Teste de Hipótesesv

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Teste de Hipóteses
Introdução
Suponha que em um grupo de pessoas sadias temos a concentração de
uma substância no sangue segundo uma Normal com média 14
unidade/mL e desvio padrão 6 unidades/mL, suponha também que um
grupo de pessoas doentes possui está mesma substância com uma
concentração Normal ~N(18,6).
sadio doente
14 18
Percebemos que existe uma intersecção entre as curvas, e que existem
pessoas sadias com as mesmas concentrações da substância em
questão que as pessoas doentes.
Desejamos testar um certo tratamento para saber se este é eficaz para
tratar esta doença. Selecionamos uma amostra aleatória de tamanho
30 entre os indivíduos doentes que foram submetidos ao tratamento.
Tomemos as concentrações dos indivíduos da amostra por X1,...,X30.
Sabemos que esta amostra é uma N(μ;6),sendo que μ=14 ou μ=18,
dependendo do tratamento ser eficiente ou não. Se a média da
amostra estiver próximo a 14 ou a 18 fará com que possamos dizer se o
tratamento é eficiente ou não. A amostra é uma v.a. e logo temos que
analisar isto probabilisticamente o problema, e para isto utilizaremos o
teste de hipóteses para a média com variância conhecida.
Teste para a Média Populacional
Tomando a situação anterior, que tinha uma distribuição com Normal e
que buscava obter a média populacional , utilizaremos a média
amostral como estimador, sendo este consistente e não viciado de μ.
Considerando a situação anterior como sendo uma Normal com desvio
padrão 6 unidades/mL, para uma amostra de n=30 temos uma
N(μ;6/ 30). Como temos uma v.a. por mais que tenhamos uma
distribuição com média 14 , 𝑋 poderá apresentar valores maiores que
14, P( 𝑋>14| μ=14)=0,5 , visto pela simetria da Normal. Um critério que
pode ser utilizado, para decidir sobre o valor de μ, é determinar um
valor crítico, xc , tal que se 𝑋 for menor ou igual a xC o tratamento é
eficaz, caso contrário não será eficaz.
Para completar a idéia é importante saber , para completar a análise 
que precisamos definir o valor de xc e quantificar os erros associados 
as possíveis conclusões. Pois sendo 𝑋 uma v.a. corremos o risco de 
classificar incorretamente o tratamento como eficaz ou não.
As duas hipóteses serão denotadas por H0 e H1(ou Ha) , chamaremos 
de hipótese nula e hipótese alternativa respectivamente. Assim:
H0: o tratamento não é eficaz;
H1: o tratamento é eficaz; 
Em termos das média:
H0: μ=18 H1: μ=14
Estas hipóteses da forma acima podem ser chamadas de hipóteses 
simples, pois não contém desigualdade.
É razoável considerar que o tratamento ser eficaz corresponde a ele ser
capaz de fazer com que os indivíduos da amostra com média 18
mudassem para uma população com média inferior, e assim escrever as
hipóteses:
H0: μ=18 H1: μ<18
Neste caso acima temos uma hipótese unilateral.
Caso quiséssemos verificar se o tratamento produz algum tipo de
efeito, seja ele benéfico (μ<18) ou não (μ>18), devemos construir o
teste de hipóteses bilateral:
H0: μ=18 H1: μ≠18
Por conveniência técnica deixamos sempre a igualdade na hipóteses
nula.
Os dois tipos de erros que podem ser cometidos ao se realizar um teste 
de hipóteses são:
i) Rejeitar a hipótese H0, quando esta é verdadeira;
ii) Não rejeitar a hipótese H0, quando ela deveria ser rejeitada.
Os erros acima são chamados de erro do tipo I e erro do tipo II 
respectivamente.
Situação
H0 Verdadeira H0 Falsa
Rejeitar H0 Erro Tipo I Sem erro
Decisão
Não rejeitar H0 Sem erro Erro Tipo II
As probabilidades associadas aos tipos de erros serão denotadas por:
α=P(erro tipo I)=P(rejeitar H0|H0 verdadeira); nível de significância
β=P(erro tipo II)=P(não rejeitar H0 | H0 falsa).
14 18 
Sadio(H1) Doente(H0)
Supondo que conheçamos α, para calcular xc :
α=P(erro tipo I)= P(rejeitar Ho|Ho verdadeira)
= P( 𝑋 < 𝑥𝑐 𝜇 = 18 = 𝑃
 𝑋−𝜇
𝜎/ 𝑛
<
𝑥𝑐−18
6/ 30
=
=P(Z<zc).
Assim:
𝑧𝑐 =
𝑥𝑐 − 18
6 30
Para α=0,05:
xc=16,20
Uma vez colhida a amostra, se 𝑥obs é tal que 𝑥obs <16,20, rejeitamos a 
hipótese nula concluindo que o tratamento é eficaz. A região dada pelo 
conjunto dos números reais menores que 16,20 é denominada região 
de rejeição ou Região Crítica, RC:
RC={x Є ℝ 𝑥 < 16,20 .
O complementar de RC é chamado de RA, Região de Aceitação.
Região de Rejeição
xc
Para construção de testes de hipóteses bilaterais:
H0: μ=18
H1: μ≠18
RC={x Є ℝ 𝑥 < 𝑥𝑐1𝑜𝑢 𝑥 > 𝑥𝑐2 .
α=P(erro tipo I)= P(rejeitar Ho|Ho verdadeira)
= P( 𝑋 < 𝑥𝑐1𝑜𝑢 𝑋 > 𝑥𝑐2)
Pela simetria:
P( 𝑋 < 𝑥𝑐1)= α/2 e P( 𝑋 > 𝑥𝑐2)=α/2
Exercício
Um pesquisador deseja estudar o efeito de certa substância no tempo de 
reação de seres vivos a um certo tipo de estímulo. Um experimento é 
desenvolvido com cobaiais, que são inoculadas com a substância e 
submetidas a um estímulo elétrico, com seus tempos de 
reação(s):9,1;9,3;7,2;7,5;1,3;10,9;7,2;9,9;8,0;8,6. Sendo este uma N(8;2), 
DP=2s. O pesquisador desconfia, entretanto, que o tempo médio sofre 
alteração por influência da substância. Neste caso, as hipóteses de interesse 
são:
Ho: as cobaias apresentam tempo de reação padrão;
H1: as cobaias têm o tempo de reação alterado.
H0: μ=8
H1: μ≠8
Obtenha RC para um nível de 5 % de significância.