cap 1 vetores

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FUNDAMENTOS DE FÍSICA
PARA ENGENHARIA I
Vetores e Escalares
Universidade Federal do Amapá
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Engenharia Elétrica
Definição de Escalar: É toda grandeza física que necessita
de apenas um módulo (valor + unidade de medida) para ser
completamente caracterizada.
Exemplos de grandezas Escalares:
Tempo, Temperatura, Massa, Energia, Corrente elétrica, ...
Os escalares por serem simples números, obedecem a 
álgebra que estamos acostumados a utilizar.
Definição de Vetor: é toda grandeza física que necessita de
um módulo uma direção e um sentido para ser
completamente caracterizada.
Exemplos de grandezas Vetoriais:
Deslocamento, Velocidade, Força, Campo elétrico, ...
Os vetores seguem regras de soma, subtração, 
multiplicação, diferentes dos escalares, as quais veremos a 
seguir.
Representação
Os escalares são representados por uma simples letra.
Exemplo: T (representa o escalar temperatura), m (massa),
etc.
Os vetores são representados por uma letra em negrito ou
por uma letra com uma flecha em cima.
Exemplo: F ou F (representa o vetor força), v ou v
(velocidade), etc.
O módulo de um vetor é representado por |F|, |F| ou F.
Geometricamente um vetor pode ser representado 
por uma flecha. 
O tamanho desta flecha é proporcional ao módulo do vetor,
o ângulo que a flecha forma com um eixo de referência nos
fornece a direção do vetor, e o sentido do vetor e dado pela
extremidade da flecha. Veja figura:
Vetores podem ser transladados sem perder suas
características originais. Os quatro vetores abaixo são
iguais, uma vez que tem o mesmo módulo, mesma direção
(inclinação) e apontam no mesmo sentido.
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Soma e Subtração de Vetores: Método Geométrico
Soma: Dois ou mais vetores podem ser somados
geometricamente, simplesmente deslocando os vetores,
sem mudar sua direção e sentido, fazendo com que a
origem de um coincida com a extremidade do outro. O
vetor soma ou resultante é obtido unindo-se a origem do
primeiro com a extremidade do ultimo vetor, como mostra
a figura:
A
B
A
B
A figura ao lado mostra a soma
geométrica de mais de dois vetores.
Regra do Paralelogramo:
Propriedades:
a) Lei Comutativa: A + B = B + A
b) Lei associativa: A + (B + C ) = (A + B) + C
Oposto de um Vetor: É um vetor que
possui o mesmo módulo, a mesma
direção, porém sentido oposto.
- BB
Subtração: Para subtrairmos geometricamente um vetor
de outro, usamos o mesmo método da soma, porém
devemos, antes, criar o oposto do vetor que desejamos
subtrair. Feito isso, a subtração é feita somando-se o
primeiro vetor com o oposto do outro.
Componentes de Vetores
A figura mostra um vetor a cuja origem coincide com a
origem de um sistema de coordenadas retangulares. Se
desenharmos perpendiculares da ponta de a aos eixos, as
grandezas ax e ay assim formadas são chamadas de
componentes ortogonais (ou cartesianas) do vetor a .
Este processo é chamado decomposição ou projeção de um vetor em suas
componentes ortogonais. As componentes do vetor assim obtidas podem ser
positivas, negativas ou nulas.
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Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Dado o triângulo abaixo, as funções trigonométricas seno, 
cosseno e tangente, são definidas como:
PitágorasdeTeoremabac
tgab
a
b
adjacentecateto
opostocateto
tg
ca
c
a
hipotenusa
adjacentecateto
sencb
c
b
hipotenusa
opostocateto
sen
222
coscos







O valor das componentes ax e ay
podem ser obtidos fazendo-se:


senaa
aa
y
x

 cos
Uma vez que o vetor esteja
decomposto em suas
componentes, podemos usá-
las para encontrar o módulo e
a direção do vetor. x
y
yx
a
a
arctgDireção
aaaModulo


:
||: 22
Soma e Subtração de Vetores pelo Método das Projeções
Consideremos os vetores a e b, os quais desejamos somá-
los, usando o método das projeções.
Isso pode ser feito seguindo-se os passos: 
1) Projete os 
vetores e encontre 
suas componentes:
ax e ay , bx e by.
3) Encontre o módulo 
e a direção do vetor 
resultante R, através 
das equações:
x
y
yx
R
R
arctgDireção
RRRModulo


:
||: 22
2) Encontre as 
componentes resultantes 
nas direções x e y, as quais 
chamaremos de:
Rx= ax + bx
Ry= ay + by
Vetores Unitários
Quando decompomos um vetor em suas componentes, às
vezes é útil introduzir um vetor de comprimento unitário
em uma dada direção. No sistema de coordenadas
retangulares os símbolos especiais î, ĵ e k (ou i, j, k, em
negrito) são usualmente utilizados para indicar vetores
unitários, nos sentidos positivos x, y e z respectivamente.
^
Multiplicação de Vetores
Vetores de diferentes tipos podem ser
multiplicados entre si para gerar grandezas com
novas dimensões físicas. Como os vetores
possuem direção e sentido além de módulo, a
multiplicação vetorial não pode seguir as
mesmas regras algébricas da multiplicação
escalar. Temos de estabelecer novas regras,
como veremos a seguir.
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1) Multiplicação de um vetor por um escalar:
A multiplicação de um vetor por um escalar
tem significado simples: o produto de um
escalar c por um vetor a, escrito como c.a, é
definido como um novo vetor cujo módulo é c
vezes o módulo de a .
O novo vetor tem a mesma direção e sentido de
a, se c for positivo, e a mesma direção porém
sentido oposto, se c for negativo.
2) Produto Escalar: Ocorre quando multiplicamos
dois vetores entre si, e o resultado é um escalar.
O produto escalar é, então, definido como
mostrado a seguir:
cos.||.|| baba


a
b

abba

.. 
Onde: | a | e | b | são os 
módulos dos vetores a e b e 
cos  é o cosseno do ângulo 
, formado entre os vetores.
cos|||| baba


Se  = 90º 
0b.a 

Se  = 0º  (máximo) 
b.ab.a


Em termos de vetores unitários, temos:
)ˆˆˆ).(ˆˆˆ(. kbjbibkajaiaba zyxzyx 

0ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ
1ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ


kjkiji
kkjjii
Mas:
Então:
zzyyxx babababa 

.
3) Produto Vetorial: Ocorre quando multiplicamos
dois vetores e o resultado é um novo vetor.
O produto vetorial de dois vetores a e b é escrito
como a  b e dá como resultado um novo vetor c,
onde c = a  b. O módulo de c é, assim, definido:
senbabac .||.||||  
Onde: | a | e | b | são os 
módulos dos vetores a e b e 
sen  é o seno do ângulo , 
formado entre os vetores.
a
b

A direção do vetor c, obtido através do produto vetorial, é
sempre perpendicular ao plano formado pelos vetores a e b
e seu sentido é dado pela regra da mão direita . Veja figura.
O polegar apontará no sentido do produto vetorial a  b.
Regra da Mão Direita
)x(x abba


Se  = 0º 
0x ba

Se  = 90º  (máximo) 
baba

.x 
Em termos de vetores unitários, temos:
)ˆˆˆ(x)ˆˆˆ(x kbjbibkajaiaba zyxzyx 

jikikjkji
kkjjii
ˆˆxˆ;ˆˆxˆ;ˆˆxˆ
0ˆxˆˆxˆˆxˆ


Mas:
Então:
kabbajabbaiabbaba yxyxxzxzzyzy
ˆ)(ˆ)(ˆ)(x 

senbabac ||||||  
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Exercícios:
1) Com os vetores indicados pelas setas, encontre geometricamente os
vetores resultantes abaixo:
a) R = A + B + C + D
b) S = A - B - C - D
c) Q = A - B + C - D
2) Dados os vetores abaixo, encontre o módulo a direção e o sentido do 
vetor soma e faça um esboço do mesmo, nos seguintes casos:
3) Encontre as componentes dos vetores mostrados na figura abaixo. 
Encontre o módulo do vetor soma e sua direção. Faça um esboço do 
vetor soma. Escreva o vetor soma utilizando a nomenclatura dos vetores 
unitários.
4) São dadosos vetores: a = 4i -3j+2k e b = -i +5j+3k. Encontre e 
escreva em notação de vetores unitários o que se pede abaixo:
a) a + b
b) a – b
c) um vetor c tal que a – b + c = 0
5) Uma estação de radar detecta um míssil que se aproxima do leste.
Ao primeiro contato, a distância do míssil é 3600 m, a 40º acima do
horizonte. O míssil é seguido por 123º no plano leste-oeste, e a
distância no contato final era de 7800 m. Ache o deslocamento do
míssil durante o período de contato com o radar.