U3 Secção U3

Prévia do material em texto

Métodos quantitativos 
Noções de probabilidade
Unidade 2 
Engenharia Civil e Produção
Tutor: Othon Lauar Godinho
Métodos quantitativos 
Secção 3.1
Engenharia Civil e Produção
Tutor: Othon Lauar Godinho
Faça você mesmo P.141
1. Assinale a alternativa INCORRETA.
a) A probabilidade é igual à razão entre o número de resultados favoráveis a um evento pelo total de resultados possíveis no espaço
amostral.
b) Denominamos evento qualquer subconjunto de um espaço amostral.
c) Um ponto amostral é um valor específico de Ω.
d) Quando a probabilidade de ocorrência de um evento é igual a zero, dizemos que o evento é certo.
e) Quanto mais próxima de 1, maior a probabilidade de ocorrência de um evento.
Dados dois eventos B e C, sendo P(B) = 1 = 100% e P(C) = 0 = 0% dizemos que B é um
evento certo e que C é um evento impossível
Faça você mesmo P.142
2. Considere Ω = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l} e um evento A = {b, d, f}. Assinale a alternativa que contém P(A).
a) 0,20
b) 0,25
c) 0,30
d) 0,35
e) 0,40
𝑛(Ω)=12 e n(A)=3
𝑃 𝐴 =
n(A)
𝑛(Ω)
=
3
12
= 0,25
Faça você mesmo P.142
3. Sendo Y~N(0,1), assinale a alternativa que contém o valor de P(Y > 1,6).Amostragem por conveniência.
a) 0,945
b) 0,055
c) 1,000
d) 0,000
e) 0,726
𝑃 𝑌 > 1,6 = 1 − 𝑃 𝑌 ≤ 1,6 = 𝑃(𝑍 > 𝑧) , em que 𝑧 =
1,6−0
1
=
1,6
1
= 1,6 consultando a tabela, vemos que
𝑃 𝑍 > 1,6 = 0,945. Logo Logo 𝑃 𝑌 > 1,6 = 1 − 𝑃 𝑌 ≤ 1,6 = 1 − 0,945 = 0,055 = 5%
Faça você mesmo P.142
4. Considere Z~N(0,1) e um ponto amostral z > 0 tal que P(–z < Z < z) = 95,4%. Assinale a alternativa que contém
o valor de z.
a) 1,0
b) 1,5
c) 2,0
d) 2,5
e) 3,0
Esta tabela entrega a probabilidade de P(0<Z<z), ou seja, do centro para a direita. Como esta distribuição (a normal)
é simétrica, então, o que queremos é:P(-z<Z<z)=95,4% é igual a P(0<Z<z)=95,4%/2=47,7%=0,4770
- 𝑧 =
1,6−0
1
= 0,4770
Este é o número para procurarmos na tabela:
z=1,995 (este número saiu porque para z=1,99 temos 0,47670 e para z=2,00 temos 0,47725, ou seja, o valor que
queríamos está praticamente no meio, mesmo)
Faça você mesmo P.142
5. Sendo 𝑋~𝑁(15,9), assinale a alternativa que contém o valor de 𝑃(12 < 𝑋 < 18).
a) 15,9%
b) 84,1%
c) 62,8%
d) 42,9%
e) 68,2%
𝑃 12 < 𝑋 < 18 = 𝑃 𝑋 ≤ 18 − 𝑃 𝑋 < 12 calculamos separadamente 𝑃 𝑋 ≤ 18 − 𝑃 𝑋 ≤ 12 .
𝑃 𝑋 ≤ 18 = 𝑃(𝑍 < 𝑧), em que 𝑧 =
18−15
9
=
3
3
= 1 consultando a tabela, vemos que 𝑃 𝑍 < 1 = 0,841. Logo
𝑃 𝑋 ≤ 18 = 𝑃 𝑍 < 1 = 0,841 = 84,1%
𝑃 𝑋 ≤ 12 = 𝑃(𝑍 < 𝑧), em que 𝑧 =
12−15
9
=
−3
3
= −1 consultando a tabela, vemos que 𝑃 𝑍 < −1 = 0,159. Logo
𝑃 𝑋 ≤ 12 = 𝑃 𝑍 < −1 = 0,159 = 15,9%.
Portanto 𝑃 12 < 𝑋 < 18 = 𝑃 𝑋 ≤ 18 − 𝑃 𝑋 ≤ 12 = 0,841 – 0,159 = 0,682 = 68,2%
Faça você mesmo P.143
5. Considerando X~N(50,16) e Y~N(100,25), qual o evento mais provável: sortear um valor de X menor que 48 ou
um valor de Y maior que 102?
𝑃 𝑋 < 48 = 1 − 𝑃 𝑋 ≥ 48 = 𝑃(𝑍 < 𝑧), em que 𝑧 =
48−50
16
=
−2
4
= −0,5 consultando a tabela, vemos que 𝑃(𝑍
Faça você mesmo P.143
5. Em determinada linha de produção, um produto é descartado se seu peso for menor que 4,9 kg. Sabe-se que a
variável peso (X) nessa linha de produção possui distribuição normal com média de 5 kg e desvio padrão de 0,06
kg. Nessas condições, qual é a probabilidade de se descartar um produto?
Considerando portanto X~N(5, 0,06)
𝑃 𝑋 < 4,9
𝑃 𝑋 < 4,9 = 1 − 𝑃 𝑋 ≥ 4,9 = 𝑃(𝑍 < 𝑧), em que
𝑧 =
4,9 − 5
0,06
=
−0,1
0,06
= −1,67
Agora, procurando em uma tabela de distribuição normal, encontraremos:
𝑃 0 < 𝑍 < 1,67 = 0,45254
Então
𝑃 𝑥 < 4,9 = 𝑃 𝑍 < −1,67 = 0,5 − 𝑃 0 < 𝑍 < 1,67 = 0,5 − 0,45254 = 0,04746 = 4,746%
Métodos quantitativos 
Secção 3.2
Engenharia Civil e Produção
Tutor: Othon Lauar Godinho
Faça você mesmo P.155
1. Seja uma variável X~N(μ,9) observada em dada população. Com precisão de 90%, assinale a alternativa que
contém o erro máximo que cometemos ao estimar a verdadeira média dessa população com base em uma
amostra de tamanho n = 25.
a) 1,099.
b) 0,099.
c) 2,909.
d) 2,970.
e) 0,990.
Observe que a fórmula do erro 𝜀 =
𝑧𝑦
2∗𝜎2
𝑛
depende de 𝑧𝑦 , σ
2 e n. O parâmetro 𝜎2 = 9 foi dado e n = 25. Resta
determinar 𝑧𝑦 , em que , para que 𝛾 = 90% = 0,9, para que tenhamos 𝑃 −𝑧𝑦 ≤ 𝑍 ≤ 𝑧𝑦 ≥ 𝛾 = 0,9. Veja que o
valor 𝑧𝑦deve ser tal que 𝑃 𝑍 ≤ 𝑧𝑦 ≥ 0,05 + 0,90 = 0,95. Consultando a tabela Z, temos 𝑧𝑦= 1,65. Logo
𝜀 =
𝑧𝑦
2 ∗ 𝜎2
𝑛
=
1,652 ∗ 9
25
=
4,95
5
= 0,99
Portanto, com precisão de 90%, o erro máximo que cometemos ao estimar a verdadeira média dessa população
com base em uma amostra de tamanho n = 25 é ε = 0,99