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Apostila Cálculo II

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EXERCÍCIOS 
 
1)Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê: 
a)O comprimento de uma escada apoiada na parede como na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
b)O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros 
de altura. 
 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 9 
c)A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de largura 
a e comprimento b. 
d)A quantidade, em metros, de papel de parede necessária para revestir as paredes laterais de 
um quarto retangular de x metros de largura e y metros de comprimento, se a altura do quarto é z 
metros. 
e)O volume do paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z. 
f)A distância entre dois pontos P(x,y,z) e Q(u,v,w) 
g)A temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, em qualquer ponto, é numericamente igual à 
distância do ponto ao centro da esfera. 
 
2)Determinar o domínio das seguintes funções e representar graficamente (quando possível): 
a) z = xy 
b) w = 
1
𝑥2+𝑦2+𝑧2
 
c)z = 
1
√𝑥2−𝑦2
 
d)z = 
𝑥
𝑦2+1
 
e)z = √𝑥2 + 𝑦2 − 1 
 
3)Dada a função f(x,y) = 
𝑥+𝑦
2𝑥+𝑦
 
a)Dar o domínio 
b)Calcular f(x + x, y) 
c)Calcular f(-1, 0) 
d)Fazer um esboço do gráfico do domínio 
 
4)Desenhar as curvas de nível Ck para os valores de k dados: 
a)z = x2 – y2 ; k = 0,1,2,3 
b)z = y2 – x2; k = 0,1,2,3 
c)z = 2 – (x2 + y2); k = -3, -2, -1, 0, 1, 2 
d)f(x,y) = 2x2 + 4y2; k = 2,3,4,8 
 
GABARITO 
1) 
a)C(h,L) = √ℎ2 + 𝐿2 b)V(x,y) = x2y c)f(a,b) = 2a + 2b 
d)f(x,y,z) = 2xz + 2yz e)V(x,y,z) = xyz f)d(P,Q) = √(𝑥 − 𝑢)2 + (𝑦 − 𝑣)2 + (𝑧 − 𝑤)2 
g)T(x,y,z) = √(𝑥 − 𝑥𝑜)2 + (𝑦 − 𝑦𝑜)2 + (𝑧 − 𝑧𝑜)2com (xo, yo, zo) centro da esfera 
 
2) 
a)D(z) = R2 b)D(z) = R3 – {(0,0,0)} c)D(z) = {(x,y)  R2/ |x| > |y|} 
d)D(z) = R2 e) D(z) = {(x,y)  R2/ x2 + y2  1} 
 
3) 
a)D(z) = {(x,y)  R2/ 2x + y  0} b)
𝑥+𝛻𝑥+𝑦
2𝑥+2𝛻𝑥+𝑦
 c)1/2 
 
 
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2. Limites e Continuidade de Funções de 
várias variáveis 
 
Relembrando o limite de uma função de uma variável: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)só existe se lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥)= lim
𝑥→𝑎→
𝑓(𝑥)= L 
 
 
 
 
De forma análoga, vejamos o que será o limites de uma função de várias variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso o limite da função de 
várias variáveis, pode ser analisado por diversos lados do ponto (xo, yo). 
 
DEFINIÇÃO: Dizemos que uma função f(x,y) se aproxima do limite L à medida que (x,y) se 
aproxima de (x0, y0) e escrevemos lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥𝑜,𝑦𝑜)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿se, para todo número  > 0, existe um 
número  > 0 correspondente tal que, para todo (x,y) no domínio de f, |𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿 < 𝑒|sempre que 
0 < √(𝑥 − 𝑥𝑜)2 + (𝑦 − 𝑦𝑜)2 < 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 
 
 
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OBS* As propriedades dos limites de uma variável podem ser estendidas para os limites de 
funções de várias variáveis. 
 
Exemplos 
1)Calcule lim
(𝑥,𝑦)→(2,−1)
(𝑥3𝑦 + 𝑥2𝑦3 − 2𝑥𝑦 + 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)Calcule lim
(𝑥,𝑦)→(2,1)
𝑥3+𝑥2𝑦−2𝑥𝑦−2𝑥2−2𝑥+4
𝑥𝑦+𝑥−2𝑦−2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3)Calcule lim
(𝑥,𝑦)→(0,1)
𝑥+𝑦−1
√𝑥−√1−𝑦
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4)Mostre que não existe lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
2𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2
não existe 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS: 
1)Mostre que os limites seguintes não existem: 
a) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
 b) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥−𝑦
2𝑥+𝑦
 c) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
3𝑥𝑦
4𝑥2+5𝑦2
 d) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3
𝑥3+𝑦2
 
 
2)Calcular os limites seguintes: 
a) lim
(𝑥,𝑦)→(1,2)
(𝑒𝑥𝑦 − 𝑒𝑦 + 1) 
b) lim
(𝑥,𝑦)→(1,2)
(3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 − 2𝑥𝑦) 
c) lim
(𝑥,𝑦)→(−2,1)
𝑥𝑦2−5𝑥+8
𝑥2+𝑦2+4𝑥𝑦
 
d) lim
(𝑥,𝑦)→(2,3)
𝑥2𝑦−3𝑥2−4𝑥𝑦+12𝑥+4𝑦−12
𝑥𝑦−3𝑥−2𝑦+6
 
e) lim
(𝑥,𝑦)→(4,1)
𝑦√𝑥−2𝑦−√𝑥+2
4−𝑥+𝑥√𝑦−4√𝑦
 
f) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
√𝑥+3−√3
𝑥𝑦+𝑥
 
g) lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)
√𝑥𝑦
3 −1
√𝑥𝑦−1
 
h) lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)
𝑥2−𝑦𝑥
𝑥2−𝑦2
 
i) lim
(𝑥,𝑦)→(1,2)
ln[
𝑥𝑦−1
2𝑥𝑦+4
] 
j) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3
𝑥2+𝑦2
 
k) lim
(𝑥,𝑦)→(1,2)
𝑦𝑥3−𝑦𝑥2−𝑦𝑥+𝑦+2𝑥3−2𝑥2−2𝑥+2
(𝑥−1)2(𝑦+2)
 
 
GABARITO 
1) 
a)1 b)10 c)-16/3 d)zero e)1/2 f)
√3
6
 g)2/3 h)1/2 
i)-ln8 j)zero k)2 
 
3. Derivadas Parciais 
 
 
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 Cálculo II – Professor João Marcelo Ruszczak – página 13 
O cálculo de várias variáveis é semelhante ao cálculo de uma variável aplicado a várias 
variáveis, uma de cada vez. Quando fixamos todas as variáveis independentes de uma função – 
MENOS UMA – e derivamos em relação a essa variável, obtemos uma derivada “parcial”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: 
Sejam f: A  R2  R uma função de duas variáveis e (x0, y0)  A. Fixando y = y0, podemos 
considerar a função g(x) = f(x, y0). A derivada de g no ponto x = x0, denominada derivada parcial de 
f em relação a x no ponto (x0, y0), denotada por 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(x0, y0), é definida por 
 
 
 se o limite 
existir 
 
 
 
Analogamente, definimos a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x0,y0) portanto 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1)Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem das seguintes funções: 
a)f(x,y) = 2x2y + 3xy2 – 4x b)g(x,y) = √𝑥2 + 𝑦2 − 2 c) z = sen(2x + y) 
 
 
 
 
 
 
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2)Verifique se a função z = ln(xy) + x + y satisfaz a equação 𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑥
− 𝑦
𝜕𝑧