Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem 3 y ′′ − 3 y ′ − 18 y = 360 .

Para resolver essa equação diferencial de segunda ordem, primeiro precisamos encontrar as raízes da equação característica associada: 3r² - 3r - 18 = 0 Podemos simplificar dividindo por 3: r² - r - 6 = 0 Fatorando, temos: (r - 3)(r + 2) = 0 Portanto, as raízes são r1 = 3 e r2 = -2. A solução geral da equação diferencial é dada por: y(t) = c1e^(3t) + c2e^(-2t) + yh(t) Onde yh(t) é a solução homogênea da equação diferencial, que é dada por: yh(t) = A*cos(√(k)*t) + B*sin(√(k)*t) Onde k é o coeficiente da parte quadrática da equação característica, ou seja, k = 3 no nosso caso. Agora precisamos encontrar os valores de A e B. Para isso, vamos derivar yh(t) duas vezes e substituir na equação diferencial original: y(t) = A*cos(√(k)*t) + B*sin(√(k)*t) y'(t) = -A*√(k)*sin(√(k)*t) + B*√(k)*cos(√(k)*t) y''(t) = -A*k*cos(√(k)*t) - B*k*sin(√(k)*t) Substituindo na equação diferencial original, temos: 3*(-A*k*cos(√(k)*t) - B*k*sin(√(k)*t)) - 3*(-A*√(k)*sin(√(k)*t) + B*√(k)*cos(√(k)*t)) - 18*(A*cos(√(k)*t) + B*sin(√(k)*t)) = 360 Simplificando, temos: (-3Ak - 3B√(k) - 18A)*cos(√(k)*t) + (-3Bk + 3A√(k) - 18B)*sin(√(k)*t) = 360 Como cos(√(k)*t) e sin(√(k)*t) são funções linearmente independentes, podemos igualar os coeficientes das duas funções a zero e resolver o sistema de equações: -3Ak - 3B√(k) - 18A = 0 -3Bk + 3A√(k) - 18B = 0 Substituindo k = 3 e √(k) = √(3), temos: -9A - 9B√(3) - 18A = 0 -9B*3 + 3A√(3) - 18B = 0 Simplificando, temos: -27A - 9B√(3) = 0 -27B + 3A√(3) = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos: A = -3√(3) B = -9 Portanto, a solução geral da equação diferencial é: y(t) = c1e^(3t) + c2e^(-2t) - 3√(3)*cos(√(3)*t) - 9*sin(√(3)*t)