calculo 1 aula 17

Prévia do material em texto

Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Aplicac¸o˜es da Derivada
Bras´ılia, 2o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Conteu´do
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Taxas relacionadas
I Uma aplicac¸a˜o u´til da derivac¸a˜o impl´ıcita e´ a soluc¸a˜o de
problemas de taxas relacionadas;
I Nesses problemas, as varia´veis de interesse teˆm uma
dependeˆncia com outra varia´vel (por exemplo o tempo).
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Taxas relacionadas
I Uma aplicac¸a˜o u´til da derivac¸a˜o impl´ıcita e´ a soluc¸a˜o de
problemas de taxas relacionadas;
I Nesses problemas, as varia´veis de interesse teˆm uma
dependeˆncia com outra varia´vel (por exemplo o tempo).
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Exemplos
Considere uma escada de L metros apoiada sobre uma parede
vertical.
L
y
x
I Qual a relac¸a˜o entre x , y
e L?
I Se o pe´ da escada e´
puxado com uma
velocidade constante de
k m/s, qual a velocidade
de descida do ponto de
apoio?
I E se a acelerac¸a˜o for
constante?
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Exemplos
Considere uma escada de L metros apoiada sobre uma parede
vertical.
L
y
x
I Qual a relac¸a˜o entre x , y
e L?
I Se o pe´ da escada e´
puxado com uma
velocidade constante de
k m/s, qual a velocidade
de descida do ponto de
apoio?
I E se a acelerac¸a˜o for
constante?
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Exemplos
Considere uma escada de L metros apoiada sobre uma parede
vertical.
L
y
x
I Qual a relac¸a˜o entre x , y
e L?
I Se o pe´ da escada e´
puxado com uma
velocidade constante de
k m/s, qual a velocidade
de descida do ponto de
apoio?
I E se a acelerac¸a˜o for
constante?
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Boas ideias para resolver problemas de taxas relacionadas
1. Sempre que poss´ıvel, fac¸a um desenho representativo do
problema que se esta´ resolvendo;
2. Escreva todas as relac¸o˜es entre as varia´veis do problema;
3. Quando as relac¸o˜es estiverem bem definidas, utilize a
derivac¸a˜o impl´ıcita para conseguir relac¸o˜es entre as taxas de
variac¸a˜o das grandezas em questa˜o;
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Exerc´ıcios
I Um bala˜o esfe´rico esta´ sendo inflado de tal forma que seu
volume cresce a uma taxa constante. Qual a taxa de
crescimento do diaˆmetro do bala˜o? E da sua a´rea superficial?
I Uma laˆmpada esta´ pendurada a uma distaˆncia fixa do solo.
Se um homem de determinada altura caminha afastando-se da
luz com velocidade constante, qual e´ a taxa de crescimento da
sombra do homem?
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Exerc´ıcios
I Um bala˜o esfe´rico esta´ sendo inflado de tal forma que seu
volume cresce a uma taxa constante. Qual a taxa de
crescimento do diaˆmetro do bala˜o? E da sua a´rea superficial?
I Uma laˆmpada esta´ pendurada a uma distaˆncia fixa do solo.
Se um homem de determinada altura caminha afastando-se da
luz com velocidade constante, qual e´ a taxa de crescimento da
sombra do homem?
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Conteu´do
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Ma´ximos e m´ınimos
Considere uma para´bola cuja equac¸a˜o e´ dada por y = x2.
I Qual a func¸a˜o que fornece o valor da inclinac¸a˜o da reta
tangente a y = x2, em cada ponto x do seu dom´ınio?
I Qual e´ o ponto de m´ınimo desta func¸a˜o?
I No ponto de m´ınimo, voceˆ espera que a derivada tenha qual
valor?
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Definic¸a˜o
“Se c for um nu´mero no dom´ınio da func¸a˜o f e se f ′(c) = 0 ou
f ′(c) na˜o existir, enta˜o c sera´ chamado de ponto cr´ıtico de f.”
Um ponto cr´ıtico pode ser:
I Um ponto de ma´ximo;
I Um ponto de m´ınimo;
I Um ponto de sela;
Ma´ximo local × Ma´ximo global
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Definic¸a˜o
“Se c for um nu´mero no dom´ınio da func¸a˜o f e se f ′(c) = 0 ou
f ′(c) na˜o existir, enta˜o c sera´ chamado de ponto cr´ıtico de f.”
Um ponto cr´ıtico pode ser:
I Um ponto de ma´ximo;
I Um ponto de m´ınimo;
I Um ponto de sela;
Ma´ximo local × Ma´ximo global
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Teorema
“Se a func¸a˜o f for cont´ınua no intervalo fechado [a, b], enta˜o f
tera´ um valor ma´ximo global (ou absoluto) e um valor m´ınimo
global (ou absoluto) em [a, b]”
Observac¸o˜es:
I A continuidade em um intervalo fechado implica na existeˆncia
de um ma´ximo e um m´ınimo!
I O teorema refere-se a uma condic¸a˜o suficiente, pore´m na˜o
necessa´ria.
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Exerc´ıcios
Encontre os pontos cr´ıticos das func¸o˜es abaixo e indique se sa˜o
pontos de ma´ximo ou m´ınimo, local ou global ou ponto de sela:
1. f (x) = cos(x), x ∈ [0, 2pi]
2. f (x) = (x − 1)3, x ∈ [0, 2]
3. f (x) = |x − 2|, x ∈ [−3, 5]
4. f (x) = x1/3, x ∈ [−1, 1]
5. f (x) =
{
x , se x ∈ [2, 5]√
2− x , se x ∈ [−2, 2)
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Exerc´ıcios
Encontre os pontos cr´ıticos das func¸o˜es abaixo e indique se sa˜o
pontos de ma´ximo ou m´ınimo, local ou global ou ponto de sela:
1. f (x) = cos(x), x ∈ [0, 2pi]
2. f (x) = (x − 1)3, x ∈ [0, 2]
3. f (x) = |x − 2|, x ∈ [−3, 5]
4. f (x) = x1/3, x ∈ [−1, 1]
5. f (x) =
{
x , se x ∈ [2, 5]√
2− x , se x ∈ [−2, 2)
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Exerc´ıcios
Encontre os pontos cr´ıticos das func¸o˜es abaixo e indique se sa˜o
pontos de ma´ximo ou m´ınimo, local ou global ou ponto de sela:
1. f (x) = cos(x), x ∈ [0, 2pi]
2. f (x) = (x − 1)3, x ∈ [0, 2]
3. f (x) = |x − 2|, x ∈ [−3, 5]
4. f (x) = x1/3, x ∈ [−1, 1]
5. f (x) =
{
x , se x ∈ [2, 5]√
2− x , se x ∈ [−2, 2)
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Exerc´ıcios
Encontre os pontos cr´ıticos das func¸o˜es abaixo e indique se sa˜o
pontos de ma´ximo ou m´ınimo, local ou global ou ponto de sela:
1. f (x) = cos(x), x ∈ [0, 2pi]
2. f (x) = (x − 1)3, x ∈ [0, 2]
3. f (x) = |x − 2|, x ∈ [−3, 5]
4. f (x) = x1/3, x ∈ [−1, 1]
5. f (x) =
{
x , se x ∈ [2, 5]√
2− x , se x ∈ [−2, 2)
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Exerc´ıcios
Encontre os pontos cr´ıticos das func¸o˜es abaixo e indique se sa˜o
pontos de ma´ximo ou m´ınimo, local ou global ou ponto de sela:
1. f (x) = cos(x), x ∈ [0, 2pi]
2. f (x) = (x − 1)3, x ∈ [0, 2]
3. f (x) = |x − 2|, x ∈ [−3, 5]
4. f (x) = x1/3, x ∈ [−1, 1]
5. f (x) =
{
x , se x ∈ [2, 5]√
2− x , se x ∈ [−2, 2)
Aplicac¸o˜es da Derivada
Taxas relacionadas
Ma´ximos e m´ınimos
Refereˆncias
I Livro texto, sec¸o˜es 3.9 e 4.1;
I Pro´xima aula: livro texto, sec¸o˜es 4.2 e 4.5.
Aplicac¸o˜es da Derivada
	Taxas relacionadas
	Máximos e mínimos