Linha reta e circunferência na forma polar

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Distaˆncia entre dois pontos
Linha reta e Circunfereˆncia na forma polar
Coordenadas polares
Danilo Sande
November 11, 2013
Danilo Sande Coordenadas polares
Distaˆncia entre dois pontos
Linha reta e Circunfereˆncia na forma polar
Distaˆncia entre dois pontos
Distaˆncia entre dois pontos em coordenadas polares
Sejam P1(r1, θ1) e P2(r2, θ2) dois pontos do plano expressos em
coordenadas polares:
Pela Lei dos cossenos:
d2(P1,P2) = r
2
1 + r
2
2 − 2r1r2 cos(θ1 − θ2)
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Distaˆncia entre dois pontos
Exemplo 1
Calcule a distaˆncia entre os pontos de coordenadas polares
P1(2,
pi
2 ) e P2(
√
2, pi4 )
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Linha reta na forma polar
Linha reta em coordenadas polares
Consideremos inicialmente uma reta que na˜o passa no po´lo e
tomemos os pontos P(r , θ) e N(ρ, α) de modo que o triaˆngulo
ONP seja retaˆngulo em N. Assim:
cos(θ − α) = ρr → ρ = r cos(θ − α)
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Linha reta em coordenadas polares
Desenvolvendo:
ρ = r cos(θ − α)
ρ
r = cos θ cosα + sin θ sinα
1
r = A cos θ + B sin θ
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Exemplo 2
Esboce a reta de equac¸a˜o s : 1r =
√
2 cos θ −√2 sin θ
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Exemplo 3
Esboce a reta de equac¸a˜o s : 1r =
√
2
2 cos θ +
√
2
2 sin θ, transforme
essa equac¸a˜o para coordenadas cartesianas, esboce o gra´fico nesse
sistema de coordenadas e compare os gra´ficos obtidos nos dois
casos.
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Linha reta na forma polar
Casos Particulares: Reta que passa pelo po´lo
A equac¸a˜o da reta que passa pelo po´lo e´:{
s : θ = θ0 ou θ = θ0 ± npi, n ∈ Z
∀r
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Exemplo 4
Determine as equac¸o˜es das retas suportes dos lados do quadrado
ABCD sabendo que A(0, 31o) e C (2
√
2, 45o)
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Casos Particulares: Reta paralela ao eixo polar
Se a reta e´ paralela ao eixo polar, e dista ρ > 0 unidades do
mesmo, sua equac¸a˜o e´ dada por:
r sin θ = ±ρ
*Basta substituir α = pi2 em ρ = r cos(θ− α), como no lado CD do
exemplo anterior.
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Linha reta na forma polar
Casos Particulares: Reta perpendicular ao eixo polar
Se a reta e´ perpendicular ao eixo polar, e dista ρ > 0 unidades do
mesmo, sua equac¸a˜o e´ dada por:
r cos θ = ±ρ
*Basta substituir α = 0 em ρ = r cos(θ − α), como no lado BC do
exemplo anterior.
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Circunfereˆncia na forma polar
A circunfereˆncia em sua forma polar
Seja C (r0, θ0) o centro de uma circunfereˆncia qualquer de raio R,
conforme a figura:
Seja P(r , θ) um ponto na circunfereˆncia. Tracemos os raios vetores
de P e C, e o raio da circunfereˆncia CP, formando o triaˆngulo OPC.
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Circunfereˆncia na forma polar
A circunfereˆncia em sua forma polar
Pela lei dos cossenos:
R2 = r2 + r20 − 2rr0 cos(θ − θ0) e´ a equac¸a˜o da circunfereˆncia de
raio R e centro C (r0, θ0) em coordenadas polares
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Circunfereˆncia na forma polar
Casos particulares: se o centro se encontra no po´lo
r0 = 0→ r = ±R
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Circunfereˆncia na forma polar
Casos particulares: se a circunfereˆncia passa pelo po´lo e seu centro
se encontra sobre o eixo polar
θ0 = 0 e r0 = R, substituindo na eq. da circunfereˆncia:
R2 = r2 + r20 − 2rr0 cos θ
−r2 = −2rR cos θ
r = 2R cos θ (R podendo ser positivo ou negativo)
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Circunfereˆncia na forma polar
Casos particulares: se a circunfereˆncia passa pelo po´lo e seu centro
se encontra sobre o eixo de 90o
θ0 = 90
o e r0 = R, substituindo na eq. da circunfereˆncia:
R2 = r2 + r20 − 2rr0 cos(θ − pi2 )
−r2 = −2rR sin θ
r = 2R sin θ(R podendo ser positivo ou negativo)
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Circunfereˆncia na forma polar
Exemplo 5
Obtenha as equac¸o˜es das circunfereˆncias na forma polar:
a) C (0, 0),R = 2
b) C (1, 30o),R = 3
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Outra forma de expressar a eq. da circunfereeˆncia
Do u´ltimo exemplo, vimos outra forma de expressar a eq. da
circunfereˆncia:
R2 = r2 + r20 − 2rr0 cos(θ − θ0)
r2 − 2rr0(cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0) + r20 − R2 = 0
r2 − 2r0 cos θ0(r cos θ)− 2r0 sin θ0(r sin θ) + r20 − R2 = 0
Fazendo A=−2r0 cos θ0, B=−2r0 sin θ0 e C = r20 − R2, temos:
r2 + Ar cos θ + Br sin θ + C = 0
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Circunfereˆncia na forma polar
Exemplo 6
Obtenha uma equac¸a˜o polar para a circunfereˆncia C2 conceˆntrica
com a com a circunfereˆncia C1 : r
2 + 4
√
3r cos θ − 4r sin θ + 7 = 0
e que seja tangente a eixo polar.
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Exemplo 7
Obtenha uma equac¸a˜o polar para a circunfereˆncia C1 de centro
C (−2, 30o) e que passe pelo po´lo.
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