Estruturas de aço e madeira 1 de 2

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ESTRUTURAS DE AÇO E 
MADEIRA
AULA 1
Professor: Emanoel Messias de Oliveira
Engenheiro Civil Especialista em Estruturas
Engenheiro de Projetos de Tubulações Industriais
E-mail: messi194070@gmail.com
PRINCIPAIS PROPRIEDADES DE FIGURAS 
PLANAS
1. ÁREA (A)
2. MOMENTO ESTÁTICO (Ms)
3. CENTRO DE GRAVIDADE (CG)
4. MOMENTO DE INÉRCIA (I)
5. MÓDULO DE RESITÊNCIA (W)
6. RAIO DE GIRAÇÃO (i)
• EXERCÍCIO
1- ÁREA
Superfície limitada pelo contorno. Composição de formas
geométricas simples ou complexas.
Unidade: L2
2- MOMENTO ESTÁTICO
Elemento de superfície. É o produto da área do elemento pela
distância que o separa de um eixo de referência de uma
superfície plana.
Msx = ydA
Msy = xdA
Unidade: L3
2- MOMENTO ESTÁTICO
Ms de uma superfície composta de várias figuras é a
somatória dos momentos estáticos de cada figura.
Msx1 = yCG . A1
Msx2 = yCG . A2
Msx3 = yCG . A3
Msx = Msx1+Msx2+Msx3
Msx = Msx1 – Msx2
3- CENTRO DE GRAVIDADE
Centro de gravidade ou centroide é o centro geométrico,
onde se concentra o peso (P) de um corpo ou objeto.
xCG =
୑ୱ୷
୅
=
ଵ
୅
∫ xdA୅
yCG =
୑ୱ௫
୅
=
ଵ
୅
∫ ydA୅
3- CENTRO DE GRAVIDADE
Exemplo:
A = bh; da = bdy; A = bh
Msx = ∫ ydA୅ = ∫ bydy= b
௛
଴
௬మ
ଶ
∫
௛
଴
Msx =
ୠ୦మ
ଶ
yCG =
୑ୱ௫
୅
=
ୠ୦మ
ଶୠ୦
=
୦
ଶ
4- MOMENTO DE INÉRCIA
Trata-se de grandeza, a qual verifica a resistência de uma área
definida, solicitada ao giro em torno de um eixo conhecido.
Representa-se pelas letras I ou J. Assim, as equações abaixo
definem a resistência que a figura oferece ao giro em torno
do eixo x e y, respectivamente. dA é um elemento de área
infinitesimal, x é a medida do elemento de área ao eixo y e y é
a medida do elemento de área ao eixo x.
Ix = ∫ yଶdA୅
Iy = ∫ ݔଶdA୅
Unidade: L4
4- MOMENTO DE INÉRCIA
Exemplo de cálculo de figura genérica:
Ix = ∫ yଶdA୅ ; dA= bdy; Ix = ∫ by
ଶdݕ = 
ୠ୷య
ଷ
∫
୦/ଶ
ି୦/ଶ
୦/ଶ
ି୦/ଶ
Ix → IxCG = 
ୠ
ଷ
୦
ଶ
ଷ
−
ି୦
ଶ
ଷ
= 
ୠ
ଷ
୦య
଼
+
୦య
଼
= 
ୠ
ଷ
ଶ୦య
଼
= 
ୠ୦య
ଵଶ
Unidade: L4
4- MOMENTO DE INÉRCIA
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS OU TRANSLAÇÃO DE EIXOS 
Equações simplificadas para o cálculo de momentos de
inércia de figuras, cujos eixos principais são paralelos a outros
eixos de referência.
Ix = IxCG+Ay2CG 
Iy = IyCG+Ax2CG 
IxCG = 
ୠ୦య
ଵଶ
; A = bh
y2CG = 
୦
ଶ
ଶ
ICG = 
ୠ୦య
ଵଶ
com Ix = IxCG+ Ay2CG; Ix = 
ୠ୦య
ଵଶ
+ bh
୦
ଶ
ଶ
Ix = 
ୠ୦య
ଵଶ
+ 
ୠ୦య
ସ
= 
ୠ୦యାଷୠ୦య
ଵଶ
= 
ସୠ୦య
ଵଶ
= 
ୠ୦య
ଷ
5- MÓDULO RESISTENTE
Módulo resistente de uma superfície plana em relação aos
eixos que contém o CG é a razão entre o momento de inércia
relativo ao eixo que passa pelo CG da figura e a distância
máxima entre o eixo e a extremidade da seção.
wx = 
୍େୋ
୷୫á୶.
; wy = 
୍େୋ
୶୫á୶.
; Unidade em L3
Utiliza-se em peças sujeitas a flexão.
ICG = 
ୠ୦య
ଵଶ
; WX = 
ౘ౞య
భమ
౞
మ
= 
ୠ୦మ
଺
6- RAIO DE GIRAÇÃO
É a raiz quadrada da relação entre o momento de inércia e a
área da superfície.
Utiliza-se para o cálculo de flambagem em colunas.
r = 
୍
୅
Unidade: 
୐ర
୐మ
 = L
EXERCÍCIO
Determinar para a figura:
1. O centro de gravidade
2. O momento de inércia em relação ao eixo x
3. Os módulos resistentes superior e inferior
4. Raio de giração
EXERCÍCIO
Módulos resistentes
Altura total da peça = 61,1 cm; 61,1 cm – 30,55 cm = 30,55 cm = ysup.
yinf. = 30,55 cm 
wsup = winf = 
ଵଶ଻଼ଶଵ
ଷ଴,ହହ
= 4183,98 cm3
Raio de giração
rx = 
୍୶
Ʃ୅
= 
ଵଶ଻଼ଶଵ
ଵଽହ,଼ଽଵ
= 25,544 cm
1 32,4 1,90 61,560 0,95 58,482 18,519 74,077
2 1,27 57,30 72,771 30,55 2223,154 19910,691 87828,048
3 32,4 1,90 61,560 60,15 3702,834 18,519 222743,984
195,891 5984,470 30,55 310646,109 127821
Ai (cm2) 
bh
yCGi (cm)
Total
FIG bi (cm) hi (cm) Msxi (cm
3) 
AyCG
CG (cm) 
ƩMsx/ƩA
ICGi(cm4) 
bh3/12
Ixi (cm4) 
ICGi+A(yCG)2
IX (cm
4) 
ƩIxi - Ʃ(Msxi)2/ƩA
EXERCÍCIO
Repetir o exercício anterior, calculando:
1. O centro de gravidade
2. O momento de inércia em relação ao eixo y
3. Os módulos resistentes superior e inferior
4. Raio de giração em y
Este exercício deve ser entregue como parte da avaliação para compor a
AV1. Pode ser feito em grupo, até dia 25/05/2017.
REFERÊNCIAS
HALLACK, Prof. Afonso Celso de Castro. et. al. Apostila de Resistência
dos Materiais I. Juiz de Fora: Universidade Federal de Juiz de Fora, 2013.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7ª edição. São Paulo:
Pearson, 2010.