Cálculo 3 cal3na 18

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Prof. Celius A. Magalha˜es
Ca´lculo III
Notas da Aula 18∗
Mudanc¸a de Varia´veis II
Uma vez introduzidas as primeiras motivac¸o˜es, e´ hora de olhar com mais detalhes para
a fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis. Sera´ visto que ela e´ uma ferramenta bastante geral, que
pode ser aplicada a uma variedade de situac¸o˜es, e capaz de realizar “ma´gicas” inacredita´veis!
Coordenadas Polares
Foi visto que, para r > 0 e 0 < θ < 2pi, as coordenadas polares (r, θ) esta˜o relacionadas
com as coordenadas cartesianas (x, y) = (x(r, θ), y(r, θ)) pelas igualdades
g(r, θ) = (x(r, θ), y(r, θ)) = (r cos(θ), r sen(θ))
r x
θ
y
θ
rg
Foi introduzido ainda o jacobiano Jg(r, θ) = det
[
xr(r, θ) yr(r, θ)
xθ(r, θ) yθ(r, θ)
]
= r, por meio do
qual e´ poss´ıvel comparar a´reas entre figuras situadas nos planos Orθ e Oxy.
A partir das coordenadas polares, a fo´rmula de mudanc¸a
de varia´veis foi introduzida na aula passa usando o ca´lculo
do volume da esfera como exemplo. Para isso, foi escolhido
o retaˆngulo D̂ = (0, R) × (0, 2pi) em coordenadas polares,
cuja imagem D = g(D̂) e´ o disco de raio R menos a parte
na˜o-negativa do eixo Ox. Usando as somas de Riemann e o
jacobiano Jg(r, θ), foi visto que vale a igualdade
R∫∫
D
f(x, y) dxdy =
∫∫
D̂
f(g(r, θ))|Jg(r, θ)| drdθ (1)
onde f(x, y) =
√
R2 − x2 − y2 e´ a func¸a˜o cujo gra´fico e´ o hemisfe´rio superior da esfera de
raio R, e portanto a integral acima e´ a metade do volume desta esfera.
A igualdade em (1) e´ a fo´rmula de mudanc¸a de varia´vel aplicada a este exemplo. O
importante desta fo´rmula e´ que, como visto na aula passada, a integral do lado esquerdo e´
muito dif´ıcil, enquanto que a do lado direito e´ muito fa´cil de ser calculada.
Mais adiante sera´ visto que a fo´rmula (1) e´ bastante geral, e pode ser aplicada a uma
variedade de situac¸o˜es. O exemplo a seguir ilustra o uso desta fo´rmula no caso em que D̂
na˜o e´ um retaˆngulo, mas sim um domı´nio na forma Rθ.
Exemplo 1. Calcule a densidade me´dia da chapa D limitada pelo c´ırculo x2 + y2 = 4y com
densidade δ(x, y) =
√
x2 + y2
∗Texto digitado e diagramado por Ange´lica Lorrane a partir de suas anotac¸o˜es de sala
θ
r
2
Soluc¸a˜o. A primeira observac¸a˜o e´ que, completando
quadrado, a equac¸a˜o x2 + y2 = 4y e´ equivalente a
4 = 4− 4y + y2 + x2 = (y − 2)2 + x2 ,
que corresponde ao c´ırculo de raio 2 e centro no ponto (0, 2).
Agora ja´ se pode inferir que a densidade me´dia deve es-
tar entre 2 e 4. Isto porque a chapa e´ mais leve na origem,
em que δ(0, 0) = 0. A partir deste ponto a densidade au-
menta com a distaˆncia do ponto a` origem, alcanc¸ando o valor
ma´ximo no ponto (0, 4) em que a densidade e´ δ(0, 4) = 4.
Ale´m disso, a regia˜o da chapa com densidade maior que 2 tem a´rea maior do que a regia˜o
com densidade menor que 2. Assim, o valor me´dio da densidade deve ser maior do que 2.
Para verificar essa expectativa o pro´ximo passo e´ descrever D em coordenadas polares.
Para isso, substituindo r2 = x2 + y2 e y = r sen(θ) na equac¸a˜o x2 + y2 = 4y, obte´m-se que
r = 4 sen(θ). Com o auxilio da figura segue-se enta˜o que D e´ descrita como
D̂ = {(r, θ); 0 < θ < pi e 0 < r < 4 sen(θ)}
r
r
θ
θ
pi
4 sen(θ) 4
2g
A figura acima ilustra a relac¸a˜o entre D̂ e D. Usando essa descric¸a˜o de D̂, e a fo´rmula
de mudanc¸a de varia´vel, a massa M da chapa pode ser calculada como
M =
∫∫
D
δ(x, y) dxdy =
∫∫
D̂
δ(r cos(θ), r sen(θ)) r drdθ =
∫ pi
0
(∫ 4 sen(θ)
0
r2 dr
)
dθ
=
∫ pi
0
(
43
3
sen3(θ)
)
dθ =
43
3
∫ pi
0
(1− cos2(θ)) sen(θ)dθ = 4
3
3
∫ 1
−1
(1− u2)du = 4
3
3
4
3
=
256
9
Finalmente, como a a´rea de D e´ A = pi22, a densidade me´dia da chapa e´ igual a
δ0 =
M
A
= 64
9pi
≈ 2, 26, valor que esta´ de acordo com a expectativa inicial. �
O Caso Geral
Indique por (u, v) as coordenadas de um domı´nio D̂ e por (x, y) as coordenadas de outro
domı´nio D. Uma func¸a˜o g : D̂ → D e´ uma regra que a cada (u, v) ∈ D̂ associa um u´nico
(x, y) = g(u, v) ∈ D. Nesse caso, as coordenadas x = x(u, v) e y = y(u, v) sa˜o func¸o˜es de
(u, v), e a func¸a˜o g e´ indicada por g(u, v) = (x(u, v), y(u, v)).
Definic¸a˜o 1. A func¸a˜o g : D̂ → D e´ uma mudanc¸a de varia´vel se for bijetiva com inversa
cont´ınua, as func¸o˜es x(u, v) e y(u, v) forem diferencia´veis e, ale´m disso, Jg(u, v) 6= 0 para
todo (u, v) ∈ D̂, onde
Jg(u, v) = det
[
xu(u, v) yu(u, v)
xv(u, v) yv(u, v)
]
Ca´lculo III Notas da Aula 18 2/6
A condic¸a˜o de continuidade da inversa e´ para que seja poss´ıvel tanto ir de D̂ para D
como tambe´m voltar de D para D̂ de forma cont´ınua.
Exemplo 2. Seja D a chapa no primeiro quadrante limitada pelas retas y = x e y = 4x e
pelas hipe´rboles xy = 1 e xy = 9. Use uma mudanc¸a de coordenadas para descrever D em
termos de um domı´nio retangular.
Soluc¸a˜o. A primeira observac¸a˜o e´ que ao longo das retas tem-se que y/x e´ constante, e ao
longo das hipe´rboles xy e´ constante. Assim, uma escolha natural para as novas coordenadas
seria y/x = u e xy = v. Isso porque, por exemplo, a hipe´rbole xy = 1 corresponderia a` reta
v = 1 no plano Ouv, e analogamente para a outra hipe´rbole e as outras retas. Segue-se que
o domı´nio D̂ seria um retaˆngulo no plano Ouv.
No entanto, apenas para facilitar as contas, as escolhas mais convenientes sa˜o y/x = u2
e xy = v2, com u > 0 e v > 0. De fato, nesse caso, expressando x e y como func¸o˜es de u
e v, obte´m-se que x = v/u e y = uv. Ale´m disso, as retas y/x = 1 e y/x = 4 no plano
Oxy correspondem a`s retas u = 1 e u = 2 no plano Ouv, e as hipe´rboles xy = 1 e xy = 9
correspondem a`s retas v = 1 e v = 3. Veja a figura a seguir.
1 2 u
1
3
v
D̂
g
D
x
y
y
=
x
y
=
4
x
x
y
=
1
x
y
=
9
A conclusa˜o e´ que, escolhendo-se D̂ = [1, 2] × [1, 3], enta˜o g(u, v) = (v/u, uv) e´ uma
func¸a˜o bijetiva de D̂ em D com jacobiano.
Jg(u, v) = det
[
xu(u, v) yu(u, v)
xv(u, v) yv(u, v)
]
= det
[ −v/u2 v
1/u u
]
= −2v
u
que na˜o se anula em D̂. Ale´m disso, e´ claro que as func¸o˜es x(u, v) = v/u e y(u, v) = uv
sa˜o diferencia´veis em D̂ e que a func¸a˜o inversa g−1 : D → D̂, g−1(x, y) = (
√
y/x),
√
xy), e´
cont´ınua. Isso conclui a verificac¸a˜o de que g e´ uma mudanc¸a de coordenadas que descreve
D em termos de um domı´nio retangular D̂. �
Voltando ao caso geral, a condic¸a˜o de que Jg(u, v) na˜o se anule em D̂ e´ para que seja
poss´ıvel comparar a´reas do domı´nio com a´reas da imagem. Essa comparac¸a˜o e´ feita por
meio dos vetores velocidades das curvas coordenadas u 7→ g(u, v0) (em que v0 esta´ fixo) e
v 7→ g(u0, v) (em que u0 esta´ fixo), vetores que sa˜o dados por
lim
∆u→0
g(u0 +∆u, v0)− g(u0, v0)
∆u
= gu(u0, v0) e lim
∆v→0
g(u0, v0 +∆v)− g(u0, v0)
∆v
= gv(u0, v0) (2)
u0
v0
u
v
x
y
g
v (u
0 , v
0 )
g(u
0 , v)
gu
(u0
, v0
)
g(u
, v0
)
g
Ca´lculo III Notas da Aula 18 3/6
Considere agora um pequeno retaˆngulo R̂ = [u, u + ∆u] × [v, v + ∆v] no domı´nio D̂ e
indique por R = g(R̂) a sua imagem, conforme ilustra a figura.
u u+∆u
v
v +∆v
R̂ R
g(u, v)
g(u, v +∆v) g(u+∆u, v)g
Com o auxilio da figura, a a´rea de R pode ser aproximada pela a´rea do paralelogramo
gerado pelos vetores g(u+∆u, v)− g(u, v) e g(u, v+∆v)− g(u, v). Por outro lado, se ∆u e
∆v forem pequenos, das definic¸o˜es em (2) segue-se que
g(u+∆u, v)− g(u, v) ≈ gu(u, v)∆u e g(u, v +∆v)− g(u, v) ≈ gv(u, v)∆v
Da´ı que a a´rea de R pode ser aproximada pela a´rea do paralelogramo gerado pelos vetores
gu(u, v)∆u = (xu(u, v)∆u, yu(u, v)∆u) e gv(u, v)∆v = (xv(u, v)∆v, yv(u, v)∆v)
Ora! A a´rea deste paralelogramo e´ o mo´dulo do determinante da matriz cujas linhas sa˜o
esses mesmosvetores. Assim,
A´rea de R ≈
∣∣∣∣det [ xu(u, v)∆u yu(u, v)∆uxv(u, v)∆v yv(u, v)∆v
]∣∣∣∣
=
∣∣∣∣det [ xu(u, v) yu(u, v)xv(u, v) yv(u, v)
]∣∣∣∣∆u∆v = |Jg(u, v)|∆u∆v (3)
Resumindo, tem-se que A´rea de R ≈ |Jg(u, v)|A´rea de R̂, e essa aproximac¸a˜o justifica a
importaˆncia do jacobiano Jg(u, v) na˜o se anular em D̂, pois do contra´rio a comparac¸a˜o entre
a´reas estaria prejudicada. Ale´m disso, essa aproximac¸a˜o e´ o passo chave para se deduzir a
fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis, como se vera´ a seguir.
Exemplo 3. Com a mudanc¸a do exemplo anterior, compare as a´reas de R1 = g(R̂1) e
R2 = g(R̂2), onde R̂1 = [1, 1,1]× [1, 1,1] e R̂2 = [1, 1,1]× [2,9 , 3]
Soluc¸a˜o. A mudanc¸a do exemplo anterior e´ g(u, v) = (v/u, uv) com Jg(u, v) = −2v/u.
R̂1
R̂2
R1
R2g
O retaˆngulo R̂1 corresponde ao ponto (1, 1) com lados de comprimentos ∆u = ∆v = 0,1.
Como Jg(1, 1) = −2 segue-se que a´rea de R1 ≈ |Jg(1, 1)|∆u∆v = 2 · 0,1 · 0,1 = 0,02.
Ja´ R̂2 corresponde a (1, 2,9) e tem lados tambe´m de comprimentos ∆u = ∆v = 0,1.
Como Jg(1, 2,9) = −5,8 segue-se que a´rea de R2 ≈ |Jg(1, 2,9)|∆u∆v = 5,8 ·0,1 ·0,1 = 0,058.
Assim, apesar das a´reas de R̂1 e R̂2 serem iguais, a a´rea de R2 = g(R̂2) e´ quase o triplo
da a´rea de R1 = g(R̂1). Isso ilustra o quanto as mudanc¸as podem alterar as a´reas. �
Ca´lculo III Notas da Aula 18 4/6
Fo´rmula de Mudanc¸a de Coordenadas
Com a notac¸a˜o da sec¸a˜o anterior, em que g : D̂ → D e´ uma mudanc¸a de coordenadas
gene´rica, suponha que f : D → R seja integra´vel. Suponha ainda que, apesar de integra´vel,
seja importante procurar maneiras de simplificar o ca´lculo da integral. Nesse sentido, uma
pergunta interessante e´: seria poss´ıvel escolher uma func¸a˜o simpa´tica h(u, v) de maneira que∫∫
D
f(x, y) dxdy =
∫∫
D̂
h(u, v) dudv ?
Essa pergunta e´ a mesma da aula passada e, como antes, tem uma resposta afirmativa. De
fato, a figura da esquerda ilustra o so´lido P̂ , cuja base e´ o retaˆngulo R̂ = [u, u+∆u]×[v, v+∆v]
e cuja altura e´ a func¸a˜o a ser escolhida h(u, v). A figura da direita ilustra o so´lido P , cuja
base e´ a imagem R = g(R̂) e cuja altura e´ f(x, y), onde (x, y) = g(u, v)
P̂
h(u, v)
u
u+∆u
v v +∆v
f(x, y)
P
g(u, v)
Em relac¸a˜o aos volumes de P̂ e P , da comparac¸a˜o entre a´reas vista acima obte´m-se que
a´rea de R ≈ | detJg(u, v)|∆u∆v.
Da´ı segue-se que o volume de P pode ser descrito em termos das varia´veis u e v na forma
f(x, y)× a´rea de R ≈ f(g(u, v))× [| detJg(u, v)|∆u∆v]
= [f(g(u, v))| detJg(u, v)|]×∆u∆v. (4)
Ora! Basta enta˜o escolher a func¸a˜o h(u, v) = f(g(u, v))|Jg(u, v)| para se ter que o volume
de P̂ e´ aproximadamente igual ao volume de P , aproximac¸a˜o ta˜o melhor quanto menor forem
∆u e ∆v. Essa e´ a escolha que faz com que os volumes de P̂ e de P sejam pro´ximos.
E´ tambe´m a escolha de h(u, v) que faz com que as integrais sejam iguais. De fato,
considere uma partic¸a˜o P̂ do domı´nio D̂ que consiste da unia˜o de todos os sub-retaˆngulos
da forma R̂ij = [ui−1, ui]× [vj−1, vj]. A partic¸a˜o P̂ induz uma outra partic¸a˜o P da imagem
g(D̂), que corresponde a` unia˜o de todas as sub-regio˜es Rij = g(R̂ij).
Usando a aproximac¸a˜o em (3) com ∆ui = ui − ui−1 e ∆vj = vj − vj−1, e indicando por
(xi−1, yj−1) = g(ui−1, vj−1), a relac¸a˜o entre as somas de Riemann dessas partic¸o˜es e´
SR(f,P) =
m∑
i=1
n∑
j=1
f(xi−1, yj−1)× a´rea de Rij
≈
m∑
i=1
n∑
j=1
f(g(ui−1, vj−1))|Jg(ui−1, vj−1)| ×∆ui∆vj
=
m∑
i=1
n∑
j=1
h(ui−1, vj−1)×∆ui∆vj = SR(h, P̂)
Ca´lculo III Notas da Aula 18 5/6
E´ claro agora que, passando o limite com a norma de P̂ tendendo a zero, obte´m-se que∫∫
D
f(x, y) dxdy =
∫∫
D̂
h(u, v) dudv =
∫∫
D̂
f(g(u, v))|J(u, v)| dudv
que e´ a fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis para as integrais duplas. Essa fo´rmula abre a
possibilidade de, escolhendo-se criteriosamente a mudanc¸a g, fazer com que a integral do
lado direito seja mais fa´cil de calcular do que a do lado esquerdo. Veja o pro´ximo exemplo.
Exemplo 4. Seja D a chapa do Exemplo 2. Calcule o centro de massa da chapa supondo
que ela tenha densidade δ(x, y) =
√
y/x.
1/2 1 3/2 3
Soluc¸a˜o. A figura ilustra novamente a chapa D, que e´ a unia˜o de
treˆs domı´nios na forma Rx. Assim, um ca´lculo direto seria longo e
trabalhoso, pois seriam necessa´rios o ca´lculo de treˆs integrais, e cada
uma delas deveria ser dividida em outras treˆs partes.
Vale enta˜o usar a mudanc¸a g : D̂ → D do Exemplo 2, onde
D̂ = [1, 2]×[1, 3] e g(u, v) = (v/u, uv) com Jg(u, v) = −2v/u. Assim,
lembrando que y/x = u2 e usando que δ(x, y) =
√
y/x segue-se que
δ(g(u, v))|Jg(u, v)| = u2vu = 2v.
Daqui e da fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis obte´m-se que a
massa da chapa e´ dada por
M =
∫∫
D
δ(x, y) dxdy =
∫∫
D̂
δ(g(u, v))|Jg(u, v)| dudv
=
∫∫
D̂
2v dudv =
∫ 3
1
(∫ 2
1
2v du
)
dv =
∫ 3
1
2v dv = v2
∣∣∣3
1
= 8
Em relac¸a˜o ao centro de massa, como x = v/u, o momento de massa em relac¸a˜o a Oy e´
My =
∫
D
xδ(x, y) dxdy =
∫∫
D̂
v
u
2v dudv
=
∫ 3
1
(∫ 2
1
2v2
u
du
)
dv = ln(2)
∫ 3
1
2v2 dv = 2 ln(2)
26
3
Analogamente, como y = uv, o momento de massa em relac¸a˜o a Ox e´
Mx =
∫
D
yδ(x, y) dxdy =
∫∫
D̂
uv2v dudv
=
∫ 3
1
(∫ 2
1
2uv2 du
)
dv = 3
∫ 3
1
v2 dv = 26
Destes ca´lculos segue-se que as coordenadas x e y do centro de
massa da chapa sa˜o dadas por
x =
My
M
≈ 1, 50 e y = Mx
M
≈ 3, 25
x
y
O ponto (x, y) esta´ ilustrado acima juntamente com a chapa D, e da ilustrac¸a˜o conclui-se
que os ca´lculos esta˜o bem coerentes. �
Ca´lculo III Notas da Aula 18 6/6