Cálculo 3 Textos em Cálculo Multivariável

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Textos de Ca´lculo
em Va´rias Varia´veis
Selec¸a˜o, organizac¸a˜o e traduc¸a˜o de Mayra Madeira de Moura
Revisa˜o te´cnica de Celius A. Magalha˜es
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Textos de Ca´lculo
em Va´rias Varia´veis
Selec¸a˜o e traduc¸a˜o de textos do MIT OpenCourseWare e do GaTech, de
acordo com as observac¸o˜es legais a seguir. Veja o apeˆndice para uma relac¸a˜o
completa dos textos traduzidos.
These MIT OpenCourseWare course materials have been translated into
Portuguese by Mayra Madeira de Moura. Neither the MIT faculty
authors, MIT, nor MIT Opencourseware warrant the accuracy or
completeness of the translations.
Figura da capa: Simple Line and Point Spiral Flower
Suma´rio
Prefa´cio v
I Mo´dulo 1 1
1 A Aproximac¸a˜o Tangente 2
1.1 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 O Plano Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 A Fo´rmula de Aproximac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Cr´ıtica a` Fo´rmula de Aproximac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Um Argumento Na˜o-Geome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Func¸o˜es de Valores Reais I 9
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 A derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Normais a`s Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Func¸o˜es de Valores Reais II 12
3.1 Ma´ximos e Mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Me´todo dos Mı´nimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Mais sobre Ma´ximos e Mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Ainda mais sobre Ma´ximos e Mı´nimos . . . . . . . . . . . . . 17
II Mo´dulo 2 19
4 Integrac¸a˜o 20
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Duas Dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Trocando as varia´veis em integrais mu´ltiplas 26
5.1 Mudanc¸a de Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2 O Elemento de A´rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 Exemplos e Comenta´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.4 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Triplas . . . . . . . . . . . 35
6 Mais sobre Integrac¸a˜o 36
6.1 Algumas Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.3 Treˆs dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
iii
SUMA´RIO iv
7 Limites em Integrais Iteradas 44
7.1 Integrais Duplas em Coordenadas
Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2 Integrais Duplas em Coordenadas
Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.3 Integrais Triplas em Coordenadas Retangulares e Cil´ındricas . 46
7.4 Coordenadas Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8 Atrac¸a˜o Gravitacional 50
III Mo´dulo 3 53
9 Campos Vetoriais no Plano 54
9.1 Campos Vetoriais no Plano; Campos Gradiente . . . . . . . . 54
9.2 Campos de Forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.3 Campos de Fluxo e de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10 Fluxos Bi-Dimensionais 60
11 Teorema de Green na forma Normal 64
11.1 Teorema de Green para Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
11.2 O Divergente Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
11.3 Uma interpretac¸a˜o do rot F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
12 Teorema de Stokes 70
12.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
12.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
12.3 Relac¸a˜o entre Green e Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
12.4 Interpretac¸a˜o do rotacional de F . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
12.5 Prova do teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
13 Teorema da Divergeˆncia 78
13.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
13.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
13.3 Demonstrac¸a˜o do Teorema da Divergeˆncia . . . . . . . . . . . . 81
Apeˆndice 84
Relac¸a˜o dos textos traduzidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Prefa´cio
A Internet tem tornado a informac¸a˜o acess´ıvel em graus que antes seriam
inimagina´veis. E isso ainda e´ mais certo agora, quanto importantes univer-
sidades disponibilizam seus materiais dida´ticos via internet, permitindo que
alunos do mundo todo usufruam de materiais de excelente qualidade.
No entanto, a lingua ainda e´ uma barreira para muitos alunos de gra-
duac¸a˜o. Por esse motivo, e para atender a um pu´blico expec´ıfico, sugeri a`
Mayra Madeira de Moura a traduc¸a˜o de textos voltados para alunos de um
segundo curso de Ca´lculo, incluindo os conceitos de diferenciac¸a˜o e integra-
c¸a˜o em va´rias varia´veis, ale´m dos teoremas cla´ssicos do Ca´lculo Vetorial. Ela
aceitou o desafio e se dedicou com entusiasmo ao projeto, que incluiu na˜o so´
a traduc¸a˜o, mas tambe´m a pesquisa e a selec¸a˜o dos textos.
Em sua maioria, os textos selecionados foram notas suplementares do
curso Multivariable Calculus, ministrado pelos professores Arthur Mattuck
e David Jerison durante a primavera de 2006. A relac¸a˜o completa dos tex-
tos traduzidos encontra-se no Apeˆndice. Os textos procuram introduzir os
principais conceitos de Ca´lculo na˜o como um fim em si mesmos, como muitas
vezes acontece, mas como ferramentas para o estudo de problemas relevantes,
como os problemas de ma´ximos e mı´nimos, de gravitac¸a˜o e de fluxos eletro-
magne´ticos. Espero que essa abordagem venha a desempenhar algum papel
na motivac¸a˜o dos alunos, e que esse trabalho seja de alguma utilidade.
Celius A Magalha˜es
Dep. de Matema´tica - UnB
v
Parte I
Mo´dulo 1
1
Cap´ıtulo 1
A Aproximac¸a˜o Tangente
1.1 Derivadas Parciais
Seja w = f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis. Seu gra´fico e´ uma super-
f´ıcie no espac¸o Oxyz, conforme a figura.
Figura 1.1. Gra´fico de func¸a˜o de duas varia´veis
Fixe um valor y = y0 e deixe x variar. Com isso obtemos uma func¸a˜o de
uma varia´vel
w = f(x, y0), a func¸a˜o parcial para y = y0 (1.1)
Seu gra´fico e´ uma curva no plano vertical y = y0 cuja inclinac¸a˜o no ponto
x = x0 e´ dado pela derivada
d
dx
f(x, y0)
∣∣∣
x0
, ou
∂f
∂x
∣∣∣
(x0,y0)
. (1.2)
Chamamos (1.2) de derivada parcial de f com respeito a x no ponto
(x0, y0); o lado direito de (1.2) e´ a notac¸a˜o mais usada para representa´-la. A
derivada parcial e´ apenas a derivada ordina´ria da func¸a˜o parcial – ela e´ cal-
culada mantendo uma varia´vel fixa e derivando com respeito a` outra. Outras
notac¸o˜es para a derivada parcial sa˜o
fx(x0, y0) ,
∂w
∂x
∣∣∣
(x0,y0)
,
(
∂f
∂x
)
0
,
(
∂w
∂x
)
0
;
2
1.2. O Plano Tangente 3
a primeira e´ conveniente para incluir o ponto espec´ıfico; a segunda e´ mais
usada nas cieˆncias e engenharias, onde lidamos somente com a relac¸a˜o entre
as varia´veis, e na˜o mencionamos a func¸a˜o expl´ıcitamente; a terceira e a quarta
indicam o ponto usando um u´nico sub´ındice.
Analogamente, fixando x = x0 e deixando y variar, obtemos a func¸a˜o par-
cial w = f(x0, y), cujo gra´fico esta´ no plano vertical x = x0 e cuja inclinac¸a˜o
em y = y0 e´ a derivada parcial de f com respeito a y ; as notac¸o˜es sa˜o
∂f
∂y
∣∣∣
(x0,y0)
, fy(x0, y0),
∂w
∂y
∣∣∣
(x0,y0)
,
(
∂f
∂y
)
0
,
(
∂w
∂y
)
0
.
As derivadas parciais ∂f/∂x e ∂f/∂y dependem do ponto (x0, y0) e sa˜o,
portanto, func¸o˜es de x e y.
Escrita como ∂w/∂x, a derivada parcial da´ a taxa de variac¸a˜o de w com
respeito apenas a x no ponto (x0, y0): nos diz o qua˜ora´pido w esta´ aumenta
a´ medida que x aumenta, quando y e´ mantido constante.
Para uma func¸a˜o de treˆs ou mais varia´veis, w = f(x, y, z, ...), na˜o podemos
mais desenhar gra´ficos, mas a ide´ia de derivadas parciais permanece a mesma:
para definir a derivada parcial com respeito a x, por exemplo, mantemos
todas as outras varia´veis constantes e calculamos a derivada ordina´ria com
respeito a x; as notac¸o˜es sa˜o as mesmas que as acima:
d
dx
f(x, y0, z0, ...) = fx(x0, y0, z0, ...) ,
(
∂f
∂x
)
0
,
(
∂w
∂x
)
0
.
1.2 O Plano Tangente
Para uma func¸a˜o de uma va´ria´vel, w = f(x), a reta tangente ao seu
gra´fico no ponto (x0, w0) e´ a reta por esse ponto com inclinac¸a˜o
(
dw
dx
)
0
.
Para uma func¸a˜o de duas varia´veis, w = f(x, y), o ana´logo natural e´ o
plano tangente ao gra´fico no ponto (x0, y0, w0). Qual a equac¸a˜o desse plano
tangente? Olhando de novo a Figura 1.1 da pa´gina anterior vemos que o
plano tangente
(i) deve passar por (x0, y0, w0), onde w0 = f(x0, y0);
(ii) deve conter as retas tangentes aos gra´ficos das duas func¸o˜es parciais –
isso vai acontecer se o plano tiver as mesmas inclinac¸o˜es nas direc¸o˜es i
e j que a superf´ıcie.
1.3. A Fo´rmula de Aproximac¸a˜o 4
Usando essas duas condic¸o˜es, e´ fa´cil encontrar a equac¸a˜o do plano tan-
gente. A equac¸a˜o geral de um plano por (x0, y0, w0) e´
A(x− x0) +B(y − y0) + C(w − w0) = 0.
Assuma que o plano na˜o e´ vertical; logo C 6= 0 e podemos resolver para
w − w0, obtendo
w − w0 = a(x− x0) + b(y − y0) , a = A/C , b = B/C . (1.3)
O plano passa enta˜o por (x0, y0, w0); quais os valores dos coeficientes a e
b para que o plano seja tambe´m tangente ao gra´fico? No´s temos
a = inclinac¸a˜o do plano (1.3) na direc¸a˜o i (colocando y = y0 em (1.3));
= inclinac¸a˜o do gra´fico na direc¸a˜o i (por (ii) acima);
=
(
∂w
∂x
)
0
(pela definic¸a˜o de derivada parcial).
De maneira ana´loga obte´m-se que b =
(
∂w
∂y
)
0
. Portanto, a equac¸a˜o do
plano tangente a w = f(x, y) em (x0, y0) e´
w − w0 =
(
∂w
∂x
)
0
(x− x0) +
(
∂w
∂y
)
0
(y − y0) (1.4)
1.3 A Fo´rmula de Aproximac¸a˜o
O uso mais importante do plano tangente e´ dar uma fo´rmula de aproxi-
mac¸a˜o que e´ ba´sica no estudo de func¸o˜es de va´rias varia´veis – quase tudo, de
uma forma ou de outra, segue desta fo´rmula.
A ide´ia intuitiva e´ que, se ficarmos pro´ximos de (x0, y0, w0), enta˜o o plano
tangente (1.4) sera´ uma boa aproximac¸a˜o para o gra´fico de w = f(x, y).
Portanto, se o ponto (x, y) esta´ pro´ximo de (x0, y0), enta˜o
f(x, y) ≈ w0 +
(
∂w
∂x
)
0
(x− x0) +
(
∂w
∂y
)
0
(y − y0)
altura do gra´fico ≈ altura do plano tangente
(1.5)
A func¸a˜o do lado direito de (1.5), cujo gra´fico e´ o plano tangente, tambe´m
e´ chamada de linearizac¸a˜o de f(x, y) em (x0, y0): ela e´ a func¸a˜o linear que da´
a melhor aproximac¸a˜o de f(x, y) para valores de (x, y) pro´ximos de (x0, y0).
Uma forma equivalente da aproximac¸a˜o (1.5) e´ obtida usando a notac¸a˜o
∆; se colocamos
1.3. A Fo´rmula de Aproximac¸a˜o 5
∆x = x− x0 , ∆y = y − y0 , ∆w = w − w0,
enta˜o (1.5) fica
∆w ≈
(
∂w
∂x
)
0
∆x+
(
∂w
∂y
)
0
∆y, se ∆x ≈ 0, ∆y ≈ 0. (1.6)
Essa fo´rmula nos da´, aproximadamente, a mudanc¸a que w sofre se fizermos
pequenas variac¸o˜es em x e y. Essa fo´rmula sera´ usada frequentemente.
O ana´logo da fo´rmula de aproximac¸a˜o para uma func¸a˜o w = f(x, y, z) de
treˆs varia´veis seria
∆w ≈
(
∂w
∂x
)
0
∆x+
(
∂w
∂y
)
0
∆y+
(
∂w
∂z
)
0
∆z, se ∆x, ∆y, ∆z ≈ 0 (1.7)
Infelizmente, para func¸o˜es de treˆs ou mais varia´veis, na˜o podemos usar um
argumento geome´trico para a fo´rmula de aproximac¸a˜o (1.7); por essa raza˜o,
e´ melhor reformular (1.6) de maneira a na˜o utilizar planos ou argumentos
geome´tricos, e que portanto possa ser generalizado para va´rias dimenso˜es.
Isso esta´ feito no final dessa sec¸a˜o; por hora, vamos assumir a veracidade de
(1.7) e sua generalizac¸a˜o para dimenso˜es maiores.
Seguem dois exemplos t´ıpicos de utilizac¸a˜o da fo´rmula de aproximac¸a˜o.
A fo´rmula de aproximac¸a˜o sera´ usada, no restante do estudo de derivadas
parciais, para deduzir outras importantes fo´rmulas e teoremas.
Exemplo. Construa um quadrado razoa´vel, centrado em (1, 1), sobre o qual
o valor de w = x3y4 na˜o varie mais que ±0, 1.
Soluc¸a˜o. Usaremos (1.6). Para isso, calculamos as derivadas parciais
wx = 3x
2y4 wy = 4x
3y3
e portanto, avaliando essas derivadas em (1, 1) e usando (1.6), obtemos
∆w ≈ 3∆x+ 4∆y
Enta˜o, se |∆x| 6 0, 01 e |∆y| 6 0, 01, devemos ter
|∆w| 6 3|∆x|+ 4|∆y| 6 0, 07
que esta´ dentro dos limites. Enta˜o a resposta e´ um quadrado com centro em
(1, 1) dado por
|x− 1| 6 0, 01 , |y − 1| 6 0, 01 .
1.4. Cr´ıtica a` Fo´rmula de Aproximac¸a˜o 6
Figura 1.2. Caixa retangular de dimenso˜es a,b e c.
Exemplo. Os lados a, b e c de uma caixa retangular devem medir 1, 2 e 3,
respectivamente. Para qual dessas medidas o volume V e´ mais sens´ıvel?
Soluc¸a˜o. V = abc, e enta˜o, usando a fo´rmula de aproximac¸a˜o (1.7),
∆V ≈ bc∆a+ ac∆b+ ab∆c
≈ 6∆a+ 3∆b+ 2∆c em(1, 2, 3).
Assim, o volume e´ mais sens´ıvel a pequenas mudanc¸as no lado a, uma vez
que ∆a possui o maior coeficeinte. (Isto e´, se separadamente cada lado fosse
mudado por exemplo de 0, 01, enta˜o a mudanc¸a em a e´ a que produziria a
maior mudanc¸a no volume, de 0, 06.)
O resultado pode parecer paradoxal – o valor de V e´ mais sens´ıvel ao com-
primento do menor lado – mas e´ de fato intuitivo, como pode ser percebido
pela forma da caixa.
Princ´ıpio da Sensibilidade O valor de w = f(x, y, . . . ), calculado em
algum ponto (x0, y0, . . . ), sera´ mais sens´ıvel a pequenas mudanc¸as para a
varia´vel em que a correspondente derivada parcial wx, wy, . . . tiver o maior
valor absoluto no ponto.
1.4 Cr´ıtica a` Fo´rmula de Aproximac¸a˜o
Primeiramente, a fo´rmula de aproximac¸a˜o na˜o e´ uma afirmac¸a˜o matema´-
tica precisa, ja´ que o s´ımbolo ≈ na˜o diz o qua˜o perto esta˜o as quantidades
envolvidas. Para sermos exatos, ter´ıamos que especificar qual o erro na apro-
ximac¸a˜o. (Isso pode ser feito, mas e´ de pouco uso.)
Uma objec¸a˜o mais fundamental e´ a de que nossa discussa˜o foi baseada
na suposic¸a˜o de que o plano tangente e´ uma boa aproximac¸a˜o da superf´ıcie
perto de (x0, y0, w0). Isso e´ de fato verdade?
Olhemos da seguinte forma. O plano tangente foi determinado como o
plano que tem as mesmas inclinac¸o˜es que a superf´ıcie nas direc¸o˜es i e j.
1.5. Um Argumento Na˜o-Geome´trico 7
Isso significa que a aproximac¸a˜o (1.6) sera´ boa se o afastamento em relac¸a˜o
a (x0, y0) for na direc¸a˜o i (tomando ∆y = 0), ou na direc¸a˜o j (tomando
∆x = 0). Mas sera´ que o plano tangente tem as mesmas inclinac¸o˜es que a
superf´ıcie em todas as outras direc¸o˜es?
Intuitivamente, esperamos que isso ocorra se o gra´fico de f(x, y) e´ uma
superf´ıcie “suave” em (x0, y0) – na˜o tem bicos, saltos ou algo peculiar. A
hipo´tese matema´tica que garante isso e´ a seguinte.
Hipo´tese de Suavidade Dizemos que f(x, y) e´ suave em (x0, y0) se
fx e fy sa˜o cont´ınuas em algum retaˆngulo centrado em (x0, y0) (1.8)
Podemos mostrar que, se (1.8) vale, enta˜o (1.6) tambe´m vale.
Embora exemplos patolo´gicos possam ser constru´ıdos, a maneira usual
em que uma func¸a˜o deixa de ser suave (e portanto (1.6) na˜o vale) e´ quando
as derivadas parciais na˜o existem em (x0, y0). Isso, e´ claro, signifca que na˜o
e´ poss´ıvel nem escrever a fo´rmula (1.6), a menos que se esteja distra´ıdo.
Vejamos um exemplo simples.
Exemplo. Onde w =
√
x2 + y2 e´ suave? Discuta.
Soluc¸a˜o. Calculando formalmente, temos
∂w
∂x
=
x√
x2 + y2
,
∂w
∂y
=
y√
x2 + y2
.
As derivadas parciais sa˜o cont´ınuas em todos os pontos exceto em (0,0), onde
elas na˜o esta˜o definidas. Enta˜o a func¸a˜o e´ suave a menos da origem, e (1.6)
deve valer em todo lugar exceto na origem.
Alia´s, em relac¸a˜o ao gra´fico dessa func¸a˜o, observe que
w =
√
x2 + y2 significa que
altura do gra´fico em (x, y)
= distaˆncia de (x, y) ao eixo w.
Assim, o gra´fico da func¸a˜o e´ um cone circular reto,
com ve´rtice em (0, 0) e eixo ao longo do eixo w.
Geometricamente, o gra´fico tem um bico na origem, enta˜o na˜o deve ter
plano tangente la´, e na˜o vale a fo´rmula de aproximac¸a˜o (1.6) – na˜o existe
func¸a˜o linear que aproxime um cone em seu ve´rtice.
1.5 Um Argumento Na˜o-Geome´trico
Prometemos anteriormente uma abordagem na˜o-geome´trica da fo´rmula
de aproximac¸a˜o (1.6) que pudesse ser estendida para dimenso˜es maiores,
1.5. Um Argumento Na˜o-Geome´trico 8
em particular para o caso tridimensional (1.7). Essa abordagem tambe´m
ira´ mostrar porque a hipo´tese (1.8) e´ necessa´ria. O argumento continua
impreciso, ja´ que ainda usa o s´ımbolo ≈, mas pode ser tornado rigoroso.
Usaremos a fo´rmula de aproximac¸a˜o unidimensional para uma func¸a˜o di-
ferencia´vel w = f(u):
∆w = f ′(u0)∆u , se ∆u ≈ 0. (1.9)
Queremos justificar – sem usar o raciocinio espacial – a fo´rmula (1.6).
Estamos tentando calcular a mudanc¸a de w
quando vamos de P a R, onde P = (x0, y0) e
R = (x0 + ∆x, y0 + ∆y), conforme figura ao
lado. Essa mudanc¸a pode ser pensada como
sendo feita em duas etapas:
∆w = ∆w1 + ∆w2. (1.10)
O primeiro e´ a mudanc¸a em w quando se muda de P para Q, e o segundo
quando se muda de Q para R, onde Q = (x0 + ∆x, y0). Usando a fo´rmula de
aproximac¸a˜o unidmensional (1.9):
∆w1 ≈ d
dx
f(x, y0)
∣∣∣
x0
·∆x = fx(x0, y0)∆x. (1.11)
Analogamente, se fy e´ cont´ınua (isto e´, f e´ suave (1.8)), temos
∆w2 ≈ ddyf(x0 + ∆x, y)
∣∣∣
y0
·∆y = fy(x0 + ∆x, y0)∆y
≈ fy(x0, y0)∆y
(1.12)
uma vez que, por continuidade, a diferenc¸a entre os termos fy(x0 + ∆x, y0) e
fy(x0, y0) e´ insignificante perto dos pro´prios termos. Substituindo os valores
aproximados (1.11) e (1.12) em (1.10), obtemos a fo´rmula de aproximac¸a˜o
(1.6).
Para fazer disso uma demonstrac¸a˜o, dever´ıamos analisar os erros das apro-
ximac¸o˜es, ou, mais simplesmente, trocar o s´ımbolo de ≈ por igualdades ba-
seadas no Teorema do Valor Me´dio do ca´lculo unidimensional.
Esse argumento pode ser facilmente extendido para linearizac¸o˜es de di-
menso˜es maiores, como (1.7); mais uma vez a hipo´tese essencial e´ a da sua-
vidade: as treˆs derivadas parciais wx, wy, wz devem ser cont´ınuas numa vizi-
nhanc¸a do ponto (x0, y0, z0).
Cap´ıtulo 2
Func¸o˜es de Valores Reais I
2.1 Introduc¸a˜o
Voltaremos agora nossas atenc¸o˜es para o caso muito especial de fun-
c¸o˜es que teˆm valores reais ou escalares. Algumas vezes elas sa˜o chama-
das de campos escalares. No caso particular, mas importante, em que a
dimensa˜o do domı´nio e´ dois, podemos de fato observar o gra´fico da fun-
c¸a˜o. Especificamente, no caso em que f : R2 → R, a colec¸a˜o de pontos
S = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : f(x1, x2) = x3} e´ chamado o gra´fico de f . Se
f e´ uma func¸a˜o razoavelmente boa, enta˜o S e´ o que chamamos de uma
superf´ıcie. Veremos mais sobre isso depois. Voltemos agora ao caso mais
geral de uma func¸a˜o f : Rn → R. A derivada de f e´ um vetor linha
f ′(x) =
(
∂f
∂x1
,
∂f
∂x2
, . . . ,
∂f
∂xn
)
. E´ frequentemente chamada de gradiente
da f e e´ denotado por grad f ou ∇f .
2.2 A derivada direcional
Nas aplicac¸o˜es de campos escalares e´ interessante falar sobre taxa de va-
riac¸a˜o de uma func¸a˜o numa direc¸a˜o espec´ıfica. Suponha, por exemplo, que
a func¸a˜o T (x, y, z) deˆ a temperatura nos pontos (x, y, z) do espac¸o e deseje-
mos saber o quanto a temperatura varia se nos movemos numa determinada
direc¸a˜o. Sejam f : Rn → R, a ∈ Rn e seja u ∈ Rn um vetor tal que ||u|| = 1.
Enta˜o a derivada direcional de f em a, na direc¸a˜o do vetor u e´ definida como
sendo
Duf(a) =
d
dt
f(a+ tu)
∣∣∣
t=0
.
Agora que temos pra´tica com a Regra da Cadeia, sabemos como calcular
essa derivada. E´ simplesmente
Duf(a) =
d
dt
f(a+ tu)
∣∣∣
t=0
= 〈∇f(a), u〉
Exemplo. A superf´ıcie de uma montanha e´ o gra´fico de f(x, y) = 700−x2−
5y2. Em outras palavras, no ponto (x, y), a altura e´ f(x, y). O eixo y positivo
aponta para o Norte e, claro, o eixo x positivo aponta para o Leste. Voceˆ
esta´ em um lado da montanha, sobre o ponto (2, 4), e comec¸a a caminhar
para o Sudeste. Qual a inclinac¸a˜o do percurso no ponto inicial? Voceˆ esta
subindo ou descendo?
9
2.3. Normais a`s Superf´ıcies 10
Soluc¸a˜o. A resposta para essas questo˜es requerem a derivada direcional.
Sabemos que estamos no ponto a = (2, 4), mas precisamos de um vetor
unita´rio na direc¸a˜o que estamos andando. Claro, esse vetor e´ u =
1√
2
(1,−1).
Em seguida calculamos o gradiente ∇f(x, y) = (−2x,−10y). Aplicando
no ponto a temos ∇f(2, 4) = (−2,−40), e por u´ltimo temos 〈∇f(a), u〉 =
(−2 + 40)/√2 = 38/√2. Isto nos da´ a inclinac¸a˜o do caminho; e´ positiva, e
portanto estamos subindo. Voceˆ pode dizer em qual direc¸a˜o devemos seguir
para manter o mesmo n´ıvel do ponto a?
Exemplo. A temperatura no espac¸o e´ dada por T (x, y, z) = x2y + yz3.
Partindo do ponto (1, 1, 1), em que direc¸a˜o a temperatura aumenta mais
rapidamente?
Soluc¸a˜o. Claramente precisamos saber em qual direc¸a˜o a derivada direci-
onal e´ ma´xima. A derivada direcional e´ simplesmente 〈∇T, u〉 = ||∇T || cos θ,
onde θ e´ o aˆngulo entre ∇T e u. E´ claro que esse valor sera´ ma´ximo se θ = 0.
Enta˜o T aumenta mais rapidamente na direc¸a˜o do gradiente de T . Neste
caso, essa direc¸a˜o e´ (2xy, x2 + z3, 3yz2). Em (1, 1, 1) essa direc¸a˜o e´ (2, 2, 3).
2.3 Normais a`s Superf´ıcies
Seja f : R3 → R uma func¸a˜o e c uma constante. Relembre que o conjunto
S = {(x, y, z) ∈ R3 : f(x, y, z) = c} e´ dito conjunto ou superf´ıcie de n´ıvel da
func¸a˜o f . Suponha que r(t) = (x(t), y(t), z(t)) descreva uma curva em R3 que
esta´ contida na superf´ıcie S. Isto significa que f(r(t)) = f(x(t), y(t), z(t)) =
c. Agora olhe para a derivada com respeito a` t dessa expressa˜o:
d
dt
f(r(t)) = 〈∇f(r(t)), r′(t)〉 = 0
Em outras palavras, o gradiente da f e a tangente a` curva sa˜o perpendi-
culares. Perceba que na˜o ha´ nada de especial na nossa escolha de r(t); e´
qualquer curva contida na superf´ıcie. O gradiente ∇f e´ assim perpendicular,
ou normal a` superf´ıcie f(x, y, z) = c
Exemplo. Suponha que queremos encontrar a equac¸a˜o do plano tangente a`
superf´ıcie
x2 + 3y2 + 2z2 = 12
no ponto (1,−1, 2).
Soluc¸a˜o. Para uma equac¸a˜o do plano, precisamos de um ponto a no plano
2.3. Normais a`s Superf´ıcies 11
e um vetor N normal ao plano. Enta˜o a equac¸a˜o do plano e´ simplesmente
〈N,X − a〉 = 0 (2.1)
onde X = (x, y, z). No caso em questa˜o, ja´ temos o ponto a = (1,−1, 2) do
plano, e acabamos de ver que o gradiente da func¸a˜o f(x, y, z) = x2+3y2+2z2
e´ normal a` superf´ıcie. Como
∇f(x, y, z) = (2x, 6y, 4z)
segue-se que N = ∇f(1,−1, 2) = (2,−6, 8). O plano tangente e´ enta˜o obtido
com (2.1), que nesse caso e´
2(x− 1)− 6(y + 1) + 8(z − 2) = 0
Observe que a discussa˜o aqui na˜o depende da dimensa˜o do domı´nio. As-
sim se f : R2 → R, enta˜o o conjunto {(x, y) ∈ R2 : f(x, y) = c} e´ uma curva
de n´ıvel , e o gradiente de f e´ normal a` essa curva.
Combinando esses resultados com aqueles que conhecemos sobre derivada
direcional vemos que, a partir de um dado ponto, o valor da func¸a˜o aumenta
mais rapidamente na direc¸a˜o normal ao conjunto de n´ıvel passando pelo ponto
dado. Em um mapa com as curvas de n´ıvel de uma regia˜o da superf´ıcie da
Terra, por exemplo, os percursos mais ı´ngremes sa˜o na direc¸a˜o normal a`s
curvas de n´ıvel.
Cap´ıtulo 3
Func¸o˜es de Valores Reais II
3.1 Ma´ximos e Mı´nimos
Seja f : Rn → R. Um ponto a no domı´nio def e´ chamado mı´nimo local
se existe uma bola aberta B(a; r) centrada em a tal que f(x) − f(a) > 0
para todo x ∈ B(a; r). Se f e´ uma func¸a˜o boa, enta˜o isto significa que a
derivada direcional Duf(a) > 0 para todos os vetores unita´rios u. Em outras
palavras, 〈∇f(a), u〉 > 0. Enta˜o deve ser verdade que ambos 〈∇f(a), u〉 > 0
e −〈∇f(a), u〉 > 0 = 〈∇f(a),−u〉 > 0. Isto sera´ va´lido para todo u somente
se ∇f(a) = 0. Assim, f tem um mı´nimo local num ponto onde ele tem
derivada somente se a sua derivada for zero ali.
Voceˆ deve imaginar, por analogia, a definic¸a˜o de ma´ximo local e ver por-
que deve ser verdade que o gradiente e´ zero nesse ponto. Assim, se a e´ um
mı´nimo local ou um ma´ximo local de f , e se f tem uma derivada em a, enta˜o
a derivada ∇f(a) = 0. Devemos estar atento ao fato de que o inverso na˜o
e´ necessariamente verdadeiro. Podemos ter ∇f(a) = 0 sem que a seja um
mı´nimo ou ma´ximo local.
Exemplo. Vamos encontrar todos os ma´ximos e mı´nimos locais da func¸a˜o
f(x, y) = x2 + xy + y2 + 3x− 3y + 4
Soluc¸a˜o. Vejamos como devemos proceder. Essa func¸a˜o claramente tem
derivada em todos os pontos, enta˜o em qualquer ma´ximo ou mı´nimo local
sua derivada, ou seu gradiente, deve ser zero. Enta˜o comecemos encontrando
todos os pontos onde ∇f(a) = 0. Em outras palavras, queremos os pontos
(x, y) tais que
∂f
∂x
= 2x + y + 3 = 0 e
∂f
∂y
= x + 2y − 3 = 0. Assim, basta
resolvermos o sistema {
2x+ y = −3
x+ 2y = 3
que tem apenas uma soluc¸a˜o: (x, y) = (−3, 3). Agora vamos refletir sobre
o que temos aqui. O que de fato descobrimos foram todos os pontos que
na˜o podem ser de ma´ximo nem mı´nimo local, que sa˜o todos os pontos exceto
(−3, 3). Tudo que sabemos ate´ agora e´ que (−3, 3) e´ o u´nico candidato poss´ı-
vel. Vamos descobrir o que de fato temos usando o me´todo pouco elaborado
12
3.2. Me´todo dos Mı´nimos Quadrados 13
de examinar a quantidade f(−3 + x, 3 + y)− f(−3, 3):
f(−3 + x, 3 + y)− f(−3, 3) = f(−3 + x, 3 + y)− (−5)
= (−3 + x)2 + (−3 + x)(3 + y) + (3 + y)2 + 3(−3 + x)− 3(3 + y) + 9
= x2 + xy + y2 =
(
x+
y
2
)2
+
3y2
4
Enta˜o fica claro que f(−3 +x, 3 +y)−f(−3, 3) > 0, o que indica que (−3, 3)
e´ um mı´nimo local.
3.2 Me´todo dos Mı´nimos Quadrados
Voltaremos agora nossa atenc¸a˜o para uma aplicac¸o˜es simples, pore´m im-
portantes, na qual se procura o valor mı´nimo de uma func¸a˜o.
Suponha que temos um conjunto de n pontos no plano que na˜o esta˜o ali-
nhados verticalmente, digamos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), e estamos pro-
curando a reta que melhor aproxima esse conjunto de pontos. Primeiro vamos
esclarecer o que queremos dizer com melhor. Estamos falando da reta que
minimiza a soma dos quadrados das distancias verticais dos pontos ate´ a
reta. Podemos descrever todas as retas na˜o verticais por meio de duas varia´-
veis, normalmente chamadas de m e b. Assim, todas essas retas teˆm a forma
y = mx+ b. Nossa pergunta e´ para que valores de m e b a func¸a˜o
f(m, b) =
n∑
i=1
(mxi + b− yi)2
assume seu valor mı´nimo. Sabendo esses valores obteremos a nossa reta.
Para isso, simplesmente aplicamos o nosso vasto e crescente conhecimento
de ca´lculo e encontramos onde o gradiente de f e´ 0:
∇f =
(
∂f
∂m
,
∂f
∂b
)
= 0 .
Agora,
∂f
∂m
=
n∑
i=1
2xi(mxi + b− yi) = 2
[
m
n∑
i=1
x2i + b
n∑
i=1
xi −
n∑
i=1
xiyi
]
, e
∂f
∂b
=
n∑
i=1
2(mxi + b− yi) = 2
[
m
n∑
i=1
xi + nb+
n∑
i=1
yi
]
.
3.2. Me´todo dos Mı´nimos Quadrados 14
Agora temos que resolver o sistema linear 2× 2
m
n∑
i=1
x2i + b
n∑
i=1
xi =
n∑
i=1
xiyi
m
n∑
i=1
xi + b n =
n∑
i=1
yi
Analizando, poderemos ver que esse sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o que e´
um ponto de mı´nimo da func¸a˜o original.
Exemplo. Aplicar o me´todo dos mı´nimos quadrados a` tabela de valores
indicada abaixo.
x y
0 1
1 2
2 4
3 3.5
4 5
5 4
7 7
8 9
9 12
10 18
12 21
15 29
Soluc¸a˜o. O sistema linear para m e b e´
718m+ 76b = 1156.5
76m+ 12b = 115.5
Resolvendo este sistema obtemos
m =
255
142
e b = −993
568
.
Em outras palavras, a reta que melhor aproxima os
dados pelo me´todo dos mı´nimos quadrados e´
y =
255
142
x− 993
568
A figura abaixo ilustra a reta junto com os pontos dados:
Parece uma o´tima aproximac¸a˜o!
3.3. Mais sobre Ma´ximos e Mı´nimos 15
3.3 Mais sobre Ma´ximos e Mı´nimos
Na vida real, estamos mais interessados em saber os pontos nos quais uma
func¸a˜o f : D → R assume seu maior e menor valor do que apenas encontrar
seus ma´ximos e mı´nimos locais. (Aqui D e´ um subconjunto de Rn).
Para comec¸ar, pensemos um pouco sobre como saber se existe um ponto
de maior ou de menor valor de f em D. Primeiramente, suponhamos que
f seja cont´ınua – caso contra´rio, qualquer coisa pode acontecer! Depois,
que propriedades de D ira˜o garantir a existeˆncia de um valor ma´ximo ou
mı´nimo de f? A resposta e´ bastante simples. Certamente D deve ser um
subconjunto fechado de Rn; considere, por exemplo, a func¸a˜o f : (0, 1) → R
dada simplesmente por f(x) = x, que na˜o tem nem ma´ximo nem mı´nimo em
D = (0, 1). O domı´nio ser fechado, contudo, na˜o e´ suficiente para garantir
a existeˆncia de um maior e de um menor valor. Considere, por exemplo,
f : R → R de novo dada por f(x) = x. O domı´nio R e´ certamente fechado,
mas f na˜o tem nem maior nem menor valor. Precisamos tambe´m que o
domı´nio seja limitado. Pode-se mostrar que, para f cont´ınua, se o domı´nio
D e´ fechado e limitado, enta˜o necessariamente existe um maior e um menor
valor de f em D!
Vejamos quais sa˜o os candidatos para tais pontos. Se o maior (ou o menor)
valor de f ocorre no interior de D, enta˜o com certeza nesse ponto temos um
ma´ximo (ou mı´nimo) local. Se f tem gradiente la´, enta˜o o gradiente deve ser
0. Os pontos nos quais o maior ou menor valor da func¸a˜o e´ assumido devem
ser, portanto:
i) pontos do interior de D nos quais o gradiente se anula;
ii) pontos no interior do domı´nio nos quais o gradiente na˜o existe;
iii) pontos em D mas na˜o em seu interior (isto e´, na fronteira de D).
Voltando ao Ca´lculo 1, como eram encontrados os valores ma´ximo e o
mı´nimo de uma func¸a˜o f cujo domı´nio D e´ um intervalo fechado [a, b] ⊂ R?
Lembre-se de que eram encontrados todos os pontos do interior (isto e´, do
intervalo aberto (a, b)) onde a derivada se anulava. Depois, calculava-se o
valor da func¸a˜o nesses pontos, nos pontos onde a derivada na˜o existia e nos
dois extremos a e b do intervalo (neste caso unidimensional a fronteira e´
particularmente simples), e enta˜o escolhia-se o maior e o menor valor entre
os que foram calculados. O caso de dimenso˜es maiores e´ um pouco mais
complicado, principalmente porque a fronteira, mesmo de um“bom”domı´nio,
na˜o e´ um conjunto finito, como no caso de um intervalo, mas sim um conjunto
infinito. Vejamos um exemplo.
3.3. Mais sobre Ma´ximos e Mı´nimos 16
Exemplo. Uma chapa circular plana tem o formato da regia˜o {(x, y) ∈
R2 : x2 + y2 6 1}. A temperatura num ponto (x, y) da chapa e´ dada por
T (x, y) = x2 + 2y2−x. Encontre o ponto mais quente e o mais frio da chapa.
Soluc¸a˜o. De acordo com a discussa˜o anterior, os candidatos a ponto mais
quente e mais frio sa˜o aqueles pontos interiores onde o gradiente de T for 0
e todos os pontos da fronteira (note que o gradiente da T existe em todos
os pontos interiores do c´ırculo). Primeiro vamos encontrar todos os pontos
interiores onde o gradiente de T e´ nulo, isto e´, todos os pontos (x, y) tais que
x2 + y2 < 1 nos quais ∇T = (2x − 1, 4y) = (0, 0). Isto e´ fa´cil; com algumas
contas simples podemos ver que o u´nico ponto onde isso ocorre e´ em (1/2, 0).
Agora vem a parte mais dif´ıcil, que e´ encontrar os candidatos na fronteira.
Note que a fronteira pode ser descrita pela curva
r(t) = (cost, sen t) , com 0 6 t 6 2pi.
A temperatura na fronteira e´ dada por
T (t) = T (r(t)), 0 6 t 6 2pi
[Aqui fizemos um abuso de notac¸a˜o. como ja´ hav´ıamos feito antes, usando
o mesmo nome para a func¸a˜o T (x, y) e para a composta T (r(t))]. Agora
estamos diante de um problema de encontrar ma´ximos e mı´nimos de uma
func¸a˜o diferencia´vel de uma varia´vel em um intervalo fechado. Primeiro,
sabemos que os extremos sa˜o candidatos, t = 0 e t = 2pi. Isso inclui apenas
mais um ponto na nossa lista de candidatos, uma vez que r(0) = r(2pi) =
(1, 0). Agora, para candidatos dentro do intervalo, procuramos pontos onde
a` derivada
dT
dt
= 0. Da Regra da Cadeia temos que
dT
dt
= 〈∇T (r(t)), r′(t)〉 = 〈(2 cos t− 1, 4 sen t), (− sen t, cos t)〉
= 2 cos t sen t+ sen t
Assim, a equac¸a˜o
dT
dt
= 0 e´ equivalente a sen t(2 cos t + 1) = 0. Enta˜o
sen t = 0 ou 2 cos t+ 1 = 0. Temos, em outras palavras, y = 0 ou x = −1/2.
Quando y = 0, enta˜o x = 1 ou x = −1; e quando x = −1/2, enta˜o y = √3/2
ou y = −√3/2. Enta˜o nossos candidatos sa˜o (1, 0), (−1, 0), (−1/2,√3/2)
e (−1/2,−√3/2). Esses, juntamente com o ponto que ja´ hav´ıamos encon-
trado, (1/2, 0), perfazem a lista de todas as possibilidades para os pontos mais
quente e mais frio da chapa. Tudo que temos que fazer e´ calcular a tempera-
tura em cada um desses pontos. Calculando, obtemos que T (1/2, 0) = −1/4,
3.4. Ainda mais sobre Ma´ximos e Mı´nimos 17
T (1, 0) = 0, T (−1, 0) = 2 e T (−1/2,√3/2) = T (−1/2,−√3/2) = 9/4. Fi-
nalmente, temos a resposta. O ponto mais frio e´ (1/2, 0) e os pontos mais
quentes sa˜o (−1/2,√3/2) e (−1/2,−√3/2).
Observe que a parte dif´ıcil deste exemplo e´ encontrar o maior e o me-
nor valor da temperatura restrita a` fronteira x2 + y2 = 1 do domı´nio. A
dificuldade vem do fato de que a fronteira tem dimensa˜o 1, menor do que a
dimensa˜o 2 do domı´nio.
3.4 Ainda mais sobre Ma´ximos e Mı´nimos
Agora deve estar claro que a parte realmente dif´ıcil de encontrar ma´ximos
e mı´nimos esta´ em lidar com os valores de fronteira; isto e´, com o problema
de encontrar os valores ma´ximos e mı´nimos de uma dada func¸a˜o em um
conjunto de dimensa˜o menor do que o domı´nio da func¸a˜o. Nos problemas
das sec¸o˜es anteriores no´s tivemos sorte, pois foi fa´cil achar uma representa-
c¸a˜o parame´trica para aqueles conjuntos; geralmente isso e´ mais complicado.
Vejamos o que podemos fazer para resolver essas dificuldades.
Suponha que estamos lidando com o problema de encontrar o valor ma´-
ximo ou mı´nimo de uma func¸a˜o f : D → R, onde D = {(x, y) ∈ R2 : g(x, y) =
0} e g e´ uma func¸a˜o “boa” (em outras palavras, D e´ uma curva de n´ıvel de
g). Suponha que r(t) seja uma parametrizac¸a˜o da curva D. Enta˜o, estamos
procurando um ma´ximo ou mı´nimo da func¸a˜o F (t) = f(r(t)). No ponto de
ma´ximo ou de mı´nimo, teremos
dF
dt
= 0 (considere que g(x, y) = 0 e´ uma
curva fechada, e assim na˜o ha´ que se preocupar com pontos extremos ). A
Regra da Cadeia nos diz que
dF
dt
= 〈∇f, r′〉 = 0. Enta˜o em um ma´ximo
ou mı´nimo, o gradiente da f deve ser perpendicular a` tangente da curva
g(x, y) = 0. Assim, ∇f deve ter a mesma direc¸a˜o que o vetor normal a essa
curva. Isso e´ tudo que precisamos saber, uma vez que o gradiente da g e´
normal a curva. Enta˜o, em um ponto de ma´ximo ou no mı´nimo, ∇f e ∇g
devem estar alinhados. Assim, ∇f = λ∇g, e na˜o ha´ necessidade de saber
realmente a parametrizac¸a˜o r(t) da curva g(x, y) = 0. Vejamos esta ide´ia na
pra´tica.
Exemplo. Encontrar o maior e o menor valor de f(x, y) = x2 + y2 sobre a
curva x2 − 2x+ y2 − 4y = 0.
Soluc¸a˜o. Aqui, devemos tomar g(x, y) = x2 − 2x+ y2 − 4y. Enta˜o ∇f =
3.4. Ainda mais sobre Ma´ximos e Mı´nimos 18
(2x, 2y), ∇g = (2x− 2, 2y − 4) e a equac¸a˜o ∇f = λ∇g escreve-se como
2x = λ(2x− 2)
2y = λ(2y − 4)
Obtemos uma terceira equac¸a˜o exigindo que o ponto (x, y) esteja sobre a
curva g(x, y) = 0. Assim, devemos encontrar todas as soluc¸o˜es do sitema de
equac¸o˜es
2x = λ(2x− 2)
2y = λ(2y − 4)
x2 − 2x+ y2 − 4y = 0
Das duas primeiras temos:
x(λ− 1) = λ
y(λ− 1) = 2λ
Assim x = λ/(λ − 1) e y = 2λ/(λ − 1) (e quanto ao caso de λ − 1 = 0?).
Substituindo esses valores na terceira equac¸a˜o e simplificando, obtem-se que
λ2 − 2λ = 0
Temos assim duas soluc¸o˜es: λ = 0 e λ = 2. Esses valores de λ nos da˜o dois
candidatos nos quais os extremos ocorrem: x = 0 e y = 0; e x = 2 e y = 4.
Agora, aplicando na f , temos f(0, 0) = 0 e f(2, 4) = 4 + 16 = 20. Aı´ esta˜o
eles – o valor mı´nimo e´ 0 e ocorre em (0, 0); e o ma´ximo e´ 20 e ocorre em
(2, 4).
Esse me´todo de encontrar os ma´ximos e mı´nimos restritos e´ geralmente
chamado de Multiplicadores de Lagrange (a varia´vel λ e´ chamada Multiplica-
dor de Lagrange).
Parte II
Mo´dulo 2
19
Cap´ıtulo 4
Integrac¸a˜o
4.1 Introduc¸a˜o
Agora voltaremos nossa atenc¸a˜o para a ide´ia de uma integral em dimen-
so˜es maiores que um. Considere um func¸a˜o real f : D → R, onde o domı´nio
D e´ um subconjunto fechado do espac¸o Euclideano n-dimensional Rn. Co-
mec¸aremos por definir o que significa a integral de f sobre o conjunto D; em
seguida veremos como a essa integral pode ser u´til na vida real.
Ja´ conhecemos bem o caso n = 1. Da mesma forma que foi feita a
extensa˜o de derivada para dimenso˜es maiores, nossa definic¸a˜o de integral em
va´rias dimenso˜es inclui o caso de uma dimensa˜o – como sempre, na˜o ha´ nada
que desaprender.
Vamos rever o que sabemos sobre a integral f : D → R no caso em que
D e´ um subconjunto conexo “razoavel” da reta real R. Primeiramente, neste
contexto, os u´nicos subconjuntos razoaveis de R sa˜o os intervalos fechados;
temos assim que D e´ um conjunto [a, b] onde b > a. Lembre que definimos
uma partic¸a˜o P do intervalo como sendo simplesmente um subconjunto finito
{x0, x1, ..., xn} de [a, b] com a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. A norma de
uma partic¸a˜o e´ o max{|xi − xi−1| : i = 1, 2, . . . n}. Definimos a Soma de
Riemann S(P ) para essa partic¸a˜o como sendo a soma
S(P ) =
n∑
i=1
f(x∗i )∆xi,
onde ∆xi = xi−xi−1 e´ simplesmente o comprimento do subintervalo [xi−1, xi]
e x∗i e´ qualquer ponto nesse subintervalo. Observe que na˜o ha´ apenas uma
soma de Riemann para uma partic¸a˜o P ; a soma claramente depende tam-
be´m das escolhas dos pontos x∗i , apesar dessa dependencia na˜o aparecer na
notac¸a˜o.
Agora, se existe um nu´mero L tal que podemos fazer todas as somas de
Riemann pro´ximas o suficiente de L apenas escolhendo a norma da partic¸a˜o
suficientemente pequena, enta˜o f e´ dita integra´vel no intervalo, e o nu´mero L
e´ chamado de integral de f em [a, b]. Esse nu´mero L e´ quase sempre denotado
por
∫ b
a
f(x) dx. Mais formalmente, dizemos que L e´ a integral de f sobre [a, b]
se, para cada � > 0, existe um δ tal que |S(P )−L| < � para toda partic¸a˜o P
com norma menor que δ. Voceˆ sem du´vida deve se lembrar de seu primeiro
encontro com essa definic¸a˜o e do quanto ela parecia imposs´ıvel de calcular
20
4.2. Duas Dimenso˜es 21
em qualquer situac¸a˜o, mas enta˜o uma versa˜o do Teorema Fundamental do
Ca´lculo veio para ajuda´-lo.
4.2 Duas Dimenso˜es
Vamos comec¸ar nosso estudo de integrais em dimenso˜es maiores pelo caso
bidimensional. Como vimo algumas vezes no passado, o mais interessante em
estender as ide´ias do ca´lculo para dimenso˜es maiores e´ o passo do uni pra
o bidimensional — raramente o passo de mudar de 97 para 98 dimenso˜es e´
muito interessante. Devemos enta˜o comec¸ar olhando a integral de f : D → R
para o caso em que D e´ um subconjunto fechado e “razoa´vel” do plano.
Mas a´ı ja´ comec¸am as complicac¸o˜es. Na reta real, subconjuntos fechados
e “razoa´veis” sa˜o simplesmente intervalos fechados; no plano, subconjuntos
fechados e “razoa´veis” sa˜o consideravelmente mais interessantes.
Um momento de reflexa˜o nos convence que o domı´nio D pode, mesmo
em duasdimenso˜es, ser consideravelmente mais complicado do que em uma
dimensa˜o.
Primeiro, coloque D dentro de um retaˆngulo com lados paralelos aos eixos
coordenados; e enta˜o divida esse retaˆngulo em sub-retaˆngulos particionando
cada um de seus lados:
Agora, nomeie os sub-retaˆngulos que interceptamD com, digamos, os sub-
ı´ndices i = 1, 2, . . . , n. A maior a´rea de todos esses retaˆngulos e´ chamada de
norma da subdivisa˜o. Em cada um dos retaˆngulo, escolha um ponto (x∗i , y
∗
i )
em D. A soma de Riemann S agora fica da seguinte forma:
S =
n∑
i=1
f(x∗i , y
∗
i )∆Ai,
4.2. Duas Dimenso˜es 22
onde ∆Ai e´ a a´rea do retaˆngulo de onde escolhemos (x
∗
i , y
∗
i ). Agora, se existe
um nu´mero L tal que podemos nos aproximar dele tanto quanto queiramos
apenas escolhendo a norma da subdivisa˜o suficientemente pequena, enta˜o f
e´ dita integra´vel em D, e o nu´mero L e´ a integral de f sobre D. O nu´mero
L e´ usualmente escrito com o s´ımbolo de duas “cobrinhas”:∫
D
∫
f(x, y) dA .
As integrais sobre domı´nios bidimensionais sa˜o frequentemente chamadas de
integrais duplas .
A definic¸a˜o da integral no caso em que D e´ um subconjunto “razoa´vel” de
R3 e´ ana´loga. Colocamos D dentro de uma caixa, e subdividimos essa caixa
em sub-caixas, etc., etc. Falaremos mais sobre dimenso˜es maiores depois.
Vamos olhar um momento para a geometria. Para desenharmos algo
razoa´vel, suponhamos que f(x, y) > 0 em todo o domı´nio D.
Cada termo f(x∗i , y
∗
i )∆Ai e´ o volume de uma caixa com base no retaˆngulo
Ai e altura f(x
∗
i , y
∗
i ). Assim, o topo da caixa intercepta a superf´ıcie z =
f(x, y). A soma de Riemann e´ assim o volume total de todas as caixas.
A` medida em que as a´reas das bases tendem a 0, as caixas preenchem o
so´lido limitado inferiormente pelo plano x-y, por cima pela superf´ıcie z =
f(x, y), e pelos lados pelo cilindro determinado pela regia˜o D. A integral∫ ∫
D
f(x, y) dA e´ enta˜o igual ao volume desse so´lido. Se f(x, y) 6 0, enta˜o
teremos o negativo do volume limitado por baixo pela superf´ıcie z = f(x, y),
por cima pelo plano x-y, etc.
Suponha que a e b sejam constantes, e D = E ∪ F , onde E e F sa˜o
domı´nios “razoa´veis” e com interiores disjuntos. As seguintes propriedades
de integral dupla devem ser evidentes:
(i)
∫
D
∫
[a f(x, y) + b g(x, y)] dA = a
∫
D
∫
f(x, y) dA+ b
∫
D
∫
g(x, y) dA;
4.2. Duas Dimenso˜es 23
(ii)
∫
D
∫
f(x, y) dA =
∫
E
∫
f(x, y) dA+
∫
F
∫
f(x, y) dA
Agora, como calcular a integral
∫∫
D
f(x, y) dA? Vejamos. Novamente
usaremos uma figura, e de novo vamos supor f(x, y) > 0. O outro caso e´
ana´logo.
Vamos assumir que o domı´nio D tem uma forma especial; especificamente,
suponhamos que ele seja limitado por cima pela curva y = h(x), por baixo
por y = g(x), pela esquerda por x = a e pela direita por x = b.
E´ conveniente pensarmos na integral
∫ ∫
D
f(x, y) dA como o volume de
um so´lido limitado inferiormente por D no plano x-y e superiormente pela
superf´ıcie z = f(x, y). Pensemos em como encontrar esse volume dividindo
o so´lido em fatias paralelas ao eixo y e somando os volumes das fatias. Para
aproximar o volume das fatias procedemos como segue. Particionamos o
intervalo [a, b] : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b. Em cada
subintervalo [xi−1, xi] escolhemos um ponto x∗i . As fatias podem agora ser
aproximadas peles so´lidos cujas bases sa˜o os retaˆngulos de lados ∆xi = xi −
xi−1 e h(x∗i )− g(x∗i ) e cujas alturas sa˜o os gra´ficos das func¸o˜es z = f(x∗i , y).
O volume de cada um desses so´lidos e´ igual a` a´rea da sec¸a˜o transversal∫ h(x∗i )
g(x∗i )
f(x∗i , y) dy multiplicada pela espessura ∆xi, conforme ilustra a figura
abaixo.
4.2. Duas Dimenso˜es 24
A soma de todos esses volumes e´
S =
n∑
i=1
[∫ h(x∗i )
g(x∗i )
f(x∗i , y) dy
]
∆xi
A integral dupla que procuramos e´ justamente o “limite” desta soma, se to-
marmos os lados dos retaˆngulos ∆xi cada vez mais finos; ou partic¸o˜es do inter-
valo [a, b] com normas cada vez menores. Mas as somas acima sa˜o exatamente
as somas de Riemann unidimensionais da func¸a˜o F (x) =
∫ h(x)
g(x)
f(x, y) dy, e
enta˜o a integral dupla e´ dada por∫
D
∫
f(x, y) dA =
∫ b
a
F (x) dx
=
∫ b
a
[∫ h(x)
g(x)
f(x, y) dy
]
dx
A integral dupla e´ assim igual a uma integral de uma integral, normalmente
chamada de integral iterada. E´ usual omitir os colchetes e escrever a integral
iterada simplesmente como∫ b
a
∫ h(x)
g(x)
f(x, y) dy dx
.
Exemplo. Encontrar a integral dupla
∫ ∫
D
[x2 + y2] dA, onde D e´ a regia˜o
delimitada pelas retas y = x, x = 0, e x+ y = 2.
Soluc¸a˜o. O que primeiro passo e´ desenhar a regia˜o D (precisamos sempre
de uma figura da regia˜o de integrac¸a˜o):
Podemos ver da figura que, com a notac¸ao introduzida anteriormente,
temos g(x) = x, h(x) = 2− x, a = 0 e b = 1.
Assim, a fatia paralela ao eixo y e´ limitada por baixo por y = x e por
cima por y = 2− x. No ponto x, a a´rea lateral dessa fatia (ou a´rea da sec¸a˜o
4.2. Duas Dimenso˜es 25
transversal) e´ dada por∫ 2−x
x
[x2 + y2] dy = x2y +
y3
3
∣∣∣y=2−x
y=x
= 2x2 +
(2− x)3
3
− 7
3
x3,
e temos essa fatia para todos os valores de x que va˜o de x = 0 ate´ x = 1.
Assim, ∫
D
∫
[x2 + y2] dA =
∫ 1
0
[
2x2 +
(2− x)3
3
− 7
3
x3
]
dx
= 2x
3
3
− (2−x)4
12
− 7x4
12
∣∣∣1
0
= 4
3
Exerc´ıcio Suponha que o domı´nio de
integrac¸a˜o D seja limitado a` esquerda
por x = g(y), a` direita por x = h(y),
por baixo por y = a e por cima por
y = b, conforme figura ao lada.
Expresse a integral dupla∫ ∫
D
f(x, y) dxdy como uma inte-
gral iterada, integrando primeiro com
respeito a x.
Cap´ıtulo 5
Trocando as varia´veis em
integrais mu´ltiplas
5.1 Mudanc¸a de Varia´veis
Integrais duplas em coordenadas cartesianas Oxy, quando calculadas em
regio˜es circulares ou com integrandos envolvendo a combinac¸a˜o x2 + y2, sa˜o
por vezes melhor resolvidas em coordenadas polares:∫ ∫
R
f(x, y) dA =
∫ ∫
bR g(r, θ)r dr dθ. (5.1)
Isso envolve introduzir as novas varia´veis r e θ, junto com as equac¸o˜es
relacionando-as com x e y em ambas as direc¸o˜es:
r =
√
x2 + y2, θ = tan−1(y/x); x = r cos θ, y = sen θ. (5.2)
Mudar a integral para coordenadas polares requer enta˜o treˆs passos:
A) mudar o integrando f(x, y) para g(r, θ), usando (5.2);
B) determinar o elemento de a´rea no sistema Orθ: dA = r drdθ;
C) usar a regia˜o R para obter os limites de integrac¸a˜o no sistema Orθ.
Da mesma forma, integrais duplas envolvendo outros tipos de regio˜es ou
integrandos podem ser simplificadas trocando-se o sistema de coordenadas
Oxy por outro melhor adaptado a` regia˜o ou ao integrando. Chamemos as
novas coordenadas de u e v; enta˜o existem equac¸o˜es relacionando as no-
vas coordenadas com as antigas em ambas as direc¸o˜es (frequentemente essas
equac¸o˜es sa˜o usadas apenas em um dos sentido):
u = u(x, y), v = v(x, y); x = x(u, v), y = y(u, v). (5.3)
26
5.1. Mudanc¸a de Varia´veis 27
Para mudar a integral para as coordenadas
Ouv temos que seguir os passos A, B e C
acima. Nesse sentido, vale esboc¸ar o novo
sistema de coordenadas usando as mesmas
ide´ias de coordenadas polares, isto e´, esbo-
c¸ar a malha formada pelas curvas de n´ıvel
das novas func¸o˜es coordenadas:
u(x, y) = u0, v(x, y) = v0. (5.4)
Uma vez feito esse esboc¸o, a intuic¸a˜o geome´trica e alge´brica possibilita
seguir os passos A e C, mas para B precisaremos de uma fo´rmula. Essa
fo´rmula usa o determinante Jacobiano , denotado e definido por
∂(x, y)
∂(u, v)
=
xu xv
yu yv
(5.5)
Usando o Jacobiano, a fo´rmula para o elemento de a´rea no sistema Ouv e´
dA =
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv (5.6)
de onde segue-se que a fo´rmula de mudanc¸a de varia´vel e´∫∫
R
f(x, y) dx dy =
∫ ∫
bR g(u, v)
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv, (5.7)
onde g(u, v) e´ obtido de f(x, y) por substituic¸a˜o, usando as equac¸o˜es (5.3).
Veremos como deduzir a fo´rmula (5.5) para o elemento de a´rea na pro´xima
sec¸a˜o; por hora, vamos verificar que funciona para coordenadas polares.
Exemplo. Verifique (5.1) usando as fo´rmulas gerais (5.5) e (5.6).
Soluc¸a˜o. Usando (5.2), calculamos:
∂(x, y)
∂(r, θ)
=
xr xθ
yr yθ
=
cos θ −r sen θ
sen θ r cos θ
= r(cos2 θ + sen2 θ) = r,
e portanto dA = r dr dθ, de acordo com (5.5) e (5.6); note que podemos
omitir o valor absoluto ja´ que, por convenc¸a˜o, sempre assumimos r > 0 em
problemas de integrac¸a˜o, como alia´s esta´ impl´ıcito nas equac¸o˜es (5.2).
Estudaremos agora um exemplo que mostra porque precisamos da fo´rmula
geral e como ela e´ usada; isto tambe´m ilustra o passo C – determinar os novos
limites de integrac¸a˜o.
5.1. Mudanc¸a de Varia´veis 28
Exemplo. Avalie
∫∫
R
(
x− y
x+ y + 2
)2
dx dy sobre a regia˜o R indicada abaixo.
Soluc¸a˜o. A integral seria trabalhosa de fazer em coordenadas retangulares.
Mas a regia˜o e´ limitada pelas linhas
x+ y = ±1, x− y = ±1 (5.8)
e o integrando tambe´m possui as combinac¸o˜es
x − y e x + y. Isso sugere fortemente que a
integral ficaria mais simples com a mudanc¸a
de varia´veis (dada abaixo nas duas direc¸o˜es,
em que o segundo par de equac¸o˜es foi obtido
do primeiro isolando x e y):
u = x+ y, v = x− y; x = u+ v
2
, y =
u− v
2
. (5.9)
O novo elemento de a´rea pode ser obtido usando (5.5) e (5.9) acima:
∂(x, y)
∂(u, v)
=
1/2 1/2
1/2 −1/2 = −
1
2
; (5.10)
Note que foi usado o segundo par de equac¸o˜es em (5.9), e na˜o os que intro-
duzem u e v. Assim, o novo elemento de a´rea e´ (agora precisamos do valor
absoluto inclu´ıdo em (5.6))
dA =
1
2
du dv . (5.11)
Usamos agora os passos A e B para obter a nova integral dupla; substi-
tuindo o primeiro par de equac¸o˜es de (5.9) no integrando, obtemos∫ ∫
R
(
x− y
x+ y + 2
)2
dx dy =
∫ ∫
bR
(
v
u+ 2
)2
1
2
du dv (5.12)
Nas novas coordenadas, os limites (5.8) da regia˜o sa˜o simplesmente u =
±1, v = ±1, enta˜o a integral (5.12) se torna∫ ∫
bR
(
v
u+ 2
)2
1
2
du dv =
∫ 1
−1
∫ 1
−1
(
v
u+ 2
)2
1
2
du dv
Temos
integral interna = − v
2
2(u+ 2)
]u=1
u=−1
=
v2
3
; integral externa =
v3
9
]1
−1
=
2
9
.
5.2. O Elemento de A´rea 29
5.2 O Elemento de A´rea
Em coordenadas polares, encontramos a formula
dA = r dr dθ para o elemento de a´rea desenhando
a malha de curvas r = r0 e θ = θ0 e determi-
nando (veja a figura) a a´rea infinitesimal de um
dos pequenos elementos da malha.
Procederemos da mesma forma para o caso de
uma mudanc¸a geral de coordenadas Ouv.
As curvas da malha (5.4) dividem o plano em pequenas regio˜es de a´reas
∆A. Se as curvas de contorno esta˜o suficientemente pro´ximas, elas sera˜o
aproximadamente paralelas, e portanto o elemento de a´rea da malha sera´
aproximadamente um pequeno paralelogramo. Assim, com a notac¸a˜o da
figura abaixo,
∆A ≈ a´rea do paralelogramo PQSR = ||PQ× PR|| (5.13)
No sistema Ouv os pontos P,Q e R tem coorde-
nadas
P : (u0, v0), Q : (u0 + ∆u, v0), R : (u0, v0 + ∆v);
Entretanto, para usar o produto vetorial em
(5.13), precisamos PQ e PR em coordenadas car-
tesianas.
Considere PQ primeiro; temos
PQ = (∆x,∆y), (5.14)
onde ∆x e ∆y sa˜o as mudanc¸as em x e y quando mantemos v = v0 e mudamos
u0 para u0 + ∆u. De acordo com a definic¸a˜o de derivada parcial,
∆x ≈
(
∂x
∂u
)
0
∆u, ∆y ≈
(
∂y
∂u
)
0
∆u;
e portanto, por (5.14),
PQ ≈
((
∂x
∂u
)
0
∆u,
(
∂y
∂u
)
0
∆u
)
. (5.15)
5.3. Exemplos e Comenta´rios 30
Da mesma forma, como para ir de P a R mantemos u fixo e aumentamos
v0 por ∆v, segue-se que
PR ≈
((
∂x
∂v
)
0
∆v,
(
∂y
∂v
)
0
∆v
)
. (5.16)
Agora usamos (5.13); ja´ que os vetores esta˜o no plano Oxy, PQ × PR
tem componente apenas no eixo z, e de (5.15) e (5.16) segue-se que
componente z de PQ× PR ≈ xu∆u yu∆u
xv∆v yv∆v 0
=
xu yu
xv yv 0
∆u∆v (5.17)
onde transpomos o determinante (o que na˜o muda seu valor) e fatoramos ∆u
e ∆v nas duas colunas. Finalmente, tomando o valor absoluto, obtemos de
(5.13), (5.17) e da definic¸a˜o do Jacobiano que
∆A ≈
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣
0
∆u∆v.
Passando o limite com ∆u,∆v → 0 e retirando o sub´ındice 0 (de forma que
P represente um ponto gene´rico do plano), obtemos fo´rmula do elemento de
a´rea
dA =
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv
5.3 Exemplos e Comenta´rios
Se escrevermos a fo´rmula de mudanc¸a de varia´vel como∫ ∫
R
f(x, y) dx dy =
∫ ∫
bR g(u, v)
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv, (5.18)
onde
∂(x, y)
∂(u, v)
=
xu xv
yu yv
, g(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)), (5.19)
parece que as equac¸o˜es essenciais que precisamos sa˜o as equac¸o˜es inversas
x = x(u, v), y = y(u, v), (5.20)
e na˜o as equac¸o˜es diretas usualmente dadas
u = u(x, y), v = v(x, y). (5.21)
5.3. Exemplos e Comenta´rios 31
Caso seja dif´ıcil obter (5.20) resolvendo (5.21) simultaneamente para x e
y em termos de u e v, algumas vezes podemos evitar isso usando a seguinte
relac¸a˜o (cuja prova e´ uma aplicac¸a˜o da Regra da Cadeia, e sera´ deixada como
exerc´ıcio):
∂(x, y)
∂(u, v)
∂(u, v)
∂(x, y)
= 1 (5.22)
O Jacobiano do lado direito da equac¸a˜o e´ fa´cil de calcular se voceˆ conhece
u(x, y) e v(x, y); enta˜o o do lado esquerdo – o que e´ usado em (5.19) – sera´ o
seu rec´ıproco. Infelizmente, ele estara´ em termos de x e y ao inve´s de u e v,
e portanto (5.20) continua sendo necessa´rio. Mas a`s vezes temos sorte, como
ilustra o pro´ximo exemplo.
Exemplo. Avalie a integral∫ ∫
R
y
x
dx dy,
onde R e´ a regia˜o limitada pelas curvas
x2 − y2 = 1, x2 − y2 = 4, y = 0 e y = x/2,
conforme ilustrado ao lado.
Soluc¸a˜o. A regia˜o e´ limitada por curvas de n´ıvel das func¸o˜es x2−y2 e y/x,
e o integrando e´ y/x. Isso sugere a mudanc¸a de varia´vel
u = x2 − y2, v = y
x
. (5.23)
Tentaremos resolver sem obter x e y em termos de u e v. Ja´ que mudar o
integrando para as coordenadas u e v na˜o e´ problema, a questa˜o e´ se podemos
obter facilmente o Jacobiano em termos de u e v. A resposta e´ positiva:
∂(u, v)
∂(x, y)
=
2x −2y
−y/x2 1/x = 2− 2y
2/x2 = 2− 2v2.
Logo, de acordo com (5.22),
∂(x, y)
∂(u, v)
=
1
2(1− v2) ,
Agora usamos (5.18), colocamos os limites, e avaliamos; note que a resposta
5.3. Exemplos e Comenta´rios 32
e´ positiva, como devia, ja´ que o integrando e´ positivo.∫ ∫
R
y
x
dx dy =
∫ ∫
R
v
2(1− v2) du dv
=
∫ 1/2
0
∫ 4
1
v
2(1− v2) du dv
= −3
4
ln(1− v2)
∣∣∣1/2
0
= −3
4
ln
(
3
4
)
.
5.3.1 Limites de Integrac¸a˜o
Nos exemplos anteriores na˜o tivemos problemas em encontrar os limites
de integrac¸a˜o, uma vez que a regia˜o R era limitada por curvas de n´ıvel de u
e v, e portanto os limites eram constantes.
Se a regia˜o na˜o e´ limitada por curvas de n´ıvel, e na˜o e´ fa´cil encontrar
uma outra mudanc¸a de varia´veis, enta˜o e´ necessa´rio descobrir as equac¸o˜es,
nas varia´veis u e v, das curvas que limitam a regia˜o R. Os dois exemplos a
seguir ilustram essa situac¸a˜o.
Exemplo. Mude
∫ 1
0
∫ x
0
dy dx para uma integral iterada na varia´veis u e v,
onde u = x+ y e v = x− y, calculando primeiro a integral na varia´vel u.
Soluc¸a˜o. Usando (5.19) e (5.22), calculamos
∂(x, y)
∂(u, v)
= −1/2, enta˜o o fator
jacobiano do elemento de a´rea e´ 1/2.
Para obter os novos limites, esboc¸amos a regia˜o
de integrac¸a˜o, como feito ao lado. A diagonal e´
a curva de n´ıvel v = 0, mas as curvas horizon-
tal e vertical na˜o sa˜o curvas de n´ıvel – quaissa˜o
suas equac¸o˜es nas coordenadas u e v? Ha´ duas
formas de responder essa pergunta; a primeira e´
mais amplamente utilizada, mas requer um ca´lculo
separado para cada curva.
Me´todo 1 Eliminar x e y usando simultaˆneamente as equac¸o˜es u = u(x, y),
v = v(x, y) e a equac¸a˜o da curva nas varia´veis x e y.
Para o caso da curva horizontal (y = 0) e da curva vertical (x = 1)
5.3. Exemplos e Comenta´rios 33
mencionadas acima, temos
u = x+ y
v = x− y
y = 0
⇒ u = v ;

u = x+ y
v = x− y
x = 1
⇒
{
u = 1 + y
v = 1− y ⇒ u+ v = 2.
Me´todo 2 Resolver para x e y em termos de u e v; depois substituir x =
x(u, v), y = y(u, v) na equac¸a˜o da curva nas varia´veis x e y.
Usando este me´todo, temos x = 1
2
(u + v), y = 1
2
(u − v). Logo, para as
mesmas curvas horizontal (y = 0) e vertical (x = 1), temos
y = 0⇒ 1
2
(u− v) = 0⇒ u = v ; x = 1⇒ 1
2
(u+ v) = 1⇒ u+ v = 2.
Para obter os limites de integrac¸a˜o, integrando primeiro na varia´vel u,
procedemos como segue:
1. primeiro mantenha v fixo e deixe u au-
mentar; isto nos da´ as linhas tracejadas
mostradas ao lado;
2. integre primeiro com u variando desde o
valor em que a linha tracejada entra na
regia˜o (isto e´, u = v) ate´ o valor onde a
linha deixa a regia˜o R (isto e´, u = 2−v).
3. integre agora com v variando desde o menor valor para o qual a linha
tracejada intersecta a regia˜o R (v = 0) ate´ o maior valor para o qual
isso ainda acontece (v = 1).
Enta˜o a integral e´
∫ 1
0
∫ 2−v
v
1
2
du dv. Como verificac¸a˜o, calcule a integral
e confirme que e´ igual ao valor da a´rea de R. Em seguida, tente calcular a
integral iterada na ordem dv du; nesse caso, a regia˜o deve ser dividida em
duas partes.
Exemplo. Usando a mudanc¸a de coordenadas u = x2 − y2, v = y/x do
Exemplo 5.3, encontre os limites e o novo integrando para a integral∫ ∫
R
1
x2
dx dy ,
onde R e´ a regia˜o infinita no primeiro quadrante abaixo de y = 1/x e a` direita
de x2 − y2 = 1.
5.3. Exemplos e Comenta´rios 34
Soluc¸a˜o. Temos que mudar o integrando, encontrar o Jacobiano e deter-
minar os limites de integrac¸a˜o nas varia´veis u e v.
Para mudar o integrando, precisamos expressar x2 em termos de u ou v;
isto sugere eliminar y das equac¸o˜es de u e v. Procedendo dessa forma, temos
u = x2 − y2 , y = vx ⇒ u = x2 − v2x2 ⇒ x2 = u
1− v2 .
Do Exemplo 5.3 sabemos que o Jacobiano e´
1
2(1− v2) . Observe que, como
v = y/x, na regia˜o R tem-se que 0 6 v 6 1, e portanto o Jacobiano e´ sempre
positivo e na˜o precisamos do valor absoluto. Enta˜o, por (5.18), a integral se
torna ∫ ∫
R
1
x2
dx dy =
∫ ∫
bR
1− v2
2u(1− v2) du dv =
∫ ∫
bR
1
2u
du dv
Finalmente, devemos determinar os limites de integrac¸a˜o. O eixo x e a
fronteira esquerda x2− y2 = 1 sa˜o, respectivamente, as curvas de n´ıvel v = 0
e u = 1; o problema e´ a fronteira de cima, a curva xy = 1. Para mudar essa
curva para as coordenadas u e v , seguiremos o Me´todo 1:
u = x2 − y2
y = vx
xy = 1
⇒
{
u = x2 − 1/x2
v = 1/x2
⇒ u = 1
v
− v.
A forma dessa fronteira superior sugere que
devemos integrar primeiro com relac¸a˜o a u.
Enta˜o mantemos v fixo, e deixamos u aumen-
tar; isto nos da´ um raio tracejado mostrado na
figura ao lado; integramos de onde o raio entra
em R em u = 1 ate´ onde ela deixa a regia˜o,
em u = 1
v
− v.
Os raios que usamos sa˜o aqueles que interceptam R; eles comec¸am no
raio mais baixo, correspondente a v = 0, e va˜o ate´ o raio v = a, onde a e´ a
inclinac¸a˜o de OP . Assim, a integral fica∫ a
0
∫ 1/v−v
1
1
2u
du dv .
Para terminar, devemos calcular a explicitamente. Isto pode ser feito
resolvendo xy = 1 e x2 − y2 = 1 simultaneamente para encontrar as coor-
denadas de P . Um jeito mais elegante e´ incluir y = ax (representando a
5.4. Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Triplas 35
reta OP ) na lista das equac¸o˜es, e resolver todas treˆs simultaneamente para
a inclinac¸a˜o a. Substituindo y = ax nas outras duas equac¸o˜es, e extraindo a
raiz de um polinoˆmio quadra´tico, obtemos{
ax2 = 1
x2(1− a2) = 1 ⇒ a = 1− a
2 ⇒ a = −1 +
√
5
2
.
5.4 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Tri-
plas
Aqui a mudanc¸a de coordenadas envolve treˆs func¸o˜es
u = u(x, y, z) , v = v(x, y, z) e w = w(x, y, z) ,
mas os princ´ıpios gerais permanecem os mesmos. As novas coordenadas u,
v e w formam uma malha tridimensional constitu´ıda das treˆs famı´lias de
superf´ıcies de n´ıvel de u, v e w. Os limites sa˜o obtidos da mesma forma que
no caso das integrais duplas. O que precisamos ainda e´ da fo´rmula para o
novo elemento de volume dV .
Para obter o volume ∆V de uma pequena regia˜o de seis lados limitada por
treˆs pares de superf´ıcies de n´ıvel, observamos que as superf´ıcies de n´ıvel sera˜o
aproximadamente paralelas, e portanto o volume ∆V e´ aproximadamente o
de um paralelep´ıpedo. Por sua vez, o volume de um paralelep´ıpedo e´ (a
menos de sinal) o determinante da matriz 3 × 3 cujas linhas sa˜o os vetores
que formam as treˆs arestas que se encontram num ve´rtice. Esses vetores sa˜o
calculados como na Sec¸a˜o 5.2. Assim, depois de passado o limite, temos
dV =
∣∣∣∣ ∂(x, y, z)∂(u, v, w)
∣∣∣∣ du dv dw , (5.24)
onde o fator importante e´ o Jacobiano dado por:
∂(x, y, z)
∂(u, v, w)
=
xu xv xw
yu yv yw
zu zv zw
. (5.25)
Como um exemplo, pode ser verificado que essa expressa˜o fornece o ele-
mento de volume correto no caso da mudanc¸a de coordenadas retangulares
para esfe´ricas:
x = ρ senφ cos θ , y = ρ senφ sen θ , z = ρ cosφ. (5.26)
Apesar de ser um bom exerc´ıcio, esse ca´lculo e´ bastante trabalhoso, e isso
explica porque a maioria das pessoas prefere obter o elemento de volume de
coordenadas esfe´ricas usando argumentos geome´tricos.
Cap´ıtulo 6
Mais sobre Integrac¸a˜o
6.1 Algumas Aplicac¸o˜es
Considere um sistema de massas pontuais com forc¸as externas agindo
sobre as massas. Especificamente, suponha que, para cada i = 1, 2, ..., n,
existem massas pontuais mi cujas posic¸o˜es no espac¸o em um tempo t sa˜o
dadas pelos vetores ri = ri(t). Suponha ainda que existe uma forc¸a fi agindo
na massa mi. Enta˜o, de acordo com a Lei de Newton, temos
fi = mi
d2 ri
dt2
para cada i. Agora some essas equac¸o˜es para obter
F =
n∑
i=1
fi =
n∑
i=1
mi
d2 ri
dt2
= M
d2
dt

n∑
i=1
miri
n∑
i=1
mi

onde M =
n∑
i=1
mi. Assim, definindo R =
(
n∑
i=1
miri
)/(
n∑
i=1
mi
)
, enta˜o
a equac¸a˜o fica F = M
d2R
dt2
. Logo, a soma das forc¸as externas no sistema e´
igual a` soma das massas vezes a acelerac¸a˜o do ponto imagina´rio R. Dizemos
que R e´ o Centro de Massa do sistema.
No caso em que a massa total e´ continuamente distribu´ıda no espac¸o, a
“soma” na equac¸a˜o de R se torna uma integral. Vejamos o que isso significa
em duas dimenso˜es.
Suponha que temos uma chapa D com densidade de massa no ponto (x, y)
dada por δ(x, y). Para encontrar o centro de massa da chapa, imaginamos
que ela seja a unia˜o de va´rias regio˜es pequenas, e tratamos cada uma dessas
regio˜es como uma massa pontual.
36
6.1. Algumas Aplicac¸o˜es 37
Agora escolha um ponto ri = (x
∗
i , y
∗
i ) em cada regia˜o. A massa de uma
regia˜o sera´ aproximadamente mi = δ(x
∗
i , y
∗
i )∆Ai, onde ∆Ai e´ a a´rea da
regia˜o. A equac¸a˜o para o centro de massa do sistema formado por essas
regio˜es e´ enta˜o
R˜ =
n∑
i=1
miri
n∑
i=1
mi
=
n∑
i=1
δ(x∗i , y
∗
i )ri∆Ai
n∑
i=1
δ(x∗i , y
∗
i )∆Ai
=
1
n∑
i=1
δ(x∗i , y
∗
i )∆Ai
(
n∑
i=1
δ(x∗i , y
∗
i )x
∗
i∆Ai ,
n∑
i=1
δ(x∗i , y
∗
i ) y
∗
i ∆Ai
)
As treˆs somas na linha anterior sa˜o as somas de Riemann para integrais de
duas dimenso˜es! Assim, a` medida que consideramos regio˜es cada vez menores,
no limite obtemosque o centro de massa R da chapa D e´ dado por
R =
1∫∫
D
δ(x, y) dA
(∫ ∫
D
x δ(x, y) dA ,
∫ ∫
D
y δ(x, y) dA
)
Em outras palavras, as coordenadas (x, y) do centro de massa da chapa sa˜o
dadas por
x =
1
M
∫ ∫
D
x δ(x, y) dA e y =
1
M
∫ ∫
D
y δ(x, y) dA
onde M =
∫∫
D
δ(x, y) dA e´ a massa total da chapa.
Exemplo. Vamos encontrar o centro de massa de uma chapa plana D de
densidade constante e limitada pelo triaˆngulo ilustrado a seguir
6.2. Coordenadas Polares 38
Soluc¸a˜o. Suponha δ(x, y) = k. Para a coordenada x calculamos∫ ∫
D
x δ(x, y)dA = k
∫ a
0
∫ b(1−x/a)
0
x dy dx = k
∫ a
0
xb(1− x/a) dx = ka
2b
6
,
e para a coordenada y calculamos∫ ∫
D
y δ(x, y)dA = k
∫ a
0
∫ b(1−x/a)
0
y dy dx =
kb2
2
∫ a
0
(1− x/a)2 dx = kab
2
6
Ale´m disso, como M = k
∫∫
D
dA = k ab/2, obtemos que
x =
a
3
e y =
b
3
.
Note que, geralmente, se a densidade e´ constante, enta˜o a constante sai
das integrais e o numerador cancela com o denominador da fo´rmula para as
coordenadas (x, y). Isso e´ bem o que nos diz a nossa intuic¸a˜o. Entretanto,
e´ reconfortante ver como isso pode ser deduzido em um contexto puramente
matema´tico. Nesse caso, de densidade constante, o centro de massa depende
so´ da geometria da chapa; e´ assim uma propriedade geome´trica da regia˜o.
E´ chamado de centro´ide da regia˜o. Na˜o se deve confundir os dois concei-
tos; apesar de serem intimamente relacionados, eles sa˜o distintos. O centro
de massa e´ uma caracter´ıstica f´ısica do corpo, enquanto o centro´ide e´ uma
abstrac¸a˜o matema´tica.
6.2 Coordenadas Polares
Vamos agora ver o que acontece quando expressamos uma integral dupla
como uma integral iterada em algum outro sistema de coordenadas que na˜o
6.2. Coordenadas Polares 39
o usual de coordenadas retangulares, ou cartesianas. Voltaremos a esse to´-
pico posteriormente. No momento, vejamos o que acontece com coordenadas
polares.
Para calcular uma integral
∫∫
f(x, y) dA em coordenadas polares, sabe-
mos que devemos substituir
x = r cos θ e y = r sen θ.
Mas devemos fazer mais do que isso. Quando dividimos o plano em re-
gio˜es formadas pelas curvas x = constante e y = constante, obtemos retaˆn-
gulos, etc.,etc.. Agora dividimos o plano em regio˜es formadas por curvas
r = constante e θ = constante, onde r e θ sa˜o as coordenadas polares. Isto
resulta em regio˜es como as ilustradas abaixo. A figura da direita ilustra a
forma t´ıpica de uma dessas regio˜es.
A a´rea dessa regia˜o tipica pode ser aproximada por ∆A ≈ (r∆θ)∆r, e
sua integral iterada e´ da forma:∫ ∫
D
f(x, y) dA =
∫ ∫
bD f(r cos θ, r sen θ)r dr dθ
onde D̂ representa os novos limites de integrac¸a˜o. Vejamos um exemplo.
Exemplo. Vamos encontrar o centro´ide da regia˜o limitada pela curva com
equac¸a˜o em coordenadas polares dada por r = 1 + cos θ. A curva esta´ ilus-
trada a seguir, em uma figura feita no Maple.
6.2. Coordenadas Polares 40
Soluc¸a˜o. O centro´ide (x, y) e´ dado por
x =
∫ ∫
D
x dA∫ ∫
D
dA
e y =
∫ ∫
D
y dA∫ ∫
D
dA
.
Primeiramente, vamos encontrar a integral
∫∫
D
x dA. Com o aux´ılio da
figura acima percebemos que, quando fixamos θ e integramos primeiro com
respeito a r, o limite inferior e´ independente de θ e e´ sempre r = 0. Ja´ o
limite superior depende de θ e e´ igual a r = 1 + cos θ. Temos uma fatia para
cada valor de θ de θ = 0 ate´ θ = 2pi, e enta˜o a integral iterada fica∫ ∫
D
x dA =
∫ 2pi
0
∫ 1+cos θ
0
r cos θ r dr dθ =
∫ 2pi
0
∫ 1+cos θ
0
r2 cos θ dr dθ.
o restante dos ca´lculos agora e´ bastante conhecido:∫ 2pi
0
∫ 1+cos θ
0
r2 cos θ dr dθ =
1
3
∫ 2pi
0
(1 + cos θ)3 cos θ dθ
=
1
3
∫ 2pi
0
[cos θ + 3 cos2 θ + 3 cos3 θ + cos4 θ] dθ
=
1
3
[
0 +
3
2
∫ 2pi
0
(1 + cos 2θ)dθ + 0 +
1
4
∫ 2pi
0
(1 + cos 2θ)2 dθ
]
= pi +
pi
6
+
1
12
∫ 2pi
0
cos2 2θ dθ = pi +
pi
6
+
pi
12
=
5
4
pi.
Em relac¸a˜o a` outra integral, usando a substituic¸a˜o u = 1 + cos θ (com
du = − sen θ dθ), obtemos que∫ ∫
D
y dA =
∫ 2pi
0
∫ 1+cos θ
0
r2 sen θ dr dθ
=
1
3
∫ 2pi
0
(1 + cos θ)3 sen θ dθ = 0
Resta ainda o ca´lculo da a´rea, que e´ dada por∫ ∫
D
dA =
∫ 2pi
0
∫ 1+cos θ
0
r dr dθ =
1
2
∫ 2pi
0
(1 + cos θ)2 dθ
= pi +
1
4
∫ 2pi
0
(1 + cos 2θ)dθ
= pi +
pi
2
=
3
2
pi
6.3. Treˆs dimenso˜es 41
Finalmente, o centro de massa e´ dado por
x =
5pi/4
3pi/2
=
5
6
e y = 0.
6.3 Treˆs dimenso˜es
Vamos agora para integrais de 3 dimenso˜es. A ide´ia e´ bem simples. Supo-
nha que temos uma func¸a˜o f : Q→ R, onde Q e´ um subconjunto “razoa´vel”
de R3. Coloque Q dentro de uma caixa grande (i.e, um paralelep´ıpedo re-
tangular). Agora subdivida a caixa particionando cada um de seus lados. O
volume da maior destas caixas e´ chamado de norma da subdivisa˜o. Em cada
caixa que intercepta Q, escolhemos um ponto (x∗i , y
∗
i , z
∗
i ) em Q. A soma de
Riemann S correspondente fica da seguinte forma, onde a soma e´ sobre todos
as caixas que encontram Q
S =
n∑
i=1
f(x∗i , y
∗
i , z
∗
i )∆Vi,
e ∆Vi e´ o volume da caixa da qual (x
∗
i , y
∗
i , z
∗
i ) foi escolhido. Se ha´ um nu´mero
L tal que |S−L| pode se tornado arbitrariamente pequeno apenas escolhendo
uma subdivisa˜o com norma suficientemente pequena, enta˜o dizemos que f e´
integra´vel sobre Q, e o nu´mero L e´ dito a integral de f sobre Q. Esta integral
e´ usualmente escrita com o s´ımbolo:∫ ∫ ∫
Q
f(x, y, z)dV .
Vejamos como calcula´-la considerando as
integrais iteradas. Para isso, primeiro projete
Q sobre um plano coordenado (escolhemos o
plano Oxy como um exemplo).
Seja A a regia˜o do plano Oxy na qual pro-
jetamos Q. Assuma que uma reta vertical por
um ponto (x, y) ∈ A entra em Q atrave´s da
superf´ıcie z = g(x, y) e sai por uma superf´ıcie
z = h(x, y).
Em outras palavras, Q e´ o so´lido sobre a regia˜o A entre as superf´ı-
cies z = g(x, y) e z = h(x, y). Agora simplesmente integramos a integral
6.3. Treˆs dimenso˜es 42
∫ h(x,y)
g(x,y)
f(x, y, z) dz sobre a regia˜o A:
∫ ∫ ∫
Q
f(x, y, z)dV =
∫ ∫
A
(∫ h(x,y)
g(x,y)
f(x, y, z) dz
)
dA
Exemplo. Vamos encontrar a integral
∫ ∫ ∫
Q
(x + 2y + z)dV , onde Q e´ o
tetraedro com ve´rtices em (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 1).
Soluc¸a˜o. Quando projetamos Q no plano Oxy, o fundo e´ a superf´ıcie z = 0
e o topo e´ x + y/2 + z = 1, ou z = 1 − x − y/2 (equac¸a˜o do plano pelos
pontos (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 1)). A projec¸a˜o e´ o triaˆngulo ilustrado na
figura acima. Assim, a integral iterada e´∫ ∫
A
(∫ 1−x−y/2
0
(x+ 2y + z) dz
)
dA.
Agora escrevemos a integral dupla sobre A como uma integral iterada, e
temos∫ ∫ ∫
D
(x+ 2y + z)dV =
∫ ∫
A
(∫ 1−x−y/2
0
(x+ 2y + z) dz
)
dA
=
∫ 1
0
∫ 2(1−x)
0
∫ 1−x−y/2
0
(x+ 2y + z) dzdA
E´ comum omitir os pareˆnteses na integral iterada, e tudo que precisamos
agora e´ integrar treˆs vezes. Usando um computador, se necessa´rio, a primeira
6.3. Treˆs dimenso˜es 43
integral e´ igual a∫ 1−x−y/2
0
(x+ 2y + z) dz = −1
2
x2 − 2xy + 3
2
y − 7
8
y2 +
1
2
Calculando agora a segunda integral, obtemos que∫ 2(1−x)
0
(
− 1
2
x2 − 2xy + 3
2
y − 7
8
y2 +
1
2
)
dy = −4x− 2
3
x3 + 3x2 +
5
3
Finalmente, o ca´lculo da terceira integral fornece o valor∫ 1
0
(−4x− 2
3
x3 + 3x2 +
5
3
) dx =
1
2
.
Desses ca´lculos segue-se enta˜o que∫ 1
0
∫ 2(1−x)
0
∫ 1−x−y/2
0
(x+ 2y + z) dzdy dx =
1
2
Vale agora algumas observac¸o˜es claras. Primeiro, o volume V de um
so´lido Q e´ simplesmente V =
∫∫∫
Q
dV . Se a densidade de massa de Q e´δ(x, y, z), enta˜o a massa M de Q e´ M =
∫∫∫
Q
δ(x, y, z) dV e a coordenadas
do centro de massa sa˜o dadas por
x =
1
M
∫ ∫ ∫
Q
x δ(x, y, z) dV
y =
1
M
∫ ∫ ∫
Q
y δ(x, y, z) dV
z =
1
M
∫ ∫ ∫
Q
z δ(x, y, z) dV
Cap´ıtulo 7
Limites em Integrais Iteradas
Para a grande maioria dos estudantes a parte mais dif´ıcil de calcular
integrais iteradas e´ determinar os limites de integrac¸a˜o. Felizmente, para isso
existe um procedimento bastante geral que pode ser aplicado em qualquer
sistema de coordenadas. O procedimento comec¸a com um esboc¸o da regia˜o,
sendo esse um passo indispensa´vel.
7.1 Integrais Duplas em Coordenadas
Retangulares
Vamos ilustrar esse procedimento no casa
onde ele ocorre mais usualmente: integrais du-
plas em coordenadas retangulares. Suponha
que queremos calcular a integral∫∫
R
f(x, y) dy dx
onde R e´ a regia˜o entre x2 + y2 = 1 e x + y = 1, conforme figura acima.
Suponha ainda que estamos integrando primeiro com relac¸a˜o a y. Nesse
caso, para determinar os limites de integrac¸a˜o,
i) mantenha x fixo e deixe y aumentar (ja´ que estamos integrando com
relac¸a˜o a y). A` medida que o ponto (x, y) se desloca, ele trac¸a uma
reta vertical;
ii) integre do valor de y onde a reta vertical entra na regia˜o R ate´ o valor
de y onde ela deixa a regia˜o;
iii) em seguida deixe x aumentar, integrando do menor valor de x para o
qual a reta vertical intercepta R, ate´ o maior desses valores.
44
7.2. Integrais Duplas em Coordenadas
Polares 45
Aplicando esse roteiro para a regia˜o R ilus-
trada acima, a reta vertical entra em R em
y = x− 1 e sai em y = √1− x2.
As retas verticais que interceptam R sa˜o
aquelas entre x = 0 e x = 1. Enta˜o obtemos
como limites∫∫
R
f(x, y) dy dx =
∫ 1
0
∫ √1−x2
1−x
f(x, y) dy dx
Para calcular a mesma integral, iterando primeiro na varia´vel x, proceda
como segue:
i) mantenha y fixo e deixe x aumentar (ja´ que estamos integrando pri-
meiro com respeito a x). A` medida que o ponto (x, y) se desloca, ele
trac¸a uma reta horizontal;
ii) integre do valor de x onde a reta horizontal entra em R ate´ o valor de
x onde ela a deixa a regia˜o;
iii) escolha os valores de y que incluam todas as retas horizontais que in-
terceptam R.
Seguindo esse procedimento, a reta horizontal
entra em R em x = y−1 e sai em x = √1− y2. As
retas horizontais que interceptam R sa˜o aquelas
entre y = 0 e y = 1. Segue-se que os limites sa˜o∫∫
R
f(x, y) dx dy =
∫ 1
0
∫ √1−y2
1−y
f(x, y) dx dy,
7.2 Integrais Duplas em Coordenadas
Polares
O mesmo procedimento funciona no caso de coordenadas polares. Supo-
nha que queremos avaliar a integral∫∫
R
dr dθ.
onde R e´ a mesma regia˜o da sec¸a˜o anterior. Suponha ainda que estamos
integrando primeiro com relac¸a˜o a r. Nesse caso, para determinar os limites,
7.3. Integrais Triplas em Coordenadas Retangulares e Cil´ındricas 46
i) mantenha θ fixo e deixe r aumentar (ja´ que estamos integrando primeiro
com relac¸a˜o a r). A` medida que o ponto se move, ele trac¸a um raio
partindo da origem;
ii) integre do valor de r onde o raio entra em R ate´ onde ele sai da regia˜o.
Com isso obtemos os limites de r;
iii) integre do menor valor de θ para o qual o raio correspondente intercepta
R ate´ o maior desses valores.
Esse procedimento requer a equac¸a˜o da reta em coordenadas polares.
Para isso, observe que
x+ y = 1 ⇒ r cos θ + r sen θ = 1, ou r = 1
cos θ + sen θ
.
Este e´ o valor de r para o qual o raio entra
na regia˜o; ele sai da regia˜o quando r = 1. Os
raios que interceptam R ficam entre θ = 0 e
θ = pi/2. Assim, a integral dupla iterada em
coordenadas polares tem os limites∫∫
R
dr dθ =
∫ pi/2
0
∫ 1
1/(cos θ +sen θ)
dr dθ.
7.3 Integrais Triplas em Coordenadas
Retangulares e Cil´ındricas
O procedimento agora e´ praticamente o mesmo das sec¸o˜es anteriores.
Considere o caso em que integramos primeiro em relac¸a˜o a z na integral∫∫∫
D
dz dy dx. Nesse caso,
7.3. Integrais Triplas em Coordenadas Retangulares e Cil´ındricas 47
i) mantenha x e y fixos e deixe z aumentar. Isso nos
da´ uma reta vertical.
ii) Integre do valor de z que a reta vertical entra na
regia˜o D ate´ o valor onde ela deixa essa regia˜o.
iii) Procure os limitantes restantes (em coordenadas
cartesianas ou em coordenadas polares) de forma
a incluir todas as retas verticais que interceptam D.
Esses limites correspondem a` projec¸a˜o R da regia˜o
D sobre o plano Oxy.
Por exemplo, se D e´ a regia˜o que fica entre os dois
parabolo´ides
z = x2 + y2 e z = 4− x2 − y2,
seguindo os passos 1 e 2 obtemos∫∫∫
D
dz dy dx =
∫∫
R
∫ 4−x2−y2
x2+y2
dz dA
onde R e´ a projec¸a˜o de D sobre o plano Oxy. Para terminar, devemos
determinar essa projec¸a˜o. Da figura, o que devemos determinar e´ a curva no
plano Oxy sobre a qual as duas superf´ıcies se interceptam. Encontramos a
curva eliminando z das duas equac¸o˜es, obtendo
x2 + y2 = 4− x2 − y2
de onde segue-se que x2 + y2 = 2. Assim a curva que limita R e´ o c´ırculo no
plano Oxy com centro na origem e raio √2.
Isso torna natural introduzir as coordenadas polares na regia˜o R, como
indicado a seguir.∫∫∫
D
dz dy dx =
∫ 2pi
0
∫ √2
0
∫ 4−x2−y2
x2+y2
dz dr dθ;
Observe que os limites em z devem ser substitu´ıdos por r2 e 4− r2 quando a
integral for efetuada.
7.4. Coordenadas Esfe´ricas 48
7.4 Coordenadas Esfe´ricas
O mesmo procedimento pode ser usado tambe´m
em coordenadas esfe´ricas. Para calcular os limites de
integrac¸a˜o em uma integral iterada
∫∫∫
D
dρ dφ dθ,
suponha que estamos integrando primeiro com res-
peito a ρ. Nesse caso, o procedimento e´ como segue:
1. mantenha φ e θ fixos e deixe ρ aumentar. Isso nos da´ um raio saindo
da origem;
2. integre do valor de ρ onde o raio entra na regia˜o D ate´ o valor onde o
raio sai da regia˜o. Isso nos da´ os limites em ρ;
3. mantenha θ fixo e deixe φ aumentar. Isso nos
da´ uma famı´lia de raios, que formam uma espe´-
cie de leque. Integre sobre os valores de φ para
os quais o raio intersecta a regia˜o D;
4. finalmente, encontre os limites de θ de tal forma
que inclua todos os leques que interceptam a
regia˜o D.
Por exemplo, suponha que o c´ırculo no plano Oyz, de raio 1 e centro em
(1, 0), seja rotacionado ao redor do eixo Oz, e que a regia˜o D seja a parte
desse so´lido que esta´ no primeiro octante.
A figura ao lado ilustra as coordenadas ρ e φ
restritas ao plano Oyz. Para ver a relac¸a˜o en-
tre essas coordenadas quando P esta´ no c´ırculo,
observe que φ = OÂP , uma vez que tanto φ
como o aˆngulo OÂP sa˜o complementares do aˆn-
gulo AÔP . Do triaˆngulo da direita obtemos que
senφ = ρ/2, e portanto ρ = 2 senφ.
Conforme o c´ırculo gira ao redor do eixo z, a relac¸a˜o entre ρ e φ permanece
a mesma, e portanto ρ = 2 senφ e´ a equac¸a˜o de toda a superf´ıcie.
Para determinar os limites de integrac¸a˜o, quando φ e θ sa˜o fixos, o raio
correspondente entra na regia˜o quando ρ = 0 e a deixa quando ρ = 2 senφ.
7.4. Coordenadas Esfe´ricas 49
A` medida que φ aumenta, com θ fixo, os raios que interceptam D sa˜o
aqueles entre φ = 0 e φ = pi/2, ja´ que estamos considerando somente a
porc¸a˜o da superf´ıcie que esta´ no primeiro octante (e portanto acima do plano
Oxy).
Mais uma vez, como D esta´ no primeiro octante, os valores de θ va˜o de
θ = 0 ate´ θ = pi/2. Finalmente, a integral iterada e´ dada por∫ pi/2
0
∫ pi/2
0
∫ 2 senφ
0
dρ dφ dθ.
Cap´ıtulo 8
Atrac¸a˜o Gravitacional
A integral tripla pode ser usada para calcular a atrac¸a˜o gravitacional que
um corpo so´lido V de massa M exerce sobre uma massa pontual situada na
origem.
Se o so´lido V e´ tambe´m uma massa pontual, enta˜o de acordo com a lei
de gravitac¸a˜o de Newton a forc¸a que ele exerce e´ dada por
F =
GM
|R|2 r