Topografia 2

Prévia do material em texto

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
ENGENHARIA CIVIL: 
 NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
TOPOGRAFIA 2: PLANIALTIMETRIA 
 
 
 
 
 
Montagem: prof. Gustavo Cabrelli Nirschl 
 
 
 
 
Maio de 2016 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 2 
PROVAS E TRABALHOS DA DISCIPLINA 
 
1º BIMESTRE: 
Media1 = (Prova1 * 0,7) + (Trabalhos1 * 0,3) 
 
2º BIMESTRE: 
Media2 = (Prova2 * 0,7) + (Trabalhos2 * 0,3) 
 
MÉDIA = 0,4*Media1 + 0,6*Media2 
 
SE 4,0  MÉDIA < 6,0  RECUPERAÇÃO FINAL 
 
CRITÉRIOS DE APROVAÇÃO 
 
FREQUENCIA ≥ 75% E MÉDIA FINAL ≥ 6,0 
 
SOBRE ESTAS NOTAS DE AULA 
 
Estas notas de aula foram escritas, a partir de 2014, com base em outras bibliografias e na 
experiência acumulada do professor, para a disciplina de Topografia II do curso de 
Engenharia Civil do IFSP campus Votuporanga. Elas são constantemente revisadas tentando 
atender às mudanças necessárias decorrentes de possíveis erros e necessidades dos alunos 
não identificadas previamente. Por isso é importante o aluno estar com a revisão mais recente 
e não reutilizar materiais de turmas anteriores. Lembra-se ao aluno que essas notas de aula 
não substituem os livros em hipótese alguma e não podem ser usadas para outro fim que não 
para os estudos desta disciplina. 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
 
BORGES, A.C. Topografia aplicada à engenharia civil. v.1. 2.ed. São Paulo: Edgard 
Blücher, 2011. 
 
BORGES, A.C. Topografia aplicada à engenharia civil. v.2. 2.ed. São Paulo: Edgard 
Blücher, 2011. 
 
BORGES, A.C. Exercícios de topografia. 3.ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2011. 
 
ERBA, D.A.; THUM, A.B.; SILVA, C.A.U.; SOUZA, G.C.; VERONEZ, M.R.; LEANDRO, R.F.; 
MAIA, T.C.B. Topografia para estudantes de arquitetura, engenharia e geologia. São 
Leopoldo: UNISINOS, 2005. 
 
CASACA, J.M.; MATOS, J.L.; DIAS, J.M.B. Topografia geral. Rio de Janeiro: LTC, 2007. 
 
MAGUIRE, D.J.; GOODCHILD, M.F.; RHIND, D.W.; LONGLEY, P.A. Sistemas e ciência da 
informação geográfica. 3.ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. 
 
MCCORMAC, J.C. Topografia. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007. 
 
US NAVY. Construção civil: teoria e prática: topografia. v.3. São Paulo: Hemus, 2005. 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 3 
 
SUMÁRIO 
1. REVISÃO DE LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO ..................................................................... 4 
2. TOPOLOGIA E CURVAS DE NÍVEL ............................................................................................ 13 
3. ALTIMETRIA OU NIVELAMENTO .............................................................................................. 27 
4. NIVELAMENTO GEOMÉTRICO .................................................................................................. 29 
5. NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO ......................................................................................... 42 
6. TERRAPLENAGEM E VOLUMES DE CORTE E ATERRO POR COMPENSAÇÃO .................. 50 
7. LOCAÇÃO DE OBRAS .................................................................................................................. 74 
8. NORMAS TÉCNICAS APLICADAS À TOPOGRAFIA ................................................................. 86 
9. SOFTWARES DE TOPOGRAFIA .................................................................................................. 92 
10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................................... 109 
APÊNDICE A: MODELO PARA RELATÓRIOS DAS AULAS PRÁTICAS ..................................... 110 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 4 
1. REVISÃO DE LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO 
 
Relembrando o que foi explicado no semestre anterior: 
 
 
Figura: TERRENO A SER CARACTERIZADO. Fonte: O próprio autor. 
 
 
Figura: PLANIMETRIA (MEDIÇÕES EM PLANTA) – TOPOGRAFIA 1. Fonte: O próprio autor. 
 
 
Figura: ALTIMETRIA (MEDIÇÕES NA ALTURA) – TOPOGRAFIA 2. Fonte: O próprio autor. 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 5 
Os principais instrumentos utilizados nos levantamentos planimétricos são o teodolito e a estação 
total, providos de fios estadimétricos que, além de medir ângulos, acumulam também a função de medir, 
opticamente, as distâncias horizontais (taqueometria ou estadimetria). São feitas as leituras na mira com 
auxílio dos fios estadimétricos, bem como o ângulo de inclinação da luneta. 
 
 
Fonte: Adaptado de Veiga, Zanetti e Faggion (2007). 
 
Recordando, a fórmula de determinação indireta da distância horizontal (taqueometria ou 
estadimetria), deduzida da figura acima, é a seguinte: 
 
 ou 
 
Em que: 
 
G = NÚMERO GERADOR DA MIRA REAL = leitura estadimétrica superior - inferior 
Z = ÂNGULO ZENITAL (LEITURA TAMBÉM PELO TEODOLITO) 
V = ÂNGULO DA HORIZONTAL ATÉ A VISADA = 90
0
 - Z 
 
 Relembra-se a seguir os métodos de medição planimétrica (TOPOGRAFIA 1) de irradiação, 
interseção e ordenadas. 
 
 
 
Figura: MÉTODO DA INTERSEÇÃO. Fonte: Topografia (2000). 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 6 
 
Figura: MÉTODO DA IRRADIAÇÃO. Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2007). 
 
 
 
 
Figura: MÉTODO DAS ORDENADAS. Fonte: Topografia (2000). 
 
 Finalmente foi estudada (TOPOGRAFIA 1) a Poligonação ou Caminhamento (medição de 
poligonais abertas, fechadas e amarradas). 
 
 
POLIGONAL ABERTA POLIGONAL FECHADA 
 
 
POLIGONAL AMARRADA 
 
Fonte: Adaptado de Veiga, Zanetti e Faggion (2007). 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 7 
 O último assunto estudado foi o georreferenciamento pelo sistema UTM, conforme a seguir. 
 
 
Fonte: Brandalize (2008) e adaptado de <http://wiki.urca.br/dcc/lib/exe/fetch.php?media=sistema-
coordenadas.pdf>. 
 
 Finalizando, as escalas dos desenhos são baseadas em: 
 
 
 
Assim, numa escala 1:50, cada unidade de desenho equivale a 50 vezes essas unidade na 
realidade. Se uma linha é representada no desenho com 1 cm de comprimento e sabe-se que seu 
comprimento real é de 100 metros (= 10.000 cm), então a escala de representação utilizada é de 
1:10.000 (Lê-se um para dez mil). Veja que é utilizada mesma unidade (cm no desenho e cm na 
realidade). 
 No escalímetro, cada unidade vale 1 m na realidade. Se multiplicarmos a escala por “m”, cada 
unidade vale “m” metros na realidade. 
 Para impressão em CAD: 
 
DESENHO EM MILÍMETROS 
ESCALA 1:25 1:50 1:75 1:100 1:125 
PLOTAGEM 1:25 1:50 1:75 1:100 1:125 
DESENHO EM CENTÍMETROS 
ESCALA 1:25 1:50 1:75 1:100 1:125 
PLOTAGEM 10:25 10:50 10:75 10:100 10:125 
DESENHO EM METROS 
ESCALA 1:25 1:50 1:75 1:100 1:125 
PLOTAGEM 1000:25 1000:50 1000:75 1000:100 1000:125 
 
 
 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga- SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 8 
Lembrar de não escalonar o desenho, mas somente a folha: 
 
DESENHO EM MILÍMETROS Desenho inicial da folha A4 = 210 x 297 mm 
ESCALA 1:M ESCALONAR A FOLHA VEZES M 
PLOTAGEM 1:M 
DESENHO EM CENTÍMETROS Desenho inicial da folha A4 = 21 x 29,7 cm 
ESCALA 1:M ESCALONAR A FOLHA VEZES M 
PLOTAGEM 10:M 
DESENHO EM METROS Desenho inicial da folha A4 = 0,21 x 0,297 m 
ESCALA 1:M ESCALONAR A FOLHA VEZES M 
PLOTAGEM 1000:M 
 
********************************************************************************** 
 
TRABALHOS EM GRUPO: prezado aluno, todos os exercícios e relatórios desta disciplina serão em 
grupo. Cada grupo deve entregar um trabalho. Aproveitando a oportunidade, entenda que trabalhar em 
grupo significa se reunir com todos os integrantes e discutir cada exercício (ou parte do relatório) com 
todos, aproveitando as ideias dos colegas para criar a resposta final. Se fosse para cada integrante 
resolver um exercício (ou parte do relatório), o professor já faria a divisão desta maneira. Porém, se 
assim fosse, cada aluno só aprenderia a parte que fez. Aliás, nas avaliações, o conteúdo cobrado será de 
todas as partes de todos os trabalhos, e não partes deles. Aproveite que o curso é integral e que você tem 
a oportunidade de se reunir com o grupo, já que, profissionalmente, você não tem outro compromisso 
nesta fase da vida além de estudar (são raras as exceções de alunos que trabalham). Bom trabalho! 
 
ATENÇÃO: quanto aos exercícios (exceto relatórios), o aluno que faltou no dia da aula deve 
entregar o trabalho individualmente (regra válida para toda esta apostila). 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1.1) Defina PLANIMETRIA, ALTIMETRIA E PLANIALTIMETRIA. 
 
1.2) Transforme as seguintes medidas: 
 
a) 1,24 km = _____________________ cm 
b) 0,054 hm = ______________________ m 
c) 2650 mm = ______________________ dm 
d) 0,05 km
2
 = _________________ m
2
 
e) 50 hectares = _________________ m
2
 
f) 10 alqueires (paulistas) = _________________ m
2
 
g) 45º = __________ rad 
h) 171,89º = ____º _____’ ____ ” (graus sexagesimais) 
i) 36º 12’ 50” = __________ º (graus decimais) 
j) 22º 11’ 42’’ + 120º 50’ 20’’ = _____º _____’ _____ ” 
l) 90º 02’ 21’’ - 19º 12’ 41’’ = _____º _____’ _____ ” 
 
Obs: 
Hectare = 10.000 m
2
 
Alqueire menor (paulista) = 24.200 m
2
 
Alqueire geométrico (mineiro) = 48.400 m
2
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 9 
A
0
 B’ C’’ = (A + B/60 + C/3600)0 
A,B
0
 = A
0
 (PARTE INTEIRA DE (B*60))’ [(PARTE DECIMAL DE (B*60))*60]’’ 
 
1.3) Sabendo que uma quadra poliesportiva padrão mede 16 m x 27 m: 
a) 1 hectare equivale a quantas quadras poliesportivas 
b) 1 alqueire mineiro equivale a quantas quadras poliesportivas 
1.4) Desenhar o alinhamento (ângulo aproximado) e calcular o azimute: 
 
a) R = 45º NO b) R = 15º SE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5) Desenhar o alinhamento (ângulo aproximado) e calcular o rumo: 
 
a) Az = 210º b) Az = 60º 
 
 
 
 
 
 
1.6) Dada a caderneta com as medições feitas em campo (a seguir), utilizada para o levantamento de 
uma poligonal, determinar as coordenadas dos pontos que formam a mesma. Fonte: Adaptado de Veiga, 
Zanetti e Faggion (2007). 
 
ESTAÇÃO DIST. ré (m) GRAU MINUTO SEGUNDO
1 56,57 215 32 0
2 60,83 288 54 0
3 60,75 287 6 0
4 44,72 142 7 0
OPP 51,01 326 19 0
a LIDO (º)
 
 
Azimute da direção OPP-1: 45º 
Coordenadas da estação OPP: 
XOPP = 0,00 m 
YOPP = 0,00 m 
 
Tolerâncias: 
Angular: 2*
m
 (m = número de pontos da poligonal) 
Linear: 1:1000 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 10 
 
 
 
Croqui de campo: 
 
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2007). 
 
Obs: sempre, os ângulos horizontais são externos (aparelho orientado na ré, sentido horário). 
 
Resumo da seqüência de cálculo e ajuste de uma poligonal fechada. 
 
• Determinação das coordenadas do ponto de partida (OPP); 
 
• Determinação da orientação da poligonal (azimute inicial); 
 
• Cálculo do erro de fechamento angular pelo somatório dos ângulos externos; 
• Distribuição do erro de fechamento angular; 
 
• Cálculo dos Azimutes; 
Az = Azanterior + αexterno  180
0
 
Se Azanterior + αexterno > 180
0
  Az = Azanterior + αexterno - 180
0
 
Se Azanterior + αexterno < 180
0
  Az = Azanterior + αexterno + 180
0
 
Se o valor resultante da equação genérica for maior que 360º, deve-se subtrair 360º 
 
• Cálculo das coordenadas parciais (X, Y); 
X = Xanterior + d . sen Az 
Y = Yanterior + d . cos Az 
 
• Cálculo do erro de fechamento linear (ex, CX, ey, CY); 
 
 


d
d
exCX *
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 11 


d
d
eyCY *
 
 
• Cálculo das coordenadas definitivas (XC, YC). Com isso, pode-se calcular a área da poligonal. 
XC = XC,anterior + d . sen Az + CX 
YC = YC,anterior + d . cos Az + CY 
 
1.7) Calcule a área da poligonal fechada cujas coordenadas foram calculadas no exercício anterior. Usar 
a seguinte planilha genérica de cálculo (Método DDM): 
 
ESTAÇÃO 
COORDENADAS 
COORDENADAS 
X ABSOLUTAS 
(xab) 
COORDENADAS 
Y RELATIVAS 
(yrel) 
(xab*yrel) 
X Y 
A XA YA XA + XB YB - YA (XA + XB) * (YB - YA) 
B XB YB XB + XC YC - YB (XB + XC) * (YC - YB) 
C XC YC XC + XD YD - YC (XC + XD) * (YD - YC) 
D XD YD XD + XE YE - YD (XD + XE) * (YE - YD) 
E XE YE XE + XF YF - YE (XE + XF) * (YF - YE) 
F XF YF XF + XG YG - YF (XF + XG) * (YG - YF) 
G XG YG XG + XA YA - YG (XG + XA) * (YA - YG) 
 
SOMA SOMA ACIMA 
 
ÁREA |SOMA ACIMA|/ 2 
1.8) Sabendo que a coordenada do ponto OPP georreferenciada do exercício 1.5 seja N = 9585 km e E = 
554 km, no fuso UTM 24 no hemisfério sul, posicione o ponto no mapa a seguir. 
 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 12 
1.9) Desenhe as quadrículas do projeto do exercício 1.6, sabendo que as coordenadas UTM do ponto 
OPP valem N = 9585,000 km e E = 554,000 km. Use o intervalo entre as quadrículas de 10 em 10 m em 
múltiplos de 10 m, na escala 1:500. 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 13 
2. TOPOLOGIA E CURVAS DE NÍVEL 
 
2.1. CURVAS DE NÍVEL 
 
Conforme citado, o objetivo principal desta disciplina é a ALTIMETRIA, ou seja, a medição dos 
terrenos quanto às alturas dos pontos. O objetivo é medir as alturas de determinados pontos para se 
determinar as curvas de nível (linhas em que todos os pontos têm a mesma altura em relação a um 
mesmo referencial), que são uma representação do relevo no plano. Veja as figuras abaixo que ilustram 
3 exemplos do processo: 
 
 
Figura: TERRENO A SER CARACTERIZADO. Fonte: O próprio autor. 
 
 
Figura: TERRENO DA FIGURA ANTERIOR REPRESENTADO PELAS CURVAS DE NÍVEL, NUMA 
VISTA TRIDIMENSIONAL. Fonte: O próprio autor. 
 
 
Figura: TERRENO DA FIGURA ANTERIOR REPRESENTADO PELAS CURVAS DE NÍVEL, NUMA 
VISTA EM PLANTA. Fonte: O próprio autor. 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av.Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 14 
 
 
Figura: TERRENO A SER CARACTERIZADO. Fonte: O próprio autor. 
 
 
Figura: TERRENO DA FIGURA ANTERIOR REPRESENTADO PELAS CURVAS DE NÍVEL, NUMA 
VISTA TRIDIMENSIONAL. Fonte: O próprio autor. 
 
 
Figura: TERRENO DA FIGURA ANTERIOR REPRESENTADO PELAS CURVAS DE NÍVEL, NUMA 
VISTA EM PLANTA. Fonte: O próprio autor. 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 15 
 
Figura: TERRENO A SER CARACTERIZADO. Fonte: O próprio autor. 
 
 
Figura: TERRENO DA FIGURA ANTERIOR REPRESENTADO PELAS CURVAS DE NÍVEL, NUMA 
VISTA TRIDIMENSIONAL. Fonte: O próprio autor. 
 
 
Figura: TERRENO DA FIGURA ANTERIOR REPRESENTADO PELAS CURVAS DE NÍVEL, NUMA 
VISTA EM PLANTA. Fonte: O próprio autor. 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 16 
Quando as distâncias verticais são referidas à superfície média dos mares (N.M.M. ou NÍVEL 
VERDADEIRO), são chamadas de ALTITUDES. Se forem referidas a uma superfície de nível 
arbitrária (qualquer), acima ou abaixo do N.M.M, são chamadas de COTAS (ou NÍVEL APARENTE). 
 
 
Fonte: Silva (2003a). 
 
Definindo, curva de nível é uma linha que liga pontos do terreno de mesma cota ou de mesma 
altitude. Esta linha é dada pela intersecção de planos horizontais com a superfície do terreno. 
A projeção do conjunto de linhas horizontais sobre o plano horizontal dá-se em verdadeira 
grandeza, isto é, conserva as formas e as dimensões das linhas projetadas. 
 
 
 
*cotas em metro. 
 
A distância vertical entre os planos horizontais sucessivos se mantém constante, ou seja, estes 
planos horizontais que representam as curvas de nível são eqüidistantes. Veja, na figura anterior, que as 
cotas aumentam de 10 em 10 (10, 20, 30 e 40) m. 
A eqüidistância das curvas de nível varia com a escala do desenho e com o rigor com que se 
deseja representar o relevo. Quanto menor a eqüidistância, maior o rigor, ou seja, melhor a 
representação do relevo do terreno. A tabela 5 da NBR 13133 (1994) (parte reproduzida a seguir) 
apresenta as eqüidistâncias ideais para alguns tipos de levantamento. 
 
 
 
 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 17 
 
Tabela: reprodução de parte da Tabela 5 da NBR 13133, para ilustrar a eqüidistância recomendada 
entre as curvas de nível, de acordo com a metodologia de levantamento topográfico. 
 
 
Observações, conforme a NBR 13133: 
1 hectare = 10.000 m
2
 
Poligonais planimétricas classe V P - Levantamentos topográficos para estudos expeditos. 
Poligonais planimétricas classe IV P - Levantamentos topográficos para estudos de viabilidade em 
projetos de engenharia (um pouco mais precisos do que a classe V P). 
Nivelamentos classe II N - Nivelamento geométrico destinado a projetos básicos, executivos, como 
executado, e obras de engenharia; 
Nivelamentos classe IV N - Nivelamento trigonométrico destinado a estudos expeditos (menos precisos 
do que a classe II N). 
 
Veja, na figura a seguir, que, numa mesma diferença de nível entre 2 pontos, as distâncias 
horizontais entre eles podem ser diferentes. Observe que a inclinação maior de um ponto a outro se 
relaciona a uma distância horizontal menor, e vice-versa. 
 
Fonte: O próprio autor. 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 18 
 Aplicando o mesmo raciocínio, nas curvas de nível abaixo, o perfil AB tem menor inclinação 
que o perfil CD. 
 
 
 
 Note que, nas curvas de nível acima, como as cotas aumentam em direção ao centro, o terreno 
apresenta picos, elevações. Se as cotas diminuíssem, seriam depressões. 
A interpretação do terreno, representado por curvas de nível na planta, é feita pelas distâncias 
horizontais que separam as curvas de nível. Curvas de nível muito afastadas umas das outras indicam 
que a topografia do terreno é suave; se estiverem muito próximas, trata-se de topografia acidentada e, 
portanto, de terreno fortemente inclinado. Sendo assim, o maior declive de um terreno ocorre no local 
em que aparece a menor distância horizontal entre duas curvas de nível. 
As elevações e depressões isoladas do terreno distinguem-se, graficamente, pelo envolvimento 
das curvas de nível (curvas fechadas). Quando as curvas de nível de menor valor envolvem as de maior 
valor, trata-se de uma elevação; em caso contrário, de uma depressão. 
Note que é necessário saber as posições das curvas de nível (ou dos pontos que darão origem a 
elas) em planta, ou seja, não é possível realizar um levantamento puramente altimétrico, mas é 
necessário o levantamento planimétrico concomitantemente, dando origem ao levantamento 
planialtimétrico. 
Para possibilitar o traçado da planta planialtimétrica, o levantamento deve obter dados que 
permitam marcar no desenho um número de pontos cotados notáveis capaz de caracterizar o relevo da 
superfície topográfica por meio das curvas de nível que melhor o representem. Estes pontos são aqueles 
em que o terreno apresenta uma mudança acentuada de declividade em relação às suas proximidades. Os 
pontos notáveis podem ser classificados, sempre em relação a suas proximidades, em mais altos, mais 
baixos e intermediários. A união de pontos notáveis da mesma categoria dá origem às linhas notáveis, 
que são os elementos do relevo, ou seja, caracterizam a forma da superfície topográfica. 
Veja, nas figuras a seguir, à esquerda, quais os pontos notáveis, necessários para a obtenção das 
curvas de nível do terreno (à direita). Devem ser levantadas as posições desses pontos na planta do 
terreno (planimetria), para depois serem obtidas suas alturas (altimetria), formando o levantamento 
planialtimétrico. 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 19 
 
 
 
Figura: EXEMPLOS DE CURVAS DE NÍVEIS OBTIDAS PARA ALGUNS TERRENOS. Fonte: 
Adaptado de Veiga, Zanetti e Faggion (2007). 
 
2.2. ELEMENTOS DE RELEVO 
 
Neste momento, abre-se um pequeno parêntesis para a nomenclatura dos principais elementos do 
relevo que podem ser encontrados nos terrenos naturais, conforme a figura a seguir: 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 20 
 
 
- linha de cumiata: é o lugar geométrico dos pontos de altitudes mais altas, materializa a linha divisora 
das águas (EC e DC da figura anterior); 
- linha de talvegue: é o lugar geométrico dos pontos de altitudes mais baixas, materializa a linha de 
junção das águas (CB e CA da figura anterior); 
- vertente: é a superfície compreendida entre a linha de cumiata e a linha de talvegue (seria a região 
entre EBDC e ECDA da figura anterior); 
- espigão: é o ponto de altitude mais alta da linha de cumiata (seria o ponto E e o D da figura anterior); 
- garganta: é o ponto de altitude mais baixa da linha de talvegue (seria o ponto A da figura anterior). 
 
2.3. DUAS OBSERVAÇÕES IMPORTANTES 
 
(a) Duas curvas de nível raramente se cruzam, porque disto resulta um único ponto comduas elevações 
diferentes; 
 
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2007). 
 
 Numa região de caverna, por exemplo, pode ocorrer o cruzamento: 
 
Fonte: O próprio autor. 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 21 
(b) Duas curvas de nível não podem se encontrar e continuar numa só. Neste caso elas estariam 
superpostas, e, para isto acontecer, deveria haver um plano vertical, o que não ocorre na natureza; 
 
 
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2007). 
 
2.4. TRAÇADO DAS CURVAS DE NÍVEL – MÉTODO DA INTERPOLAÇÃO 
 
Ao final do levantamento planialtimétrico, tem-se vários pontos e os valores de suas cotas 
verticais. O levantamento planimétrico foi estudado no semestre anterior e o levantamento altimétrico 
vai ser estudado nos próximos capítulos. Será explicado antes o porquê de se realizar o levantamento 
altimétrico e como chegar ao resultado esperado, a planta com as curvas de nível. 
Imagine que você irá executar um dos métodos de altimetria e chegar a uma planta com a 
demarcação de vários pontos com suas alturas. Com certeza os valores não serão números inteiros do 
tipo 4 m, 40 m, etc., mas serão 4,55 m, 36,18 m, etc. Acontece que queremos curvas de nível em alturas 
inteiras. Para obter os pontos de passagem das curvas de nível de cotas inteiras nas plantas, deve-se 
empregar o método da interpolação. 
Trata-se de uma atividade simples, pois se considera o terreno como uma linha uniformemente 
inclinada (reta) entre os dois pontos de cota conhecida, determinando assim os pontos de cota inteira 
existentes entre eles. Por isso é importante escolher corretamente os pontos a serem levantados, de 
forma que não existam mudanças de declividade fora do levantamento. A interpolação pode ser feita 
pelo método gráfico ou pelo método analítico. 
 
Método gráfico: 
 
Fonte: O próprio autor. 
Na figura acima, têm-se, em planta, os pontos de cotas conhecidas (levantamento altimétrico) A 
(10,7 m) e B (11,6 m), distantes entre si de 10 m na horizontal (levantamento planimétrico). Pelos 
pontos A e B foram traçadas duas retas paralelas (AC e BD), não necessariamente perpendiculares a 
AB. Nelas, foram marcadas as distâncias 0,3 e 0,6 em qualquer escala, contanto que iguais. São os 
valores para chegar de 10,7 a 11 (0,3) e de 11,6 a 11 (0,6). Obtemos os pontos C e D. Traçando a reta 
CD, ela cruza AB em E, que é justamente o ponto de cota 11 na reta AB. O ponto E, se medido na 
escala adequada, fica a 3,33 m do ponto A. 
 
Método analítico: 
 
Considerando a figura anterior, a interpolação analítica é baseada na semelhança dos triângulos 
ACE e BDE: 
 
AE / AB = AC / (AC + BD) 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 22 
No caso: 
AE / 10 = 0,3 / (0,3 + 0,6)  AE = 3,33 m. 
 
Conhecendo-se AE (3,33 m), o ponto E será marcado na reta AB usando-se a mesma escala. 
 
Então você irá fazer o mesmo procedimento e encontrar a posição de vários pontos com cota 11 
m. Depois vai ligá-los, formando uma curva de nível. E fará novamente tudo para vários valores de cota 
inteira (10, 12, 13, etc.), formando várias curvas de nível daquele terreno. 
ATENÇÃO: faça interpolações somente entre pontos próximos ou entre pontos em que se possa 
garantir que a declividade entre eles é constante! 
 
********************************************************************************** 
 
EXERCÍCIOS 
 
2.1) Assinale verdadeiro (V) ou falso (F), de acordo 
com a planta topográfica ao lado. 
 
( ) A representação gráfica da ilustração é a que 
apresenta o relevo em forma de perfis. 
( ) Entre as duas montanhas representadas existe um 
vale profundamente encaixado e situado a cerca de 
490 m de altitude. 
( ) A eqüidistância entre as curvas é de 310m. 
( ) As vertentes das montanhas assinaladas com a 
letra A são mais íngremes que as vertentes assinaladas 
com a letra B. 
( ) As partes mais altas das duas elevações estão 
situadas acima de 800 m de altitude. 
 
 
 
 
 
 
 
2.2) Na interpretação das cartas topográficas, quanto maior a proximidade das curvas de nível: 
a) maior a declividade do terreno. 
b) menor a declividade do terreno. 
c) maior a escala de representação da carta. 
d) menor a escala de representação da carta. 
 
2.3) Qual a diferença entre ALTITUDE e COTA VERTICAL? 
 
2.4 a 2.6) Os pontos dos terrenos a seguir (demarcados pela planimetria) foram levantados quanto aos 
níveis (altimetria), obtendo-se as cotas indicadas em metro. O terreno tem 21 x 29,4 m. Os pontos dos 
cantos foram demarcados a 1 m das laterais e os demais nos alinhamentos médios entre ponto e ponto 
ou ponto e lado (de acordo com as medidas abaixo). Desenhar as curvas de nível, usando método da 
interpolação gráfico ou analítico, para os exercícios a seguir. Usar escala 1:100. 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 23 
 
 
Figura: PLANTA COM AS POSIÇÕES PLANIMÉTRICAS DOS PONTOS (* cotas em metro). Fonte: O 
próprio autor. 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 24 
 
EXERCÍCIO 2.4 – VALORES DAS COTAS VERTICAIS (* cotas em metro). Fonte: O próprio autor. 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 25 
 
EXERCÍCIO 2.5 – VALORES DAS COTAS VERTICAIS (* cotas em metro). Fonte: O próprio autor. 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 26 
 
EXERCÍCIO 2.6 – VALORES DAS COTAS VERTICAIS (* cotas em metro). Fonte: O próprio autor. 
 
 O próximo e principal passo a ser estudado nesta disciplina é como obter os valores das cotas 
dos pontos num terreno, para chegar, ao final, pelo método da interpolação, por exemplo, ao desenho do 
relevo do terreno representado pelas curvas de nível. 
 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 27 
3. ALTIMETRIA OU NIVELAMENTO 
 
Sabemos que PLANIMETRIA envolve os métodos topográficos para medições no plano. A 
partir de agora, será estudada a ALTIMETRIA OU NIVELAMENTO, parte que se ocupa com as 
determinações das distâncias verticais ou diferenças de nível ou cotas verticais ou ainda altitudes. 
Relembrando, ao conjunto de levantamentos topográficos completos se dá o nome de 
PLANIALTIMETRIA. Sempre que você for determinar a cota vertical de um ponto você precisará 
posicionar este ponto em planta, portanto sempre se faz PLANIALTIMETRIA. 
Um site interessante a consultar é o http://pt-br.topographic-map.com/, que mostra a altitude de 
qualquer ponto terrestre. 
 
Serão estudados aqui os seguintes métodos de Nivelamento: 
 
a) GEOMÉTRICO: é o mais exato dos nivelamentos, realizado por meio de visadas horizontais com um 
instrumento chamado Nível. 
 
b) TRIGONOMÉTRICO: realizado por meio de Teodolitos (ou Estações Totais) com visadas em 
qualquer inclinação; tende a ser menos exato do que o Nivelamento Geométrico. 
 
3.1. INSTRUMENTOSUTILIZADOS NOS NIVELAMENTOS 
 
a) TEODOLITO OU ESTAÇÃO TOTAL – bem caracterizados em TOPOGRAFIA 1. 
 
Figura: Teodolito (à esquerda) e Estação Total (à direita). 
 
b) NÍVEL ÓPTICO – é um instrumento utilizado para a determinação de superfícies horizontais. Ele 
não possui medição de ângulos verticais, mas somente horizontais. 
 
 
 
Figura: Nível óptico. Obs: Um nível óptico foi comprado, em fevereiro de 2014, por R$ 390,00. 
Fonte: Silva (2003a). 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 28 
Principais Componentes: 
- Barra Horizontal 
- Luneta 
- Ocular com fios do retículo e estadimédicos 
- Nível de bolha (circular, tubular e bolha bipartida). 
 
c) MIRA – é o mesmo equipamento estudado em Planimetria/TOPOGRAFIA 1. Relembrando, são 
réguas graduadas colocadas nos pontos a nivelar. Sua menor célula gráfica é o cm (centímetro); são 
numeradas de dm em dm (decímetro), sendo que os metros podem ser indicados por pontos ou números. 
Um nível de cantoneira ou um nível de bolha junto à mesma facilita sua verticalidade. Podem ser 
extensíveis ou dobráveis. 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
Obs: a mira é colocada sobre o piquete. 
 
 
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2007). 
 
CADA DIVISÃO MENOR 
VALE 1 cm 
Ex: 143 cm = 1,43 m 
10 cm = 1 dcm 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 29 
4. NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 
Neste tipo de nivelamento, os dados são colhidos por meio de visadas horizontais, por meio de 
um nível óptico ou por meio de um teodolito ou estação total com o ângulo vertical fixo em 0º. Consiste, 
portanto, em criar um plano horizontal imaginário e determinar as interseções deste plano com uma 
série de verticais (materializadas por miras) levantadas nos pontos a nivelar (previamente demarcados 
por planimetria) e, em seguida, obter a distância vertical destes pontos com relação ao plano de 
referência (conforme figura abaixo). 
 
Fonte: Silva (2003a). 
 
Segundo a NBR 13133 (1994), as visadas devem se situar acima de 50 cm do solo (leitura 
mínima). 
 
4.1. NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES 
 
Por meio de uma única estação do instrumento se determinam as diferenças de nível de vários 
pontos em relação a um ponto de cota vertical conhecida. 
 
VISTA DE PERFIL. Fonte: Silva (2003a). 
 
Note que os pontos a nivelar não precisam estar alinhados com a estação (nível): 
 
 
Figura: VISTA EM PLANTA. Fonte: Adaptado de Veiga, Zanetti e Faggion (2007). 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 30 
4.2. NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO 
 
Devido a desníveis acentuados e/ou a grandes distâncias dos pontos a nivelar, torna-se necessário 
estacionar o aparelho em mais de uma posição. Então, se decompõe o trecho a nivelar em trechos 
menores e realiza-se uma sucessão de nivelamentos geométricos simples. 
 
 
Figura: VISTA DE PERFIL. Fonte: Silva (2003a). 
 
 Note que os pontos e as estações não precisam estar alinhados: 
 
 
VISTA EM PLANTA (as estações são os círculos pretos) 
 
4.3. TÉCNICAS EXECUTIVAS DO NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 
A primeira etapa de um nivelamento é a escolha dos pontos notáveis do terreno em que se 
verifica mudança de declividade, demarcando-os por planimetria. O passo seguinte é definir poligonais 
abertas ou poligonais fechadas, de forma que se possam medir os níveis de todos os pontos. 
Por exemplo, veja, na figura a seguir, uma possível diretriz de nivelamento utilizando várias 
poligonais abertas. Isso pode ser aplicado num terreno ou mesmo numa área de futura estrada: 
 
 
Figura: DEFINIÇÃO DE VÁRIAS POLIGONAIS ABERTAS. Fonte: Silva (2003a). 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 31 
Outra possibilidade é definir poligonais fechadas, conhecidas como circuitos. A união de vários 
circuitos forma uma REDE DE NIVELAMENTO. 
 
DEFINIÇÃO DE VÁRIAS POLIGONAIS FECHADAS (CIRCUITOS) 
 
A NBR 13133 (1994) expõe que a distância entre os pontos (lance) deve ficar entre 15 m a 80 m 
(para evitar erros devido à curvatura da Terra), sendo permitido perímetro total da poligonal de até 10 
km. Na prática, por exemplo, de nivelamento de trechos de estradas, nivelam-se pontos a cada 20 m, 
sendo obviamente possíveis pontos intermediários considerados se tiverem importância na configuração 
do terreno. Em geral, a definição dos pontos notáveis depende da topologia do terreno. 
 
4.4. MÉTODOS DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 
É possível dividir o nivelamento geométrico em quatro métodos: 
- visadas iguais 
- visadas eqüidistantes 
- visadas recíprocas 
- visadas extremas e visadas extremas com RN 
 
VISADAS IGUAIS 
 
Neste caso, o desnível entre 2 pontos é calculado apenas pela subtração entre as leituras: 
 
Fonte: Veiga, Zanetti e Faggion (2007). 
Características: 
- o nível deve ficar a uma distância igual entre os 2 pontos, aceitando-se uma diferença de até 2m. 
- não há a necessidade de estacionar o nível sobre um ponto. 
- existe a dificuldade de se ter que ter muitas estações, no caso de muitos pontos distantes. 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 32 
 Veja que esta técnica é parecida com o uso do nível de mangueira em pequenas obras: 
 
 
 
 
VISADAS EQUIDISTANTES 
 
Neste caso, devem-se realizar, para cada lance, leituras com o nível estacionado em duas 
posições diferentes, equidistantes alternadamente em relação aos pontos, conforme a figura a seguir, 
para verificação do erro: 
 
Fonte: Adaptado de Veiga, Zanetti e Faggion (2007). 
 
Características: 
- desnecessário quando se está utilizando uma poligonal 
- útil para medições de 2 pontos 
- muito demorado, por causa do estacionamento 2 vezes por lance 
 
VISADAS RECÍPROCAS E EXTREMAS 
 
Nestes métodos, determina-se o desnível entre o ponto em que o nível está estacionado e o ponto 
em que a mira está estacionada por meio do conhecimento da altura do nível até o chão (hi na figura a 
seguir) e da leitura efetuada sobre a mira (LM da figura a seguir). 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 33 
 
Fonte: Adaptado de Veiga, Zanetti e Faggion (2007). 
 
Se aplicado somente como explicado, recebe o nome de VISADAS EXTREMAS. Caso se façam 
duas leituras, com estacionamento do nível sobre os 2 pontos (possibilidade de verificação do erro), 
temos as VISADAS RECÍPROCAS: 
 
Fonte: Adaptado de Veiga, Zanetti e Faggion (2007). 
 
Características: 
- é necessário estacionar (centralizar) a mira em um ponto (ou nos 2 pontos) de cada lance, o que causa 
demora. 
- probabilidade maior de erro de medição da altura do instrumento, que é feita com trena. 
 
VISADAS EXTREMAS COM RN 
 
Para evitar os inconvenientes do método de visadas extremas, posiciona-se o nível em qualquer 
ponto e se estabelece a leitura de ré num ponto de cota vertical conhecida (ou arbitrada), chamado 
referência de nível (RN) conforme a figura a seguir: 
 
Fonte: Adaptado de Veiga,Zanetti e Faggion (2007). 
 
Pode-se chamar a cota do RN (HRN) mais a leitura naquele ponto (LRN) de altura do plano de 
visada, ou APV. Então a cota do ponto a nivelar vale HB = APV – Lm. Este será o método aplicado nas 
aulas práticas de nivelamento geométrico. 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 34 
 
4.5. CÁLCULOS DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO COM VISADAS EXTREMAS 
COM RN UTILIZANDO UMA POLIGONAL 
 
Imagine que queremos encontrar as cotas de pontos de um terreno definidos dentro de uma 
POLIGONAL ABERTA (A a G na figura a seguir) (lembre-se que os pontos não têm que estar 
alinhados em planta). 
 
 
Fonte: Silva (2003a). 
 
Como estudado para esta técnica, para se calcular as cotas ou altitudes dos pontos a nivelar, é 
necessário conhecer (ou arbitrar) a cota ou altitude de um ponto inicial (por exemplo, ponto A), 
chamado de RN (Referência de Nível). 
 
A primeira providência, para cada estação, é determinar o APV (altura do plano de visada): 
 
APV = COTA A + Leitura de Ré A (em que A é a RN). 
 
Leitura de Ré – é uma leitura feita a um ponto cuja cota ou altitude é conhecida. No caso, já 
conhecemos a cota de A. A leitura de ré serve somente para o cálculo do APV. 
 
Obs: as leituras agora serão feitas pelo fio estadimétrico MÉDIO. Podem ser feitas as leituras dos fios 
SUPERIOR e INFERIOR para o cálculo da média entre elas, que tem que resultar na leitura do FIO 
MÉDIO. Isto elimina erros grosseiros de leitura. 
 
Leitura de Vante (V) – é uma leitura a um ponto de cota ou altitude desconhecida, ou seja todas as 
leituras dos outros pontos, que não o de ré, serão leituras de vante (ou vante intermediária). A leitura de 
vante serve para o cálculo da cota do ponto. Pela figura anterior, geometricamente (daí o nome deste 
nivelamento): 
 
Cota B = APVI – VB Cota C = APVI – VC Cota D = APVI – VD 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 35 
No exemplo da figura anterior, da estação I somente foi possível a leitura até o ponto D. É 
necessário mudar a estação para a posição II, configurando-se, então, um nivelamento geométrico 
composto. Uma vez instalado o aparelho na estação II, a primeira atitude que se toma é determinar a 
nova altura do plano de visada, APVII, fazendo-se uma visada de ré no ponto D. 
 
APVII = CD + Ré D 
Cota E = APVII – VE Cota F = APVII – VF Cota G = APVII – VG 
 
 O último ponto lido em cada estação, que é de vante, será sempre usado como ré na próxima 
estação (caso do ponto D da figura anterior). Esses pontos são chamados de VANTE DE MUDANÇA. 
 
ERRO DE FECHAMENTO VERTICAL 
 
Num nivelamento geométrico simples (POLIGONAL ABERTA), não há como calcular um erro 
de fechamento, uma vez que, a partir de uma estação, são feitas leituras de vante e as cotas dos pontos 
são calculadas a partir da cota de ré. Sendo assim, pode-se fazer outro nivelamento a partir do ponto 
final (vante de mudança) até o ponto inicial (ré), chamando-se esta operação de CONTRA–
NIVELAMENTO. Neste caso, nivela-se somente os pontos final e inicial, encontrando-se o erro pela 
diferença entre a cota calculada no ponto inicial e a cota real deste mesmo ponto. E, se tolerável, deve-
se corrigir somente a cota de vante DE MUDANÇA. As cotas dos pontos de VANTE não podem ser 
corrigidas, já que não estão relacionadas ao erro porque nelas só foi feita uma leitura. Situação idêntica 
acontece numa poligonal FECHADA, já que é como se houvesse nivelamento e contra-nivelamento de 
uma vez. 
Já num nivelamento geométrico composto (várias estações), que é o caso exposto, formado 
numa poligonal fechada ou uma poligonal fechada com contra-nivelamento, encontra-se o erro pela 
diferença entre a cota calculada no ponto inicial e a cota real deste mesmo ponto. Porém, este erro pode 
ter ocorrido em todos os pontos de vante de MUDANÇA, sendo que ele pode ser distribuído nestes 
pontos. 
No exemplo, faz-se o contra-nivelamento partindo-se do ponto G (leitura de ré) até o ponto A, 
passando por quantas estações forem necessárias (só se for necessário por causa de não-visibilidade de 
algum ponto), diferentes das estações de ida. Se imaginarmos apenas uma estação na volta (APV*), com 
ré em G e vante de mudança em A, cota do ponto A, no contra-nivelamento, será dada por: 
 
Cota A* = APV* – VA 
 
 O erro de fechamento (erros de leituras em campo) vertical vale: 
 
Erro = Cota A - Cota A* 
 
 Realizado o nivelamento e calculado o erro (explicações a seguir), o mesmo deve ser menor do 
que o tolerado. A tolerância da NBR 13133 (1994) para nivelamentos GEOMÉTRICOS comuns para 
obras de engenharia (classe IIN) é de 20 mm*
K
, sendo K o somatório das distâncias entre os pontos 
de vante de MUDANÇA (em km) da poligonal, num único sentido (na prática, é o perímetro da 
poligonal). O erro tolerável assim calculado sai em milímetros. 
 Para a classe IIN, a NBR 13133 (1994) expõe ainda que a precisão do aparelho (nível) mínima 
deve ser classe 2 (precisão média), ou seja, ≤ 10 mm/km. Os níveis do IFSP campus Votuporanga 
(marca Geodetic 32X), de acordo com o manual, têm precisão de 1 mm/km e portanto atendem a essa 
exigência. 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 36 
 Caso o erro de fechamento vertical seja tolerável, pode-se distribuí-lo entre os pontos de vante 
DE MUDANÇA SOMENTE DA IDA. Caso seja maior que o tolerável, deve-se refazer o procedimento 
de medidas em campo. Neste exemplo o erro pode ser distribuído nos pontos D e G, que são os pontos 
de vante de MUDANÇA DA IDA. 
Normalmente as leituras e cálculos são colocados numa planilha com o seguinte formato: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Deve-se fazer a seguinte conta para verificar se houve erros NOS CÁLCULOS da planilha (não 
tem nada a ver com o erro de fechamento proveniente de erros de leitura em campo): 
 
EC = (soma das leituras de ré - soma leituras de vante de mudança) 
Se EC = (cota do último ponto – cota do primeiro ponto), não houve erros de cálculos da planilha 
 
 O procedimento feito para uma POLIGONAL FECHADA é exatamente o mesmo aqui 
apresentado para poligonais abertas, não sendo necessário o contra-nivelamento, pois a última leitura já 
será no ponto inicial. 
Ao final, deve-se elaborar a planta topográfica com as curvas de nível (método analítico ou 
gráfico de interpolação, já explicado) ou o desenho do perfil da poligonal aberta. 
 
EXEMPLO: 
 
Dados de Campo (nivelamento de ida): 
 
 
Fonte: Adaptado de Silva (2003a). 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 37 
 
Contra–Nivelamento: 
 
Fonte: Adaptado de Silva (2003a). 
 
Obs: Distância entre os piquetes é de 20m. 
Cota A= 50,000 m (conhecido previamente) 
 
 
 
 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 38 
Fórmulas: 
 
APV = cota RN + leitura RN 
Cota ponto = APV – Vante ponto 
 
Efetuando os cálculos: 
 
APVI = CA + Ré A = 50,000 + 1,820 = 51,820 m 
CB = APVI - VB = 51,820 – 3,725 = 48,095 m 
CC = APVI - VC = 51,820 – 3,749 = 48,071 m 
 
APVII = CC + Ré C = 48,071+ 0,833 = 48,904 m 
CD = APVII – VD = 48,904 – 2,034 = 46,870 m 
CE = APVII – VE = 48,904 – 2,501 = 46,403 m 
CF = APVII - VF = 48,904 – 3,686 = 45,218 m 
CG = APVII - VG = 48,904 – 3,990 = 44,914 m 
 
APVIII = CG + Ré G = 44,914 + 3,658 = 48,572 m 
CC = APVIII – VC = 48,572 – 0,501 = 48,071 m 
 
APVIV = CC + Ré C = 48,071 + 2,867 = 50,938 m 
CA = APVIV – VA = 50,938 – 0,934 = 50,004 m 
 
Erro = 50,004 – 50,000 = 0,004 m 
EC = soma das leituras de ré - soma leituras de vante de mudança = 9,178 – 9,174 = 0,004 
 
Erro = EC  não houve erros de cálculo na planilha 
 
K = dA-C + dC-G = 40+80 = 120 m = 0,12 km 
Obs: cuidado, aqui a poligonal é linear e, por isso, o perímetro coincide com DhA-G. No caso de uma 
poligonal não-linear em planta, o perímetro é obtido a partir da medição no desenho da mesma, de 
acordo com a planimetria, ou usando a equação da distância entre 2 pontos, que vale: 
 
 
No exemplo, o erro tolerável é: 
ET = 20 mm*√K = 20 mm*√0,12 = 6,92 mm 
 
Conclui-se que o erro foi admissível (0,004 m = 4 mm < 6,92 mm). Dividindo o erro nos pontos 
de vante de mudança da ida, as cotas finais corrigidas ficam: 
CA = 50,000 m 
CB = 48,095 m 
CC = 48,071 m – 0,002 = 48,069 m 
CD = 46,870 m 
CE = 46,403 m 
CF = 45,218 m 
CG = 44,914 m – 0,002 = 44,912 m 
 
 O desenho, no caso, do perfil do terreno ficaria: 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 39 
 
Fonte: Adaptado de Silva (2003a). 
 
Repare, no perfil anterior, que a escala vertical é bem maior que a horizontal. Isso é indicado e 
pode ser usado porque os desníveis são muito menores do que as distâncias horizontais entre os pontos. 
 
******************************************************************************* 
 
EXERCÍCIOS: 
 
4.1) Sabendo-se que o ponto 1 tem altitude igual a 974,150 m, calcular a altitude dos demais pontos e 
desenhar o perfil do terreno que passa pelos pontos 1 a 7 do croqui a seguir. As leituras são dos fios 
médios e estão em metros (m). A distância entre os pontos é de 20 m. 
 
NIVELAMENTO: 
 
CONTRA-NIVELAMENTO: 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 40 
4.2) Efetuar os cálculos das cotas dos pontos para as leituras (em metro) representadas no croqui a 
seguir. Considere a tabela com o contra-nivelamento. Desenhar o perfil levantado. 
 
NIVELAMENTO: 
 
ATENÇÃO: quando é localizada uma estaca/piquete, em planta, fora da distância padrão, no caso desde 
exercício, 5 m, o nome deste ponto é “PONTO ANTERIOR + DISTÂNCIA DO PONTO ANTERIOR”. 
É o caso dos pontos “2+8”, “5+8,7” e “7+5,8”. Obviamente, a distância até o próximo ponto também 
não será a padrão. 
 
CONTRA-NIVELAMENTO: 
 
 
 
Relatório da aula prática: Fazer as medições em campo para um Nivelamento Geométrico de pontos 
notáveis de uma área de terreno a ser definida pelo professor. Realizar a PLANIMETRIA dos pontos 
altimétricos por IRRADIAÇÃO a partir de um alinhamento com 2 vértices conhecidos do terreno. 
Levantar os vértices do terreno pela teoria de POLIGONAL FECHADA OU POLIGONAL ABERTA 
COM CONTRA-NIVELAMENTO, para a verificação do erro vertical. Apresentar o relatório, de 
acordo com o Modelo no Apêndice A. Desenhar as curvas de nível do terreno, com intervalos verticais 
de 0,5 m, um perfil longitudinal e um transversal. Especificar o Norte Geográfico e as quadrículas do 
terreno, considerando o ponto 0 com coordenadas UTM (N,E) = (7.743,373 km, 607,746 km). Use o 
intervalo entre as quadrículas de 3 m em 3 m. 
 
PARA PLANIMETRIA, USAR PLANILHAS DE CAMPO DESCRITAS NA APOSTILA DE TOPE3 
PARA ALTIMETRIA, USAR A SEGUINTE PLANILHA DE CAMPO: 
 
 
 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 41 
 
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO: 
 
 
 
 
 
 
 
CROQUI: 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Usar roupas e calçado adequados para ambiente de terra e mato. Usar protetor solar. 
Obs2: fazer os cálculos das cotas ainda em campo, para verificar os valores obtidos visualmente no 
terreno. 
Obs3: entregar os dados de campo para o professor assim que terminar a aula prática; enviar a planilha 
eletrônica com os cálculos automatizados para o e-mail do professor, até o momento da entrega do 
relatório impresso. 
Obs 4: usar teodolito para planimetria e nível óptico para altimetria. 
 
*********************************************************************************** 
 
AVALIAÇÃO DO RELATÓRIO: 
 
Em caso de falta NÃO JUSTIFICADA (com documento – saúde ou exército), o aluno terá nota de 40% 
caso o grupo coloque seu nome como integrante, indicando que houve ajuda no relatório. Falta isoladas 
sem justificativa terão nota zero. Se a maioria do grupo faltar (sem justificativa), terá nota zero se não 
realizar a prática em outro dia. O integrante que vier poderá se juntar, excepcionalmente, a outro grupo. 
 
Objetivos (0,5); Materiais (0,5); Métodos (2,5); Cálculos (2,5); Conclusões (0,5) 
Resultados: 
(0,5 pela entrega dos croquis e anotações de campo, no final da aula prática. Portanto, duplicar as 
anotações de campo) 
(0,5 pela entrega via e-mail do Excel automatizado) 
(0,5 pelas tabelas com os resultados, no relatório) 
(2,0 pelo projeto em desenho impresso - anexo) 
 
*********************************************************************************** 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 42 
5. NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO 
 
O Nivelamento Trigonométrico é outro método de nivelamento (portanto tem o mesmo objetivo 
do Nivelamento Geométrico), que opera com visadas inclinadas (lembre-se que o Nivelamento 
Geométrico somente opera com visadas horizontais), sendo as DNs (diferenças de nível) determinadas 
pela resolução de triângulos retângulos, conhecendo-se a base (distância horizontal DH) e o ângulo 
(inclinação vertical v). Sejam 2 pontos A e B em que se quer saber a diferença de nível (DN): 
 
Fonte: Silva (2003b). 
 
A partir da figura acima e da trigonometria: 
 
DN = DH * tg(v) – fm + hi 
 
fm: leitura no fio médio realizada pela luneta do teodolito ou estação total 
hi: altura do ponto (chão) até o centro da luneta do teodolito ou estação total 
 
 
Dependendo do teodolito, pode ser lido o ângulo zenital, então temos que usar a fórmula abaixo: 
 
DN = DH * tg(90
0
-z) – fm + hi 
 
O Nivelamento Trigonométrico substitui o Nivelamento Geométrico quando a área a ser 
levantada for extensa e quando existem grandes desníveis ou ainda quando é necessário nivelar diversas 
linhas de visada em diferentes direções (para estudos de vales, por exemplo). Para evitar erros devido à 
curvatura da Terra, limita-se a distância entre os pontos a 150 m. 
marca indicando o 
centro da luneta de 
um teodolito 
v 
v 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 43 
Este método aplica-se também na determinação de alturas de morros, torres, prédios, etc. O 
Nivelamento Geométrico (estudado anteriormente) é considerado mais exato, mas é limitado pela visada 
horizontal. 
 
Obs: Veja vídeo em http://www.youtube.com/watch?v=dCYb0jU6O3o (acessado em 30/07/2011)Exemplo - Calcular a cota do ponto B: 
 
Dados (de acordo com a figura anterior que representa o método): 
hi = 1,2 m (medido com trena) 
z = 55º (lido no visor do teodolito) 
DHAB = 9,5 m (medido com trena, trena eletrônica ou medição indireta qualquer) 
fm = 1,40 m (leitura do fio estadimétrico médio pela luneta do teodolito) 
cota A = 39,50 m (conhecida previamente) 
 
Resolução: 
DN = DH * tg(90º-z) – fm + hi 
DN = 9,5 * tg(90º-55º) – 1,4 + 1,2 
DN = 6,45 m 
 
Cota B = cota A + DN 
Cota B = 39,5 + 6,45 
Cota B = 45,95 m 
 
5.1. MEDIÇÃO DA DISTÂNCIA HORIZONTAL 
 
- TRENA: pequenas distâncias, pouco inclinadas, podem ser medidas à trena. Usa-se trena de fibra de 
vidro (cabo de agrimensor) ou trena metálica. 
 
- APARELHO ELETRÔNICO: medida da distância por meio eletrônico (distanciômetros eletrônicos ou 
estações totais). 
 
- TEODOLITO-TAQUEOMETRIA: medição indireta usando as equações abaixo (taqueometria): 
 ou 
No caso do uso da taqueometria para a determinação da distância horizontal, o Nivelamento 
Trigonométrico é encontrado na literatura sob o nome de Nivelamento Taqueométrico. 
 
- TRIANGULAÇÃO: lei dos senos num triângulo (conforme estudado em TOPE3) 
 
5.2. TÉCNICAS EXECUTIVAS DO NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO 
 
 Este nivelamento pode seguir quase que as mesmas técnicas do Nivelamento Geométrico, ou 
seja, poligonais. No Nivelamento Geométrico, as estações são definidas em qualquer ponto do terreno 
enquanto aqui as estações são feitas sobre pontos de cota conhecida. Sendo assim, numa poligonal 
aberta, pode-se estacionar no ponto de ré (A) e nivelar até o último ponto (N). Depois, faz-se um contra-
nivelamento estacionando-se no ponto N e nivelando-se até o ponto A. Pode-se facilmente entender que 
uma poligonal fechada não faria sentido, uma vez que se estaciona sobre o ponto de ré, não podendo-se 
realizar a leitura final no mesmo ponto estacionado. 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 44 
 Na prática, o que se faz normalmente é um Nivelamento Taqueométrico, ou seja, as distâncias 
horizontais são medidas por taqueometria. 
 
5.3. CÁLCULOS DE NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO UTILIZANDO UMA POLIGONAL 
ABERTA 
 
Imagine que queremos encontrar as cotas de pontos do mesmo terreno mostrado como exemplo 
do Nivelamento Geométrico, definidos dentro de uma POLIGONAL ABERTA (A a G na figura a 
seguir): 
 
Fonte: O próprio autor. 
 
 Da mesma maneira, primeiro precisamos da cota de ré do ponto A (estação e RN). Verifica-se no 
manual do teodolito sua constante estadimétrica K (normalmente em torno de 100). Depois de 
estacionado o teodolito, medimos a distância da luneta até o chão (hi). Para cada ponto visado (B a G), 
devem ser lidos: 
 
z: ângulo zenital (º) 
fi: leitura no fio estadimétrico inferior (m) 
fm: leitura no fio estadimétrico médio (m) 
fs: leitura no fio estadimétrico superior (m) 
 
Cálculos: 
G = fs-fi 
 
DN = Dh * tg(90
0
-z) – fm + hi 
Cota ponto visado = cota A + DN 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 45 
 Note que, para todos os pontos visados, a base é a cota A. O desnível DN será negativo no caso 
de declive, sendo que esse sinal surge automaticamente a partir da fórmula apresentada para DN. 
 Como explicado, pode-se fazer o contra-nivelamento estacionando o teodolito no ponto G e 
refazendo-se os cálculos até a cota de A. Se for necessário por causa de não-visibilidade de algum 
ponto, divide-se em mais estações. 
 Realizado o nivelamento e contra-nivelamento e calculado o erro (cota A – cota Acalculada), o 
mesmo deve ser menor do que o tolerado. A tolerância da NBR 13133 (1994) para nivelamentos 
TAQUEOMÉTRICOS de poligonais principais (classe IVN) é de 30 mm*
K
, sendo K o perímetro 
(em km) da poligonal, num único sentido, da mesma forma que para o Nivelamento Geométrico. O erro 
tolerável assim calculado sai em milímetros. 
 Para a classe IVN, a NBR 13133 (1994) expõe ainda que a precisão do aparelho (teodolito) 
mínima deve ser classe 1 (precisão baixa), o que é facilmente percebido nos aparelhos modernos. 
 Caso o erro de fechamento vertical seja tolerável, pode-se distribuí-lo entre os pontos de vante de 
mudança na ida. Caso seja maior que o tolerável, deve-se refazer o procedimento de medidas em campo. 
 Veja que, para a realização de uma irradiação (planimetria), já será obtida a distância horizontal, 
faltando apenas ler o ângulo horizontal (a) com o alinhamento base. Sendo assim, normalmente as 
leituras e cálculos são colocados numa planilha com o seguinte formato: 
 
 
 
EXEMPLO (CONSIDERANDO OS MESMOS PONTOS DO EXEMPLO DADO PARA O 
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO – CAPÍTULO ANTERIOR): 
 
Dados de Campo e cálculos cujas fórmulas foram apresentadas (nivelamento de ida): 
 
 
Contra–Nivelamento: 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 46 
Obs: Distância entre os piquetes é de 20m (poligonal aberta linear – pontos em linha reta). 
Cota A= 50,000 m (conhecido previamente) 
 
 Exatamente da mesma maneira que ocorreu para o Nivelamento Geométrico: 
 
Erro = 50,004 – 50,000 = 0,004 m 
 
Perímetro = 20 m*6 lances = 120 m = 0,12 km 
Obs: cuidado, aqui a poligonal é linear e, por isso, o perímetro coincide com DhA-G. No caso de uma 
poligonal não-linear em planta, o perímetro é obtido a partir da medição no desenho da mesma, de 
acordo com a planimetria, ou usando a equação da distância entre 2 pontos, depois de calcular as 
coordenadas tendo como base a IRRADIAÇÃO. 
 
No exemplo, o erro tolerável é: 
ET = 30 mm*√Perímetro = 30 mm*√0,12 = 10,39 mm 
 
Conclui-se que o erro foi admissível (0,004 m = 4 mm < 10,39 mm). Dividindo o erro nos pontos 
de vante de mudança da ida (só o ponto G, no caso), as cotas finais corrigidas ficam: 
CA = 50,000 m 
CB = 48,095 m 
CC = 48,071 m 
CD = 46,870 m 
CE = 46,403 m 
CF = 45,218 m 
CG = 44,914 m – 0,004 = 48,910 m 
 
 O desenho, no caso, do perfil do terreno ficaria (idêntico ao resultado obtido pelo Nivelamento 
Geométrico): 
 
Fonte: Adaptado de Silva (2003a). 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 47 
******************************************************************************* 
 
EXERCÍCIOS: 
 
5.1) Efetuar os cálculos das altitudes dos pontos para as leituras anotadas nas planilhas de campo a 
seguir, obtidas por Nivelamento Trigonométrico. Desenhar o perfil levantado. A altitude do ponto 1, 
medida com GPS, vale 974,15 m. a é o ângulo planimétrico no sentido horário, zerado em P. 
 
 
 
 
 
5.2) Efetuar os cálculos das cotas dos pontos para as leituras anotadas nas planilhas de campo a seguir, 
obtidas por Nivelamento Trigonométrico e Irradiação. Desenhar a planta do terreno com os pontos e 
suas curvas de nível. Os vértices do terreno retangular são os pontos 1, 2, 3 e 8. A cota do ponto A vale 
50 m. a é o ângulo planimétrico no sentido horário, zerado em 1. Não foi feito o contra-nivelamento e, 
portanto, não é possível corrigir o erro de fechamento vertical. 
 
Estação P.V. hi (m) fs (m) fm (m) fi (m) a (º) v (º) 
A 1 1,5 1,16 1 0,84 0º0'0" 0º54'28" 
 2 1,5 1,24 1 0,76 130º57'24" 4º58'18" 
 3 1,5 1,3 1 0,7 178º55'20" 1º13'32"4 1,5 1,22 1 0,78 178º55'20" 1º10'26" 
 5 1,5 1,16 1 0,84 178º55'20" 1º40'10" 
 6 1,5 1,14 1 0,86 178º55'20" 2º22'26" 
 7 1,5 1,108 1 0,902 178º55'20" 4º38'40" 
 8 1,5 1,19 1 0,81 276º06'22" -2º14'28" 
 9 1,5 1,113 1 0,887 276º06'22" -2º29'14" 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 48 
 10 1,5 1,095 1 0,905 276º06'22" -2º47'14" 
 11 1,5 1,006 1 0,904 276º06'22" -0º10'26" 
 12 1,5 1,09 1 0,91 0º0'0" 1º22'24" 
 13 1,5 1,065 1 0,935 321º42'08" 0º33'46" 
 14 1,5 1,042 1 0,958 203º55'50" 6º38'34" 
 15 1,5 1,07 1 0,93 219º39'34" -0º52'08" 
 16 1,5 1,075 1 0,925 77º32'54" 6º17'30" 
 17 1,5 1,128 1 0,872 114º09'38" 5º49'20" 
 18 1,5 1,095 1 0,905 140º19'50" 5º34'28" 
 
Relatório da aula prática: Fazer as medições em campo para um Nivelamento Trigonométrico de 
pontos notáveis de uma área de terreno a ser definida pelo professor. Realizar a PLANIMETRIA dos 
pontos altimétricos por IRRADIAÇÃO a partir de um alinhamento com 2 vértices conhecidos do 
terreno. Levantar os vértices do terreno pela teoria de POLIGONAL FECHADA OU POLIGONAL 
ABERTA COM CONTRA-NIVELAMENTO, para verificação do erro vertical. Apresentar o relatório, 
de acordo com o Modelo no Anexo A. Desenhar as curvas de nível do terreno, com intervalos verticais 
de 0,5 m, um perfil longitudinal e um transversal. Especificar o Norte Geográfico e as quadrículas do 
terreno, considerando o ponto 0 com coordenadas UTM (N,E) = (7.743,373 km, 607,746 km). Use o 
intervalo entre as quadrículas de 3 m em 3 m. 
 
PARA PLANIMETRIA, USAR PLANILHAS DE CAMPO DESCRITAS NA APOSTILA DE TOPE3 
PARA ALTIMETRIA, USAR A SEGUINTE PLANILHA DE CAMPO: 
 
 
CROQUI: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Usar roupas e calçado adequados para ambiente de terra e mato. Usar protetor solar. 
Obs2: fazer os cálculos das cotas ainda em campo, para verificar os valores obtidos visualmente no 
terreno. 
Obs3: entregar os dados de campo para o professor assim que terminar a aula prática; enviar a planilha 
eletrônica com os cálculos automatizados para o e-mail do professor, até o momento da entrega do 
relatório impresso. 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 49 
*********************************************************************************** 
 
AVALIAÇÃO DO RELATÓRIO: 
 
Em caso de falta NÃO JUSTIFICADA (com documento – saúde ou exército), o aluno terá nota de 40% 
caso o grupo coloque seu nome como integrante, indicando que houve ajuda no relatório. Falta isoladas 
sem justificativa terão nota zero. Se a maioria do grupo faltar (sem justificativa), terá nota zero se não 
realizar a prática em outro dia. O integrante que vier poderá se juntar, excepcionalmente, a outro grupo. 
 
Objetivos (0,5); Materiais (0,5); Métodos (2,5); Cálculos (2,5); Conclusões (0,5) 
Resultados: 
(0,5 pela entrega dos croquis e anotações de campo, no final da aula prática. Portanto, duplicar as 
anotações de campo) 
(0,5 pela entrega via e-mail do Excel automatizado) 
(0,5 pelas tabelas com os resultados, no relatório) 
(2,0 pelo projeto em desenho impresso - anexo) 
 
*********************************************************************************** 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 50 
6. TERRAPLENAGEM E VOLUMES DE CORTE E ATERRO POR 
COMPENSAÇÃO 
 
Obs: terraplEnagem – e NÃO terraplAnagem 
 
6.1. INTRODUÇÃO 
 
O projeto de uma edificação deve ser escolhido de forma a harmonizar os elementos geométricos 
da planta e do perfil do terreno (obtidos a partir do levantamento planialtimétrico estudado), fornecendo 
uma obra segura, confortável e adequada à região por ela habitada e, de preferência, com baixo custo de 
construção. 
Sempre que possível, deve ser feito o equilíbrio (desde que não crie prejuízos às características 
geométricas do projeto) entre volumes de cortes e aterros, evitando-se empréstimos e/ou bota-foras. 
Numa estrada, por exemplo, o custo do movimento de terra é muito significativo em relação ao custo 
total da obra e, portanto, esse aspecto tem especial importância. 
 
 
Figura: equilíbrio entre cortes e aterros numa edificação. 
 
 
Figura: equilíbrio entre cortes e aterros numa estrada (greide é o perfil acabado da estrada). 
 
A drenagem superficial da estrada é um também fator preponderante, que exige a 
compatibilidade com os cortes e aterros. Outro fator importante é quanto às distâncias e condições de 
transportes dos materiais que serão escavados nos cortes e levados para os aterros. 
Dada a importância da terraplenagem no projeto de estradas, esse conteúdo deverá ser estudado 
novamente e até mais aprofundadamente na disciplina “Projetos de Estradas 1” (PESE8) do IFSP 
campus Votuporanga, inclusive fazendo parte também da ementa daquela disciplina. 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 51 
6.1.1 EQUIPAMENTOS PARA TERRAPLENAGEM 
 
Na execução dos serviços de terraplenagem, deverá ser prevista a utilização de equipamentos 
apropriados, de acordo com as condições locais e as produtividades exigidas para o cumprimento dos 
prazos. 
Em aterros e reaterros de valas, cavas, fundações ou escavações de pequenos volumes, podem 
ser usados: 
 
- soquetes manuais 
 
 
Fonte: O próprio autor. 
 
- compactadores pneumáticos (conhecido como SAPO) 
 
 
Fonte: http://www.nei.com.br/images/lg/241471.jpg Acessado em 17/08/2011. 
 
- placas vibratórias 
 
Fonte: http://www.adrandaimes.com.br/upload/e0005.jpg Acessado em 17/08/2011. 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 52 
- rolos compactadores de pequeno porte 
 
 
Fonte: http://www.transportes.ufba.br/Arquivos/ENG305/UFBA%20-%20Aula%2010%20-
%20Classifica%C3%A7%C3%A3o%20dos%20Equipamentos%20de%20Terraplenagem.pdf. Acessado 
em 17/08/2011 
 
Os equipamentos descritos devem ter dimensões apropriadas para se obter as características de 
compactação definidas em projeto. 
Já em grandes áreas ou escavações, poderão ser empregados: 
 
- tratores de lâmina (escavo-empurradoras) 
 
 
Fonte: 
http://images.quebarato.com.br/T440x/trator+de+esteira+com+lamina+7d+fiatallis+mogi+das+cruze
s+sp+brasil__4FEAAD_1.jpg Acessado em 17/08/2011. 
 
 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 53 
- scraper (escavo-transportadores REBOCADOS) 
 
 
Fonte: http://www.transportes.ufba.br/Arquivos/ENG305/UFBA%20-%20Aula%2010%20-
%20Classifica%C3%A7%C3%A3o%20dos%20Equipamentos%20de%20Terraplenagem.pdf. Acessado 
em 17/08/2011 
 
- moto-scraper (moto-escavo-transportadores) 
 
 
Fonte: http://www.transportes.ufba.br/Arquivos/ENG305/UFBA%20-%20Aula%2010%20-
%20Classifica%C3%A7%C3%A3o%20dos%20Equipamentos%20de%20Terraplenagem.pdf. Acessado 
em 17/08/2011 
- escavadeiras 
 
 
Fonte: http://www.transportes.ufba.br/Arquivos/ENG305/UFBA%20-%20Aula%2010%20-
%20Classifica%C3%A7%C3%A3o%20dos%20Equipamentos%20de%20Terraplenagem.pdf. Acessado 
em 17/08/2011 
 
INSTITUTO FEDERAL DEEDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 54 
- caminhões basculantes 
 
 
Fonte: http://www.transportes.ufba.br/Arquivos/ENG305/UFBA%20-%20Aula%2010%20-
%20Classifica%C3%A7%C3%A3o%20dos%20Equipamentos%20de%20Terraplenagem.pdf. Acessado 
em 17/08/2011 
 
- Motoniveladoras (plaina ou patrol) 
 
 
Fonte: http://www.transportes.ufba.br/Arquivos/ENG305/UFBA%20-%20Aula%2010%20-
%20Classifica%C3%A7%C3%A3o%20dos%20Equipamentos%20de%20Terraplenagem.pdf. Acessado 
em 17/08/2011 
 
- rolos de compactação (lisos, de pneus, pés-de-carneiro, estáticos ou vibratórios), rebocados por 
tratores agrícolas ou auto-propulsores 
 
 
 
Fonte: http://www.transportes.ufba.br/Arquivos/ENG305/UFBA%20-%20Aula%2010%20-
%20Classifica%C3%A7%C3%A3o%20dos%20Equipamentos%20de%20Terraplenagem.pdf. Acessado 
em 17/08/2011 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 55 
 
- grade de discos para homogeneização 
 
 
Fonte: http://www.homyquimica.com.br/pav/imp02.jpg Acessado em 17/08/2011 
 
- caminhões-pipa para umedecimento 
 
 
Fonte: http://autos.culturamix.com/blog/wp-content/uploads/2010/06/092.jpg Acessado em 17/08/2011 
 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 56 
6.2. SEÇÕES TRANSVERSAIS 
 
 Vamos usar um projeto de estradas para entender a terraplenagem. Veja a sequencia do 
levantamento topográfico do terreno e do projeto de um trecho de uma estrada: 
 
Figura: O LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO LEVA AO SEGUINTE MODELO DIGITAL DO 
TERRENO. Fonte: O próprio autor. 
 
 
Figura: O ENGENHEIRO FAZ O PROJETO DO GREIDE DA ESTRADA SOBRE O MODELO, 
GERANDO A NECESSIDADE DE CORTES E ATERROS. Fonte: O próprio autor. 
 
 Os cortes e aterros que deverão acontecer precisam ter os volumes calculados. O que se faz é 
multiplicar a média das áreas de corte e/ou aterro de 2 seções transversais pelo comprimento do trecho 
entre elas. Pelo exemplo, podemos visualizar as 3 situações possíveis de seção transversal: 
 
Fonte: O próprio autor. 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 57 
 
Fonte: www.pontodosconcursos.com.br 
 
6.3. CÁLCULO DE VOLUMES DE CORTE E ATERRO 
 
A NBR 14645-3:2005 (Elaboração do “como construído” (as built) para edificações – Parte 3: 
Locação topográfica e controle dimensional da obra – Procedimento) impõe o cálculo e apresentação de 
planilhas com o volume de corte e aterro da obra. Para tanto, considere um trecho genérico de terreno: 
 
 
Fonte: http://www.topografiageral.com/Curso/capitulo%2018.php 
 
Conhecendo-se seções transversais inicial (A1) e final (A2) de um trecho, admite-se que o terreno 
varia de forma linear entre essas seções consecutivas, o que, de certa forma, para distância entre seções 
de 20 m, o que é usual no projeto de estradas, não gera erros significativos. 
 O volume de terra, para aterro e/ou corte, entre as seções consecutivas, pode ser calculado, como 
explicado, multiplicando a média das áreas de corte e/ou aterro de 2 seções transversais pelo 
comprimento do trecho entre elas: 
 
L
AA
V *
2
21 
 
 
 Em que: 
A1 e A2 são as áreas das seções transversais consecutivas (aterro, corte ou mista) 
L é a distância entre as seções transversais consecutivas. 
 
Os volumes geométricos totais dos cortes e/ou aterros podem ser obtidos pelo somatório dos 
valores calculados entre as suas diversas seções. 
 
Obs: Nos cálculos dos volumes de corte e aterro, os valores são mais precisos se o número de seções 
for maior, obviamente. 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 58 
6.3.1. CORTES 
 
No caso de cortes, para calcular o volume a ser transportado, deverá ser considerado o 
empolamento, que é o aumento de volume de um material quando removido de seu estado natural e é 
expresso como uma porcentagem a mais no volume no geométrico calculado no CORTE (equação 
anterior). 
O empolamento é assim calculado: 
E = (corte/solto)-1 (x 100 para sair em porcentagem;  = massa específica do solo) 
 
As massas específicas devem ser obtidas por meio de ensaios laboratoriais. 
Relacionam-se, na Tabela abaixo, empolamentos de alguns solos comuns. 
 
Tabela: Empolamentos. Fonte: MILITO. 
 
 
 Segundo MILITO, quando não se conhece o tipo de solo, podemos usar um empolamento de 
30% a 40%. Isso é uma aproximação válida quando a obra é de pequeno vulto. 
Quando o corte é efetuado nas proximidades de edificações ou vias públicas, devem-se empregar 
métodos que evitem ruptura do terreno e descompressão do terreno de fundação. Deve-se construir um 
muro de arrimo, se necessário (figura a seguir). 
 
 
Fonte: http://www.angelorigon.com.br/wp-content/uploads/2010/03/2010-03-25_6298.jpg. Acessado 
em 17/08/2011. 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 59 
 
Fonte: http://www.angelorigon.com.br/wp-content/uploads/2010/03/2010-03-25_6300.jpg Acessado em 
17/08/2011. 
 
6.3.2. ATERROS E REATERROS 
 
Aterro: preenchimento ou recomposição das escavações utilizando-se material de empréstimo, vindo de 
outra área. 
Reaterro: preenchimento ou recomposição das escavações utilizando-se o próprio material escavado. 
 
Neste caso, deverá ser adotado um volume geométrico de solo a ser cortado acrescentado da 
CONTRAÇÃO que o solo sofrerá quando compactado. Esse acréscimo também é chamado de “fator de 
homogeneização”. 
O fator de contração (ou de homogeneização) aplicado no volume geométrico de corte para gerar 
um aterro é assim calculado: 
C = (corte/compactado)-1 (x 100 para sair em porcentagem;  = massa específica do solo) 
 
As massas específicas devem ser obtidas por meio de ensaios laboratoriais. 
 Segundo MILITO, quando não se conhece o tipo de solo e a obra é de pequeno vulto, podemos 
usar um fator de contração de 30%. 
Os aterros ou reaterros poderão ser compactados ou não, dependendo das características do 
serviço e do fim a que se destinam. A compactação consiste na redução do índice de vazios, manual ou 
mecanicamente (em camadas de cerca de 30 cm e com umidade ótima do solo), do material de aterro ou 
reaterro com energia suficiente para atingir graus de eficiência previstos em projeto. 
 
Fonte: Arquivo do autor. 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
Av. Jerônimo Figueira da Costa, 3014 - Bairro Pozzobon. 
CEP 15503-110 - Votuporanga - SP 
www.ifsp.edu.br 
 
 
 
 60 
6.3.3. EXEMPLO 
 
- TRECHO DE ATERRO 
 
 Veja, na figura abaixo, que o volume de ATERRO calculado pela equação de “V” anterior 
resulta em 1 m
3
. A pergunta é: Quanto se solo terá que ser trazido? Esse volume de aterro deve ser 
aumentado pelo fator de contração. Para 40%, por exemplo, sabe-se que terá que ser cortado (escavado) 
em algum lugar 1x1,4 = 1,4 m
3
. Esse é o volume geométrico de corte que resultará em 1 m
3
 de aterro. 
Porém, sabe-se que haverá empolamento depois do corte. Considerando 15%, 1,4*1,15 = 1,6 m
3
. Este 
será o volume de caçambas necessário para o transporte desse solo.