C3 UnB cal3na a12 Auroux

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MIT OpenCourseWare
Multivariable Calculus, Fall 2007
Prof. Denis Auroux
Notas de Aula∗
Aula 12
Gradiente
Definic¸a˜o 1 Para uma func¸a˜o w = w(x, y, z), definimos a vetor gradiente por
∇w = 〈wx, wy, wz〉
Com essa notac¸a˜o, a regra da cadeia escreve-se como:
dw
dt
= wx
dx
dt
+ wy
dy
dt
+ wz
dz
dt
=
dw
dt
= ∇w ·
~dr
dt
.
Teorema 1 ∇w e´ perpendicular as superf´ıcies de n´ıvel w = c.
Demonstrac¸a˜o. Considere uma curva ~r = ~r(t) contida
na superf´ıcie de n´ıvel w = c. Enta˜o o vetor velocidade
~v = d~r/dt esta no plano tangente e, pela regra da cadeia,
∇w · d~r/dt = 0, enta˜o ~v⊥∇w. Isto e´ verdade para todo ~v
no plano tangente. �
Exemplo 1 Para w = ax+ by + cz, temos que a curva de n´ıvel
w = c e´ um plano com vetor normal ∇w = 〈a, b, c〉.
Exemplo 2 Para a func¸a˜o de duas varia´veis w = x2+y2, temos
que as curvas de n´ıvel w = c sa˜o c´ırculos e ∇w = 〈2x, 2y〉 aponta
na direc¸a˜o radial exterior. Assim, ∇w e´ ortogonal a`s curvas de
n´ıvel, conforme ilustra a figura ao lado.
Exemplo 3 Para a func¸a˜o de duas varia´veis w = x2 − y2, as
curvas de n´ıvel w = c sa˜o hipe´rboles, e o vetor ∇w esta´ ilustrado
na figura al lado.
Em geral, ∇w e´ um vetor cujo valor depende do ponto (x, y) no
qual w esta´ sendo avaliado.
Aplicac¸a˜o: plano tangente a` superf´ıcie de n´ıvel
Considere o exemplo de determinar o plano tangente da superf´ıcie w = x2 + y2 − z2 = 4
no ponto (2, 1, 1). O vetor normal a` superf´ıcie nesse ponto e´ o vetor ∇w = 〈2x, 2y,−2z〉 =
〈4, 2,−2〉; como o plano tangente passa por (2, 1, 1), a sua equac¸a˜o e´ 4x+ 2y − 2z = 8.
Nesse caso, poderiamos tambe´m resolver para z =
√
x2 + y2 − 4 e usar a fo´rmula de
aproximac¸a˜o linear, mas em geral isso na˜o e´ poss´ıvel.
∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 5 Summary
2
Outra maneira de obter o plano tangente e´ por meio da diferencial
dw = 2xdx + 2ydy − 2zdz. De fato, usando diferenciais e calculando
no ponto (2, 1, 1), obtemos que ∆w ≈ 4∆x + 2∆y − 2∆z. Por ou-
tro lado, a superf´ıcie de n´ıvel e´ dada por ∆w = 0. Assim, a sua
aproximac¸a˜o pelo plano tangente e´ 4∆x + 2∆y − 2∆z = 0, isto e´,
4(x− 2) + 2(y− 1)− 2(z− 1) = 0, que e´ o mesmo que o obtido acima.
Derivada direcional
E´ a taxa de variac¸a˜o de w = w(x, y) ao movermos o ponto (x, y) em uma dada direc¸a˜o.
Indique essa direc¸a˜o pelo vetor unita´rio uˆ = 〈a, b〉, e olhe para trajeto´ria retil´ınea ~r(s)
com velocidade uˆ dada por x(s) = x0 + as, y(s) = y0 + bs (velocidade unita´ria, enta˜o s e´
comprimento de arco!). Indicando a derivada direcional por dw
ds |uˆ e usando a regra da cadeia,
obtemos que
dw
ds |uˆ
=
d
ds
w(~r(s)) = ∇w · d~r
ds
= ∇w · uˆ.
Geometricamente, a derivada direcional e´ a inclinac¸a˜o da curva
obtida quando se corta o gra´fico atrave´s de um plano vertical (na˜o
necessa´riamente paralelo aos eixos x ou y, como nas derivadas par-
ciais). Essa interpretac¸a˜o esta´ ilustrada ao lado no caso da func¸a˜o
w = x2 + y2 + 1.
A derivada direcional fornece uma importante interpretac¸a˜o geome´trica para o gradiente.
Para isso, observe que a derivada direcional pode ser escrita como
dw
ds |uˆ
= ∇w · uˆ = |∇w| cos θ
onde θ e´ o aˆngulo entre ∇w e uˆ. Logo, a derivada direcional e´ ma´xima quando cos θ = 1, isto
e´, quando uˆ esta´ na direc¸a˜o de ∇w. Consequentemente, a direc¸a˜o de ∇w e´ a de crescimento
mais ra´pido de w, e |∇w| e´ a derivada direcional naquela direc¸a˜o. Por outro lado, temos
dw
ds |uˆ = 0 quando uˆ⊥∇w, isto e´, quando uˆ e´ tangente a` curva de n´ıvel.