Cálculo 3 cal3na a20 Auroux

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MIT OpenCourseWare
Multivariable Calculus, Fall 2007
Prof. Denis Auroux
Notas de Aula∗
Aula 20
Integrais de Linha – Continuac¸a˜o
Lembre-se que a integral de linha de um campo ~F = Mıˆ+Nˆ
ao longo da curva C e´ dada por∫
C
~F · d~r =
∫
C
Mdx+Ndy =
∫
C
~F · Tˆ ds.
Exemplo 1 Calcular
∫
C
~F · d~r para o campo ~F = yıˆ + xˆ e a
curva C = C1 + C2 + C3 que delimita o setor circular do disco
unita´rio de 0 a pi/4 (ver figura ao lado).
Soluc¸a˜o. Precisamos computar
∫
Ci
ydx+ xdy para cada curva Ci, i = 1, 2, 3.
1. C1 (eixo Ox): nesse caso, usando a parametrizac¸a˜o x = t e y = 0 com t ∈ [0, 1], temos
dx = dt e dy = 0, logo
∫
C1
ydx+ xdy =
∫ 1
0
0 dt = 0.
De forma geome´trica, ao longo do eixo Ox em que y = 0, temos ~F = xˆ, enquanto que
Tˆ = ıˆ. E´ claro enta˜o que
∫
C1
~F · Tˆ ds = 0.
2. C2 (arco de c´ırculo): usando a parametrizac¸a˜o x = cos θ e y = sen θ, com 0 ≤ θ ≤ pi4 ,
temos dx = − sen θ dθ e dy = cos θ dθ. Da´ı obtemos que∫
C2
ydx+ xdy =
∫ pi/4
0
(sen θ(− sen θ) + cos θ cos θ) dθ
=
∫ pi/4
0
cos(2θ) dθ
=
1
2
sen(2θ)
∣∣∣pi/4
0
=
1
2
3. C3 (segmento de reta de
(
1√
2
, 1√
2
)
a (0, 0)): poderiamos escolher a parametrizac¸a˜o
y = x = 1√
2
− 1√
2
t com 0 ≤ t ≤ 1. Mas podemos facilitar os ca´lculos notanto que o
caminho contra´rio de C3, denotado por −C3, pode ser parametrizado por y = x = t
com 0 ≤ t ≤ 1√
2
. Ale´m disso, o trabalho ao longo de −C3 e´ o oposto do trabalho ao
longo de C3. Obtemos assim que∫
C3
y dx+ x dy = −
∫
−C3
y dx+ x dy = −
∫ 1√
2
0
2t dt = −t2
∣∣∣1/√2
0
= −1
2
.
∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 8 Summary
2
Somando os treˆs valores acima obtemos que
∫
C
~F · d~r = 0, e portanto a forc¸a na˜o realiza
trabalho ao longo desse caminho. �
Se ~F e´ um campo gradiente, isto e´, se ~F = ∇f = fxıˆ+ fy ˆ, dizemos que f e´ uma ”func¸a˜o
potencial´´ para o campo ~F . Nesse caso, podemos simplificar a avaliac¸a˜o de integrais de
linha por meio do teorema fundamental do ca´lculo:
Teorema 1 (Teorema fundamental do ca´lculo para integrais de linha) Se ~F = ∇f = fxıˆ+fy ˆ
e C e´ um caminho que liga P0 a P1, enta˜o∫
C
∇f · d~r =
∫
C
fxdx+ fydy =
∫
C
df = f(P1)− f(P0)
Demonstrac¸a˜o. Indique por P (t) = (x(t), y(t)) uma parametrizac¸a˜o da curva C, com
t0 ≤ t ≤ t1. Da regra da cadeia segue enta˜o que∫
C
∇f · d~r =
∫ t1
t0
(fx(x(t), y(t))
dx(t)
dt
+ fy(x(t), y(t))
dy(t)
dt
) dt
=
∫ t1
t0
d
dt
f(x(t), y(t)) dt
= f(x(t), y(t))
∣∣∣t1
t0
= f(P1)− f(P0).
�
No exemplo acima, em que ~F = 〈y, x〉, temos que ~F = ∇f
para a func¸a˜o f(x, y) = xy. Enta˜o cada integral
∫
Ci
~F · d~r, i =
1, 2, 3, pode ser calculada simplesmente avaliando f(x, y) = xy
nos pontos extremos de cada caminho. A figura ao lado mostra
C, o campo vetorial, e as curvas de n´ıvel.
Consequeˆncias
Para um campo gradiente ~F = ∇f = 〈fx, fy〉, temos:
• Independeˆncia do caminho. Se C1 e C2 tem os mesmos pontos extremos, enta˜o
∫
C1
∇f ·
d~r =
∫
C2
∇f · d~r (ambos iguais a f(P1) − f(P0) pelo teorema). Enta˜o a integral de
linha
∫
C
∇f · d~r depende apenas dos pontos extremos, na˜o da trajeto´ria.
• Conservac¸a˜o. Se C e´ uma curva fechada enta˜o ∫
C
∇f · d~r = 0 (= f(P )− f(P )).
Atenc¸a˜o: isso acontece apenas para campos gradientes! Por ex-
emplo, o campo ~F = −yıˆ + xˆ na˜o e´ gradiente. De fato, como
visto na aula anterior, ao longo do c´ırculo C de raio a no sentido
anti-hora´rio, temos que ~F e´ paralelo ao tangente unita´rio Tˆ , e
portanto
∫
C
~F ·d~r = 2pia2 (ver figura ao lado). Consequentemente
~F na˜o e´ conservativo, e na˜o e´ um campo gradiente.
3
Interpretac¸a˜o f´ısica
Se um campo de forc¸a ~F e´ o gradiente de um potencial f , enta˜o o trabalho de ~F =
mudanc¸a de valor no potencial.
Por exemplo: 1) ~F = campo gravitacional, f = potencial gravitacional; 2) ~F = campo
ele´trico; f = potencial ele´trico (voltagem). (Na verdade os f´ısicos usam como convenc¸ao o
sinal oposto ~F = −∇f).
Conservativo significa que a energia vem de uma mudanc¸a no potencial f , e nenhuma
energia pode ser extra´ıda de um movimento ao longo de uma trajeto´ria fechada (conservativo
= conservac¸a˜o da energia: a mudanc¸a na energia cine´tia e´ igual ao trabalho da forc¸a, que e´
igual a` mudanc¸a de energia potencial).
Temos quatro propriedades equivalentes:
(1) ~F e´ conservativo (
∫
C
~F · d~r = 0 para qualquer curva fechada C)
(2)
∫
~F · d~r e´ independente do caminho (mesmo trabalho se tivermos as mesmas
extremidades)
(3) ~F e´ um campo gradiente: ~F = ∇f = fxıˆ+ fy ˆ.
(4) Mdx+Ndy e´ uma diferencial exata (= fxdx+ fydy = df .)
Notar que (1) e´ equivalente a (2) considerando as curvas C1 e C2 com as mesmas extre-
midades, e notando que C = C1 − C2 e´ uma curva fechada.
Que (3) ⇒ (2) e´ o teorema fundamental do ca´lculo, e que (2) ⇒ (3) e´ a chave para
descobrirmos a func¸a˜o potencial: se tivermos independeˆncia enta˜o podemos obter f(x, y)
calculando
∫ (x,y)
(0,0)
~F · d~r.
Finalmente, notar que (3) e (4) sa˜o reformulac¸o˜es da mesma propriedade.