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AULA 1
FÍSICA II
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
VALDIR BINDILATTI
AULA 1 – MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
OSCILAÇÕES MECÂNICAS
CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕES
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
SISTEMA MASSA-MOLA
ENERGIA NO SISTEMA MASSA-MOLA
ENERGIA E AMPLITUDES
OSCILAÇÕES MECÂNICAS
INTRODUÇÃO
I OSCILAÇÕES MECÂNICAS: MOVIMENTO DE UM
SISTEMA EM TORNO DE SUA POSIÇÃO DE
EQUILÍBRIO ESTÁVEL, QUE SE REPETE
CICLICAMENTE.
I EXEMPLOS:
I OSCILADORES SIMPLES:
PÊNDULOS, SISTEMAS TIPO MASSA–MOLA
I OSCILADORES COMPOSTOS:
CORDAS DE UM INSTRUMENTO
SOM (OSCILAÇÕES DE DENSIDADE/PRESSÃO
NO AR)
VIBRAÇÕES DE UM SÓLIDO
CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕES
AMPLITUDE
I AMPLITUDE: SE RELACIONA COM A EXTENSÃO
DO MOVIMENTO OSCILATÓRIO.
QUANDO O MOVIMENTO É SIMÉTRICO EM
TORNO DO PONTO DE EQUILÍBRIO, ELA É
DEFINIDA COMO O MAIOR AFASTAMENTO
DESTE PONTO.
CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕES
PERÍODO E FREQUÊNCIA
I PERÍODO T : DURAÇÃO DE UM CICLO
COMPLETO DA OSCILAÇÃO
I PARA SISTEMAS COM ENERGIA CONSTANTE,
TODO CICLO TEM A MESMA DURAÇÃO
I FREQUÊNCIA f : NÚMERO DE CICLOS
REALIZADOS POR UNIDADE DE TEMPO
f = 1/T
I NO SI A UNIDADE DE BASE PARA A FREQUÊNCIA
É CHAMADA hertz, Hz = s−1, EQUIVALENTE A
UM CICLO POR SEGUNDO.
CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕES
PERÍODO E FREQUÊNCIA
I PÊNDULOS DE COMPRIMENTO EM TORNO DE
1 m TÊM PERÍODOS DA ORDEM DE 2 s E
FREQUÊNCIAS DA ORDEM DE 0,5 Hz.
I FAIXA AUDÍVEL HUMANA: DE 20 Hz a 15 kHz.
I SÓLIDOS PODEM VIBRAR COM FREQUÊNCIAS
DE ATÉ GHz.
I LUZ VISÍVEL (OSCILAÇÃO DO CAMPO
ELETROMAGNÉTICO): DE 375 THz A 750 THz.
CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕES
ILUSTRAÇÃO
I O SISTEMA MASSA-MOLA E O PÊNDULO.
Xeq=X0 X→
0 x→
Massa-mola A=6,00 uL
T=4,00 uT
−1 0 +1
17
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20
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25
t/uT
x/A v/
√
k/mA
L
θ
s →
Peˆndulo
θma´x=90,0
o
T=4,00 uT
−1 0 +1
17
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19
20
21
22
23
24
25
t/uT
θ/θma´x
dθ
dt /
√
g/Lθma´x
CARACTERÍSTICAS DAS OSCILAÇÕES
ILUSTRAÇÃO
I O SISTEMA MASSA-MOLA E O PÊNDULO.Xeq=X0 X→
0 x→
Massa-mola A=6,00 uL
T=4,00 uT
−1 0 +1
17
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22
23
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t/uT
x/A v/
√
k/mA
L
θ
s →
Peˆndulo
θma´x=90,0
o
T=4,00 uT
−1 0 +1
17
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20
21
22
23
24
25
t/uT
θ/θma´x
dθ
dt /
√
g/Lθma´x
I ANIMAÇÃO
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
I OBSERVAMOS QUE O PERÍODO DO PÊNDULO
DEPENDE DA AMPLITUDE DA OSCILAÇÃO,
ENQUANTO O DO SISTEMA MASSA-MOLA NÃO.
I A INDEPENDÊNCIA DO PERÍODO COM A
AMPLITUDE É UMA CARACTERÍSTICA DO
MOVIMENTO OSCILATÓRIO MAIS SIMPLES
POSSÍVEL: O MOVIMENTO HARMÔNICO.
I NESTE CONTEXTO, HARMÔNICO SIGNIFICA QUE
PODE SER REPRESENTADO USANDO AS
FUNÇÕES SENO/COSSENO.
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
I O MOVIMENTO DO SISTEMA MASSA-MOLA É UM
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS). O
MOVIMENTO DO PÊNDULO NÃO É HARMÔNICO.
I O MOVIMENTO HARMÔNICO É IMPORTANTE
POR SUA SIMPLICIDADE E PORQUE APROXIMA
O MOVIMENTO DE QUALQUER OSCILADOR
QUANDO O DESLOCAMENTO DO EQUILÍBRIO É
SUFICIENTEMENTE PEQUENO.
I VAMOS ESTUDÁ-LO, UTILIZANDO O SEU
PROTÓTIPO MECÂNICO MAIS SIMPLES: O
SISTEMA MASSA–MOLA.
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
PROTÓTIPO: SISTEMA MASSA–MOLA
I CORPO DE MASSAm PRESO A UMA MOLA DE
MASSA DESPREZÍVEL E CONSTANTE ELÁSTICA
k, FIXA NUMA DAS EXTREMIDADES
Xeq=X0 X→
0 x→
Massa-mola
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
PROTÓTIPO: SISTEMA MASSA–MOLA
I POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO: MOLA RELAXADA
X = X0 = Xeq
I FORÇA RESTAURADORA: FORÇA ELÁSTICA
F = Fk = −k(X −Xeq) = −k x
I DEFINIMOS x COMO O DESLOCAMENTO DA
POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO: x ≡ X −Xeq
Xeq=X0 X→
0 x→
Fk
Massa-mola
SISTEMA MASSA–MOLA
FORÇAS
I SE O CORPO PENDE DA VERTICAL
O PESO, P = mg, DESLOCA A
POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO.
I CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO:
Fk−P = 0⇒ Xeq = X0 − mg
k
Xeq
X↑
X0
0
x↑
P
Fk
F
SISTEMA MASSA–MOLA
FORÇAS
I FORÇA RESULTANTE:
F = Fk−P = −k
(
X−X0 + mg
k
)
I FORÇA RESTAURADORA, AINDA DA
FORMA
F = −k(X −Xeq) = −k x
Xeq
X↑
X0
0
x↑
P
Fk
F
SISTEMA MASSA–MOLA
SEGUNDA LEI DE NEWTON
I APLICADA AO BLOCO DO SISTEMA
MASSA-MOLA
ma = F = −kx, com a = dv
dt
=
d2x
dt2
I EQUAÇÃO DIFERENCIAL SEGUNDA ORDEM,
LINEAR E HOMOGÊNEA, PARA A FUNÇÃO x(t).
d2x
dt2
+
k
m
x = 0
I ANTES DE RESOLVER ESTA EQUAÇÃO, VAMOS
EXPLORAR AS RELAÇÕES DA ENERGIA COM AS
PROPRIEDADES DA OSCILAÇÃO.
ENERGIA NO SISTEMA MASSA-MOLA
I ENERGIA POTENCIAL,
(INCLUINDO A
GRAVITACIONAL QUANDO
FOR O CASO):
U(X) = Ueq +
1
2kx
2
I VELOCIDADE:
v =
dX
dt
=
dx
dt
I ENERGIA CINÉTICA:
K = 12mv
2
Xeq=X0 X→
0 x→
Fv
Massa-mola
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
0 
5 
10
15
20
25
x/uL
E−Ueq
1
2
kuL2
U−Ueq
K
ENERGIA NO SISTEMA MASSA-MOLA
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
I NA AUSÊNCIA DE
FORÇAS DISSIPATIVAS,
A ENERGIA MECÂNICA,
E = U +K , É
CONSTANTE:
E − Ueq = 12kx2 + 12mv2
= 12kx
2
0 +
1
2mv
2
0
Xeq=X0 X→
0 x→
Fv
Massa-mola
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0 
5 
10
15
20
25
x/uL
E−Ueq
1
2
kuL2
U−Ueq
K
ENERGIA E AMPLITUDES
I PONTOS DE RETORNO:
v = 0⇒ x2r = 2k (E − Ueq)
I AMPLITUDE DA
OSCILAÇÃO: A = |xr|
I AMPLITUDE DA
VELOCIDADE:
x = 0⇒ v2max = 2m (E − Ueq)
I vmax =
√
k/mA
Xeq=X0 X→
0 x→
F v
Massa-mola
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
0 
5 
10
15
20
25
x/uL
E−Ueq
1
2
kuL2
U−Ueq
K
ENERGIA E AMPLITUDES
I RELAÇÃO ENTRE A ENERGIA E AS AMPLITUDES:
E − Ueq = 12kx2 + 12mv2 (qualquer posição)
= 12kx
2
0 +
1
2mv
2
0 (condições iniciais)
= 12kA
2 (pontos de retorno)
= 12mv
2
max (posição de equilíbrio)
ENERGIA E AMPLITUDES
ILUSTRAÇÃO
I A SEGUINTE ANIMAÇÃO ILUSTRA AS OSCILAÇÕES
NO SISTEMA MASSA-MOLA.
Xeq=X0 X→
0 x→
Fv
Massa-mola A=4,00 uL
T=4,00 uT
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
0 
2 
4 
6 
8 
10
12
14
16
x/uL
E−Ueq
1
2
kuL2
U−Ueq
K
−1 0 +1
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
t/uT
x/A v/ωA
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
RESUMO
I OBSERVAMOS A RELAÇÃO ENTRE AS
OSCILAÇÕES DOS PARES DE GRANDEZAS:
I DESLOCAMENTO DO EQUILÍBRIO/FORÇA
RESTAURADORA (ACELERAÇÃO),
I POSIÇÃO/VELOCIDADE, E
I ENERGIA CINÉTICA/ENERGIA POTENCIAL.
I PARA CONHECER OS DETALHES DA EVOLUÇÃO
TEMPORAL E O PERÍODO DA OSCILAÇÃO,
TEMOS QUE RESOLVER A EQUAÇÃO DE
MOVIMENTO.
	OSCILAÇÕES MECÂNICAS
	MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES