Estruturas de Concreto Armado 1 - Parte 1 - 2012 - Em Revisão

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Sumário
21.	Introdução	�
21.1. Histórico	�
51.2. Importância do estudo do concreto armado	�
51.3. Constituição simplificada do concreto armado	�
91.4. Vantagens e desvantagens do emprego do concreto armado	�
101.5. Algumas aplicações do concreto armado	�
121.6. Normas técnicas	�
141.7. BIBLIOGRAFIA	�
152.	PROPRIEDADES DO CONCRETO E DOS AÇOS UTILIZADOS COMO ARMADURAS	�
152.1. Estrutura interna	�
162.2. Deformações do concreto	�
162.2.1.	Retração e expansão do concreto	�
172.2.2.	Deformações produzidas por tensões	�
182.2.3.	Módulo de Elasticidade	�
192.3. Resistências e rigidezes do concreto	�
192.3.1.	Compressão simples	�
�3.		31�
314.	Figura 2.16 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras das peças de concreto armado.	�
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Introdução
Histórico
O concreto armado é um material de construção relativamente novo se comparado com os materiais apresentados na Tabela 1. 
Tabela 1‑1 - Material de construção, época e uso.
	MATERIAL
	PERÍODO
	OBRA
	madeira
	neolítico
	palafitas
	pedra
	4.500 AC
	pirâmides
	metal
	sec. XVII
	cobertura do palácio do Kremlim
	concreto
	sec. XIX
	ponte
O concreto desenvolveu-se a partir da ideia de obter uma pedra artificial resistente, de baixo custo, durável e amoldável. A armação é utilizada de modo a ter um produto capaz de resistir a carregamentos que produzam tensões de tração. A seguir são apresentados cronologicamente os principais fatos relacionados com o desenvolvimento das construções de concreto armado.
	Época
	Evento
	Em 1849: 
	Lambot, na França, construiu a primeira obra de concreto armado que se tem notícia: um barco.
	Em 1861
	François Coignet, França, obteve uma patente para execução de peças de concreto armado.
	Em 1867:
	Monier, França, obteve uma patente para a fabricação de vasos para plantas, e, posteriormente, para tubos , reservatórios, placas e pontes.
	Em 1873:
	W.E.Ward, Estados Unidos, construiu uma casa de concreto armado, Ward’s Castle, existente até os dias de hoje.
	Em 1877
	O norte-americano Thaddeus Hyatt obteve uma patente para um sistema de construção de vigas com estribos e barras dobradas.
	Em 1880:
	Hennebique, França, construi a primeira laje armada com barras de seção transversal circular.
	Em 1884:
	Empresas alemãs Wayss e Freitag adquirem as patentes de Monier para emprego na Alemanha e na Áustria.
	Em 1886:
	O alemão Koenen escreveu o primeiro trabalho sobre o cálculo de elementos estruturais de concreto armado.
	Em 1888:
	Döring, Alemanha, registrou a primeira patente de aplicação de protensão em placas de concreto.
	Em 1892:
	Hennebique, registrou patente de vigas armadas com estribos como as de hoje em dia.
	Em 1897:
	Rabut, França, ministrou o primeiro curso sobre concreto armado na École des Ponts et Chaussées, Paris.
	Em 1902:
	Emil Mörsch, Alemanha, empresa Wayss-Freitag, publicou a primeira edição de sua obra sobre as estruturas de concreto armado, apresentando resultados de ensaios. Ele é considerado por muitos como um dos principais responsáveis pelo desenvolvimento da arte de projetar e construir estruturas de concreto armado.
	Em 1904:
	Alemanha edita a primeira norma sobre o cálculo e construção de estruturas de concreto armado.
Figura 1.1 - Detalhe de armação de uma ponte concebida conforme a patente de Monier.
 (WITTFOHT [1975] pág. 107).
Figura 1.2 - - Primeira ponte de concreto armado do mundo. Construída em 1875 nos jardins do palácio do Marquês Tiliêre de Chazelet, França. (WITTFOHT [1975] pág. 108)
Figura 1.3 - Arco com vão de 40 metros. Exposição de Bremen em 1890. (WITTFOHT [1975] pág. 108).
Os principais eventos relacionados com o desenvolvimento do concreto armado no Brasil são apresentados a seguir.
 
Em1908: Inauguração da primeira obra em concreto armado no Brasil, Rio de Janeiro, uma ponte projetada por Hennebique com 9 metros de vão.
Em 1912: Deu-se a fundação da primeira a empresa - Companhia Construtora de Concreto Armado, no Rio de Janeiro. Mais tarde, essa empresa foi incorporada pela Wayss-Freitag, ficando Riedlinger, o fundador, no cargo de engenheiro-chefe.
Em 1929: Emílio Henrique Baumgart construiu a ponte sobre o Rio do Peixe, Joaçara-Herval do Oeste, SC, empregando processo construtivo original, hoje denominado de processo dos balanços progressivos, com 68 metros de vão sendo recorde mundial em vão de viga de concreto armado por muito tempo.
Em 1930: Inauguração do maior edifício de concreto armado do mundo nessa época, o Edifício A Noite, construído e projetado por Emílio Baumgart.
Nos anos 40 e anos 50 têm-se as seguintes obras de importância: o Pavilhão de Exposições de São Cristóvão, projetado por Paulo Rodrigues Fragoso; o Estádio Mário Filho, o Maracanã, projetado por Antônio Alves de Noronha; as Obras da Pampulha e os principais edifícios Públicos de Brasília projetados por Joaquim Cardoso.
Merecem destaque as obras: Ponte sobre o Rio Cuiabá, em concreto protendido, projetada por Aderson Moreira da Rocha; a ponte sobre o Rio Tocantins, na rodovia Belém-Brasília, recorde mundial até 1965, projeto do Eng. Sérgio Marques. O edifício Itália, situado na cidade de São Paulo e a Torre do Rio-Sul, no Rio de Janeiro. Também o conjunto das obras do arquiteto Oscar Nimeyer.
Importância do estudo do concreto armado
Quase todas as atividades de engenharia civil estão relacionadas direta ou indiretamente com obras de concreto, os exemplos abaixo comprovam isso:
1. nos edifícios alguns elementos sempre serão de concreto armado (fundações, pisos);
2. nas obras hidráulicas e de saneamento, as barragens, os canais, os tubos, os reservatórios com grande capacidade de armazenamento, etc, são construídos de concreto armado ou concreto protendido;
3. nas obras do sistema de transportes as pontes, os viadutos, as estruturas de contenção, os revestimentos dos túneis, etc;
4. em obras industriais tais como silos, chaminés, pavimentos, fundações de máquinas, etc.
Constituição simplificada do concreto armado
O concreto armado é um produto resultante da associação de dois materiais, o concreto simples e a armação, que solidariamente resistem a ações. A solidariedade é devida a aderência.
O concreto simples é um material formado pela mistura adequadamente proporcionada de materiais inertes com um aglomerante hidráulico e a água. Entende-se por materiais inertes os agregados miúdos e graúdos. Os agregados podem ser naturais, como as areias e os pedregulhos, obtidos artificialmente, como o pedrisco e a pedra britada e, os artificiais, como a argila expandida e as britas de tijolos de barro.
Conforme a norma NBR 7211:2009, Agregados para concreto: especificação, agregado miúdo é o material que passa pela peneira no 4. O agregado graúdo é a pedra britada e o cascalho e a classificação está apresentada na Tabela 2.
Tabela 1‑2 - Classificação dos agregados graúdos.
	TIPO
	BRITA 0
	BRITA 1
	BRITA 2
	BRITA 3
	BRITA 4 
	BRITA 5
	
DIMENSÕES (mm)
	
4,8 a 9,5
	
9,5 a 19
	
 19 a 25 
	
25 a 50 
	
 50 a 76
	
 76 a 100
Para um dado concreto de uma estrutura as dimensões dos agregados são determinadas em função das dimensões das peças a serem concretadas.
Os aglomerantes hidráulicos empregados são os seguintes: Cimento Portland comum, Cimento Portland de alta resistência inicial, Cimento Portland de alto forno e Cimento Portland pozolânico.
A constituição do concreto simples, de um ponto de vista muito simplificado, é a de um material formado de argamassa e agregado graúdo. A argamassa é um material composto de uma pasta e agregado miúdo e, por sua vez, a pasta é constituída de cimento e água.
O concreto simples tem resistência à compressão fc elevada e resistência à tração ft muito pequena, da ordem de 10% de fc.
Aplicação estrutural do concreto simples é muito restrita, limitada em peças onde as tensões de tração apresentampequena magnitude, tais como os blocos de fundações e as bases dos tubulões. Normalmente, esses elementos estruturais têm dimensões definidas em função da resistência do solo, portanto, as tensões produzidas pelo carregamento na peça de concreto são pequenas.
O concreto simples é inadequado para a confecção de peças fletidas. Prova-se isto resolvendo Problema 1 abaixo apresentado.
Problema 1.
Determinar a carga máxima que pode ser aplicada à viga da figura 1.4. A seção transversal da viga é retangular com largura b=20 cm e altura h=30 cm. A resistência à tração do concreto é fct = 1 MPa.
Figura 1.4 – Problema 1.
A carga máxima resulta do atendimento da seguinte condição de segurança: 
, sendo: 
 e 
.
Então: 
Determinando o peso por unidade de comprimento da viga: g = (25 X10-6) bh = 0,015kN/cm.
Logo, a viga não tem utilidade prática, porque a resistência é totalmente consumida para suportar o peso próprio sem apresentar reserva de resistência para um carregamento útil.
O material concreto armado apresenta desempenho estrutural adequado por causa da aderência entre o concreto simples e o aço utilizado como armadura. A aderência possibilita ter a deformação da armadura igual à deformação do concreto, portanto os dois materiais resistem a solicitação.
Figura 1.5 - Aderência armação – concreto. (PINHEIRO & GIONGO [1992], pág. 8)
A viga com armadura solta ao ser carregada apresenta o seguinte comportamento: o concreto da viga na região inferior adjacente à armadura alonga-se, enquanto a armação, por estar solta, escorrega em relação ao concreto, apenas se encurvando.
Numa peça com armadura solidária as deformações na parte inferior tracionada são as mesmas tanto no aço quanto no concreto, apresentando comportamento de um conjunto.
Para esclarecer esse fato considere o Problema 2 a seguir.
Problema 2
Estimar a carga p resistida por uma viga semelhante à da figura 1.3, armada com As = 375 mm2 de aço para o qual a tensão de tração máxima (st é de 200 MPa. 
Admite-se existir aderência entre a armação e o concreto e, toda a tração ser resistida pela armadura. Esse comportamento está sintetizado na figura 1.6.
Figura 1.6 – Problema 2: seção transversal, deformações e tensões.
Adotando as hipóteses da Resistência dos Materiais para o estudo das tensões em vigas, a força p é determinada pela condição:
,
 cujo significado é momento interno resistente ( solicitação externa.
Sendo:
Fs = força de tração na armadura = As (st,
z = braço de alavanca dos esforços internos,
,
x = posição da Linha Neutra na seção transversal, dada por:
 
, com 
.
Sendo conhecidos os parâmetros As= 375 mm2 , b = 200 mm, d = 300 - 30 = 270 mm, substituindo tem-se que: 
	
.
Logo:
.
Dessa forma, constata-se que a simples adição de três barras de 12,5 mm de diâmetro (As ( 375 mm2 ), resultou numa viga com resistência 6 vezes maior que a peça de concreto simples.
Vantagens e desvantagens do emprego do concreto armado
Todo material de construção apresenta vantagens e desvantagens quanto ao emprego, porém, no geral, alguns materiais são especialmente indicados para certas aplicações. Na Tabela 3 são apresentadas as principais vantagens e desvantagens do emprego do concreto armado nas obras usuais de engenharia.
 
Tabela 1‑3 - Vantagens e desvantagens do uso do concreto armado.
	Vantagens
	Desvantagens
	Boa resistência à maioria das solicitações, as armaduras são colocadas de acordo com as tensões.
	Peso próprio elevado, fator 
 desfavorável.
	Material de custo baixo, os agregados podem ser obtidos nas proximidades da obra e a mão-de-obra para a construção não precisa ser especializada.
	reformas, adaptações e reforços são trabalhosos e caros.
	Material durável, resistente ao fogo, às influências atmosféricas e ao desgaste mecânico.
	Oferece pouca isolação de temperatura e de som.
	É apropriado para estruturas monolíticas e por serem hiperestáticas apresentam boa capacidade de redistribuição de esforços.
	Apresenta grande probabilidade de fissurar, que pode comprometer a estanqueidade das construções e o aspecto estético.
	É um material amoldável que possibilita grande variabilidade de concepções arquitetônicas.
	
Algumas aplicações do concreto armado
Figura 1.7 - Viga contínua de edifício .
Figura 1.8 - Laje de Piso.
Figura 1.9 - Pilar de edifício.
Normas técnicas 
Há mais de duas centenas de normas técnicas brasileiras relacionadas com o projeto, a construção e o controle de qualidade das estruturas de concreto, as principais estão indicadas a seguir.
ABNT NBR 15696:2009 - Fôrmas e escoramentos para estruturas de concreto: Projeto, dimensionamento e procedimentos executivos.
ABNT NBR 7482:2008 - Fios de aço para estruturas de concreto protendido: Especificação.
ABNT NBR 7483:2008 - Cordoalhas de aço para estruturas de concreto protendido: Especificação.
ABNT NBR 7480:2007 - Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado: Especificação.
ABNT NBR 6118:2007- Projeto de estruturas de concreto: Procedimento.
ABNT NBR 9062:2006 - Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado
ABNT NBR 15200:2004 - Projeto de estruturas de concreto em situação de incêndio. 
ABNT NBR 14931:2004 - Execução de estruturas de concreto: Procedimento.
ABNT NBR 9607:1986 - Prova de carga em estruturas de concreto armado e protendido: Procedimento.
NBR 8681:1984 - Ações e segurança nas estrutura - Procedimento
PRINCIPAIS NORMAS INTERNACIONAIS
[1] Comité Euro-International du Béton, CEB-FIP Model Code 1990, Thomas Telford Services, London, 1993.
[2] EUROCODE 2
[3] DIN 1045
ENTIDADES NACIONAIS E ESTRANGEIRAS LIGADAS AO ESTUDO E A NORMALIZAÇÃO DO CONCRETO E DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas. Subdividida em comitês técnicos, o CB2 tem interesse na construção civil.
ABCP - Associação Brasileira do Cimento Portland.
IBRACON - Instituto Brasileiro do Concreto.
ACI - American Concrete Institute
CEB - Comité Euro-International du Béton.
DIN- Deutsches Institut für Normung (entidade alemã responsável pela normalização)
FIP - Fédération Internationale de la Precontraite.
RILEM - Reúnion Internationale des Laboratoires d”Essais et de Recherches sur les Materiaux et les Constructions.
BIBLIOGRAFIA 
FUSCO, P.B.- Concreto armado: Solicitações normais. Editora Guanabara Dois, Rio de Janeiro 1982.
LEONHARDT, F.; MÖNING, E. - Construções de concreto armado: Princípios básicos do dimensionamento das estruturas de concreto armado. Vol.1. Tradução David Fridman. Editora Interciência - 1a Reimpressão. Rio de Janeiro, 1979.
PINHEIRO, L.M.; GIONGO, J.S. - Concreto armado: Propriedades dos materiais.
EESC - USP. Publicação 006-92, Reimpressão. São Carlos, 1992.
WITTFOHT, H. - Puentes : Ejemplos internacionales. Tradução Luis A. Mestre. Editorial Gustavo Gili, Barcelona, Espanha, 1975.
ISHITANI, H.; MARTINS, A.R.; DELLA BELLA, J.C.; BITTENCOURT, T.N. – Notas de aulas da disciplina PEF-315. EPPUSP – SP. 1999,
�
 PROPRIEDADES DO CONCRETO E DOS AÇOS UTILIZADOS COMO ARMADURAS
Estrutura interna
Macroscopicamente o concreto é sólido formado por agregados graúdos mais a argamassa que é o meio ligante dos agregados. Microscopicamente tem-se a argamassa constituída de agregado miúdo e pasta, sendo a pasta contendo hidrogel rígido e poros mais uma rede capilar preenchida com ar e água. 
Para explicar a resistência é suficiente considerar a estrutura interna constituída pelo agregado graúdo envolvido por uma matriz de argamassa rígida. Para explicar a deformabilidade deve-se considerar a matriz de argamassa: agregado miúdo e pasta de cimento.
a) 		b)
Figura 2.1 - Estrutura do concreto endurecido. (PINHEIRO & GIONGO[1992])
A água contida na argamassa apresenta-se de três modos: quimicamente fixada, água coloidal nos poros do hidrogel e água livre nos poros e macro-poros.
Deformações do concreto
As deformações no concreto podem decorrer de duas origens as deformações provocadas por influências do meio ambiente e as deformações decorrentes da aplicação de tensões. A retração, a expansão e a dilatação por temperatura são as deformações que aparecem em função da interação com o meio, já, as deformações elásticas, as deformações plásticas e as viscosas (deformação lenta ou fluência) são originadas por tensões.
Retração e expansão do concreto
A retração é redução do volume e ocorre por contração química das moléculas de água na hidratação do cimento; por contração da massa de hidrogel devido a evaporação da água não quimicamente fixada e, pela eventual carbonatação dos produtos decorrentes da hidratação do cimento.
A expansão é aumento de volume e ocorre em peças submersas por causa da absorção de água que preenchem os vazios formados na retração química durante a pega do cimento. 
Na figura 2.2 apresenta-se aspectos do desenvolvimento dos fenômenos verificados experimentalmente.
Figura 2.2 - Retração e expansão de corpos-de-prova de concreto. (LEONHARDT, Vol.1 1972, pág.- 24)
Os fatores que influem na retração são: a composição química do cimento; as quantidades de cimento e de água de amassamento; a finura do cimento e das partículas do agregado; a umidade relativa do ambiente; a idade do concreto e, a quantidade de armação.
Os principais efeitos da retração nas estruturas são: 
a) aparecimento de fissuras nas superfícies das peças, originadas por tensões de tração que decorrem dos impedimentos da retração das porções mais exteriores da peça pelas porções mais internas;
b) aumento das flechas em peças fletidas porque ocorre aumento da deformação da zona comprimida;
c) perdas de protensão, porque ocorre aumento dos encurtamentos do concreto o que produz alívio no pré-tensionamento das armaduras ativas,
d) aparecimento de solicitações adicionais em estruturas com idades diferentes interligadas.
Deformações produzidas por tensões
Todo material se deforma quando é submetido a tensões. As deformações podem ser imediatas ou lentas. A deformação imediata é aquela que aparece tão logo a tensão é aplicada, podendo ser deformação elástica ou deformação plástica.
A deformação elástica desaparece quando é removida a tensão. A deformação plástica permanece como deformação residual ao se descarregar o elemento estrutural (ver fig. 2.3).
Figura 2.3- Diagrama tensão-deformação de um concreto sujeito à compressão. (el = def. elástica, 
(p = def. plástica. 
O comportamento elástico à compressão acontece com tensões de intensidade pequena, com valores máximos variando entre 30% e 50% da resistência. 
A deformação plástica é percebida apenas com o descarregamento. Decorre da destruição interna por compressão ou micro-fissuração provocada por tensões de tração perpendiculares à tensão externa aplicada. É percebida ao descarregar o corpo-de-prova por meio da deformação residual.
A deformação lenta ou fluência é deformação que aparece num concreto submetido à tensão constate durante um intervalo de tempo (ver fig. 2.4).
Observe que a fluência é mais rápida no início e vai tendendo a um valor limite com o passar do tempo. Os principais fatores que influenciam nela são os mesmos da retração e, em especial, a idade do concreto no momento da aplicação da tensão.
Figura 2.4 - Fluência do concreto em compressão.
Módulo de Elasticidade
O diagrama tensão deformação do concreto sujeito à compressão é não linear, entretanto, nas aplicações práticas, na determinação de deformações produzidas pelos carregamentos de serviço e no cálculo das solicitações provocadas pelos carregamentos compatíveis a uma dada situação de projeto, utilizam-se modelos lineares onde o parâmetro é o módulo de elasticidade do concreto.
 
O módulo de elasticidade a ser empregado no projeto é o módulo secante Esc, ilustrado na figura 2.5. Quando não houver determinação experimental esse módulo é estimado em função da resistência à compressão com as expressões a seguir apresentadas.
Figura 2.5 - Ilustração dos módulos de elasticidade do concreto.
Conforme a NBR 6116:2003 o módulo de elasticidade secante é obtido por meio do módulo de elasticidade tangente inicial do seguinte modo:
Ecs = 0,85 Eci onde: 
 valor em MPa.
Resistências e rigidezes do concreto
Compressão simples
Entende-se por resistência de um material a tensão máxima que aplicada em corpos-de-prova do material isentos de defeitos promove o aparecimento de fenômenos particulares de comportamento que não podem ser tolerados em elementos estruturais. Esses fenômenos de comportamento ou são ruptura ou deformação excessiva. 
A resistência à compressão simples é a característica mecânica principal do concreto.Sempre houve grande interesse em relacionar outras propriedades do concreto com a resistência à compressão. Isso porque ela é facilmente determinada, em vista do ensaio não envolver grandes dificuldades e ser executado em prensas muito simples.
A resistência à compressão simples é determinada em corpos-de-prova cilíndricos moldados conforme a NBR 5738 (Moldagem e cura de corpos de prova de concreto cilíndricos ou prismáticos: Procedimento) e obtida num ensaio conforme a norma NBR 5739 (Ensaio de compressão de corpos de prova cilíndricos de concreto: Método de ensaio).
 a) b) 
�
Figura 2.6 - a) Corpo-de-prova e o seu molde. b) Aspecto da ruptura do corpo-de-prova.
	
	
A resistência à compressão é influenciada, principalmente, por: a proporção entre os agregados, o tamanho dos agregados, a quantidade de cimento utilizada na mistura. Um parâmetro que contribui decisivamente na resistência é quantidade de água utilizada na mistura. Para exprimir essa influência utiliza-se a razão entre o peso de água e o peso de cimento, chamado de fator água cimento representado por a/c. O concreto aumenta a resistência com o passar do tempo. É o fenômeno de maturação do material.
Valor representativo da resistência à compressão para o projeto das peças estruturais 
A resistência de um lote de corpos-de-prova de um material apresenta variabilidade. Como medida da variabilidade tem-se: a variância: 
, o desvio padrão: 
 e o coeficiente de variação: 	
. Nas expressões tem-se xi a resistência do i-ésimo exemplar, 
� o valor médio da resistência do lote e n o número de corpos-de-prova existentes no lote.
Admite-se que a distribuição normal represente a distribuição de frequência dos valores de resistência, veja a figura 2.7. Portanto, a resistência à compressão do concreto a ser considerada em projeto deve ser um valor que possui certa probabilidade de ser alcançado. Esse valor, que na distribuição é um valor de corte que delimita uma região da curva de distribuição de frequência, é denominado valor característico da resistência fck.
Figura 2.7- Distribuição normal e indicação do valor característico.
Convencionalmente, definiu-se resistência característica como o valor de resistência que tem 95% de probabilidade de ser atingido. Sendo 
, um parâmetro que pode ser determinado nas distribuições normais teóricas, em função da probabilidade p, é possível estimar o valor característico. Na tabela 2.2 são apresentados valores do parâmetro t para diferentes probabilidades p.
Tabela 2‑1 – Valores de t.
�
	p
	t
	1/100
	2,326
	1/20
	1,645
	1/10
	1,282
	1/5
	0,842
	1/2
	0
 Então: 	
, com fcm o valor médio da resistência à compressão do lote de concreto, s o desvio padrão da amostra e t = 1,645, valor correspondente à probabilidade de 5%, tem-se 
. Essa resistência é também denominada de resistência característica inferior.Há outras aplicações onde o valor representativo da resistência utilizado é o valor característico superior, estimado por meio de 
, denominado valor característico superior. 
Valor de projeto da resistência à compressão do concreto
A resistência à compressão do concreto é o valor característico inferior, e o controle de qualidade é feito em função dos resultados de ensaios de compressão realizados em corpos-de-prova com 28 dias de idade.
No projeto deve-se admitir como resistência um valor de cálculo da resistência à compressão, representado pelo símbolo fcd, determinado em função da resistência característica fck e de um coeficiente de segurança 
:
											
,	(2.1)
sendo 
 para a grande maioria das aplicações.
Porém o valor máximo de tensão nas porções mais solicitadas dos elementos estruturais é 
, sendo o fator 0,85 é um coeficiente de modificação (kmod), com função de considerar a influência de outros fatores que interferem na resistência do concreto, mas eles não aparecem no ensaio de determinação da resistência. Esses fatores acontecem nas estruturas e são:
O efeito deletério do tempo de atuação do carregamento na resistência do concreto.
A maturação do concreto.
A influência da forma geométrica do corpo-de-prova. 
Então, kmod é do tipo: 
.
O efeito deletério do tempo de atuação do carregamento na resistência do concreto está mostrado na figura 2.9, da investigação de Rüsch discutida em FUSCO [1989]. Rüsch demonstrou que a resistência de longo prazo é da ordem de 75% da resistência obtida em ensaio rápido.
Figura 2.9 - Efeito da duração do carregamento.
A maturação é o aumento da resistência do concreto com o tempo, em certo sentido, é o fenômeno inverso do efeito deletério. Foi experimentalmente provado que os concretos de cimentos de endurecimento normal, após alguns anos, apresentam resistências 20% maior que a determinada no ensaio aos 28 dias ( ver Tabela 2.3). 
Tabela 2.3 - Relações fcj/fc, admitindo cura úmida em temperatura de 21 a 30
	Cimento
	
	
	
	
	Idade
	(dias)
	
	
	
	
	Portland
	3
	7
	14
	28
	60
	90
	120
	240
	360
	720
	CP III
CP IV
	0,46
	0,68
	0,85
	1
	1,13
	1,18
	1,21
	1,28
	1,31
	1,36
	CP I
CP II
	0,59
	0,78
	0,9
	1
	1,08
	1,12
	1,14
	1,18
	1,20
	1,22
	CP V
	0,66
	0,82
	0,92
	1
	1,07
	1,09
	1,11
	1,14
	1,16
	1,17
CP I cimento comum, CP II cimento composto, CP III cimento de alto forno,
CP IV cimento pozolânico, CP V cimento de alta resistência inicial
Existe influência da forma e do processo de moldagem do corpo-de-prova e do estado múltiplo de tensões que aparece no ensaio. Experimentalmente foi comprovado que a resistência do concreto determinada em corpos-de-prova paralelepipedais é de aproximadamente 95% da resistência obtida em corpos-de-prova cilíndricos.
O efeito conjunto desses três fatores com kmod, 1 = 0, 75, kmod, 2 = 1,20 e 
kmod, 3 = 0,95 é:
 kmod = 0,75 x 1,2 x 0,95 ( 0,85.
Os concretos utilizados em estruturas são classificados de acordo com a resistência característica, conforme a norma NBR 8953, em C10, C15, C20, C25,..., C50, onde o número é a resistência característica em MPa. A NBR 6118:2003 estabelece as classes de resistência: C20, C25, C30, C35, C40 e C50.
Os concretos destinados a outros fins que não os especificados na NBR 6118, para os quais a resistência característica é definida por um quantil diferente de 5% ou quando for especificada uma idade de controle diferente de 28 dias, devem ser especificados pelo prefixo B seguido do valor da resistência característica em MPa. 
2.3.1.1 Diagrama padronizado tensão-deformação do concreto à compressão
Na determinação de tensões e deformações das peças de concreto armado é necessário saber exprimir a relação matemática entre esses dois parâmetros. Admite-se relação linear entre tensão e deformação (Lei de Hooke) quando as tensões de compressão são menores que 0,5fc, adotando-se o módulo de elasticidade secante dado pela equação (2.4).
		
				
,				(2.4)
onde fck e Ecs são em MPa.
Na situação de projeto, etapa em que se definem as formas das peças e as armações, a determinação de tensões de compressão nas peças faz-se em função das deformações com o emprego de um diagrama tensão-deformação convencional mostrado na figura 2.10.
Figura 2.10 - Diagrama tensão-deformação convencional do concreto em compressão.
Este diagrama é convencional e o valor máximo de tensão é 0,85fcd. O valor de tensão máxima é menor que o característico da resistência à compressão fck porque, além dos fenômenos que justificam o valor do kmod = 0,85, há necessidade de introduzir segurança, e isto é feito por meio da aplicação de coeficiente de segurança (c>1, tal que: 
.
O diagrama possui um trecho não linear seguido de um andamento onde a tensão permanece constante, indicando ser o "escoamento" do material. O trecho não linear é uma parábola do segundo grau:
				
, 				(2.5)
sendo: 
, 
, 
deformação linear específica para qual se deseja determinar 
. O símbolo 
 denota o valor da tensão para a deformação 
. No diagrama a tensão máxima atinge o valor 0,85fcd, 
.
A forma parábola-retângulo do diagrama de tensões é uma envoltória que considera a influência do tempo de carregamento, diferentes formas de seção transversal e conduz a resultados suficientemente precisos dos esforços internos resistentes. 
2.3.2 Tração simples
A resistência característica à tração fctk é o valor de resistência que tem probabilidade de 5% de não ser atingida pelo material do lote. Existem três métodos para determiná-la, apresentados esquematicamente na figura 2.11. 
Exceto no ensaio de tração direta, nos demais a solicitação de tração é aplicada de modo indireto e o valor da tensão é dado aplicando-se expressões que foram deduzidas considerando hipóteses de comportamento, havendo alguma incerteza quanto o real valor da resistência determinada por esses métodos.
	
�
	
Tração direta
Ensaio de execução difícil. Pouco utilizado. Ocorrem concentrações de tensões nas fixações do corpo-de-prova à máquina.
	
�
	
Compressão diametral.
Conhecido internacionalmente por de Método Brasileiro.
Desenvolvido por F. Lobo Carneiro em 1949. É o método da norma NBR7222/83.
	
�
	
Flexão de um prisma.
Ensaio padronizado no método MB-3483.A tensão é determinada por meio da teoria da flexão de vigas. Leva a resultados de resistência maiores que os reais.
Figura 2.11 – Métodos para a determinação da resistência à tração do concreto.
Tendo em vista as dificuldades de realizar um ensaio verdadeiro de tração no concreto, utilizam-se relações entre a resistência de tração e a de compressão. De acordo com a NBR 6118:2003 tem-se:
			fctm = 0,3 fck2/3 (fctm e fck em MPa), 				(2.6)
onde fctm é uma estimativa do valor médio da resistência de tração do concreto.
Quando em uma aplicação for necessário determinar o valor representativo dessa resistência, portanto o valor característico inferior, este é determinado por meio da relação:
					fctk,inf = 0,7 fctm .
Quando for preciso comprovar uma condição de segurança em que a solicitação é limitada pela resistência o valor de cálculo da resistência é dado por:
			
.			(2.7)
2.3.2.1 Diagrama tensão-deformação do concreto à tração
O diagrama tensão-deformação do concreto tracionado concreto e não fissurado convencional é o diagrama bi-linear apresentado na figura 2.12.
�
Figura 2.12 - Diagrama tensão-deformação do concreto tracionado.
2.3.3 Cisalhamento
O concreto não apresenta ruptura por cisalhamento como outros materiais que na ruptura mostram planos de deslizamento em virtude da pequena resistência à tração. 
A ruína de um corpo-de-prova de concreto sujeito a ensaio de corte é caracterizada por ruptura por compressão diagonal, como indicada na figura 2.13. A resistência ao cisalhamentoé definida de modo convencional e será discutida posteriormente.
Figura 2.13 - Ruptura por corte e ruptura real por compressão diagonal.
(FUSCO [1995], pag 98)
2.3.3.1 Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal
Para aplicações onde as tensões de compressão são menores que 0,5 fc e as tensões de tração são menores que fct, o coeficiente de Poisson 
�
Aços para armadura
Principais tipos de aços
Os aços de uso mais comum nas construções são classificados em aço CA 25, CA 50 e CA 60. O prefixo CA indica que o produto tem uso preferencial como armadura para o concreto armado e o numeral seguinte indica o valor em daN/mm2 da tensão nominal de escoamento do aço. Assim o CA 25 é um aço de dureza natural que tem tensão nominal de escoamento de 250 MPa.
Os diferentes tipos de aços existentes no mercado caracterizam-se pela forma e dimensões das seções transversais e pelo processo de fabricação. São encontradas barras laminadas lisas ou corrugadas, fios e malhas soldadas (telas soldadas). As barras laminadas possuem comprimento de até 11 metros. A seção transversal da barra lisa é aproximadamente circular. As rugosidades encontradas nas barras corrugadas têm função de melhorar a aderência aço-concreto (figura 2.8).
 a) b)
Figura 2.8 - Barras de aço para concreto armado. a) Barra lisa; b) barra corrugada.
Os fios são encontrados em bobinas ou em feixes. Também podem ser lisos ou corrugados. As malhas ou telas são fornecidas em bobinas ou em tabletes. São utilizadas como armaduras de lajes, coberturas, em pré-moldados e em concreto projetado.
Segundo a NBR 7480 - Barras e fios destinados a armaduras para concreto armado, são classificados como barras os produtos com diâmetro de bitola superior a 5, obtidos por laminação à quente ou por laminação à quente e encruamento a frio. São classificados como fios os produtos com diâmetro de bitola inferior a 12,5, obtidos por trefilação ou processo equivalente.
Bitola é um número correspondente ao valor arredondado em milímetros do diâmetro da seção transversal nominal do fio ou da barra.
Características geométricas de fios e das barras
As bitolas padronizadas pela NBR 7480 são: 5 - 6,3 - 8 - 10 - 12,5 - 16 - 20 - 25 - 32 – 40, para as barras e 3,2 - 4 - 5 - 6,3 - 8 - 10 - 12,5, para os fios.
A capacidade de aderência das barras é definida pelo coeficiente de conformação superficial (b. Segundo FUSCO [1995], a tendência moderna é considerar apenas dois valores do coeficiente de conformação: (b = 1 em barras lisas e (b = 1,5 em barras de alta aderência. Isso decorre da constatação da aderência ser praticamente a mesma independentemente das particularidades geométricas da superfície das barras, desde que sejam respeitadas certas condições de mínimo.
De acordo com NBR 7480, o coeficiente (b pode ser adotado igual a 1,5 desde que a geometria da barra esquematizada na figura 2.9 atender aos requisitos a seguir.
Figura 2.9- Exigências da NBR 7480 em barras de alta aderência.
Requisitos:
1. Os eixos das nervuras transversais ou cristas devem formar com a direção do eixo da barra um ângulo maior ou igual a 45o;
2. Devem ter duas nervuras longitudinais contínuas diametralmente opostas, exceto no caso em que as nervuras transversais estejam dispostas de modo a evitar a rotação da barra no concreto;
3. A altura média das cristas ou a profundidade média das mossas deve ser maio ou igual a 4% de diâmetro nominal;
4. O espaçamento médio das nervuras transversais, cristas ou mossas, medidos ao logo da mesma geratriz devem estar entre 50% e 80% do diâmetro nominal;
5. As saliências devem abranger pelo menos 85% do perímetro nominal da seção transversal.
A ductilidade dos aços é controlada pelo ensaio de tração e o ensaio de dobramento. O ensaio de dobramento revela a existência de eventuais defeitos metalúrgicos, poros e fissuras microscópicas, nas barras que os ensaios de tração não conseguem mostrar. Esses defeitos não influenciam os resultados dos ensaios de tração, mas afetam a resistência da barra à carga repetida. A tabela 2.2, parcialmente transcrita de FUSCO [1995], apresenta as características mecânicas exigidas pela NBR 7480 para os aços.
Tabela 2‑2 - Características mecânicas exigíveis para barras e fios de aço destinados a armaduras de concreto armado. (FUSCO [1995] pag 7).
	Categoria
	Ensaio de tração
	Ensaio de dobramento
	Ensaio de aderência
	Cor da etiqueta
	
	fyk
MPa
	Limite de resistência
	Alongamento
10(
	Diâmetro do pino
(mm)
	(b mínimo para
(≥40
	
	
	
	
	
	( ≤ 20
	( > 20
	
	
	CA 25
	250
	1,2 fy
	18%
	2(
	4(
	1,0
	Amarelo
	CA 50
	500
	1,10 fy
	8%
	4(
	6(
	1,5
	Branco
	CA 60
	600
	1,05 fy ( 660 MPa.
	-
	5(
	-
	-
	Azul
Principais propriedades
Exige-se do aço das armaduras as seguintes propriedades: ter ductilidade e homogeneidade; apresentar a relação entre a tensão de ruptura e a de limite de escoamento valor elevado; ser soldável e possuir resistência razoável à corrosão.
O valor convencional da massa específica do aço é 7 850 kg/m3 e o do coeficiente de dilatação térmica, para intervalos de temperatura entre -20ºC e 150ºC, tem o valor de 10-5/ºC. O módulo de elasticidade do aço é admitido como igual a 210 GPa, na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante. 
 
O diagrama tensão-deformação dos aços utilizado no projeto de estruturas é um diagrama de material elasto-plástico esquematizado na figura 2.16.
Figura 2.10 - Diagrama tensão-deformação convencional.
Este diagrama é válido para intervalos de temperatura entre -20ºC e 150ºC e pode ser aplicado tanto para tração quanto para a compressão.
A tensão de escoamento de projeto é fyd e é dada pelo cociente entre o valor característico fyk e um coeficiente de segurança (s, ou seja, 
, sendo 
 na maioria das aplicações.
�
BIBLIOGRAFIA 
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – Projeto de revisão da NBR 6118 – Projeto de estruturas de concreto armado. Rio de Janeiro – RJ. 2000.
FUSCO, P.B. - Concreto armado: Solicitações normais. Editora Guanabara Dois, Rio de Janeiro 1982.
___________ - Técnica de armar as estruturas de concreto. Editora Pini Ltda. São Paulo, 1995.
LEONHARDT, F.; MÖNING, E. - Construções de concreto armado: Princípios básicos do dimensionamento das estruturas de concreto armado. Vol.1. Tradução David Fridman. Editora Interciência - 1a Reimpressão. Rio de Janeiro, 1979.
MONTOYA, P.J; MESEGUER, A.G.; CABRÉ, F. M. - Hormigón armado. Editorial Gustavo Gili S.A., 8a Edição. 1976.
NEVILLE, A. M. - Propriedades do concreto. Tradução Salvador E, Giammusso. Editora Pini Ltda. São Paulo, 1982.
RODRIGUES Jr., M.S. – Notas de aula da disciplina Estruturas de Concreto Armado 1. Cuiabá. 1998.
PINHEIRO, L.M.; GIONGO, J.S. - Concreto armado: Propriedades dos materiais.
EESC - USP. Publicação 006-92, Reimpressão. São Carlos, 1992. 
�
SEGURANÇA NO PROJETO DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Considerações iniciais 
Nesta parte do curso são discutidos os principais aspectos da segurança no projeto das estruturas incorporados na NBR 6118:2003.
O método de introdução da segurança no projeto das estruturas de concreto armado e protendido é o método probabilista de estados limites, em consonância com a norma geral que regulamenta a segurança e as ações a serem consideradas no projeto: a NBR 8681:1982 - Ações e Segurança nas Estruturas.
Em primeiro lugar serão apresentados e brevemente discutidos os conceitos de estados limites, posteriormente são definidas as ações e os carregamentos e, finalizando, são feitas considerações sobre as resistências dos materiais.
Estados limites
Estados limites são situações que ao serem atingidas pela estrutura ocorre a paralisação do funcionamento. São classificados em estados limitesúltimos (ELU) e estados limites de utilização ou estado limite de serviço (ELS).
Os estados limites últimos correspondem ao colapso da estrutura e a segurança das estruturas deve ser verificada em relação a eles. São os seguintes:
Estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido (exemplo: tombamento de um muro de arrimo);
Estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, devido às solicitações;
Estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem;
Estado limite último provocado por solicitações dinâmicas.
Em construções especiais pode ser necessário verificar a segurança em relação a outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer, inclusive durante as fases de construção.
Estados limites de serviço ou estados limites de utilização são aqueles relacionados com a durabilidade das estruturas, aparência, conforto do usuário e a boa utilização funcional da mesma, seja em relação aos usuários e em relação às máquinas e aos equipamentos nelas existentes. São os seguintes:
Estado limite de formação de fissuras: Estado em que se inicia a formação de fissuras. Usual no caso do concreto protendido;
 Estado limite de abertura das fissuras: Estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos máximos especificados para a construção;
Estado limite de deformações excessivas: Estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal da construção
Estado limite de descompressão: Estado no qual em um ou mais pontos da seção transversal a tensão normal é nula, não havendo tração no restante da seção. Usual no caso do concreto protendido;
Estado limite de compressão excessiva: Estado em que as tensões de compressão atingem o limite convencional estabelecido. Usual no caso do concreto protendido na ocasião da aplicação da protensão. 
Estado limite de vibrações excessivas: Estado em que as vibrações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal da construção. 
Casos especiais: Em construções especiais pode ser necessário verificar a segurança em relação a outros estados limites de serviço que possam ocorrer. 
A segurança em relação aos estados limites é verificada pelo atendimento às condições analíticas e também pela obediência às condições construtivas.
O atendimento aos requisitos analíticos dos estados limites consiste em determinar parâmetros de comportamento das estruturas submetidas a ações representativas de uma determinada situação de uso e comparar com os valores desejáveis desses parâmetros. Esses valores estão especificados em normas ou são definidos pelos proprietários das obras.
Os parâmetros adotados para estabelecer condições analíticas são:
ações;
esforços internos (solicitações, esforço solicitante, tensões);
efeitos estruturais (deformações, deslocamentos, aberturas de fissuras).
O atendimento a requisitos de natureza construtiva consiste em cumprir exigências do tipo: 
Dimensões mínimas das peças estruturais, de modo a atender condições de rigidez das estruturas;
Quantidade mínima de armaduras, de modo a propiciar um comportamento dúctil das peças de concreto armado ;
Quantidade máxima de armadura, de modo a satisfazer condições de execução do elemento estrutural;
Tamanho provável da abertura das fissuras, etc.
As condições analíticas de segurança para o ELU têm a forma geral seguinte:
Sd ( Rd. 	(3.1)
Sd é o valor de projeto das solicitações produzido pelas ações representativas do estado limite e Rd o valor de projeto da resistência.
As ações e as resistências são representadas por seus valores característicos Fk e fk respectivamente. Representam-se as ações por valores característicos superiores e as resistências por valores característicos inferiores. A figura 3.1 esclarece o significado desses valores característicos.
Figura 3.1– Ilustração dos valores característicos da resistência e da ação.
Na determinação dos valores de projeto Fd, também chamados valores de cálculo, as ações Fk são multiplicadas por um fator (f: 
Fd = (f Fk.	(3.2)
Na determinação dos valores de projeto das resistências fd consideram-se os valores característicos reduzidos por um coeficiente (m: 
�.	(3.3)
Os coeficientes (f e (m são chamados coeficientes de ponderação das ações e das resistências, respectivamente. Os coeficientes de ponderação introduzem a segurança no projeto estrutural. 
A determinação dos parâmetros escolhidos para estabelecer as condições do estado limite contém incertezas e erros. Os coeficientes de ponderação (f são os elementos utilizados para cobris as incertezas, introduzindo segurança, e compensar esses erros. Da mesma forma ocorre com a determinação dos valores desejáveis dos parâmetros também e o coeficiente (m tem a função de compensá-los.
Os principais fatores que afetam a segurança estrutural são:
1 - variabilidade das ações;
2 - simultaneidade das ações;
3 - erros teóricos da análise estrutural;
4 - imprecisões de cálculo;
5 - imprecisões de execução (geometria);
6 - variabilidades das propriedades dos materiais (peso específico, módulo de elasticidade, etc);
7 - variabilidade das resistências;
8 - capacidade de redistribuição e aviso da estrutura;
9 - responsabilidade de maior vulto;
10- condições particularmente adversas (ambientes agressivos, condições desfavoráveis de concretagem).
O coeficiente de segurança (f teoricamente é composto de três parcelas multiplicativas:
(f = (f 1 x (f 2 x (f 3.	(3.4)
A parcela (f1 é o coeficiente de segurança propriamente dito e está associado com a variabilidade natural da ação. A parcela (f2 está representada nos códigos pelo símbolo (0, (1, ou (2 e a função dos mesmos é computar numa combinação de ações de natureza diferentes o fato da ocorrência simultânea. 
A parcela (f3 leva em conta as influências de outros fatores que podem concorrer para gerar insegurança, por exemplo, as hipóteses imperfeitas de comportamento estrutural e as imprecisões de cálculo.
Nos cálculos usuais admite-se a hipótese das estruturas terem comportamento elástico linear, existindo, então, proporcionalidade entre ações e solicitações. Dessa forma, é válido determinar as solicitações de cálculo multiplicando-se por (f as solicitações obtidas com as ações características.
As estruturas estão sujeitas por ações de naturezas diferentes, portando os estados limites são verificados para a combinação das ações que têm probabilidade de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período pré-estabelecido (carregamento representativo da situação específica). Essas combinações devem ser feitas de diferentes maneiras, de forma que possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura.
Na verificação da segurança em relação aos estados limites últimos e aos estados limites de serviço consideram-se combinações últimas das ações e combinações de serviço das ações, respectivamente.
Uma combinação para o ELU pode ser classificada em: normal, especial ou de construção e excepcional.
Numa combinação última normal devem figurar: as ações permanentes, a ação variável principal, atuando com valor característico e as demais ações variáveis devem ser consideradas como secundárias, que atuam com valores reduzidos, os chamados valores reduzidos de combinação, oriundos da aplicação do coeficiente de combinação (0.
Em cada combinação última especial ou combinação excepcional devem figurar as ações permanentes, a ação variável especial ou a excepcional, admitindo-se que elas atuem com os respectivos valores característicos e as demais ações variáveis que possuem probabilidade de atuarem simultaneamente, com os correspondentes valores reduzidos de combinação.
As combinações de serviço são classificadas em quase-permanentes,freqüentes e raras, de acordo com a ordem de grandeza do período de permanência na estrutura. 
Uma combinação quase-permanente é a que pode atuar durante grande parte do período de vida da estrutura. É normalmente considerada na verificação do estado limite de deformações excessivas.
As ações freqüentes se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura. São utilizadas para as verificações dos Estados Limites de Compressão Excessiva, de Abertura de Fissuras e de Vibrações Excessivas.
Uma combinação rara é a que pode atuar no máximo algumas vezes durante o período de vida da estrutura. São normalmente utilizadas para a verificação dos Estados Limites de Formação de Fissuras e Descompressão. 
Ações nas estruturas de concreto
Ações
Ações são causas que provocam o aparecimento de tensões e deformações nas estruturas. As forças são chamadas de ações diretas e os deslocamentos impostos como ações indiretas. As ações se classificam em: ações permanentes, ações variáveis e ações excepcionais.
I - Ações Permanentes: Possuem valores constantes ou de pequena variação por toda a vida da construção.
As ações permanentes que produzem efeitos desfavoráveis na estrutura têm o valor característico correspondente ao quantil de 95% da respectiva distribuição normal de probabilidade (valor característico superior, Fgk, sup). O valor característico das ações permanentes que produzem efeitos favoráveis na estrutura corresponde ao quantil de 5% da respectiva distribuição normal de probabilidade (valor característico inferior, Fgk, inf).
Os valores característicos das ações com pequena variabilidade são definidos por meio dos valores médios das respectivas distribuições de probabilidade.
II - Ações Variáveis: Essas ações apresentam valores que variam significativamente ao longo da vida da construção.
Os valores característicos das ações variáveis Fqk, estabelecidos por consenso e indicados em normas específicas, correspondem a valores que têm de 25% a 35% de probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável durante um período de 50 anos.
III - Ações excepcionais: Têm duração extremamente curta e probabilidade de ocorrência muito pequena, mas devem ser consideradas no projeto de algumas estruturas. 
Valores representativos das ações
As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser:
	A - Os valores característicos;
	B - Valores convencionais excepcionais: valores arbitrados para as ações excepcionais. 
	C - Valores reduzidos para o estado limite último.
D – Valores reduzidos para o estado limite de serviço.
Os valores reduzidos de combinação usados nas verificações relativas a estados limites últimos quando a ação considerada se combina com outra ação considerada principal, são determinados a partir dos valores característicos pela expressão 
Esse coeficiente, normalmente, é de redução e o entendimento do mesmo é melhor com a figura 3.2.
Figura 3.2– a) Esquema da definição de Fk. b) Esquema da definição de Wk. c) Representação da função ação conjunta F e W. 
Os valores reduzidos para o estado limite de serviço são usados nas verificações relativas a estados limites de serviço quando a ação considerada se combina com outra ação considerada principal e são determinados a partir dos valores característicos pela expressão 
Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação 
Valores dos Coeficientes de Ponderação das ações
As ações deverão ser majoradas pelo coeficiente (f = (f 1 (f 2 (f 3, sendo: 
Os valores base do produto 
�
Tabela 3‑1 - Coeficiente 
	Tipo
	Permanentes
	Variáveis
	Protensão
	Recalques e retração
	
	Desf.
	Fav.
	Geral
	Temp.
	Desf.
	Fav.
	Desf.
	Fav.
	Normais
	1,4
	0,9
	1,4
	1,2
	1,2
	0,9
	1,2
	0
	Transitórias
	1,3
	0,9
	1,2
	1,0
	1,2
	0,9
	1,2
	0
	Excepcionais
	1,2
	0,9
	1,0
	0
	1,2
	0,9
	
	
Tabela 3‑2 - Valores do coeficiente 
	AÇÕES
	
	
	
	CARGAS ACIDENTAIS DE EDIFÍCIOS
- Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas
- Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas concentração de pessoas
- Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens
	
0,4
0,7
0,8
	
0,3
0,6
0,7
	
0,2
0,4
0,6
	VENTO
- Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral
- Pressão dinâmica do vento nas estruturas em que a ação variável principal tem pequena variabilidade durante grandes intervalos de tempo (exemplo: edifícios de habitação)
	
0,4
0,6
	
0,2
0,2
	
0
0
	TEMPERATURA
- Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local
	
0,6
	
0,5
	
0,3
Em certos casos, como o da verificação de segurança das paredes estruturais com espessura inferior a 20 cm e não inferior a 12 cm, e como o dos pilares com largura inferior a 20cm, o coeficiente �SYMBOL 103 \f "Symbol"��f deverá ser majorado por um coeficiente de ajustamento, onde b é a espessura da parede ou a menor largura do pilar. Esta correção se deve ao aumento da probabilidade de ocorrência de desvios relativos significativos na construção.
O valor do coeficiente de ponderação, de cargas permanentes de mesma origem, num dado carregamento, deve ser o mesmo ao longo de toda estrutura. A única exceção é o caso da verificação da estabilidade como corpo rígido.
Para o estado limite de serviço os coeficientes de majoração para as ações é dado por 
3.3.4 – Algumas combinações das ações
COMBINAÇÕES ÚLTIMAS
Normais
a. Esgotamento da capacidade resistente para peças de concreto armado
�.
Onde:
Fgk representa as ações permanentes diretas,
F
Fqk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal.
Os coeficientes 
No caso geral, deverão ser consideradas inclusive combinações onde as cargas permanentes têm efeitos favoráveis (isto é, onde 
b. Perda do equilíbrio como corpo rígido
				S (Fsd) ( S (Fnd).
Sendo Fsd o símbolo que representa as ações estabilizantes e Fnd as ações não estabilizantes.
O valor de Fsd é dado por:
					Fsd = 
Gsk = ação permanente estabilizante
Rd = esforço resistente considerado como estabilizante, quando houver.
O valor Fnd é dado por:
Fnd = 
Gnk = ação permanente instabilizante;
�
Q1k = ação variável instabilizante considerada como principal;
Qs,min= ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante.
Especiais ou de construção 
		
�.
Na expressão os termos estão definidos conforme a situação NORMAL vista acima, e 
Excepcionais
				
�
Os termos estão definidos acima.
COMBINAÇÕES DE SERVIÇO
Combinações quase-permanentes de serviço
Nas combinações quase-permanentes de serviço, todas as ações variáveis são consideradas com seus valores quase-permanentes 
	
�
Combinações freqüentes de serviço
Nas combinações freqüentes de serviço, a ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor freqüente 
				
�
Combinações raras de serviço
Nas combinações raras de serviço, a ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor característico Fq1,k e todas as demais ações são tomadas com seus valores freqüentes (1 Fqk:
				
�
3.4 Resistências do concreto para o estado limite último
Como já se viu no capítulo 2, os valores representativos da resistência são os chamados valores característicos fk das resistências. Usualmente é de interesse a resistência característica inferior fk inf, cujo valor é menor que a resistência média fm. 
A resistência característica inferior é admitidacomo sendo o valor de resistência que tem 5% de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material.
3.4.1 - Valores de cálculo
A resistência de cálculo fd é dada por:
�.
Nessa expressão fk é a resistência característica inferior e 
Teoricamente o coeficiente de minoração das resistências é composto pelas parcelas:
(m = (m1 (m2 (m3.
Os coeficientes parciais significam:
(m1 : considera a variabilidade da resistência dos materiais utilizados;
(m2 : considera a diferença entre a resistência do material no corpo-de-prova e na estrutura ;
(m3 : considera outros fatores que interferem na segurança tais como as hipóteses e simplificações efetuadas no cálculo da resistência.
As tensões resistentes de cálculo 
Quando a verificação se faz em data t igual ou superior a 28 dias, a resistência de cálculo é:
�.
Nesse caso, o controle da resistência à compressão do concreto se fará aos 28 dias, de forma a confirmar o valor de fck adotado no projeto.
Quando a verificação se faz em data t inferior a 28 dias deve-se adotar:
�.
Nesse caso:
�.
Nessa equação t=idade efetiva do concreto, e s assumindo valor que depende do tipo do cimento utilizado na fabricação do concreto. Para o concreto de cimento CPIII e IV s=1; s =2, para o concreto de cimento CPI e II e s=3, para concreto de cimento CPV.
Essa verificação se fará aos t dias, para as cargas aplicadas até essa data. A verificação para a totalidade das cargas ainda se fará para a data de 28 dias. O controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito em duas datas: aos t dias e aos 28 dias, de forma a confirmar os valores de fck,t e fck adotados no projeto.
Quando os carregamentos permanentes, ao longo do processo construtivo, só ultrapassarem 70% do total de cargas permanentes, após 28 dias e em data t2 bem definida e garantida, permite-se tirar proveito do ganho de resistência entre 28 dias e a data t2. Devem ser feitas duas verificações: uma na fase construtiva, aos 28 dias, para as cargas aplicadas até essa data e outra aos t2 dias, para a totalidade das cargas. Eventualmente, pode ser necessária ainda uma terceira verificação, em ponto crítico da fase construtiva, ocorrendo em data t1 diferente de 28 dias.
O controle de resistência à compressão do concreto se fará no mínimo aos 28 e aos t2 dias, de modo a confirmar a resistência do concreto nessas duas datas.
Para a verificação na data t2 superior a 28 dias, o valor da resistência de cálculo do concreto deve ser determinado por:
�.
O coeficiente (2 está na Tabela a seguir.
Tabela dos valores de (2 
	t2 (dias)
	28
	63
	91
	119
	
	(2
	1,0
	0,94
	0,88
	0,85
	0,81
3.4.2 - Valores dos Coeficientes de Ponderação
3.4.2.1 Estado Limite Último
Os valores bases para verificação estão na tabela 3.3.
Tabela 3.3 - Valores dos coeficientes (c e (s para o estado limite último
	Combinações
	Concreto (
	Aço (
	Normais
	1,4
	1,15
	Especiais
	1,2
	1,15
	Excepcionais
	1,2
	1,0
Nas peças onde as condições de execução sejam desfavoráveis (por exemplo, más condições de transporte, ou adensamento manual, ou concretagem deficiente por concentração de armadura), o coeficiente 
Nas obras de pequena importância admite-se o emprego de aço CA-25 sem que seja necessária a realização de controle de qualidade como o estabelecido na (EB-3) NBR 7480, desde que o coeficiente de segurança para o aço seja multiplicado por 1.1.
3.4.2.2 - Estado limite de serviço
Os limites estabelecidos para os estados limites de serviço, não necessitam de minoração, então 
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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – Projeto de Projeto de estruturas de concreto armado - Procedimento. Rio de Janeiro – RJ. 2003.
De ZAGOTTIS, D. L. - Introdução da segurança no projeto estrutural. EPUSP – São Paulo. 1976.
FUSCO, P.B.- Concreto armado: Solicitações normais. Editora Guanabara Dois, Rio de Janeiro 1982.
___________- Técnica de armar as estruturas de concreto. Editora Pini Ltda. São Paulo, 1995.
___________ - Comentários sobre a normalização das ações e segurança nas estruturas. BT/PEF/9312. USP .1993
ISHITANI H. - Introdução ao concreto estrutural. Notas de aula. EPUSP – São Paulo1997.
LEONHARDT, F.; MÖNING, E. - Construções de concreto armado: Princípios básicos do dimensionamento das estruturas de concreto armado. Vol.1. Tradução David Fridman. Editora Interciência - 1a Reimpressão. Rio de Janeiro, 1979.
MONTOYA, P.J; MESEGUER, A.G.; CABRÉ, F. M. - Hormigón armado. Editorial Gustavo Gili S.A., 8a Edição. 1976.
NEVILLE, A. M. - Propriedades do concreto. Tradução Salvador E. Giammusso. Editora Pini Ltda. São Paulo,1982.
RODRIGUES Jr., M.S. – Notas de aula da disciplina Estruturas de Concreto Armado 1. Cuiabá. 2000.
PINHEIRO, L.M.; GIONGO, J.S. - Concreto armado: Propriedades dos materiais.
EESC - USP. Publicação 006-92, Reimpressão. São Carlos, 1992.
�
CAPÍTULO 4 - ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS POR SOLICITAÇÕES NORMAIS
4.1 Estados limites últimos por solicitação normal
No dimensionamento das armaduras longitudinais de vigas ou de pilares, admitem-se as seguintes hipóteses básicas:
As seções transversais mantêm-se planas após deformação;
A deformação das barras aderentes, em tração ou compressão, é a mesma do concreto em seu entorno;
As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, são desprezadas; 
A distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola retângulo, com tensão de pico igual a 0,85 fcd, com fcd definido conforme o capítulo 3, permitindo-se a substituição desse diagrama pelo retângulo de altura 0,8 x (onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão:
0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir dessa para a borda comprimida;
0,80 fcd no caso contrário.
A tensão nas armaduras é obtida a partir dos diagramas tensão deformação, com valores de cálculo;
O Estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na figura 4.1.
Na fig. 4.1 estão representados os domínios de deformação decorrentes. A posição da linha neutra é definida pela distância x à fibra extrema mais comprimida. A posição relativa da linha neutra é fixada, de forma adimensional, pelo coeficiente:
.
O estado limite último de ruptura das peças de concreto armado é caracterizado, convencionalmente, por um estado de deformações plásticas excessivas, respectivamente, do concreto ou da armadura tracionada (FUSCO [1981]). Essas deformações são as seguintes:
Deformação na armadura mais tracionada (s,max = 10‰;
Deformação máxima de encurtamento do concreto:
(c1 = 3,5‰ em peças que apresentem uma região comprimida e outra tracionada;
= 2‰ em peças sujeitas à compressão.
Esses valores conduzem a cinco domínios de deformações a seguir discutidos.
 Figura 4.1 - Domínios de Estado Limite Último
Reta a: tração uniforme
Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão.
Domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura convencional do concreto ((c1 < 3,5‰ e com (sd = (s,max = 10‰ ).
Domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta com a ruptura convencional do concreto e com escoamento do aço ((sd >(yd).
Domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta com o concreto atingido a ruptura convencional e o aço tracionado sem escoamento ((sd < (yd).
Domínio 4 a: flexão composta com armaduras comprimidas.
Domínio 5: compressão não uniforme sem tração.
Reta b: compressão uniforme.
4.2 Domínios de estado limite 
4.2.1 Domínio 1
Este estado limite último é caracterizado pela deformação (sd = 10‰. A linha neutra é externa à seção transversal, indicando que a peça está inteiramente tracionada.Figura 4.2 – Domínio 1.
	
A seção resistente é composta por duas armaduras, As1 e As2, respectivamente, a armadura mais tracionada e a menos tracionada, não havendo participação do concreto na resistência da peça, porque o mesmo está inteiramente fissurado. Este estado limite último acontece em peças sujeitas à tração pura ou à flexo-tração com grande excentricidade, onde não aparece zona comprimida. 
4.2.2 Domínio 2
O estado limite último é caracterizado pela deformação (sd = 10‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo na peça uma região tracionada (banzo tracionado) e uma região comprimida (banzo comprimido). O concreto da zona comprimida não atinge a ruptura, porque ela, convencionalmente, ocorre na posição limite do fim do domínio 2 quando (c1d = 3,5‰.
Figura 4.3 – Visualização da hipótese da deformação na peça.
Com a hipótese de a seção permanecer plana no estado limite último, as deformações na borda comprimida e na armação As1 se relacionam do modo expresso na equação (4.1). Sendo (c1 a deformação na borda mais comprimida da seção e (sd a deformação na armadura tem-se:
.	 (4.1)
O valor de ( é dado pela equação (4.2), obtido a partir de (4.1).
.		 (4.2)
Conforme pode ser observado na figura 4.4, o domínio 2 inicia em ( = 0 e termina quando a deformação no concreto (c1 atingir o valor 3,5‰. 
Figura 4.4 – Domínio 2.
Portanto, é possível definir o valor de (2, lim correspondente ao fim do domínio 2. Com as informações da figura 4.2, tem-se: (c1= 3,5‰ e (sd = 10‰, então, por (4.2) obtém-se:
.
É conveniente subdividir o domínio 2 em dois subdomínios, o subdomínio 2a e o 2b. O subdomínio 2a termina quando (c1 = 2,0‰, então:
			
.
O subdomínio 2b encerra em (2, lim = 0,2593.
A subdivisão do domínio 2 é conveniente por duas razões:
a) definir um valor da profundidade da linha neutra a partir da qual a tensão de compressão na fibra mais encurtada tem valor constante (c,max = 0,85fcd e,
b) com a finalidade de determinar um valor limite da profundidade da linha neutra, a partir da qual as armaduras de compressão podem ser realmente eficientes. 
4.2.3 Domínio 3
O estado limite último é caracterizado pela deformação (c1d = 3,5‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. 
A deformação na armadura tracionada é pelo menos igual á deformação do início de escoamento (yd. Assim, nesse domínio, o concreto atinge o maior encurtamento e a armação está em escoamento. Esta é a situação desejada para projeto, porque os dois materiais são aproveitados integralmente e, além disso, não há risco de ruína não avisada. As peças que chegam ao estado último no domínio 3 são ditas peças subarmadas.
Figura 4.5 – Domínio 3.
Os valores da profundidade da linha neutra variam no intervalo (2,lim < ( ( (3,lim e o valor limite (3,lim é determinado em função da eq. (4.2), com os valores das deformações (c1 = 3,5‰ e (sd = (yd portanto:
	
 
.
Neste domínio o valor de (3,lim depende do tipo de aço e na tabela 4.1 são apresentados os valores de (3,lim para os aços usuais.
Tabela 4.1 Valores de (3,lim para os aços com patamar de escoamento�
	AÇO
	fyd
(MPa)
	(yd
	(3,lim
	CA 25
	217
	1,04‰
	0,771
	CA 50
	435
	2,07‰
	0,628
	CA 60
	522
	2,48‰
	0,585
4.2.4 Domínio 4
Neste domínio o estado limite último é caracterizado pela deformação (c1d = 3,5‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado.
No estado limite último, a deformação da armadura é inferior á deformação de início de escoamento. A ruptura da peça é de forma frágil, não avisada, pois o concreto se rompe sem que a armadura tracionada possa provocar uma fissuração que sirva de advertência. As peças que chegam ao estado último no domínio 4 são ditas superarmadas, devendo ser evitadas tanto quanto possível. As vigas que possuem estado limite último nesse domínio devem ter, obrigatoriamente, armadura dupla, uma armadura tracionada As1 e uma armadura comprimida As2.
Figura 4.6 – Domínio 4.
O limite do domínio 4 é determinado por (sd = 0, então, pela eq. 4.1 limitado pela condição:
.
Os valores da profundidade da linha neutra variam no intervalo entre (3,lim < ( ( 1.
4.2.5 Domínio 4a
O estado limite último é caracterizado pela deformação (c1 = 3,5‰. A linha neutra ainda corta a seção transversal, mas na região de cobrimento da armadura menos comprimida.
Figura 4.6 – Domínio 4A.
No domínio 4a ambas as armaduras estão comprimidas, embora sejam muito pequenas as tensões na armadura As1 menos comprimida.
Este domínio é de transição conceitual, estando limitado por uma posição da linha neutra tangente à fibra extrema da seção, sendo:
.
4.2.6 Domínio 5
No domínio 5 há compressão em toda a seção transversal e a linha neutra está fora dela. Simplificadamente, este estado limite último dá-se com o aparecimento do ponto B, este ponto está afastado da borda mais comprimida de 
e a deformação é de 2‰. O intervalo de variação da posição da linha neutra é 
.
Figura 4.6 – Estado limite último no domínio 5.
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – Projeto de Projeto de estruturas de concreto armado - Procedimento. Rio de Janeiro – RJ. 2003.
FUSCO, P.B.- Concreto armado: Solicitações normais. Editora Guanabara Dois, Rio de Janeiro 1982.
RODRIGUES Jr., M.S. – Notas de aula da disciplina Estruturas de Concreto Armado 1. Cuiabá. 2005.
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CAPÍTULO 5 - ESTUDO DAS VIGAS DE SEÇÃO RETANGULAR:
DIMENSIONAMENTO E DETERMINAÇÃO DE RESISTÊNCIA
	
5.1 Notação
b - largura da seção retangular (cm);
bf – largura da mesa de uma viga em T;
b – largura da nervura de uma viga em T
d - distância do centro de gravidade da armadura mais tracionada à borda da seção mais comprimida (cm);
d' - distância do centro de gravidade da armadura menos tracionada à borda da seção mais comprimida (cm);
fcd – valor de cálculo da resistência à compressão do concreto (MPa);
fck - resistência característica à compressão do concreto (MPa);
fyd - valor de cálculo da tensão de escoamento do aço (MPa);
fyk – valor característico da tensão de escoamento do aço (MPa);
h - altura da seção retangular (cm);
y – extensão da região comprimida no diagrama simplificado de tensões no concreto;
x - posição da linha neutra a partir do bordo mais comprimido (cm);
z – braço de alavanca interno.
Ac - área bruta da seção (cm2);
As - área de armadura tracionada em vigas dotadas de armadura simples;
As1 - área de armadura tracionada em vigas com armadura dupla;
As2 - área de armadura comprimida em de vigas com armadura dupla;
Asmin - área mínima de armadura tracionada em vigas exigida pela NBR-6118;
Es - módulo de elasticidade do aço (210000 MPa);
Md – valor de projeto do momento fletor externo aplicado à viga;
Mrd, - momento fletor resistente;
Rc – resultante interna de compressão;
Rs – resultante interna de tração na armadura;
Rs1 – resultante interna de tração na armadura As1;
Rs2 – Resultante interna de compressão na armadura comprimida;
( - adimensional 
;
(´ - adimensional 
;
(c1 - deformação linear específica do concreto no bordo mais comprimido;
(yd – valor de cálculo da deformação linear específica de de escoamento do aço;
(sd - deformação específica do aço;
(c - coeficiente de ponderação da resistência do concreto;
(s - coeficiente de ponderação da resistência do aço;
( - momento fletor reduzido 
;
( - taxa de armação tracionada, 
;
(c1 – valor de projeto da tensão máxima de compressão do concreto;
(sd – valor de cálculo da tensão no aço;
( - taxa mecânica de armação 
;
( - posição relativa da linha neutra referida à altura útil: 
;
( - braço de alavanca interno referido à altura útil, 
;
5.2 Dimensionamentodas vigas de seção retangular
5.2.1 Principais aspectos do dimensionamento
O objetivo do dimensionamento de um elemento estrutural é definir a geometria e as armações capazes de garantir que ele resistirá, com segurança e em perfeito estado de funcionamento, todas as ações a que estará submetido ao longo da vida útil.
A geometria e armações são definidas de modo a dotar de resistência o elemento estrutural, portanto, as condições analíticas, a partir das quais são resolvidos os problemas de dimensionamento, têm a seguinte forma:
Rd (fd, aRd, CR) ( Sd (Fd, aSd, CS)
sendo:
Rd são os valores de cálculo dos esforços resistentes;
Sd os valores de cálculo dos esforços solicitantes;
fd os valores de cálculo das propriedades dos materiais, inclusive resistência;
Fd os valores de cálculo das ações;
aRd e aSd os valores de cálculo dos parâmetros que descrevem a geometria da estrutura para as resistências e solicitações, respectivamente;
CR e CS as constantes empregadas para as resistências e solicitações, respectivamente, inclusive como restrições pré-estabelecidas no projeto.
As condições analíticas de segurança estabelecem que as resistências não devam ser menores que as solicitações e devem ser verificadas em relação a todos os estados limites e todos os carregamentos especificados para o tipo de construção considerada.
Os valores de cálculo dos esforços resistentes são determinados a partir dos valores de cálculo das resistências dos materiais adotados no projeto, ou das tensões resistentes de cálculo.
As solicitações de cálculo são determinadas, para a combinação de ações considerada, de acordo com a análise estrutural. 
Além de um arranjo estrutural que garanta segurança do conjunto, devem-se aplicar outras regras, tais como as de dimensões mínimas para a definição das formas, bem como as regras de detalhamento das armaduras.
Neste capítulo serão resolvidos os problemas objetivos do dimensionamento das armaduras longitudinais das vigas e da determinação da resistência das peças. Por enquanto, não serão feitas considerações sobre a análise estrutural, que antecede o dimensionamento, e, também, sobre o detalhamento. 
5.2.2 Apresentação dos problemas e das principais variáveis
Os principais problemas que serão resolvidos referem-se às vigas de concreto armado e são de dois tipos:
Problema de dimensionamento:
		Dados: fck, fyk, (m, (f, b e M, pedem-se: h e armaduras.
Problema de verificação de resistência:
		Dados: fck, fyk, (m, (f, b , h, As1 e, em certos casos, As2, pede-se M.
Considera-se uma peça que atingiu o estado limite último devido à ação do momento fletor. Essa peça possui a armação As1 de tração e As2 de compressão.
Figura 5.1 – Seção em estado limite último produzido pelo momento fletor Md.
No problema de dimensionamento são conhecidos: fck, fyk, (c, (s, (f, b e Md. Devem ser determinados: d, As1 e As2. Portanto, têm-se as seguintes variáveis: (c1, (sd, (c1, (sd, x, d, As1 e As2. 
Para estabelecer relações independentes entre as variáveis tem-se:
Equações de equilíbrio entre a solicitação externa e a solicitação interna:
				
	, 	(5.1)
			
.	 (5.2)
Equações constitutivas que exprimem as tensões em função das deformações:
					
, 	(5.3)
					
.	(5.4)
Equação de compatibilidade de deformações (hipótese da seção plana):
.
O número de variáveis é oito e são possíveis seis relações independentes entre as variáveis, logo, existe um número infinito de soluções à medida que, em princípio, podem ser arbitrariamente fixadas duas e determinar as demais por meio das relações disponíveis e em função do par de variáveis arbitrado.
A fixação dos valores das variáveis não é arbitrária e para serem fixadas são considerados os possíveis domínios de deformações de Estado Limite Último.
5.2.3 Dimensionamento das vigas com armadura simples
Este é o caso das vigas dotadas com a armação As1 apenas. O estado limite último dessas peças pode ocorrer por alongamento máximo da armadura, portanto no domínio 2, ou por encurtamento excessivo do concreto, com a armação tracionada alongada de (s1 
(s, limite logo no domínio 3.
Figura 5.2 – Viga com armadura simples.
Considerando o equilíbrio da seção obtêm-se as seguintes relações:
, sendo: 
 e 
;
.
A resultante 
 pode ser determinada da seguinte forma:
, sendo
a área do diagrama de tensões. Por simplicidade de notação essa área é calculada com: 
, com ( dado por: 
.
Na determinação de (, w é uma variável que denota a ordenada de um ponto material na região comprimida, tomada em relação á linha neutra. O ( é um coeficiente de bloco, tem o seguinte significado geométrico: é um coeficiente que transforma a área parabólico-retangular em área retangular.
Assim sendo:
.
Considerando a equação de equilíbrio do momento tem-se:
= 
.
O braço interno de alavanca z é dado por: 
, onde a é a distância da borda comprimida até a posição do centro de gravidade da área 
. Introduzindo a variável adimensional 
, a equação de equilíbrio de momento fica sendo:
			
.
Dessa forma a solicitação reduzida 
 é calculada com a equação 5.5:
					
.	(5.5)
Agora vem o cálculo da armação. A expressão com que se determina é a seguinte: 
.
Pela equação de equilíbrio 
 tem-se 
, logo: 
.	(5.6)
Para resolver os problemas objetivos de dimensionamento de armaduras deve-se proceder do seguinte modo:
Impor o ELU da peça, isto implica em fixar um valor de (;
Para cada valor de ( corresponderá um e somente um (, então ( é conhecido;
Para cada ( também corresponderá, também, um (’, logo ( está determinado;
Calcula-se ( calc com a equação 5.5;
Compara-se o valor da equação (5.5) com o valor de ( obtido diretamente em função dos dados conhecidos, isto é, utilizando a definição: 
,
1)se (calc < 
 ( impõe-se outro (, maior que o anterior, e repetem-se as operações até obter (calc ( 
;
2) se (calc > 
 ( impõe-se outro (, menor que o anterior, e repetem-se as operações até obter (calc ( 
;
Com o valor de ( determinado calcula-se (;
Com o valor de ( determinado, sabe-se o ELU da peça então (sd é conhecido;
Calcula-se a armadura com a equação (5.6).
A seqüência acima é utilizada num programa de computador. No cálculo manual empregam-se tabelas ou gráficos calculados com as equações anteriormente deduzidas.
5.2.3.1 Tabelas para o dimensionamento
Existem dois tipos de tabela para o dimensionamento de armaduras de vigas: as tabelas universais e tabelas dimensionais.
As tabelas universais valem para qualquer concreto e tipo de aço. Nelas estão apresentados os valores das variáveis adimensionais (, ( e ( e as deformações (c1 e (sd.
O uso da tabela universal é explicado a seguir.
Considere o modelo de tabela universal indicado abaixo:
	(
	(
	(
	(c1
	(sd
	
	
	
	
	
O problema que se quer resolver é dimensionar a armação da peça, então são conhecidos: b, d, fcd, fyd e Md. Logo, determina-se o valor de ( com a expressão: 
. 
Entra-se com esse valor na tabela e tira-se ( e (sd correspondentes. 
Como também é conhecida a relação tensão-deformação do aço, (sd fica determinado também.
Portanto, a armação é calculada com a equação 
.
5.2.3.2 Diagramas para o dimensionamento.
O diagrama de dimensionamento é a representação gráfica de uma função onde nela comparecem um parâmetro conhecido e outro dele dependente. O parâmetro dependente possibilita o dimensionamento da armadura.
Considere a seguinte variável:
.	(5.7)
Ela representa a taxa mecânica de armação referida à seção transversal útil de concreto, dada pelo produto entre a largura b e a altura d.
Considerando o equilíbrio de momento fletor: 
 e a definição de (, tem-se:
			
, portanto:
						
. C.Q.D
Portanto, o gráfico de (5.7) é utilizado tanto para o dimensionamento