Estatistica Aula 3 Estatistica Descritiva

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Prof. Artur Paiva
28/08/2015
Aula 03 - Estatística Descritiva
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO ACADÊMICO DO AGRESTE
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
ESTATÍSTICA
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Estatística Descritiva
Distribuição de Frequência
Sejam os dados referente às notas de 1EE de 20 alunos do curso de estatística.
Como organizar os dados?
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Estatística Descritiva
Distribuição de Frequência
Organizar os dados num Rol.
Número de intervalos
 	- Recomenda-se escolher entre 5 e 15 classes com a mesma amplitude
 	-
 	- 
Onde, k=número de classes; n=número total de observações
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Estatística Descritiva
Distribuição de Frequência
3) Amplitude Total.
 - 
4) Amplitude de Classe.
 	-
5) Determinar os limites de classe
6) Contagem do número de observações 
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Estatística Descritiva
Representação gráfica de uma variável quantitativa contínua - Histograma
- Adaptação do gráfico de colunas
- Em geral, os dados são agrupados em classes
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Estatística Descritiva
O que são Medidas Descritivas ?
São medidas que podem ser obtidas sobre conjuntos de dados numéricos, de forma a trazer informações sobre esses dados.
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Estatística Descritiva
O que são Medidas Descritivas ?
São medidas que podem ser obtidas sobre conjuntos de dados numéricos, de forma a trazer informações sobre esses dados.
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Estatística Descritiva
Tipo de Medidas Descritivas
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição
- Média aritmética
- Média para dados agrupados
- Mediana
- Moda
- Média geométrica
- Percentil, decil, quartil
- Escore Z
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Média Aritmética
Qual a média de altura da turma?
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Média para dados agrupados
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Média para dados agrupados
Exemplo: Determinar a idade média para o conjunto de 50 funcionários dados pela distribuição de frequências em classes. Da tabela de distribuição de frequências, temos:
i
Idades
fi
xi
xi .fi
1
18 |-- 25
6
2
25 |-- 32
10
3
32 |-- 39
13
4
39|-- 46
8
5
46 |-- 53
6
6
53 |-- 60
5
7
60 |-- 67
2
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Mediana
 Posição central da sequência, para número ímpar de elementos
 Média aritmética dos dois elementos na posição central da sequência, para número par de elementos.
 Os números devem estar dispostos em ordem crescente
Exemplo 2:
A = {24, 27, 32, 34, 34, 34, 56} 
			Mediana !!
B = {12, 13, 14, 15, 16, 17} 	Mediana = 14,5 !!
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Mediana
 É o valor que divide a amostra ou população em duas partes iguais.
Exemplo 3:
n (número de elementos) = 11 é ímpar.
Assim, o elemento central será o 6º. 
Nesse caso a mediana será 3.
6º elemento, classe que contém a mediana
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Mediana variável contínua
1º Passo: Calcula-se a ordem n/2. Como a variável é contínua, não se preocupe se n é par ou ímpar.
2º Passo: Utiliza-se a fórmula:
Onde:
lMd = limite inferior da classe Md.
n = tamanho da amostra.
Σf = soma das frequências anteriores à classe Md.
h = amplitude da classe Md.
FMd= Frequência da classe Md.
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Mediana variável contínua
Exemplo 4: Dada a distribuição amostral, construa a mediana
1º Passo: Como n = 58 a mediana será o 29º elemento. A classe da mediana Md será a 3ª, pois contém o 29º elemento.
2º Passo: Utiliza-se a fórmula.
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Quartil, Decil, Percentil
Após formadas as seqüências de números, dos percentis, decis e quartis poderá ser dito:
 O quartil divide a sequência em 4 partes
 Os decis em 10 partes (cada uma contendo 10% dos elementos)
 Os percentis em 100 partes (cada uma contendo 1% das observações)
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Quartil
 Q1 = 1º Quartil, deixa 25% dos elementos.
 Q2 = 2º Quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos.
 Q3 = 3º Quartil, deixa 75% dos elementos.
Obs: Os elementos da amostra devem estar em ordem crescente
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Quartil: dados não agrupados
 Posição do percentil que se deseja encontrar, pela expressão:
 L = valor que indica a posição do percentil de interesse;
 k = k-ésimo percentil {1,2,...,99}; e
 n = total de dados observados.
 Usar a seguinte regra:
 Se L for um número não inteiro, então, arredonda-se o valor de L para o maior inteiro mais próximo, e, assim, o valor do k-ésimo percentil, Pk, é dado pelo valor que ocupa esta nova posição obtida.
 Se L for um número inteiro, então o valor do k-ésimo percentil, Pk, será a média aritmética dos valores que estão nas posições L e L + 1.
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Quartil: variável discreta
Determinação de Qi:
 1º Passo: Calcula-se i· (n +1) / 4
 2º Passo: Identifica-se a posição do i-ésimo quartil.
 3º Passo: Aplica-se a fórmula
Onde:
i = índice do quartil desejado
n = número de elementos da amostra
lj = j-ésimo elemento da sequência
[ ] = máximo inteiro
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Quartil: variável discreta
Exemplo 5: Determinar Q1 e Q3 da sequência abaixo:
 	B = {12, 13, 14, 15, 16, 17}
1º Passo: Calcula-se i·(n +1) / 4. É fácil ver que n = 6 e os valores de i de referência são 1 e 3.
Para i = 1, teremos 1(6+1)/4 = 1,75
Para i = 3, teremos 3(6+1)/4 = 5,25
2º Passo: Assim, 1,75º elemento será a referência para Q1. Da mesma forma o 5,25º elemento será a referência para Q3. Entretanto, o que está sendo procurado são os valores em que, abaixo deles, teremos aproximadamente 25% e 75% das observações, respectivamente. Para achar esses valores utilizamos a fórmula sugerida.
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Quartil: variável discreta
Exemplo 5: Determinar Q1 e Q3 da sequência abaixo:
 	B = {12, 13, 14, 15, 16, 17}
3º Passo: Aplica-se a fórmula para Q1e Q3
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição - Quartil: variável contínua
Exemplo 6: Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3) e a mediana.
1º Passo: Calcula-se n / 4, n / 2 e 3n / 4.
n = 56 >>>> 56/4 =14º (Q1) >> 56/2 = 28º (Md) >>
3.56/4 = 42º (Q3)
2º Passo: Identifica-se a classe Q1,Q3 e Mediana.
3º Passo: Usam-se as fórmulas.
Para Q1 temos: lQ1= 17, n = 56, Σf = 6, h = 10, FQ1= 15
Para Md temos: lMd= 27, n = 56, Σf = 21, h = 10, FMd= 20
Para Q3 temos: lQ3= 37, n = 56, Σf = 41, h = 10, FQ3= 10
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição - Quartil: variável contínua
Exemplo 6: Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3) e a mediana.
Determinação de Q1:
Determinação de Q3:
Determinação da Mediana:
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Medidas de Posição - Decil
São os valores que dividem a série em 10 (dez) partes iguais. Os procedimentos de cálculo são muito parecidos com os quartis.
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Decil: variável discreta
Determinação de Di:
 1º Passo: Calcula-se i·(n+1)/10
 2º Passo: Identifica-se a posição do i-ésimo decil.
 3º Passo: Aplica-sea fórmula
Onde:
i = índice do decil desejado
n = número de elementos da amostra
lj = j-ésimo elemento da sequência
[ ] = máximo inteiro
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Decil: variável contínua
Determinação de Di:
 1º Passo: Calcula-se i·n/10, onde i=1, 2, 3...,9
 2º Passo: Identifica-se a classe Di.
 3º Passo: Aplica-se a fórmula
Onde:
lDi = limite inferior da classe Di. i = 1, 2, …,9
n = tamanho da amostra.
Σf = soma das frequências anteriores à classe Di.
h = amplitude da classe Di.
FDi= frequência da classe Di.
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Medidas de Posição - Percentil
São os valores que dividem a série em 100 (cem) partes iguais. Os procedimentos de cálculo são muito parecidos com os quartis e decis.
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Percentil: variável discreta
Determinação de Pi:
 1º Passo: Calcula-se i·(n+1)/100
 2º Passo: Identifica-se a posição do i-ésimo percentil.
 3º Passo: Aplica-se a fórmula
Onde:
i = índice do percentil desejado
n = número de elementos da amostra
lj = j-ésimo elemento da sequência
[ ] = máximo inteiro
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Percentil: variável contínua
Determinação de Pi:
 1º Passo: Calcula-se i·n/100, onde i=1, 2, 3...,99
 2º Passo: Identifica-se a classe Pi.
 3º Passo: Aplica-se a fórmula
Onde:
lPi = limite inferior da classe Pi. i = 1, 2, …,99
n = tamanho da amostra.
Σf = soma das frequências anteriores à classe Pi.
h = amplitude da classe Pi.
FPi= Freqüência da classe Pi.
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Decil e Percentil
Exemplo 7: Determinar o 4º decil e 72º percentil da seguinte distribuição
Para D4:
Para P72:
1º Passo: Calcula-se i·n/10 e i·n/100.
Classe D4:
Classe P72:
2º Passo: Identifica-se a classe Pi.
Analisando a quantidade de elementos é possível identificar facilmente as classes que contém os percentis e decis.
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Decil e Percentil
Exemplo 7: Determinar o 4º decil e 72º percentil da seguinte distribuição
Para D4:
Para P72:
3º Passo: Aplicam-se as fórmulas.
14
14
17,14
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Decil e Percentil
Exemplo 7: Determinar o 4º decil e 72º percentil da seguinte distribuição
Conclusão:
Nessa distribuição o valor 12,33 divide a
amostra em duas partes: uma com 40% dos
elementos e outra com 60% dos elementos. O valor 17,14 indica que 72% da distribuição está abaixo dele e 28% acima.
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Moda
Valor mais frequente na sequência
Exemplo 8:
 C = {3, 5, 9, 9, 6, 9} A moda dessa sequência é o número 9.
Exemplo 9:
 A moda desta distribuição é o número 248.
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Moda
Valor mais frequente na sequência
Ex: O primeiro conjunto de dados, 1 2 2 3 5, é dito ser unimodal, tendo em vista que um único valor ocorre com maior frequência. Assim, a moda é Mo = 2.
Ex.: O segundo conjunto de dados, 1 2 2 3 5 5, é dito ser bimodal, tendo em vista que, neste caso, dois valores ocorrem com maior frequência, assim, os valores modais são: Mo = 2 e Mo = 5.
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Moda
Para dados agrupados em classes existem alguns métodos. Nos focaremos na Fórmula de Czuber.
1º - Fórmula de Czuber
1º Passo: Identifica-se a classe modal (que possui maior freqüência)
2º Passo: Utiliza-se a fórmula.
l = limite inferior da classe Modal.
Δ1 = diferença entre a frequência da classe
modal e a imediatamente anterior.
Δ2 = diferença entre a frequência da classe
modal e a imediatamente posterior.
h = amplitude da classe.
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Moda
Fórmula de Czuber
Exemplo 10: Determinar a moda para a distribuição
1º Passo: Identifica-se a classe modal, no caso a 3ª.
2º Passo: Utiliza-se a fórmula.
	l = 2, Δ1 = 17 - 10 = 7
	h = 1, Δ2 = 17 - 8 = 9
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Moda
Exemplo 11: Determinar a moda para a distribuição
Como as amplitudes das classes são diferentes é preciso calcular as densidades modais (fi / hi). O maior valor de densidade determinará a classe modal.
Classe modal
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Moda
Exemplo 11: Determinar a moda para a distribuição
1º Passo: Identifica-se a classe modal, no caso a 3ª.
2º Passo: Utiliza-se a fórmula.
	l = 250, Δ1 = 2,8 – 2,0 = 0,8
	h = 50, Δ2 = 2,8 – 0,3 = 2,5
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Média Geométrica
Medidas de Posição – Média Harmônica
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Escore Z
O escore z associado a X, irá medir a distância entre X e a média (m) em unidades de desvio padrão (s)
Ou seja, quantos desvios padrões (σ) X está distante da média (μ).
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Exercícios
1. Distribuição de Frequência de variável discreta Idade dos Alunos de uma Turma com 50 alunos. Calcular medidas descritivas de Posição.
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição – Exercícios
2. Distribuição de Frequência de variável contínua Salário dos Empregados da Empresa X. Calcular medidas descritivas de Posição.
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