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2! Lista de Exercícios - Vetores
1. Dois vetores a e b tem, respectivamente, modulos ! e " e fazem um ângulo # entre si,
como indicado na gura abaixo. Pede-se: (a) represente na gura o vetor S = a + b$
(b) calcule as componentes cartezianas dos vetores a e b e escreva estes vetores em
função dos vetores unitários %ˆ e &ˆ indicados, (c) determine o módulo do vetor S.
[Respostas: b) a = ! %ˆ$ b =" cos# %ˆ+" sin# &ˆ; c) ' =
!
!2 + "2 + 2!" cos #]
2. Dados os vetores: a =2ˆ%"3&ˆ e b =" %ˆ+2&ˆ$ determine o ângulo entre eles.
[Resposta: 173o]
3. Considere os vetores: a = !"ˆ%+!# &ˆ e b = ""ˆ%+"# &ˆ( (a) represente em termos dos unitários
%ˆ e &ˆ os vetores: c = a+ b e d = a" b, (b) calcule ) = |a+ b| e * = |a" b|(
4. Sendo o vetor S = a+ b com a =(5++) %ˆ+(3",)&ˆ e b =(1++) %ˆ+(1+2,)&ˆ$ e sabendo
que S = 3 %ˆ+ 5 &ˆ$ determine + e ,.
[Respostas: + = "3-2$ , = 1]
5. Se um vetor a tem módulo !$ um vetor b tem módulo " e a soma c = a+b tem módulo
), mostre que !+ " # ) # |!" "| (
6. Considere dois vetores a e b com módulos iguais mas direções diferentes. Calcule o
ângulo entre os vetores c = a+ b e d = a" b.
[Respostas: !$% = 90&]
7. Frequentemente um vetor r no espaço em tres dimensões é dado pelas suas componentes
esféricas .$ #$ /, onde . é o seu módulo, # é o ângulo que o vetor faz com o eixo-0 e / é o
ângulo que sua projeção no plano 1"2 faz com o eixo"1$ como representado na gura
abaixo. Suas componente cartezianas podem ser escritas como: 1 = . sin # cos/; 2 =
. sin # sin/ e 0 = . cos #( Pede-se: Sendo !$ #!$ /! e "$ #'$ /' respectivamente as
componentes esféricas dos vetores a e b$ mostre que o ângulo !!' entre estes vetores é
dado pela relação
cos (!!') = sen (#!) sen (#') cos (/! " /') + cos (#!) cos (#')
y
xi
j
b
a!
P
P '
x
y
z
!
"
rP
Problema 1 Problema 5
1