10. F = ysec2x i + (tgx−zsec2y) j + xsecztgz k. 11. F = (zex + ey) i + (xey −ez) j + (−yez + ex) k. 12. F = (tgy + 2xysecz) i + (xsec2y + x2secz) j + secz(x2ytgz−secz) k.
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13. a) Demonstre que o campo gravitacional
F(x,y,z) = −mMG
xi + yj + zk (x2 + y2 + z2)3 2
´e conservativo. b) Obtenha uma fun¸ca˜o potencial para F. 14. a) Demonstre que o campo el´etrico
F(x,y,z) = εqQ
xi + yj + zk (x2 + y2 + z2)3 2
´e conservativo. b) Obtenha uma fun¸ca˜o potencial para F. 15. Obtenha uma fun¸ca˜o n˜ao nula h para a qual o campo vetorial F(x,y) = h(x)(xseny+ ycosy)i + h(x)(xcosy−yseny)j seja conservativo.
INTEGRAL DE LINHA
1. Calcule o trabalho realizado pelo campo de for¸ca F(x,y) = xi + (y + 2)j sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide r(t) = (t−sent)i+(1−cost)j, 0 ≤ t ≤ 2π. 2. Calcule o trabalho realizado sobre um objeto de massa m que se move com fun¸c˜ao posi¸ca˜o r(t) = asenti + bcostj + ctk, 0 ≤ t ≤ π 2. 3. A for¸ca exercida por um fio infinitamente longo com carga uniforme, colocado ao longo do eixo dos z, sobre uma part´ıcula com carga em um ponto (x,y) 6= (0,0) no plano xy, ´e dada por
F(x,y) =
c(xi + yj) x2 + y2
,
em que c ´e uma constante positiva. Calcule o trabalho realizado por F ao mover uma part´ıcula ao longo de cada trajet´oria dada a seguir. a) O segmento de reta de (1,0) a (1,2). b) O segmento de reta de (0,1) a (1,1). 4. Suponha que a Terra esteja localizada na origem de um sistema de coordenadas retangulares. A for¸ca gravitacional que age sobre um objeto no ponto (x,y) 6= (0,0) ´e dada por F(x,y) = −c(xi + yj) (x2 + y2)3 2 , em que c ´e uma constante positiva. Calcule o trabalho realizado por F ao mover um objeto de (3,0) a (0,4) ao longo de cada trajeto´ria dada a seguir. a) A parte da elipse r(t) = 3costi + 4sentj, 0 ≤ t ≤ π 2, no primeiro quadrante. b) O segmento de reta de (3,0) a (0,4).
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5. Um campo de for¸cas que varia com o inverso do quadrado da distaˆncia ´e dado por
F(x,y,z) =
c(xi + yj + zk) (x2 + y2 + z2)3 2
,
em que c ´e uma constante positiva. Calcule o trabalho realizado por F ao mover uma part´ıcula ao longo de cada trajet´oria dada a seguir. a) O segmento de reta de (1,0,2) a (1,3,2). b) De (1,0,0) a (0,5√2/2,5√2/2), pelo segmento de reta de (1,0,0) a (5,0,0), e, enta˜o, seguindo uma trajeto´ria ao longo da superf´ıcie da esfera x2 + y2 + z2 = 25 at´e o ponto (0,5√2/2,5√2/2). 6. Um objeto se move ao longo da curva y = αx(1−x), de (0,0) a (1,0). Uma das for¸cas que age sobre esse objeto ´e F(x,y) = (y2 +1)i+(x+y)j. Calcule o valor de α que minimiza o trabalho realizado por F sobre esse objeto. 7. Dada f(x,y) = ln(x2 + y2), calcule a integral de fluxoRC ∇f ·nds, em que C ´e oc´ırculo x2 + y2 = a2 percorrido no sentido anti-hor´ario. 8. Calcule a ´area da superf´ıcie que se estende verticalmente desde o c´ırculo x2+y2 = 1 no plano xy at´e o cilindro parab´olico z = 1−x2. 9. Calcule a ´area da superf´ıcie que se estende verticalmente desde o semic´ırculo y =√ 4−x2 no plano xy at´e a superf´ıcie z = x2y. 10. Como ilustrado na figura a seguir, um corte senoidal foi feito no topo de uma lata cil´ındrica. Suponha que a base seja modelada pelas equa¸c˜oes param´etricas x = cost, y = sent, z =, 0 ≤ t ≤ 2π, e a altura desse corte, como uma fun¸ca˜o de t, seja z = 2 + 0,5sen(3t). Calcule a a´rea da superf´ıcie.
TEOREMA FUNDAMENTAL DO C´ALCULO DE INTEGRAL DE LINHA
[Exerc´ıcios: 1-7] Dados os campos vetoriais F a seguir, a) demonstre que F ´e conservativo. b) obtenha uma fun¸ca˜o escalar f tal que F = ∇f. c) calculeRC F·dr por meio do Teorema Fundamental do C´alculo de Integral de Linha, em que C ´e a curva dada. 1. F = (1 + xy)exyi + x2exyj; C : r(t) = cost i + 2sent j, 0 ≤ t ≤ π 2. 2. F = (e2y −2xy) i + (2xe2y −x2 + 1) j; C : r(t) = tet i + (1 + t) j, 0 ≤ t ≤ 1. 3. F = (ey + yex) i + (ex + xey) j; C ´e o segmento de reta de (0,0) a (1,−1). 4. F = 2y (xy + 1)2 i + 2x (xy + 1)2 j; C ´e qualquer curva suave de (0,2) a (1,0).
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5. F = (e−xlny) i−
e−x y
j + 3z2 k; C : r(t) = (t + 1) i + e2t j + (t2 + 1) k, 0 ≤ t ≤ 1.
6. F = 1 z −
y x2i +1 x −
z y2j +1 y −
x z2k; C ´e qualquer curva suave de(1 ,2,−1) a (2,−4,−2). 7. F = [2xln(yz)−5yex] i−(5ex−x2y−1) j+(x2z−1 +2z) k; C ´e qualquer curva suavede (2 ,1,1) a (3,1,e). 8. Dado o campo vetorial F = −yi+xj x2+y2 , demonstre queRC F·dr na˜o ´e independente docaminho. ( Sugest˜ao: calculeRC1 F·dr eRC2 F·dr, em que C1 e C2 sa˜o as metades superiore inferior do c´ırculo x2 + y2 = 1, de (1,0) a (−1,0)). Isso contradiz o teorema abaixo?Justifique sua resposta. Teorema. Se F = Pi + Qj ´e um campo vetorial em uma regia˜o aberta simplesmente conexa D, na qual P e Q tˆem derivadas parciais primeiras cont´ınuas tais que ∂P ∂y = ∂Q ∂x , enta˜o F ´e conservativo. 9. a) Suponha que F seja um campo vetorial inverso do quadrado, ou seja,
F(r) =
cr ||r||3
,
para alguma constante na˜o nula c, em que r = xi + yj + zk. Calcule o trabalho realizado por F para mover um objeto por um caminho, de um ponto P1 a um ponto P2, em termos das distˆancias d1 e d2 desses pontos a` origem. b) Um exemplo de um campo vetorial inverso do quadrado ´e o campo gravitacional F = − mMGr |r|3 . Use o TCIL para calcular o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando a Terra se move do af´elio (em uma distˆancia ma´xima de 1,52×108 km do Sol) ao peri´elio (em uma distaˆncia m´ınima de 1,47 × 108 km do Sol). (Use os valores m = 5,97×1024 kg, M = 1,99×1030 kg e G = 6,67×10−11 N ·m2/kg2.) c) Outro exemplo de um campo vetorial inverso do quadrado ´e o campo el´etrico F = εqQr |r|3 . Suponha que um el´etron com carga de −1,6 × 10−19 C esteja localizado na origem, uma carga positiva unita´ria seja colocada `a distˆancia de 10−12 m do el´etron e se mova para uma posic¸˜ao que esta´ `a metade da distaˆncia original do el´etron. Use o TFCIL para calcular o trabalho realizado pelo campo el´etrico. (Use o valor ε = 8,985×109.) 10. Seja C a elipse na qual o plano 2x+3y−z = 0 intersecta o cilindro x2 +y2 = 12. Demonstre, sem calcular diretamente integral de linha alguma, que a circula¸c˜ao do campo vetorial F(x,y,z) = xi + yj + zk em torno de C em qualquer dire¸c˜ao ´e nula. 11. A forc¸a F(x,y) = − yi−xj 2 ´e aplicada continuamente em um objeto que percorre uma elipse em posi¸ca˜o normal. Obtenha uma relac¸˜ao entre o trabalho W realizado por essa for¸ca nesse objeto durante cada o´rbita e a ´area dessa elipse. 12. A circula¸c˜ao de um campo vetorial v ao longo de uma curva orientada positividamente C ´e dada pela integral de linha ZC v(r)·dr.
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Seja v o campo de velocidades de um fluido em um movimento circular no sentido trigonom´etrico em torno do eixo z com velocidade angular constante ω (|v| = ω). a) Verifique que v(r) = ωk×r. b) Demonstre que a circula¸c˜ao de v ao longo de qualquer c´ırculo C orientado positivamente no plano xy com centro na origem ´e ±2ω vezes a a´rea desse c´ırculo. 13. Seja v o campo de velocidades de um fluido que se afasta da origem radialmente: v = f(x,y)r. Qual a circulac¸˜ao de v ao longo de um c´ırculo C centrado na origem orientado positivamente?
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EXTRAS
1. a) Demonstre que, se o campo vetorial F = Pi + Qj + Rk ´e conservativo, ent˜ao
∂P ∂y
=
∂Q ∂x
,
∂P ∂z
=
∂R ∂x
,
∂Q ∂z
=
∂R ∂y
.
b) Use o resultado do item a) para mostrar que ZC 2xydx + x2dy + y2dz na˜o ´e independente do caminho C (ou seja, na˜o ´e conservativo). 2. Um homem de 160 libras carrega uma lata de 25 libras de tinta subindo uma escada helicoidal que circunda um silo com um raio de 20 p´es. Se o silo ´e de 90 p´es de altura e o homem faz exatamente trˆes rota¸co˜es completas para subir ao topo, de quanto ´e o esforc¸o feito pelo homem contra a gravidade? 3. Um homem de 160 libras carrega uma lata de 25 libras de tinta subindo uma escada helicoidal que circunda um silo com um raio de 20 p´es. Suponha que o silo seja de 90 p´es de altura e que o homem fa¸ca exatamente trˆes rota¸co˜es completas para subir ao topo. Se existe um furo nessa lata pelo qual vazam 9 libras de tinta de modo cont´ınuo e uniforme durante a subida desse homem, quanto trabalho ´e realizado? 4. Demonstre que um campo de for¸ca constante realiza trabalho nulo sobre uma part´ıcula que percorre uma u´nica volta completa uniformemente no c´ırculo x2 + y2 = 1. Esse fato ´e tamb´em verdadeiro para um campo de forc¸a F(x) = kx, em que k ´e uma constante e x = (x,y)? Justifique sua resposta. 5. Demonstre que, se um objeto se move atrav´es de um campo de for¸ca F de modo que, em cada ponto (x,y,z), seu vetor velocidade ´e ortogonal a F(x,y,z), enta˜o o trabalho realizado por F sobre esse objeto ´e nulo. 6. Suponha que um sat´elite de massa m esteja circulando em torno da Terra a uma altitude constante de h km e que complete uma revolu¸c˜ao a cada k min. Dado que o raio da Terra ´e de, aproximadamente, 6300 km, calcule o trabalho realizado pelo campo gravitacional da Terra durante um intervalo arbitra´rio de tempo. 7. A base de uma cerca circular com raio de 10 m ´e dada por x = 10 cost, y = 10 sent. A altura dessa cerca, na posi¸ca˜o (x,y), ´e dada pela fun¸c˜ao h(x,y) = 4 + 0,01(x2 −y2), de modo que ela varia de 3 m a 5 m. Suponha que 1 l de tinta cubra 100 m2. Calcule a quantidade de tinta necess´aria para pintar os dois lados dessa cerca. 8. Demonstre que, se C ´e uma curva suave dada por uma func¸˜ao vetorial r(t), a ≤ t ≤ b, e v ´e um vetor constante, ent˜ao ZC v·dr = v·[r(b)−r(a)].
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9. Demonstre que, se C ´e uma curva suave dada por uma func¸˜ao vetorial r(t), a ≤ t ≤ b, ent˜ao ZC r·dr = 1 2 [|r(b)|2 −|r(a)|2]. 10. Experiˆencias mostram que uma corrente cont´ınua I em um fio comprido produz um campo magn´etico B que ´e tangente a qualquer c´ırculo em um plano perpendicular ao fio cujo centro seja o eixo do fio (figura a seguir). A Lei de Amp`ere relaciona a corrente el´etrica ao campo magn´etico criado, segundo a expressa˜o ZC B·dr = µ0I, em que I ´e a corrente el´etrica total que passa por qualquer superf´ıcie limitada por uma curva fechada C, e µ0 ´e uma constante denominada permeabilidade no v´acuo. Considerado C um c´ırculo de raio r, demonstre que o mo´dulo B = |B| do campo magn´etico a uma distaˆncia r do centro do fio ´e dado por
B =
µ0I 2πr
.
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RESPOSTAS
CAMPOS VETORIAIS
1. f(x,y) = yex + xseny + K 2. f(x,y) = xsenh(xy) + K 3. f(x,y) = xe2y −x2y + y + K 4. f(x,y) = x2 y + y2 x3 + 2√y + K 5. f(x,y) = x y 2 3 + y x 3 2 + K
6. f(x,y) =
1 3
x3arcseny +y−ylny +K 7. f(x,y) = (arcsenx)(arctgy) + x2 2y + y + K
8. f(x,y,z) = xycosz−yzex + K 9. f(x,y,z) = ye2x + xez + ze3y + K 10. N˜ao ´e conservativo. 11. f(x,y,z) = zex + xey −yez + K 12. f(x,y,z) = xtgy+x2ysecz−tgz+K 13. b) f(x,y,z) = mMG px2 + y2 + z214. b) f(x,y,z) = εqQ px2 + y2 + z215. h(x) = Kex (K ´e uma constante arbitra´ria na˜o nula)
INTEGRAL DE LINHA
1. 2π2 2. 1 2 m(b2 −a2) 3. a) c 2 ln5; b)
c 2
ln2
4. a) −
c 12
; b) −
c 12
5. a)
c √5 −
c √14; b)
4 5
c
6. α =
5 2
7. 4π 8. π
9.
32 3 10. 4π
TEOREMA FUNDAMENTAL DO C´ALCULO DE INTEGRAL DE LINHA
1. b) f(x,y) = xexy + K; c) -1. 2. b) f(x,y) = xe2y −x2y + y + K; c) e5 −2e2 + 1. 3. b) f(x,y) = xey + yex + K; c) e−1 −e. 4. b) − 2 xy + 1 + K; c) 0 5. b) f(x,y,z) = z3 −e−xlny + K; c) 7−e−2. 6. b) f(x,y) = x z + y x z y + K; c) −3. 7. b) f(x,y,z) = x2ln(yz)−5yex + z2 + K; c) −5e3 + 6e2 + 8 8. Dissertativa. 9. a) c1 d1 − 1 d2; b) ∼ = 1,77×1032 J; c) ∼ = 1400 J 10. Demonstra¸ca˜o. 11. |W| = πab (o trabalho, em mo´dulo, ´e igual a` ´area da elipse) 12. Demonstra¸ca˜o. 13. 0
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EXTRAS
1. Demonstra¸ca˜o. 2. 1,665×104 p´es-libra. 3. 1,6245×104 p´es-libra. 4. Dissertativa. 5. Demonstra¸ca˜o. 6. 0 7. 1,6π l de tinta. 8. Demonstra¸ca˜o. 9. Demonstra¸ca˜o. 10. Demonstra¸ca˜o.