P1 GA

Prévia do material em texto

P1 - Geometria Analítica - 1o semestre/2017
(05/05/2017)
NOME: R.A:
(Questão 1)[1,50] Sejam A, B e C pontos distintos e p um número real. Seja X o ponto tal
que
−−→
AX = p
−−→
AB. Exprima
−−→
CX em função de
−→
CA,
−−→
CB, p.
(Questão 2)[2,00] Escolha apenas uma entre as questões abaixo e resolva:
(2.1) Seja E = (
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ) uma base ortonormal. Sendo −→u = 1√
3
(
−→
i +
−→
j − −→k), −→v =
1√
2
(
−→
j +
−→
k ) e −→v = 1√
6
(2
−→
i − −→j + −→k ), prove que F = (−→u ,−→v ,−→w ) é uma base ortonormal e
calcule as coordenadas do vetor −→a = 3−→i − 2−→j −−→k em relação à base F.
(2.2) Mostre que se E = (−→e1 ,−→e2 ,−→e3) e F = (−→f1 ,−→f2 ,−→f3) são bases ortonormais, então a matriz
M de mudança de base de E para F satisfaz M.M t = I, onde I é a matriz identidade.
(Questão 3)[2,00] A cada uma das sentenças abaixo, responda se é verdadeiro ou falso. Em
caso de VERDADEIRO, prove. Caso seja FALSO, dê um contra-exemplo.
(a) (−→u ,−→v ,−→w ) LD ⇒ (−→u ,−→v ) LD.
(b) (−→u ,−→v ,−→w ) LD ⇒ (−→u ,−→v ) LI.
(c) (−→u ,−→v ) LI ⇒ (−→u ,−→v ,−→w ) LD.
(d) (−→u ,−→v ) LI ⇒ (−→u ,−→v ,−→w ) LI.
(Questão 4)[1,50]
(a) Prove que se E = (−→e1 ,−→e2 ,−→e3) é uma base ortonormal, então todo vetor−→u pode ser escrito
como −→u = proj−→e1−→u + proj−→e2−→u + proj−→e3−→u .
(b) Prove que se −→u e −→v são linearmente independentes, e −→w∧−→u = −→w∧−→v = −→0 então −→w = −→0 .
(c) Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores −→u = (2,−2, 0),−→v =
(0, 1, 0),−→w = (−2,−1,−1).
(Questão 5)[1,50]Ache−→u de norma√5, ortogonal a (2, 1,−1), tal que (−→u , (1, 1, 1), (0, 1,−1))
seja LD.
(Questão 6)[1,50]
(a) É possível escrevermos −→a = (2, 3, 1) como combinação linear de −→u = (1, 0, 2),−→v =
(0,−2, 1) e −→w = (1,−4, 4)? Se sim, como? Se não, justifique. Em ambos, interprete à luz dos
conceitos de dependência(LD) e independência linear(LI).
(b) Sejam E = (−→e1 ,−→e2 ,−→e3) uma base, −→u = −→e1 +−→e2 ,−→v = −→e1 +−→e2 +−→e3 e −→w = a−→e1 + b−→e2 + c−→e3 .
Deduza uma condição necessária e suficiente sobre a, b e c para que (−→u ,−→v ,−→w ) seja base.
Ótima prova!!!