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A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Danilo Sande October 14, 2013 Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Superf´ıcie de revoluc¸a˜o Quando uma curva gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o. Desejamos determinar a a´rea da superf´ıcie de revoluc¸a˜o S, obtida quando uma curva C, de equac¸a˜o y = f (x), x ∈ [a, b], gira em torno do eixo x. Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Superf´ıcie de revoluc¸a˜o Suponha que f (x) seja positiva e deriva´vel em [a,b]. Vamos subdividir o intervalo [a,b] em n pontos: a = x0 < x1 < ...xi−1 < xi < ... < xn = b Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Superf´ıcie de revoluc¸a˜o Sejam Q0,Q1, ...,Qn os correspondentes pontos sobre a curva C. Unindo esses pontos, obtemos uma linha poligonal que aproxima a curva C. Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Superf´ıcie de revoluc¸a˜o Fazendo cada segmento de reta dessa linha poligonal girar em torno do eixo x, a superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida e´ um tronco de cone: Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Superf´ıcie de revoluc¸a˜o A a´rea lateral do tronco de cone e´: A = pi(r1 + r2)L Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Deduc¸a˜o da a´rea lateral de um tronco de cone A a´rea de um c´ırculo e´ dada por: A = pir2 = 12 .2pir .r = P.r 2 , vale o mesmo para um setor circular de per´ımetro P e raio r. Vejamos para um cone: Conforme a figura, a a´rea lateral do cone e´: A = 2pir .g2 = pi.r .g , onde r e´ o raio da base e g e´ a geratriz. Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Deduc¸a˜o da a´rea lateral de um tronco de cone A a´rea do tronco de cone, e´ a a´rea de um cone maior menos a a´rea de um cone menor: Conforme a figura: AL = AM − Am = pi.R.(g1 + g)− pi.r .g1, por semelhanc¸a de triaˆngulos, obtemos: AL = pi(r + R).g Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Superf´ıcie de revoluc¸a˜o A a´rea lateral do tronco do cone apresentado na figura abaixo e´ portanto: Ai = pi[f (xi−1) + f (xi )]∆Si , onde ∆Si e´ o comprimento do segmento Qi−1Qi . Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Superf´ıcie de revoluc¸a˜o A a´rea lateral do tronco de cone da figura anterior pode ainda ser escrito como: Ai = pi[f (xi−1) + f (xi )]∆Si = 2pi [f (xi−1)+f (xi )] 2 ∆Si = 2pif (ci )∆Si , onde f (ci ) e´ o raio me´dio do cone, ci ∈ [xi−1, xi ]. Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Da aula anterior... Obtivemos na aula de comprimento de arco: ∆Si = √ 1 + [f ′(di )]2∆xi Vamos substituir esse resultado na a´rea lateral do cone. Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Superf´ıcie de revoluc¸a˜o Ai = 2pif (ci )∆Si = 2pif (ci ) √ 1 + [f ′(di )]2∆xi , essa e´ a expressa˜o da a´rea lateral do tronco de cone gerado pela rotac¸a˜o em torno do eixo x, do segmento de reta Qi−1Qi . Levando em conta todos os segmentos de reta: n∑ i=1 Ai = 2pi n∑ i=1 f (ci ) √ 1 + [f ′(di )]2∆xi Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Superf´ıcie de revoluc¸a˜o Tomando o limite quando n→∞, temos: A = 2pi ∫ b a f (x) √ 1 + [f ′(x)]2dx , de modo ana´logo para rotac¸a˜o em torno de y: A = 2pi ∫ b a g(y) √ 1 + [g ′(y)]2dy Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Exemplo 1 Calcular a a´rea da superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida pela rotac¸a˜o, em torno do eixo x, da curva dada por y = 4 √ x , 14 ≤ x ≤ 4. Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Exemplo 2 Calcular a a´rea da superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida pela rotac¸a˜o, em torno do eixo y, da curva dada por x = y3, 0 ≤ y ≤ 1. Danilo Sande A´rea de superf´ıcie de revoluc¸a˜o Área de superfície de revolução
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