Mecânica Geral

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Mecânica Geral
Aula 4 - Momento de uma força – Teorema de
Varignon
INTRODUÇÃO
Nesta aula vamos conhecer o trabalho do matemático francês Pierre Varignon (1654-1722). Ele propôs o princípio de
que quando um corpo está em equilíbrio sobre a ação de forças concorrentes, a resultante dessas forças é nula. Para
propor essa teoria, usou a regra de distribuição de forças do paralelogramo. Entretanto sua teoria mais famosa é o
Teorema de Varignon, que consiste em dizer que o momento gerado por uma força ao redor de um ponto é igual à
soma dos momentos gerados pelas componentes da força ao redor do mesmo ponto.
OBJETIVOS
Mostrar como simplificar sistema com muitas forças para um sistema único equivalente por meio do Teorema de
Varignon.
TEOREMA DE VARIGNON
Fonte da Imagem:
Para entendermos melhor esse conceito, vamos ver o exemplo abaixo, usado na aula anterior, nestes termos: 
Um carro atolou a sua roda traseira direita na estrada de terra, Figura ao lado, três homens tentam ajudar, puxando com
cordas, qual é o sistema força-momento binário equivalente dessas forças relação ao ponto P? 
É possível solucionar esse exemplo pelo método escalar ou pelo método vetorial.
 
 
Lembrete: vamos utilizar as equações da
aula anterior 
 
 
 
Solução pelo Método Escalar
FORMULAÇÃO ESCALAR: METODO DE SOLUÇÃO PARA TEORMA DE VARIGNON. 
I - Definir o ponto de estudo. 
II - Decompor os vetores r, F e M nas suas componentes. 
III - Calcular a força equivalente com a Equação III.5, para cada componente de x e y, e posteriormente aplicar o
teorema de Pitágoras para obter F final. 
IV - Se existirem momentos gerados Mg pelas forças em torno do ponto de estudo, é necessário que se calcule cada
um deles com a Equação III.4. Finalmente calcular o momento equivalente com a Equação III.6.
VAMOS VER O PASSO A PASSO
Fonte da Imagem:
1° Passo – Definir o ponto de estudo. 
O ponto de estudo é o ponto P onde fica a roda travada, como mostra a Figura IV.2.
Fonte da Imagem:
2° Passo - Decompor os vetores r, F e M nas suas componentes. Determinado os comprimentos r , r e r , tem as
perpendiculares mostradas na Figura IV.3.
Fonte da Imagem:
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As forças F , F e F têm as seguintes componentes, mostradas na Figura IV.4.
1 2 3
1 2 3
Fonte da Imagem:
Fonte da Imagem:
3° Passo – Calcular força equivalente em cada eixo perpendicular. 
No eixo horizontal: F = F1x + F2x + F3x = 1507,5N 
No eixo vertical: F = F1y + F2y + F3y = -400,3N
Fonte da Imagem:
eqx
eqy
3° Passo (Continuação) – Usando o teorema de Pitágoras para as componentes perpendiculares: 
 
O ângulo dessa força é: 
Fonte da Imagem:
4° Passo – Calcular os momentos gerados. 
Aplicando o Teorema de Varignon, calcula-se os momentos gerados por cada componente das forças. Nesse caso só a
componente F x não gera momento no ponto P, pois fica no mesmo sentido e não gera um momento de giro. Então os
momento gerados pelas componentes das força são:
Fonte da Imagem:
3
5° Passo – Calcular o momento equivalente utilizando a Equação IV.6. 
Então o momento equivalente é igual a M = 1583,7Nm e sentido horário (devido ao sinal negativo). 
A resposta será então que o sistema equivalente das três forças atuantes no carro em relação ao ponto P é igual a ter
uma força de 1559,8N, com um ângulo de 14,87º, sentido horário (negativo) em relação ao eixo horizontal e um
momento de 1583,7Nm também em sentido horário.
SOLUÇÃO PELO MÉTODO VETORIAL
FORMULAÇÃO VETORIAL METODO DE SOLUÇÃO PARA TEORMA DE VARIGNON 
I - Definir o ponto de estudo. 
II - Decompor os vetores r, F e M nas suas componentes. 
III - Calcular a força equivalente com a Equação III.5 e posteriorm ente aplicar o teorema de Pitágoras para obter F final. 
IV - Se existir momentos gerados Mg pelas forças em torno do ponto de estudo, é necessário que se calcule cada um
deles com a Equação III.4 e definir o Teorema de Varignon. 
V - Finalmente calcular o momento equivalente com a Equação III.6.
VAMOS VER O PASSO A PASSO
Fonte da Imagem:
1° Passo – Definir o ponto de estudo. 
O ponto de estudo é o ponto P onde fica a roda travada. 
2° Passo – Decompor os vetores r, F e M nas suas componentes. 
Cada valor de comprimento r , r e r , é considerado ponto de referência P até o ponto de aplicação de cada força. 
eq
1 2 3
F1, F2 e F3x, respectivamente. Sendo assim, as componentes dos vetores são mostradas na Figura I.40. 
Fonte da Imagem:
3° Passo – Calcula-se a força equivalente. 
Com essas componentes, podemos calcular a magnitude e a direção total da força equivalente, cujos resultados são
mostrados na Figura IV.5. 
 
Usando o teorema de Pitágoras para as componentes perpendiculares: 
Fonte da Imagem:
4° Passo – Calcular os momentos gerados: 
Como nenhuma força é aplicada diretamente no ponto P, então, todas as forças geram momentos.
Fonte da Imagem:
5° Passo – Calcular o momento equivalente utilizando a Equação IV.6. 
O momento equivalente é a soma dos momentos aplicados mais os momentos gerados: 
 
Lembre-se de que nesse caso não existam momentos aplicados, somente existirão os momentos gerados pelas
forças, então: 
 
Somando os três momentos: 
 
A magnitude do momento equivalente é M = 1583,7Nm, e o sentido do vetor é para baixo –z indicando que o sentido
de giro é horário. Então a resposta é a seguinte, o sistema equivalente no ponto P das três forças é ter uma força e um
momento no ponto P, das magnitudes F e M obtidas.
ATIVIDADE PROPOSTA
Um elemento estrutural está sujeito a um momento M, e a forças F1 e F2, como mostrado na Figura IV.6. Substitua
esse sistema por uma força resultante e um momento equivalentes que atuem em sua base no ponto O. 
Aplique a solução pelo Método Escalar 
FORMULAÇÃO ESCALAR: METODO DE SOLUÇÃO PARA TEORMA DE VARIGNON. 
I - Definir o ponto de estudo. 
II - Decompor os vetores r, F e M nas suas componentes. 
III - Calcular a força equivalente com a Equação III.5, para cada componente de x e y, e posteriormente aplicar o
teorema de Pitágoras para obter F final. 
IV - Se existir momentos gerados Mg pelas forças em torno do ponto de estudo, é necessário que se calcule cada um
deles com a Equação II.4. 
V - Finalmente calcular o momento equivalente com a Equação II.6. 
Resposta Correta
eq
eq eq
Glossário