Sebenta de Mecânica - IPS

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INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL 
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DO BARREIRO 
Licenciatura em Engenharia Civil 
Licenciatura em Engenharia de Conservação e Reabilitação 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA 
ESTÁTICA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pedro Salvado Ferreira 
Setembro.2008 
 
pedrosalvadoferreira i 
 
ÍNDICE 
 
INTRODUÇÃO ................................................................................................. CAPÍTULO I 
 
O ESTUDO DA MECÂNICA. .................................................................................................... 1 
CONCEITOS E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS. ............................................................................ 1 
UNIDADES. ......................................................................................................................... 4 
METODOLOGIA A SEGUIR NA RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS DE MECÂNICA................................ 6 
PRECISÃO NUMÉRICA. ......................................................................................................... 6 
BIBLIOGRAFIA. .................................................................................................................... 6 
ESTÁTICA DA PARTÍCULA ........................................................................... CAPÍTULO II 
 
FORÇAS NO PLANO ............................................................................................................. 1 
FORÇAS ACTUANTES NUMA PARTÍCULA E SUA RESULTANTE. ................................................... 1 
REGRA DO TRIÂNGULO. ....................................................................................................... 1 
POLÍGONO DE VARIGNON. ................................................................................................... 2 
VECTORES. ........................................................................................................................ 2 
DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA EM COMPONENTES. .............................................................. 5 
COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA. ...................................................................... 6 
ADIÇÃO DE FORÇAS PELA SOMA DE COMPONENTES. ............................................................... 7 
EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA. ........................................................................................... 8 
PROBLEMAS SOBRE EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO PLANO................................................ 8 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE. ................................................................................................ 9 
FORÇAS NO ESPAÇO ......................................................................................................... 10 
COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO. ................................................... 10 
FORÇA DEFINIDA PELO SEU MÓDULO E DOIS PONTOS DA LINHA DE ACÇÃO. ............................. 11 
ADIÇÃO DE FORÇAS CONCORRENTES NO ESPAÇO. ............................................................... 12 
EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO. ....................................................................... 13 
PROBLEMAS PROPOSTOS. ................................................................................................. 13 
BIBLIOGRAFIA. .................................................................................................................. 14 
CORPO RÍGIDO E SISTEMA DE FORÇAS ................................................... CAPÍTULO III 
 
CORPOS RÍGIDOS. ............................................................................................................... 1 
FORÇAS INTERIORES E EXTERIORES. .................................................................................... 1 
FORÇAS EQUIVALENTES. ..................................................................................................... 1 
MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO. ............................................................ 2 
TEOREMA DE VARIGNON. ..................................................................................................... 5 
COMPONENTES CARTESIANAS DO MOMENTO DE UMA FORÇA. .................................................. 6 
MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM EIXO. ................................................................ 6 
MOMENTO DE UM CONJUGADO. .......................................................................................... 10 
CONJUGADOS EQUIVALENTES. ........................................................................................... 11 
REPRESENTAÇÃO VECTORIAL DE UM CONJUGADO. ............................................................... 11 
SUBSTITUIÇÃO DE UMA FORÇA ACTUANTE NUM PONTO POR UMA FORÇA ACTUANTE NOUTRO 
PONTO E UM CONJUGADO. LEI DE PROPAGAÇÃO DE MOMENTOS. ........................................... 11 
REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UMA FORÇA E UM CONJUGADO. ................................ 13 
LEI DE PROPAGAÇÃO DE MOMENTOS RESULTANTES. ............................................................ 14 
 
pedrosalvadoferreira ii 
CAMPO DE MOMENTOS RESULTANTES DE UM SISTEMA DE FORÇAS. ....................................... 14 
PROPRIEDADE PROJECTIVA. .............................................................................................. 15 
SISTEMAS DE FORÇAS EQUIVALENTES. ................................................................................ 15 
CASOS DE REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS. ................................................................ 15 
EIXO CENTRAL DE UM SISTEMA DE FORÇAS. ........................................................................ 16 
GENERALIZAÇÃO DO TEOREMA DE VARIGNON PARA SISTEMAS DE VECTORES EQUIVALENTES A 
VECTOR ÚNICO. ................................................................................................................ 18 
PROBLEMAS PROPOSTOS. ................................................................................................. 20 
BIBLIOGRAFIA. .................................................................................................................. 23 
EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO ................................................................. CAPÍTULO IV 
 
CORPO RÍGIDO EM EQUILÍBRIO. ............................................................................................ 1 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE. ................................................................................................ 1 
REACÇÕES DE APOIO NO CASO PLANO. ................................................................................. 2 
EQUILÍBRIO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO. ............................................................................. 5 
CORPO RÍGIDO EM EQUILÍBRIO SOB ACÇÃO DE DUAS E DE TRÊS FORÇAS. ................................. 6 
REACÇÕES DE APOIO NO CASO ESPACIAL. ............................................................................. 6 
EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL. ........................................... 11 
ANÁLISE DA ESTATIA DE UM CORPO RÍGIDO. ........................................................................ 11 
LIGAÇÕES MAL DISTRIBUÍDAS. ............................................................................................ 12 
PROBLEMAS PROPOSTOS. ................................................................................................. 13 
BIBLIOGRAFIA. .................................................................................................................. 14 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
pedrosalvadoferreira1.1 
O ESTUDO DA MECÂNICA. 
 
Mecânica é a ciência que descreve e prevê as condições de repouso ou movimento de 
corpos sob a acção de forças. 
 
A Mecânica divide-se em: 
• Mecânica dos Corpos Rígidos (Estática e Dinâmica); 
• Mecânica dos Corpos Deformáveis (Resistência de Materiais); 
• Mecânica dos Fluidos (fluidos incompressíveis e fluidos compressíveis). 
 
Cronologia: 
- Tudo começou com Aristóteles (384-322 a.C.) e Arquimedes (287-212 a.C.); 
- Formulação satisfatória dos princípios fundamentais surgiu com Newton (1642-
1727) → Mecânica Newtoniana; 
- Os princípios foram mais tarde expressos numa forma modificada por d’Alembert, 
Lagrange e Hamilton; 
- Einstein formulou a sua Teoria da Relatividade (1905) → Mecânica Relativista. 
 
CONCEITOS E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS. 
 
Os conceitos fundamentais usados na Mecânica são: 
• Espaço – associado à posição de um ponto (coordenadas); 
• Tempo – associado ao instante de ocorrência de um evento; 
• Massa – associado à caracterização e comparação de corpos; 
• Força – associada à acção de um corpo sobre outro (por contacto ou à distância). 
Uma força é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, a sua intensidade, a sua 
direcção e o seu sentido. 
 
Espaço, tempo e massa são independentes na Mecânica Newtoniana. Força não é 
independente dos outros três conceitos (a força resultante sobre um corpo depende da 
sua massa e do modo como a sua velocidade varia com o tempo). 
 
INTRODUÇÃO 
 
pedrosalvadoferreira 1.2 
São consideradas as seguintes abstracções básicas: 
• Partícula ou Ponto Material – pequena porção da matéria que se considera como 
ocupando um ponto no espaço; 
• Corpo Rígido – combinação de muitas partículas que ocupam posições fixas 
relativamente umas às outras. 
 
O estudo da Mecânica apoia nos seguintes princípios fundamentais: 
• Regra do Paralelogramo para Adição de Forças; 
• Princípio da Transmissibilidade; 
• Leis Fundamentais de Newton; 
• Lei da Gravitação de Newton. 
 
A regra do paralelogramo para adição de forças estabelece que duas forças actuantes 
sobre uma partícula podem ser substituídas por uma única força chamada resultante 
obtida (graficamente) pela diagonal de um paralelogramo cujos lados são iguais às forças 
dadas. 
 
 
 
O princípio da transmissibilidade estabelece que as condições de repouso ou movimento 
de um corpo rígido não se alteram se uma força que actua num dado ponto do corpo for 
substituída por outra força de igual intensidade, mesma direcção e mesmo sentido, 
aplicada num ponto diferente, desde que as duas forças tenham a mesma linha de acção. 
 
 
1F 
2F 
R 
l.a. c 
o’ 
o 
F 
'F 
'FF = 
INTRODUÇÃO 
 
pedrosalvadoferreira 1.3 
 
As três leis fundamentais de Newton são: 
• Primeira Lei – se a força resultante que actua sobre um corpo é nula, o corpo 
permanecerá em repouso (se estava originalmente em repouso) ou mover-se-á 
com velocidade constante e em linha recta (se estava em movimento); 
• Segunda Lei – se a força resultante que actua sobre um corpo não é nula, o corpo 
terá uma aceleração proporcional à intensidade da força e na direcção desta; 
 
 
 
• Terceira Lei – as forças de acção e reacção entre corpos em contacto têm a 
mesma intensidade, a mesma linha de acção e sentidos opostos. 
 
 
 
A lei da gravitação de Newton estabelece que duas partículas de massas M e m são 
mutuamente atraídas com forças iguais e opostas ( F e F− ) de intensidade F dada por: 
 
2
r
mMGF ⋅⋅= 
a 
F 
amF ⋅= 
m 
c2 
c1 
F 
- F 
INTRODUÇÃO 
 
pedrosalvadoferreira 1.4 
em que, 
G – constante de gravitação; 
r – distância entre as partículas. 
 
Caso particular: atracção da Terra sobre uma partícula na sua superfície (a força de 
atracção é o peso P da partícula). 
 
2R
mMGP T ⋅⋅= 
 
em que, 
MT – massa da terra; 
m – massa da partícula; 
R – raio da terra; 
Sendo 2R
MGg T⋅= ≈ 9,81 m/s2 → gmP ⋅= 
 
Os princípios fundamentais da Mecânica são baseados na demonstração experimental. 
Com a excepção da primeira lei de Newton e do princípio da transmissibilidade, os 
restantes princípios não podem ser deduzidos matematicamente uns dos outros ou de 
qualquer outro princípio físico elementar. 
 
UNIDADES. 
 
Aos quatro conceitos fundamentais estão associadas as seguintes unidades: 
• Espaço – comprimento; 
• Tempo – tempo; 
• Massa – massa; 
• Força – força. 
 
Três unidades podem ser escolhidas arbitrariamente (unidades fundamentais). A quarta é 
escolhida em função das outras (unidade derivada) com base na segunda lei de Newton 
→ sistema de unidades coerente. 
 
INTRODUÇÃO 
 
pedrosalvadoferreira 1.5 
No Sistema Internacional de Unidades (SI) as unidades são definidas por: 
• Comprimento – metro (m); 
• Tempo – segundo (s); 
• Massa – quilograma (kg); 
• Força – Newton (N). 
 
Pela segunda lei de Newton 
F = m . a 
então 
1 N = 1 kg . 1 m/s2 = 1 Kg.m/s2. 
 
As unidades SI formam um sistema métrico absoluto. Isto significa que as três unidades 
fundamentais (m, kg e s) são independentes do local onde as medidas foram realizadas. 
 
Os múltiplos e submúltiplos das unidades SI podem ser obtidos através da utilização dos 
seguintes prefixos: 
• Giga (G) – x109; • Mega (M) – x106; 
• Quilo (k) – x103; • Hecto (h) – x102; 
• Deca (da) – x101; • Deci (d) – x10-1; 
• Centi (c) – x10-2; • Mili (m) – x10-3; 
• Micro (µ) – x10-6; • Nano (n) – x10-9. 
 
Outros sistemas absolutos são: 
• Sistema CGS (cm, g, s e dina); 
• Sistema Inglês (ft, lbm, s e lbf). 
 
Ainda utilizado em engenharia é o sistema gravitacional que utiliza: 
• Comprimento – metro (m); 
• Tempo – segundo (s); 
• Força – quilograma-força (kgf = peso de 1 kg ao nível do mar e 45º de latitude); 
• Massa – unidade métrica de massa (u.m.m.). 
INTRODUÇÃO 
 
pedrosalvadoferreira 1.6 
METODOLOGIA A SEGUIR NA RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS DE MECÂNICA. 
 
Dado um enunciado de um problema, a sua resolução deve ser feita nas seguintes fases: 
1) Estabelecimento de um plano – definição dos dados, incógnitas, e condições, 
elaboração de um modelo (diagrama de corpo livre), análise do problema e 
hipóteses; 
2) Aplicação dos princípios da Mecânica – formulação de equações que expressam 
as condições de repouso ou movimento; 
3) Verificação – unidades (erro de raciocínio) e substituição dos valores obtidos nas 
equações (erro de cálculo). 
 
PRECISÃO NUMÉRICA. 
 
A precisão do resultado de um problema depende da aproximação: 
1) dos dados fornecidos; 
2) dos cálculos efectuados. 
 
A solução não pode ser mais exacta do que a menos exacta das duas partes. 
 
Uma regra prática é usar 4 algarismos para definir números que começam por ‘1’, e 3 
algarismos em todos os restantes casos. 
 
BIBLIOGRAFIA. 
 
Beer, F. P.; Johnston, E. R. – Mecânica Vectorial Para Engenheiros. Estática. McGraw-Hill 
de Portugal, 1998. 
 
ESTÁTICA DA PARTÍCULA 
 
pedrosalvadoferreira 2.1 
FORÇAS NO PLANO 
FORÇAS ACTUANTES NUMA PARTÍCULA E SUA RESULTANTE. 
 
Como foi dito anteriormente uma força é caracterizada: 
• pelo seu ponto de aplicação – forçasactuantes numa dada partícula têm o 
mesmo ponto de aplicação; 
• pela sua intensidade – unidade de força é o Newton (N); 
• pela sua direcção – ângulo que forma com um eixo fixo; 
• e pelo seu sentido. 
 
Duas ou mais forças actuantes sobre uma partícula podem ser substituídas por uma única 
força – a resultante – cujo efeito é o mesmo sobre a partícula. 
 
A resultante de forças obtém-se: 
• pela regra do paralelogramo (no caso de duas forças pode usar-se a regra do 
triângulo); 
• pela regra do polígono (polígono de Varignon). 
 
REGRA DO TRIÂNGULO. 
 
Estabelece que duas forças actuantes sobre uma partícula podem ser substituídas por 
uma única força chamada resultante obtida (graficamente) juntando a extremidade da 
primeira força à origem da segunda força e ligando depois da origem da primeira força à 
extremidade da segunda força. 
 
 
 
1F 
2F 
R 
21 FFR += 
ESTÁTICA DA PARTÍCULA 
 
pedrosalvadoferreira 2.2 
POLÍGONO DE VARIGNON. 
 
Estabelece que duas ou mais forças actuantes sobre uma partícula podem ser 
substituídas por uma única força chamada resultante obtida (graficamente) juntando a 
extremidade de cada força à origem da seguinte força e ligando depois a origem da 
primeira força à extremidade da última força. 
 
 
 
VECTORES. 
 
Os vectores são usados para representar forças e são definidos como grandezas 
matemáticas possuindo intensidade, direcção e sentido. 
 
Os vectores classificam-se em: 
• vectores fixos; 
• vectores deslizantes; 
• vectores livres. 
 
Nos vectores fixos o seu ponto de aplicação é fixo (ponto dado - própria partícula). 
 
 
 
Nos vectores deslizantes o ponto de aplicação é um ponto qualquer sobre uma recta 
(linha de acção do vector). 
2F 1
F 
3F R 
F 
P 
321 FFFR ++= 
ESTÁTICA DA PARTÍCULA 
 
pedrosalvadoferreira 2.3 
 
 
 
Nos vectores livres o ponto de aplicação é um ponto qualquer no espaço. 
 
 
 
Dois vectores que tenham a mesma intensidade, a mesma direcção e o mesmo sentido 
dizem-se vectores iguais (independentemente do ponto de aplicação). 
 
O vector oposto de um dado vector é definido como o vector que tem a mesma 
intensidade, a mesma direcção e sentido oposto. 
 
A adição de vectores poder-se-á fazer usando a regra paralelogramo, a regra do triângulo 
ou o polígono de Varignon. 
 
A intensidade do vector resultante, em geral, não é igual à soma das intensidades dos 
vectores somados. Deverá usar-se as regras da trigonometria, como por exemplo: 
• teorema de Pitágoras; 
• lei dos senos; 
• teorema de Carnet. 
 
Admitindo o seguinte triângulo rectângulo, 
P 
P’ 
F 
F 
F 
- F 
d M=F.d 
M 
ESTÁTICA DA PARTÍCULA 
 
pedrosalvadoferreira 2.4 
 
 
 
Pelo teorema de Pitágoras → a2 = b2 + c2 
 
Admitindo o seguinte triângulo genérico, 
 
 
 
Pela lei dos senos → 
γβα sen
c
sen
b
sen
a
== ; 
 
Pelo teorema de Carnet → a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosα. 
 
 
A adição de vectores tem as seguintes propriedades: 
• propriedade comutativa - PQQP +=+ ; 
• propriedade associativa - ( ) ( )SQPSQPSQP ++=++=++ . 
 
A subtracção de um vector é definida como a adição do correspondente vector oposto. 
 
c 
a 
b 
α 
a
b
sen =α ; 
a
c
=αcos ; 
c
b
tg =α . 
α β 
γ 
a b 
c 
ESTÁTICA DA PARTÍCULA 
 
pedrosalvadoferreira 2.5 
 
 
Define-se o produto de um escalar, n, por um vector, P como um vector tendo a mesma 
direcção e o mesmo sentido que P e a intensidade n.P. 
 
 
 
DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA EM COMPONENTES. 
 
Uma força F pode ser substituída por duas ou mais forças que juntas produzam o 
mesmo efeito sobre a partícula → componentes de F . 
 
 
 
 
Admitindo P e Q componentes de F , surgem dois casos importantes nas aplicações 
práticas: 
1) uma das componentes é conhecida, P , a outra componente, Q , obtém-se por 
subtracção vectorial → PFQ −= 
P 
-Q 
P -Q 
( )QPQP −+=− 
P 
1.5. P 
-2. P 
F F F 
1C 
1C 
1C 2C 2C 
2C 
3C 
21 CCF += 321 CCCF ++= 
ESTÁTICA DA PARTÍCULA 
 
pedrosalvadoferreira 2.6 
2) a linha de acção de cada uma das componentes é conhecida. A intensidade e 
sentido das componentes são obtidos traçando, a partir das extremidades de F 
linhas paralelas às linhas de acção dadas. 
 
 
 
COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA. 
 
As componentes cartesianas de uma força têm direcções perpendiculares entre si (caso 
dos eixos x e y de um referencial cartesiano). 
 
 
 
xF e yF são componentes cartesianas vectoriais respectivamente segundo x e y. 
 
 
F 
P 
Q 
l.a. P l.a. Q 
yF 
xF 
F 
x 
y 
jFy 
iFx 
F 
x 
y 
i 
j 
yx FFF += 
iFF xx = 
jFF yy = 
jFiFF yx += 
ESTÁTICA DA PARTÍCULA 
 
pedrosalvadoferreira 2.7 
 
Fx e Fy são componentes cartesianas escalares, e 
i e j são versores (vectores com intensidade unitária) respectivamente das direcções 
segundo x e y. 
 
 
 
θx e θy são co-senos directores. 
 
ADIÇÃO DE FORÇAS PELA SOMA DE COMPONENTES. 
 
 
 
 
yF 
xF 
F 
x 
y 
θx θy 
Fx = F.cosθx 
Fy = F.senθx 
 
Fy = F.cosθy 
 
(cosθx)2 + (cosθy)2 =1 
 
x 
y 
P 
Q 
S 
jPiPP yx += 
jQiQQ yx += 
jSiSS yx += 
yS 
xS 
xP 
yP 
xQ 
yQ 
SQPR ++= 
jRiRR yx += 
( ) ( ) jSQPiSQPR yyyxxx +++++= 
y 
x 
R 
xR 
yR 
ESTÁTICA DA PARTÍCULA 
 
pedrosalvadoferreira 2.8 
 
EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA. 
 
Uma partícula encontra-se em equilíbrio quando a resultante de todas as forças actuantes 
na partícula é igual a zero → o efeito global das forças na partícula é nulo. 
 
No caso de duas forças actuarem na partícula, esta estará em equilíbrio se as duas forças 
tiverem: 
• a mesma intensidade; 
• a mesma linha de acção (direcção); 
• sentidos opostos. 
 
No caso de três ou mais forças actuarem na partícula a condição necessária e suficiente 
para o equilíbrio é: 
∑ == 0FR 
 
Como jRiRR yx += e 
 , então 
são as condições necessárias 
e suficientes para o equilíbrio 
de uma partícula. 
 
PROBLEMAS SOBRE EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO PLANO. 
 
Das condições de equilíbrio de uma partícula no plano resultam 2 equações, por isso, os 
problemas só poderão ter no máximo 2 incógnitas. 
 
As incógnitas de um problema podem ser: 
• as duas componentes de uma força; 
• a intensidade e direcção de uma força; 
• as intensidades de duas forças de direcções conhecidas; 
• os valores máximo e mínimo da intensidade de uma força. 
 
∑ = 0xF 
∑ = 0yF 
∑= xx FR 
∑= yy FR 
ESTÁTICA DA PARTÍCULA 
 
pedrosalvadoferreira 2.9 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE. 
 
O diagrama de corpo livre é um modelo que representa uma partícula (escolhida 
convenientemente) e todas asforças actuantes sobre ela. 
 
 
 
A B 
C 
α β 
P 
CAF CBF 
P 
α β 
C 
Diagrama de corpo livre do ponto C 
ESTÁTICA DA PARTÍCULA 
 
pedrosalvadoferreira 2.10 
FORÇAS NO ESPAÇO 
COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO. 
 
Considere-se a força F actuando na origem do sistema de coordenadas cartesianas x, y 
e z: 
 
 
xF , yF e zF são componentes cartesianas vectoriais respectivamente segundo x, y e z. 
 
 
 
Fx, Fy e Fz são componentes cartesianas escalares, e 
i , j e k são versores (vectores com intensidade unitária) respectivamente das direcções 
segundo x, y e z. 
F 
yF 
xF 
zF 
hF 
φ 
x 
x 
y 
z 
z 
hF zF 
xF 
φ 
θy 
F 
jFy 
hF 
φ 
x 
x 
y 
z 
z 
hF kFz 
iFx 
φ 
θy i 
k 
i 
k 
j 
kFz 
iFx 
hy FFF += 
zxh FFF += 
zyx FFFF ++= 
iFF xx = 
jFF yy = 
kFF zz = 
kFjFiFF zyx ++= 
ESTÁTICA DA PARTÍCULA 
 
pedrosalvadoferreira 2.11 
Fy = F.cosθy Fx = Fh.cosφ = F.senθy.cosφ 
Fh = F.senθy Fz = Fh.senφ = F.senθy.senφ 
222
hy FFF += 
222
zxh FFF += 
2222
zyx FFFF ++= 
 
 
 
θx, θy e θz são co-senos directores (180º ≥ θ ≥ 0º). 
 
FORÇA DEFINIDA PELO SEU MÓDULO E DOIS PONTOS DA LINHA DE ACÇÃO. 
 
Considere-se a força F definida: 
• pelo seu módulo (intensidade), F; 
• por dois pontos da linha de acção, M (x1; y1; z1) e N (x2; y2; z2). 
 
 
F 
yF 
xF 
zF 
x 
y 
z 
θy 
θx 
θz 
Fx = F.cosθx 
Fy = F.cosθy 
Fz = F.cosθz 
 
kFjFiFF zyx ++= 
( )kjiFF zyx θθθ coscoscos ++= 
λFF = com λ=1 
 
(cosθx)2 + (cosθy)2 + (cosθz)2 = 1 
x 
y 
z 
M 
N 
F 
dx 
dz 
dy 
λ 
dx = x2 – x1 
dy = y2 – y1 
dz = z2 – z1 
MNdzdydxd =++= 222 
 
Vector MN // F 
[ ] λdkdzjdyidxMNMN =++=−= 
λFkFjFiFF zyx =++= 
ESTÁTICA DA PARTÍCULA 
 
pedrosalvadoferreira 2.12 
 
d
kdzjdyidx ++
=λ ( )kdzjdyidx
d
FF ++= 
 
dx
d
FFx = dyd
FFy = dzd
FFz = → dz
F
dy
F
dx
F
d
F zyx
=== , ou 
dzdydxd
zyx θθθ coscoscos1
=== 
 
ADIÇÃO DE FORÇAS CONCORRENTES NO ESPAÇO. 
 
A resultante R de duas ou mais forças concorrentes no espaço é determinada somando 
as suas componentes cartesianas. 
 
 
 
∑= xx FR ∑= yy FR ∑= zz FR 
 
222
zyx RRRR ++= 
 
R
Rx
x =θcos R
R y
y =θcos R
Rz
z =θcos 
 
1F 
2F 
3F 
4F 
x 
y 
z 
kFjFiFF ziyixii ++= 
 
∑=
i
iFR 
kRjRiRR zyx ++= 
kFjFiFR
i
iz
i
yi
i
xi 





+





+





= ∑∑∑ 
ESTÁTICA DA PARTÍCULA 
 
pedrosalvadoferreira 2.13 
EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO. 
 
Condição necessária e suficiente para o equilíbrio é: 
 
 
 
 
 
Das condições de equilíbrio de uma partícula no espaço resultam 3 equações, por isso, os 
problemas só poderão ter no máximo 3 incógnitas. 
 
As incógnitas de um problema podem ser: 
• as três componentes de uma força; 
• as intensidades de três forças de direcções conhecidas. 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS. 
 
Problema C2.1 – Considere dois cabos ABC e ADE ligados entre si em A usados para 
içar um caixote suspenso com 125 kg de massa. Os dois cabos passam sobre roldanas 
ligadas aos postes em B e D e são puxados por dois operários em C e E conforme mostra 
a figura. Desprezando o atrito nas roldanas determine a intensidade das forças exercidas 
em C e E pelos operários. 
 
 
 
Solução: FC = 880 N e FE = 1020 N. 
0=R 0=∑ xF 
0=∑ yF 
0=∑ zF 
A 
B 
C 
D 
E 
35º 45º 
ESTÁTICA DA PARTÍCULA 
 
pedrosalvadoferreira 2.14 
 
Problema C2.2 – Considere o painel rectangular que está a ser içado por três cabos 
conforme mostra a figura. Sabendo que a força de tracção instalada no cabo AB é de 449 
N, determine a massa da painel. 
 
 
 
Solução: mpainel = 100 kg. 
 
BIBLIOGRAFIA. 
 
Beer, F. P.; Johnston, E. R. – Mecânica Vectorial Para Engenheiros. Estática. McGraw-Hill 
de Portugal, 1998. 
 
 
A 
B 
C 
D 
0,6 m 
0,8 m 
0,8 m 0,5 m 
1,2 m 1,2 m 
2,4 m 
x 
y 
z 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.1 
CORPOS RÍGIDOS. 
 
Nem sempre é possível analisar um corpo como uma partícula, devido à necessidade de 
ter em conta as suas dimensões e ao facto de as forças actuarem em partículas 
diferentes (diferentes pontos de aplicação) então recorre-se ao corpo rígido. 
 
Um corpo rígido é a combinação de muitas partículas que ocupam posições fixas 
relativamente umas às outras. 
 
FORÇAS INTERIORES E EXTERIORES. 
 
As forças que actuam num corpo rígido podem ser classificadas em: 
• forças exteriores; 
• forças interiores. 
 
As forças exteriores representam a acção exercida sobre o corpo em análise pelos corpos 
dos quais foi destacado e pelo solo. As forças exteriores são aplicadas nos pontos de 
ligação aos outros corpos e nos pontos onde o corpo se apoia no solo. As forças 
exteriores incluem o peso do corpo em análise, forças aplicadas com uma finalidade 
(carregamentos) e forças de ligação (reacções de apoio). 
 
Cada força exterior aplicada a um corpo rígido pode, na ausência de oposição, produzir 
no corpo um movimento de translação (deslocamento segundo uma direcção), de rotação 
(deslocamento em torno de uma direcção) ou ambos. 
 
As forças interiores são aquelas que mantêm unidas as diferentes partículas ou corpos 
que constituem o corpo rígido. 
 
FORÇAS EQUIVALENTES. 
 
Utilizando o princípio de transmissibilidade, podemos substituir a força, F , por uma força 
equivalente (mesma intensidade, direcção e sentido), 'F , sem que as condições de 
movimento e todas as forças exteriores aplicadas permaneçam inalteradas. 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.2 
 
 
O princípio de transmissibilidade pode ser usado livremente para determinar as condições 
de movimento ou de equilíbrio dos corpos rígidos e para calcular as forças exteriores que 
actuam nesses corpos, e deverá ser evitado ou, pelo menos, utilizado com precaução, no 
cálculo de forças interiores. 
 
 
 
Do ponto de vista da mecânica dos corpos rígidos, os dois sistemas representados são 
equivalentes, mas as forças interiores e as deformações produzidas pelos dois sistemas 
são diferentes. No sistema A a barra representada está traccionada (haverá alongamento 
da barra se esta não for rígida), no sistema B temos um sistema nulo. 
 
MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO. 
 
Revisões de Álgebra Vectorial 
Produto externo (ou vectorial) de dois vectores 
 
O vector V resultante do produto externo dos vectores P e Q satisfaz as seguintes 
condições: 
• a linha de acção de V é perpendicular ao plano que contém P e Q ; 
• a intensidade de V é dada por V= P.Q.senθ; 
l.a. c 
o’ 
o 
F 
'F 
'FF = 
A A B 1N 1N 2N 
2N 
Sistema A Sistema B 
⇔ 
QPV ×= 
Q 
P 
θ 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.3 
• o sentido de V obtém-se pela regra da mão direita (regra do saca-rolhas). 
 
 
Se θ = 0 ou θ = 180º → 0=×= QPV (V =0). 
Se θ ≠ 0 ou θ ≠ 180º → QPV ×= é igual à área do paralelogramo de lados P e Q. 
Se substituirmos Q por um vector 1Q complanar com os vectores P e Q , e tal que a 
linha que une as extremidades dos vectores Q e 1Q seja paralela a P , então obtemos 
QPQP ×=× 1 . 
 
 
Para o produto externo de dois vectores: 
• não é válida a propriedade comutativa → PQQP ×−=× ; 
• é válida a propriedade distributiva → ( ) 2121 QPQPQQP ×+×=+× ; 
• não é válida a propriedade associativa → ( ) ( )SQPSQP ××≠×× . 
 
As componentes cartesianas de um produto externo de dois vectores são: 
 
 
Q 
+ P 
Q 
- 
P 
P 
Q 
1Q 
i 
j 
k 
0=× ii kij −=× jik =× 
kji =× 0=× jj ijk −=× 
jki −=× ikj =× 0=× kk 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.4 
kPjPiPP zyx ++= kQjQiQQ zyx ++= kVjViVQPV zyx ++=×= 
 
Substituindo as expressões de P e Q em V e utilizando a propriedade distributiva do 
produto externo, obtém-se: 
 
Vx = Py.Qz – Pz.Qy 
Vy = Pz.Qx – Px.Qz 
Vz = Px.Qy – Py.Qx 
 
 
 
A linha de acção de oM representa o eixo em torno do qual um corpo tende a girar 
quando fixo em O e sujeito a F . 
 
 
 
O sentido de oM é o sentido da rotação que a força F tende a comunicar. 
 
A intensidade de oM - M0 = r.F.senθ = F.d – mede a tendência da rotação (unidades SI 
N.m). 
 
oM é independente do ponto de aplicação (não caracteriza a posição do ponto de 
aplicação), mas define completamente a linha de acção de F . 
zyx
zyx
QQQ
PPP
kji
V = 
oM 
F 
F r 
F 
r 
θ 
O 
A 
d θ 
FrM o ×= 
[ ]OAOAr −== - vector posição 
d = r.senθ 
oM 
F 
O 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.5 
 
 
 
Dados oM e F → determinar OAr = : 
 
 
 
 
TEOREMA DE VARIGNON. 
 
O teorema de Varignon estabelece que o momento em relação a um dado ponto da 
resultante de várias forças concorrentes é igual à soma dos momentos das diversas 
forças em relação ao mesmo ponto. 
 
oM 
O 
A A’ F F 
r 
'r 
θ 
θ’ 
FrFrM o ×=×= ' 
M0 = r.F.senθ = r’.F.senθ' 
 
d = r.senθ = r’.senθ' 
d 
oM 
O 
A 
A’ 
F 
d 
r 
FrM o ×= F
Md 0= 
'
' OAdOA λ⋅= 
0
0
'
MF
MF
OA
×
×
=λ 
F
M
MF
MFOA 0
0
0
' ⋅
⋅
×
= 2
0
'
F
MFOA ×= 
AAOAOA '' += F
F
MF
r λ+×= 2
0
, (λ escalar) 
 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.6 
 
 
COMPONENTES CARTESIANAS DO MOMENTO DE UMA FORÇA. 
 
FrM O ×= kzjyixr ++= kFjFiFF zyx ++= 
 
Substituindo as expressões de r e F em OM e utilizando a propriedade distributiva do 
produto externo, obtém-se: 
 
Mx = y.Fz – z.Fy 
My = z.Fx – x.Fz 
Mz = x.Fy – y.Fx 
 
MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM EIXO. 
 
Revisões de Álgebra Vectorial 
Produto interno (ou escalar) de dois vectores 
 
 
Para o produto interno de dois vectores: 
• é válida a propriedade comutativa → PQQP •=• ; 
O 
x 
y 
z 
1F r 
2F 
3F 
mF 
mFFFFR ++++= K321 
RrM RO ×= 
( )mRO FFFFrM ++++×= K321 
m
R
O FrFrFrFrM ×++×+×+×= K321 
m
OOOO
R
O MMMMM ++++= K
321
 
zyx
O
FFF
zyx
kji
M = 
Q 
P 
θ θcos⋅⋅=• QPQP 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.7 
• é válida a propriedade distributiva → ( ) 2121 QPQPQQP •+•=+• ; 
• a propriedade associativa não tem sentido → ( ) SQP •• , produto interno de um 
escalar com um vector. 
 
As componentes cartesianas de um produto interno de dois vectores são: 
 
 
 
kPjPiPP zyx ++= kQjQiQQ zyx ++= zzyyxx QPQPQPQP ⋅+⋅+⋅=• 
2222 PPPPPP zyx =++=• 
 
O produto interno de dois vectores tem seguintes aplicações práticas: 
• determinar o ângulo formado por dois vectores; 
• determinar a projecção de um vector sobre um eixo. 
 
Determinar o ângulo formado por dois vectores: 
 
 
 
Determinar a projecção de um vector sobre um eixo: 
 
i 
j 
k 
1=• ii 0=• ij 0=• ik 
0=• ji 1=• jj 0=• jk 
0=• ki 0=• kj 1=• kk 
Q 
θ 
kPjPiPP zyx ++= 
kQjQiQQ zyx ++= 
zzyyxx QPQPQPQP ⋅+⋅+⋅=⋅⋅ θcos 
QP
QPQPQP zzyyxx
⋅
⋅+⋅+⋅
=θcos 
P 
OA = POL =P.cosθ 
OLOL PPP =⋅⋅=• θλ cos1 
zzyyxxOL PPPP λλλ ⋅+⋅+⋅= 
zzyyxxOL PPPP θθθ coscoscos ⋅+⋅+⋅= 
θ 
x 
y 
z 
A 
L 
O 
P 
OLλ 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.8 
 
Sendo θx, θy e θz os ângulos que o eixo OL forma com os três eixos coordenados x, y e z. 
 
Produto misto de três vectores 
 
 
 
Se QP × tiver o mesmo sentido de S o produto misto é positivo. 
 
O produto misto de três vectores goza de permutação circular (o sinal do produto misto 
permanece inalterado se os vectores forem permutados por uma ordem anti-horária). 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )SPQQSPPQSPSQSQPQPS ו−=ו−=ו−=ו=ו=ו 
 
As componentes cartesianas de um produto misto de três vectores são: 
 
 
 
 
 
 
P 
Q S ( )QPS ו 
P 
Q S 
( )
zyx
zyx
zyx
QQQ
PPP
SSS
QPS =ו 
( )
( ) ( )
( )xyyxz
zxxzyyzzyx
zzyyxx
QPQPS
QPQPSQPQPS
VSVSVSVSQPS
⋅−⋅⋅+
⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅=
⋅+⋅+⋅=•=ו
 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.9 
 
 
O momento de F em relação ao eixo OL, MOL, é a projecção de OM sobre o eixo OL e o 
valor absoluto é igual à distância OC . 
 
MOL mede a tendência para um corpo sujeito a F rodar em torno do eixo OL. 
 
 
 
Pode concluir-se que: 
• MOL é independente do ponto O; 
• Só a componente perpendicular ao eixo contribui para a tendência de rotação. 
 
O momento de uma força F em relação aos eixos x, y e z coincidem com as 
componentes do momento da força F em relação ao ponto de origem do referencial. 
 
( ) yzOx FzFyFriM ⋅−⋅=ו= 
( ) zxOy FxFzFrjM ⋅−⋅=ו= 
( ) xyOz FyFxFrkM ⋅−⋅=ו= 
 
Num corpo sujeito a uma força F as: 
F 
r 
OM 
O 
C 
L 
FrM O ×= 
 
OOLOL MM •= λ 
( )FrM OLOL ו= λ( ) OLOOLOL MM λλ ⋅•= 
r 
2r 
1r 
2F 
1F F 
OM 
O 
21 FFF += ( 1F //OL e 2F X plano p r OL) 
21 rrr += ( 1r //OL e 2r X plano p r OL) 
( ) ( )[ ]2121 FFrrM OLOL +×+•= λ 
( )22 FrM OLOL ו= λ 
L 
p 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.10 
• componentes de F (Fx, Fy e Fz) medem a tendência para deslocar o corpo nas 
direcções dos eixos; 
• componentes de OM (MOx, MOye MOz) medem a tendência para rodar o corpo em 
torno dos eixos. 
 
MOMENTO DE UM CONJUGADO. 
 
Duas forças F e F− , com a mesma intensidade, linhas de acção paralelas e sentidos 
opostos formam um conjugado (binário). 
 
 
 
A resultante do sistema de forças ( F e F− ) é nula, no entanto a soma dos momentos 
em relação a um ponto não é nulo. 
 
O momento de um conjugado tem: 
• direcção perpendicular ao plano que contém F e F− ; 
• intensidade, M = F.d, em que d é a distância entre as linhas de acção das duas 
forças; 
• sentido definido pela regra da mão direita; 
 
 
 
F− 
F 
F− 
F 
r 
Ar 
Br 
M 
O 
A 
B 
d = r.senθ 
θ 
( ) ( ) FrrFrFrM BABA ×−=−×+×= 
FrM ×= 
 
M = F.d = F.r.senθ 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.11 
Como o momento de um conjugado é independente do ponto O, então é um vector livre. 
 
CONJUGADOS EQUIVALENTES. 
 
Conjugados equivalentes: 
• produzem o mesmo efeito sobre um corpo rígido; 
• têm o mesmo momento; 
• estão contidos no mesmo plano ou em planos paralelos; 
• têm o mesmo sentido. 
 
REPRESENTAÇÃO VECTORIAL DE UM CONJUGADO. 
 
Quando um conjugado actua sobre um corpo rígido, não nos interessa onde actuam as 
forças F e F− que formam o conjugado, nem a intensidade e direcção dessas forças → 
apenas interessam a intensidade, direcção e sentido do momento do conjugado. 
 
O momento de um conjugado caracteriza um conjugado, não é necessário definir as 
forças que o formam. 
 
Um conjugado pode ser representado por um vector → vector conjugado ou momento. 
 
Os vectores conjugados podem somar-se e decompor-se segundo os eixos coordenados 
como vectores. 
 
SUBSTITUIÇÃO DE UMA FORÇA ACTUANTE NUM PONTO POR UMA FORÇA ACTUANTE NOUTRO PONTO 
E UM CONJUGADO. LEI DE PROPAGAÇÃO DE MOMENTOS. 
 
 
O A O A 
F 
r 
F 
r 
F 
F− 
⇔ 
Força F aplicada em A 
F e F− aplicadas em O 
(sistema não se altera) 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.12 
 
A força F aplicada em A e a força F− aplicada em O formam um conjugado de 
momento FrM O ×= . 
 
 
 
A acção de F em A foi substituída pelo novo sistema força-conjugado em O. Qualquer 
força F actuante num corpo rígido pode ser movida para um ponto arbitrário O, desde 
que seja acrescentado um conjugado de momento igual ao momento de F em relação ao 
ponto O. 
 
Noutro ponto O’: 
 
 
 
Dados F e OM , permite calcular 'OM conhecendo OO' . 
 
O 
OM 
F 
F em A ⇔ 
F em O e 
FOAFrM O ×=×= 
O 
OM 
F F 
F 
'OM 
A 
O’ 
r 
s 
'r 
FOAFrM O ×=×= 
FAOFrM O ×=×= ''' 
 
OOOAAOsrr ''' +=⇔+= 
 
FsFrFrM O ×+×=×= '' 
Lei da propagação de momentos 
FOOMM OO ×+= '' 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.13 
REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UMA FORÇA E UM CONJUGADO. 
 
 
 
Cada força iF pode ser substituída por um sistema força-conjugado em O: 
 
 
 
Obtém-se finalmente: 
 
 
 
Qualquer sistema de forças pode ser reduzido a um sistema força-conjugado ( R , ROM ) 
equivalente actuante num dado ponto O. 
 
Embora cada OiM seja perpendicular à força iF respectiva, R e ROM não são, em geral, 
perpendiculares. 
 
 
O 1F 
A1 
2F 
A2 
3F 
A3 Sistema de forças 1F , 2F , 3F , … 
actuantes em A1, A2, A3, … 
 
iF em Ai ⇔ 
iF em O e 
iiOi FrM ×=
 
O 
R 
R
OM 
R - resultante do sistema de forças 
1F , 2F , 3F , … aplicadas em O 
R
OM - resultante dos momentos 1M , 
2M , 3M 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.14 
LEI DE PROPAGAÇÃO DE MOMENTOS RESULTANTES. 
 
Para um sistema de forças temos os seguintes elementos de redução num ponto O: 
• ∑= FR → resultante do sistema de forças; 
• ( )∑∑ ×== FrMM ORO → momento resultante do sistema de forças. 
 
Elementos de redução no ponto O’: 
• ∑= FR ; 
• ROOMM RR
OO
×+= '
'
 → lei de propagação de momentos resultantes. 
 
CAMPO DE MOMENTOS RESULTANTES DE UM SISTEMA DE FORÇAS. 
 
A expressão da lei de propagação de momentos resultantes permite-nos concluir várias 
propriedades dos campos de momentos resultantes de um sistema de forças, que são: 
1. Se dois sistemas de forças tiverem a mesma resultante R e o mesmo momento 
resultante ROM num ponto O, então têm-nos iguais em todos os pontos; 
2. O lugar geométrico dos pontos em que o momento resultante é constante é uma 
recta paralela à resultante (supondo R ≠0); 
3. A projecção do momento resultante sobre a resultante (supondo R ≠0) é constante; 
4. Os invariantes de um sistema de forças não dependem do ponto considerado. 
 
Num sistema de forças temos as seguintes invariantes: 
• R → invariante vectorial; 
• RM R
O
• → invariante escalar. 
 
5. Propriedade projectiva. 
 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.15 
PROPRIEDADE PROJECTIVA. 
 
A propriedade projectiva estabelece que as projecções dos momentos resultantes em dois 
pontos quaisquer sobre a recta que os une são iguais e igualmente orientadas. 
 
 
 
SISTEMAS DE FORÇAS EQUIVALENTES. 
 
Dois sistemas de forças (vectores) são equivalentes se puderem ser reduzidos ao mesmo 
sistema força-conjugado num dado ponto O. 
 
 
 
 
Significado físico: Dois sistemas de forças são equivalentes se tendem a comunicar ao 
corpo rígido: 
• a mesma translação segundo x, y e z; 
• a mesma rotação em torno de x, y e z. 
 
Quando dois sistemas de vectores têm as suas resultantes e os seus momentos 
resultantes em relação a um ponto arbitrário O iguais, os dois sistemas de vectores 
dizem-se equipolentes (se dois sistema de forças aplicados num corpo rígido são 
equipolentes, então são também equivalentes). 
 
CASOS DE REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS. 
 
Num sistema de forças (vectores) temos os seguintes casos de redução: 
• RM R
O
• ≠ 0 ( R ≠0 e ROM ≠0) → sistema equivalente a vector mais conjugado; 
∑∑ == 'FFR 
∑∑ == 'OOR MMM O 
 
O 
R
OM 
R
OM ' 
O’ 
R
OOM ' 
R
OOM ' 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.16 
• RM R
O
• = 0 e R ≠ 0 → sistema equivalente a vector único; 
• RM R
O
• = 0 e ROM ≠ 0 → sistema equivalente a conjugado; 
• RM R
O
• = 0 e R = 0 e ROM = 0 → sistema nulo (ou em equilíbrio). 
 
EIXO CENTRAL DE UM SISTEMA DE FORÇAS. 
 
Eixo central é o lugar geométrico dos pontos onde o momento resultante é mínimo (ou 
nulo, no caso de sistema equivalente a vector único → neste caso, o eixo central coincide 
com a linha de acção da resultante). 
 
 
 
Supondo A um ponto do eixo central: 
 
 
 
O momento num ponto A do eixo central é: 
 
RAOMM RO
R
A
×+= com R
A
M // R então RM R
A
⋅= α 
 
RAOMR RO ×+=⋅α 
RAOMR RO ×=−⋅α em que ( ROMR −⋅α ) é perpendicular a R 
O 
R 
R
OM 
Caso geral de redução: RM R
O
• ≠ 0 
O 
R 
R
AM 
A 
ROAMMMM R
O
×+=+= 121 
 
1MM
R
A
=O 
R 
R
OM 
RM 2 
RM 1 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.17 
 
0=•




−⋅ RMR ROα 
RMRR RO •=•⋅α então 2R
RM RO •
=⋅α 
 
 
Momento no eixo central, 
 
com intensidade 
R
RM
M
R
OR
A
•
= . 
 
A equação do eixo central é: 
 
RAOMR RO ×=−⋅α 
R
R
MRR
AO
R
O
λ
α
+





−×
= 2 (divisão vectorial) 
R
R
MR
AO
R
O λ+×−= 2 com λ ∈ IR 
 
 
Equação vectorial do eixo central com λ ∈ IR. 
 
 
R
R
RM
M
R
OR
A
⋅
•
= 2 
R
R
MROA
R
O
⋅+
×
= λ2 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.18 
 
 
Conhecidos R , ROM e as coordenadas do ponto O (xO; yO; zO). Determinar as 
coordenadas do ponto A (xA; yA; zA) do eixo central. 
 
OAOOAO += '' → ( ) xROyzROzyOA RMRMRRxx ⋅+⋅−⋅+= λ2
1
 
( ) yROzxROxzOA RMRMRRyy ⋅+⋅−⋅+= λ2
1
 
( ) zROxyROyxOA RMRMRRzz ⋅+⋅−⋅+= λ2
1
 
 
A intersecção do eixo central com os planos definidos pelos eixos coordenados obtém-se 
determinando para a coordenada fixa o valor de λ, depois de conhecido λ calcula-se as 
restantes coordenadas. 
 
GENERALIZAÇÃO DO TEOREMA DE VARIGNON PARA SISTEMAS DE VECTORES EQUIVALENTES A 
VECTOR ÚNICO. 
 
O teorema de Varignon estabelece para um sistema de forças equivalentes a vector único 
que o momento resultante é igual ao momento da resultante. 
 
RAOM R
A
×= com R
O
M nulo. 
 
O 
A 
O’ x 
y 
z 
eixo central 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.19 
Um sistema é equivalente a vector único se RM R
O
• = 0 e R ≠ 0, dando-se para: 
1. Forças concorrentes num ponto. 
2. Forças complanares (actuam no mesmo plano) 
 
R
 e ROM são perpendiculares → RM RO • = 0 
 
 
 
Para forças no plano xy: jRiRR yx += 
kMM ROz
R
O = 
Seja O (0; 0) → ( )kRyRxROA xy ⋅−⋅=× 
 
Equação da linha de acção de R (eixo central). 
 
3. Forças paralelas 
 
Sejam iF // y 
 
 
 
x.Ry – y.Rx = ROzM 
O 
A 
R 
R d 
R
OM 
Distância de O à linha de acção de R : 
R
Md
R
O
= 
R
OMROA =× 
O 
R 
R
OM 
R 
A 
x 
y 
z 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.20 
Sendo A (x; 0; z) um ponto da linha de acção de R contido no plano xz 
 
R
OMROA =× 
kzixOA += . 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS. 
 
Problema C3.1 – Considere o painel de sinalização rodoviária posicionado num terreno 
irregular e fixo com a ajuda de dois cabos CF e DG conforme mostra a figura. Sabendo 
que a força de tracção exercida em C pelo cabo CF é de 250 N, determine a intensidade e 
defina vectorialmente o momento dessa força em relação ao eixo AE. 
 
 
 
Solução: MAE = 194,7 Nm e kjiM AE 3,965,535,160 +−= (Nm). 
 
Problema C3.2 – Considere o muro de suporte, que ao deslocar-se mobiliza o estado de 
equilíbrio activo, onde actuam o peso do muro de suporte e cunha de solo, W=190 kN/m 
(por metro de desenvolvimento), e o impulso activo devido ao terreno e sobrecarga, 
Ia=210 kN/m, conforme mostra a figura. Substitua as forças actuantes no muro por um 
sistema força-binário equivalente em A e B. 
 
x.Ry = ROzM -z.Ry = ROxM 
A 
B 
C 
D 
E 
2,9 m 
1,2 m 
F 
G 
1,5 m 
0,9 m 
0,5 m 
x 
y 
z 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.21 
 
 
Solução: jiFF BA 3732,103 −−== (kN/m), kM A 567−= (kNm/m) e k4,104MB = (kNm/m). 
 
Problema C3.3 – Considere a viga homogénea horizontal com massa de 140 kg/m 
encastrada em A, à qual se prenderam os cabos BD e CE, que se encontram esticados 
por acção dos pesos P1 e P2, como indicado na figura. Considerando o sistema de forças 
constituído pelo peso da viga e forças de tracção que os cabos exercem na viga: a) 
Verifique se é possível substituir este sistema de forças por uma única força passando por 
A; b) Determine as coordenadas do ponto no plano ABC em que o momento resultante do 
sistema é mínimo; c) Determine a intensidade e defina vectorialmente o momento 
resultante mínimo. 
 
 
A B 
C 
D 
E 
1,4 m 
3,0 m 
1,8 m 
0,6 m 
1,0 m 0,8 m 
0,4 m 
W 
Ia 
30º 
y 
x 
A 
y 
x 
O 
B 
C 
D 
E 
z 
1,6 m 
P1 
P2 
P1 = 1600 N 
P2 = 2100 N 
AB = 1,8 m 
BC = 1,6 m 0,85 m 
0,9 m 
1,6 m 
0,95 m 
1,0 m 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.22 
 
Solução: a) Não é possível substituir o sistema de forças por uma única força passando 
por A, porque kjiM RA 34052526667 −+= (Nm) ≠ 0; b) x = 2,12 m, y = 0,95 m e z = 0,85 m; 
c) Mmín = 24,4 Nm e kjiM Rmín 67,1408,1733,9 −−−= (Nm). 
 
Problema C3.4 – Considere o mastro de uma bandeira fixo através de três cabos, como 
representado na figura. Sabendo que as forças de tracção nos três cabos têm a mesma 
intensidade, T, e considerando o sistema de forças composto pelas forças de tracção que 
os cabos exercem no mastro: a) Indique, justificando, o caso de redução do sistema; b) 
Determine o versor do eixo central; c) Determine a intensidade e sentido de uma força 
horizontal segundo x a aplicar na extremidade do mastro de forma a obter um sistema 
equivalente a vector único. 
 
 
 
Solução: a) Sistema equivalente a vector mais conjugado, porque 
06,489617,95 ≠−−= kjiRA (N) e 029856 ≠−=• RAMR ; b) 
kjiLEIXOCENTRA 05,099,010,0 −−=λ ; c) iF 1,149−= (N). 
 
A 
y 
x 
O 
B 
C 
D 
E 
z 
4 m 
3 m 
1,3 m 
6 m 
6,7 m 
5 m 
T = 400 N 
1 m 
CORPOS RÍGIDOS E SISTEMAS DE FORÇAS 
 
pedrosalvadoferreira 3.23 
BIBLIOGRAFIA. 
 
Beer, F. P.; Johnston, E. R. – Mecânica Vectorial Para Engenheiros. Estática. McGraw-Hill 
de Portugal, 1998. 
 
EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO 
 
pedrosalvadoferreira 4.1 
CORPO RÍGIDO EM EQUILÍBRIO. 
 
Num corpo rígido em equilíbrio as forças exteriores actuantes sobre o corpo formam um 
sistema equivalente a zero (sistema nulo ou em equilíbrio). 
 
As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido são: 
• 0=R → 0=∑ F ; 
• 
R
OM = 0 → ( ) 0=×=∑∑ FrM O . 
 
Então 
 
 
são as condições necessárias e suficientes 
para o equilíbrio de um corpo rígido. 
 
Um sistema de forças equivalentes a zero não comunica ao corpo rígido movimento de 
translação ( 0=∑ F → as componentes das forças exteriores compensam-se), nem 
movimento de rotação ( 0=∑ OM → os momentos em relação aos eixos coordenados 
anulam-se). 
 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE. 
 
O diagrama de corpo livre de um corpo rígido é um esquema que representa o corpo 
rígido com as respectivas dimensões e todas as forças exteriores actuantes sobre ele, em 
que: 
• as forças exteriores incluem o peso do corpo em análise, forças aplicadas com 
uma finalidade (carregamentos) e forçasde ligação (reacções de apoio); 
• se deve indicar claramente a intensidade, direcção e sentido das forças exteriores 
conhecidas; 
• no geral, as forças exteriores conhecidas são o peso do corpo e forças aplicadas 
com uma finalidade e as desconhecidas são as forças de ligação; 
∑ = 0xF ∑ = 0OxM 
∑ = 0yF ∑ = 0OyM 
∑ = 0zF ∑ = 0OzM 
EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO 
 
pedrosalvadoferreira 4.2 
• se deve representar as forças exteriores exercidas sobre o corpo (e não pelo 
corpo). 
 
As forças de ligação ou reacções de apoio representam o impedimento de um possível 
movimento pelo solo ou outros corpos ligados ao corpo em questão (grau de liberdade). 
As forças de ligação são exercidas nos pontos de ligação. 
 
Os pontos de ligação são pontos onde o corpo rígido é apoiado (apoios) ou onde está 
ligado a outros corpos. 
 
REACÇÕES DE APOIO NO CASO PLANO. 
 
As reacções de apoio no caso plano para os vários tipos de apoios são: 
1. Apoio simples ou apoio móvel 
 
Este tipo de apoio impede 1 grau de liberdade. 
 
 
 
O apoio móvel envolve uma incógnita que é a intensidade da reacção (linha de 
acção conhecida). 
 
Um cabo ou uma barra biarticulada ligados a um corpo rígido podem ser 
substituídos por uma única força de ligação com direcção conhecida e 
intensidade desconhecida. 
 
Reacção 
de apoio 
Reacção 
de apoio Reacção 
de apoio 
Movimentos 
permitidos 
Movimentos 
permitidos 
Movimentos 
permitidos 
EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO 
 
pedrosalvadoferreira 4.3 
 
 
2. Apoio fixo ou apoio rotulado 
 
Este tipo de apoio impede 2 graus de liberdade. 
 
 
 
O apoio fixo envolve duas incógnitas que são a direcção e intensidade da 
reacção resultante (ou as duas componentes). 
 
Uma barra com ligação articulada ao corpo rígido pode ser substituído por uma 
única força de ligação com direcção e intensidade desconhecidas (ou as duas 
componentes). 
 
 
 
Cabo 
Barra 
biarticulada 
Força de 
ligação 
Reacções 
de apoio 
Reacções 
de apoio Reacção 
de apoio 
Movimento 
permitido 
Movimento 
permitido Movimento 
permitido 
Barra com 
ligação articulada 
ao corpo rígido 
Forças de 
ligação 
Movimento 
permitido 
Reacções 
de apoio 
EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO 
 
pedrosalvadoferreira 4.4 
3. Encastramento 
 
Este tipo de apoio impede 3 graus de liberdade. 
 
 
 
O encastramento envolve três incógnitas que são a direcção e intensidade da 
reacção resultante (ou as duas componentes) e o momento com direcção 
perpendicular ao plano do corpo rígido. 
 
Uma barra com ligação monolítica ao corpo rígido pode ser substituído por uma 
força de ligação resultante com direcção e intensidade desconhecidas (ou as 
duas componentes) e um momento. 
 
 
 
4. Encastramento deslizante 
 
Este tipo de apoio impede 2 graus de liberdade. 
 
Reacções 
de apoio 
Reacções 
de apoio 
Barra com 
ligação monolítica 
ao corpo rígido 
Forças de 
ligação 
Todos os movimentos estão impedidos 
Reacções 
de apoio 
EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO 
 
pedrosalvadoferreira 4.5 
 
 
O encastramento deslizante envolve duas incógnitas que são a intensidade da 
reacção (com linha de acção conhecida) e o momento. 
 
EQUILÍBRIO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO. 
 
As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido são: 
• 0=R → 0=∑ F ; 
• 
R
OM = 0 → ( ) 0=×=∑∑ FrM O . 
 
Supondo que as forças actuam no plano xy, então as seis equações de equilíbrio obtidas 
anteriormente reduzem-se a: 
 
 
são as condições necessárias e suficientes 
para o equilíbrio plano de um corpo rígido. 
 
O ponto onde se determina o momento será um ponto O qualquer no plano do corpo 
rígido. Podemos substituir qualquer uma das equações de equilíbrio de forças ( 0=∑ F ) 
por outra equação de equilíbrio de momentos determinada noutro ponto qualquer 
(diferente dos pontos já usados) no plano do corpo rígido. 
 
Das equações de equilíbrio de um corpo rígido no plano resultam 3 equações, por isso, os 
problemas só poderão ter no máximo 3 incógnitas. As equações de equilíbrio são, em 
geral, usadas para determinar as reacções de apoio. 
Reacções 
de apoio 
Reacções 
de apoio 
Movimento 
permitido 
Reacções 
de apoio 
Movimento 
permitido 
Movimento 
permitido 
∑ = 0xF 
∑ = 0yF 
∑ = 0OzM
 
EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO 
 
pedrosalvadoferreira 4.6 
 
CORPO RÍGIDO EM EQUILÍBRIO SOB ACÇÃO DE DUAS E DE TRÊS FORÇAS. 
 
Um corpo rígido submetido a duas forças estará em equilíbrio se as forças tiverem a 
mesma linha de acção, a mesma intensidade e sentidos opostos. 
 
Um corpo rígido submetido a três forças estará em equilíbrio se as linhas de acção das 
três forças forem concorrentes num ponto ou paralelas (condição necessária mas não 
suficiente). 
 
 
 
REACÇÕES DE APOIO NO CASO ESPACIAL. 
 
As reacções de apoio no caso espacial para os vários tipos de apoios são: 
1. Apoio simples ou apoio móvel 
 
Este tipo de apoio impede 1 grau de liberdade. 
 
 
1F 
A 
B 
C 
O 
1F 
2F 
2F 
3F 
3F 
Reacção 
de apoio 
Translações 
permitidas 
Rotações 
permitidas 
EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO 
 
pedrosalvadoferreira 4.7 
 
O apoio móvel envolve uma incógnita que é a intensidade da reacção (linha de 
acção conhecida), que poderá ser segundo qualquer um dos eixos 
coordenados. 
 
Também no caso espacial, um cabo ou uma barra biarticulada ligados a um 
corpo rígido podem ser substituídos por uma única força de ligação com 
direcção conhecida e intensidade desconhecida. 
 
 
 
2. Apoio fixo com rótula esférica 
 
Este tipo de apoio impede 3 graus de liberdade. 
 
 
 
O apoio fixo com rótula esférica envolve três incógnitas que são a direcção e 
intensidade da reacção resultante (ou as três componentes). 
 
Reacções 
de apoio 
Reacções 
de apoio 
Rotações 
permitidas 
Rotações 
permitidas 
Cabo 
Barra 
biarticulada 
Força de 
ligação 
EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO 
 
pedrosalvadoferreira 4.8 
Também no caso espacial, uma barra com ligação articulada (rótula esférica) 
ao corpo rígido pode ser substituído por uma única força de ligação com 
direcção e intensidade desconhecidas (ou as três componentes). 
 
 
 
3. Apoio móvel com rótula cilíndrica 
 
Este tipo de apoio impede 2 graus de liberdade. 
 
 
 
O apoio móvel com rótula cilíndrica envolve duas incógnitas que são a 
intensidade da reacção força (com linha de acção conhecida) e a intensidade 
da reacção momento (com linha de acção conhecida). 
 
Barra com 
ligação articulada 
ao corpo rígido 
Forças de 
ligação 
Reacção de 
apoio (momento) 
Rotações 
permitidas 
Reacção de 
apoio (força) 
Reacção de 
apoio (momento) 
Rotações 
permitidas 
Reacção de 
apoio (força) 
Translações 
permitidas Translações 
permitidas 
EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO 
 
pedrosalvadoferreira4.9 
4. Apoio fixo com rótula cilíndrica 
 
Este tipo de apoio impede 5 graus de liberdade. 
 
 
 
O apoio fixo com rótula cilíndrica envolve cinco incógnitas que são a direcção e 
intensidade da reacção resultante (ou as três componentes) e o momento 
resultante com direcção perpendicular ao eixo do cilindro (ou as duas 
componentes). 
 
5. Encastramento 
 
Este tipo de apoio impede 6 graus de liberdade. 
 
 
 
Reacções de 
apoio (momentos) 
Todos os movimentos estão impedidos 
Reacções de 
apoio (forças) 
Reacções de 
apoio (momentos) 
Rotação 
permitida 
Reacções de 
apoio (forças) 
Reacções de 
apoio (momentos) 
Rotação 
permitida 
Reacções de 
apoio (forças) 
EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO 
 
pedrosalvadoferreira 4.10 
O encastramento envolve seis incógnitas que são a direcção e intensidade da 
reacção resultante (ou as três componentes) e a direcção e intensidade do 
momento resultante (ou as três componentes). 
 
Também no caso espacial, uma barra com ligação monolítica ao corpo rígido 
pode ser substituído por uma força de ligação resultante e um momento 
resultante, ambos com direcções e intensidades desconhecidas (ou as três 
componentes). 
 
 
 
6. Encastramento deslizante 
 
Este tipo de apoio impede 3 graus de liberdade. 
 
 
Barra com 
ligação monolítica 
ao corpo rígido 
Forças de 
ligação 
Reacção de 
apoio (força) 
Reacções de 
apoio (momento) 
Translações 
permitidas 
Rotação 
permitida 
EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO 
 
pedrosalvadoferreira 4.11 
 
O encastramento deslizante envolve três incógnitas que são a intensidade da 
reacção (com linha de acção conhecida) e o momento resultante com direcção 
perpendicular ao eixo do cilindro (ou as duas componentes). 
 
EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL. 
 
As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido são: 
• 0=R → 0=∑ F ; 
• 
R
OM = 0 → ( ) 0=×=∑∑ FrM O . 
 
Então as seis equações de equilíbrio obtidas anteriormente são: 
 
 
as condições necessárias e suficientes 
para o equilíbrio no espaço de um corpo 
rígido. 
 
Das equações de equilíbrio de um corpo rígido no espaço resultam 6 equações, por isso, 
os problemas só poderão ter no máximo 6 incógnitas. As equações de equilíbrio são, em 
geral, usadas para determinar as reacções de apoio. 
 
ANÁLISE DA ESTATIA DE UM CORPO RÍGIDO. 
 
A análise da estatia de um corpo rígido permite saber de antemão se a determinação das 
forças de ligação pode ser efectuada através das equações de equilíbrio. 
 
A estatia exterior de uma estrutura (estatia de um corpo rígido) classifica-se em: 
• estrutura exteriormente isostática → o número de ligações exteriores é o 
estritamente necessário para assegurar o equilíbrio da estrutura (as reacções são 
estaticamente determinadas, então o número de equações de equilíbrio é igual ao 
número de reacções ⇒ 3 equações numa estrutura plana e 6 equações numa 
estrutura espacial); 
∑ = 0xF ∑ = 0OxM 
∑ = 0yF ∑ = 0OyM 
∑ = 0zF ∑ = 0OzM 
EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO 
 
pedrosalvadoferreira 4.12 
• estrutura exteriormente hipoestática → o número de ligações exteriores é 
insuficiente para assegurar o equilíbrio da estrutura (o equilíbrio pode não ser 
satisfeito ⇒ o número de ligações é inferior a 3 numa estrutura plana e a 6 numa 
estrutura espacial); 
• estrutura exteriormente hiperestática → o número de ligações exteriores é 
superior ao necessário para assegurar o equilíbrio da estrutura (as reacções são 
estaticamente indeterminadas ⇒ o número de ligações é superior a 3 numa 
estrutura plana e a 6 numa estrutura espacial). 
 
A diferença entre o número de reacções de apoio (incógnitas) e o número de equações de 
equilíbrio (3 numa estrutura plana e 6 numa estrutura espacial) dá-nos o grau de 
hiperestatia (αe > 0) ou hipoestatia (αe < 0) exterior. 
 
O número de equações de equilíbrio igual ao número de reacções de apoio (αe = 0) é 
condição necessária para que um corpo rígido (ou a estatia exterior de uma estrutura) 
seja isostático e as reacções sejam estaticamente determinadas, mas não é condição 
suficiente, porque pode não ser possível satisfazer o equilíbrio (ligações mal distribuídas). 
 
LIGAÇÕES MAL DISTRIBUÍDAS. 
 
Um corpo rígido tem ligações mal distribuídas sempre que os apoios (com um número 
suficiente de reacções) estão dispostos de tal modo que as reacções são paralelas, 
concorrentes num ponto ou não impedem o movimento do corpo (translação e/ou 
rotação). 
 
 
 
3 reacções (incógnitas) para 3 equações de 
equilíbrio, mas a translação horizontal não está 
impedida (ligações mal distribuídas). 
 
Não é satisfeita a equação ∑ = 0xF 
EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO 
 
pedrosalvadoferreira 4.13 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS. 
 
Problema C4.1 – Determine as reacções de apoio das estruturas representadas. 
 
 
 
Solução: a) HA = 7,5 kN (→), VA = 8,5 kN (↑) e RC = 5,51 kN (↓); b) HG = 5,75 kN (←), VG = 
39,2 kN (↑) e MG = 17,05 kNm ( ); c) RA,x = 37,5 kN, RA,y = 0, RA,z = -14,91 kN, RG = 
27,1 kN, RH = 25 kN e RI = 0. 
 
Problema C4.2 – Classifique, justificando convenientemente, sob o ponto de vista da 
estatia exterior as estruturas representadas na figura. 
 
4 reacções (incógnitas) para 3 
equações de equilíbrio, mas a rotação 
em torno de A não está impedida 
(ligações mal distribuídas). 
 
Não é satisfeita a equação ∑ = 0AM 
A 
A 
B 
C 
D 
A 
2 m 4 m 
10 kN 
B 
2,5 m 
x 
y 
z 
a) 
b) c) 
15 kN 
30º 
1 m 1 m 1 m 1 m 2 m 1,5 m 
5 m 
C D 
E 
F 
G H 
F = 5 kN 
TFH = 20 kN 
F F F F 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
I 
3 m 
2 m 
1,5 m 
1,5 m 
1,5 m 
1,5 m 
4 m 
10 kN 
10 kN 
Cabo 
Cabo 
Cabo 
Cabo 
EQUILÍBRIO DO CORPO RÍGIDO 
 
pedrosalvadoferreira 4.14 
 
 
Solução: a) Estrutura exteriormente hiperestática do 4º grau; b) Estrutura exteriormente 
hiperestática do 5º grau; c) 4 reacções a convergirem para o mesmo ponto (não está 
impedida a rotação em torno desse ponto), por isso ligações ao exterior mal distribuídas; 
d) Estrutura exteriormente hiperestática do 2º grau; e) Estrutura exteriormente 
hipoestática do 1º grau; f) Estrutura exteriormente hiperestática do 4º grau. 
 
BIBLIOGRAFIA. 
 
Beer, F. P.; Johnston, E. R. – Mecânica Vectorial Para Engenheiros. Estática. McGraw-Hill 
de Portugal, 1998. 
 
 
 
a) b) c) 
d) e) f)