Lista 12 Quadratura Gaussiana

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Engenharias da Mobilidade
Ca´lculo Nume´rico - EMB5016
Prof. Diogo Siebert
Lista 12 (Quadratura Gaussiana)
1. Explique qual a diferenc¸a essencial entre as fo´rmulas de Newton-Cotes e a quadratura Gaussiana.
2. Obtenho o pesos (ci) e os no´s (xi) da quadratura de Gauss-Legendre para o caso onde sa˜o utilizando
(a) 1 ponto e (b) 2 pontos.
3. Mostre que se a quadratura Gaussiana calcula exatamente a integral da func¸o˜es f(x) = 1, f(x) = x
e f(x) = x2, esta calculara´ exatamente a integral da func¸a˜o f(x) = A+Bx+Cx2. Ou seja, mostre
que se
n∑
i=1
ci1 =
∫ 1
−1
1dx
n∑
i=1
cixi =
∫ 1
−1
xdx
n∑
i=1
cix
2
i =
∫ 1
−1
x2dx
Enta˜o
n∑
i=1
ci(A+Bxi + Cx
2
i ) =
∫ 1
−1
(A+Bx+ Cx2)dx
4. Escreva um algoritmo que calcule a quadratura Gaussiana para uma dada func¸a˜o f(x) no intervalo
[−1, 1]. O algoritmo deve ser capaz de calcular a quadratura utilizando um nu´mero n qualquer de
pontos.
Obs: O numpy possui uma func¸a˜o que fornece os pesos e no´s da quadratura de Gauss-Legendre:
import numpy as np
n = 3
c = np.polynomial.legendre.leggauss(n)[1]
x = np.polynomial.legendre.leggauss(n)[0]
Obs: Para testar o algoritmo use um polinoˆmio de ordem 2n − 1, uma vez que o resultado da
integrac¸a˜o deve ser exato.
5. Altere o algoritmo do item anterior para calcular a integral sobre um intervalo gene´rico [a, b].
Obs: Para testar o algoritmo use um polinoˆmio de ordem 2n − 1, uma vez que o resultado da
integrac¸a˜o deve ser exato.
6. O valor me´dio quadra´tico de uma corrente pode ser calculado como
Irms =
√
1
T
∫ T
0
i2(t)dt
Para T = 1, considere que i(t) e´ definida como
i(t) = 8e−t/T sin
(
2pi
t
T
)
i(t) = 0
Calcule o valor de Irms usando fo´rmulas de Gauss-Legendre com (a) 2 pontos, (b) 4 pontos e (c) 8
pontos.
7. Se a distribuic¸a˜o de velocidade de um fluido escoando por um tubo for conhecida, a vaza˜o Q (isto
e´, o volume de a´gua passando pelo tubo por unidade de tempo) pode ser calculada por Q =
∫
vdA,
onde v e´ a velocidade e A e´ a a´rea da sec¸a˜o transversal do tubo. Para um tubo circular, A = pir2 e
dA = 2pirdr. Portanto,
Q =
∫ R
0
v(2pir)dr
onde r e´ a distaˆncia radial medida a partir do centro do tubo e R e´ o raio do tubo. Se a distribuic¸a˜o
de velocidade e´ dada por
v = 2
(
1− r
R
)1/6
[cm/s]
sendo que R = 3 cm, calcule Q utilizando a quadratura gaussiana com 10 pontos.
8. A velocidade para cima de um foguete pode ser calculada pela seguinte fo´rmula:
v = u ln
(
m0
m0 − qt
)
− gt
onde v e´ a velocidade para cima, u e´ a velocidade relativa ao foguete na qual o fluido e´ expelido,
m0 e´ a massa inicial do foguete no instante t = 0, q e´ a taxa de consumo de combust´ıvel e g e´
a acelerac¸a˜o para baixo da gravidade (considerada constante e igual a 9,81 m/s2 ). Se u = 1850
m/s,m0 = 160000 kg e q = 2500 kg/s, determine qua˜o alto o foguete ira´ voar em 30s, utilizando
quadratura gaussiana.