relatorio de arredondamento

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Universidade do Vale do Paraíba
Metodologia Científica – Física 
Experimental
São José dos Campos
2010
1
ÍNDICE
Tópico 1 Coerência de Dimensões e Unidades
 Coerência Dimensional
 Coerência de Unidades
Tópico 2 Conversão de Unidades e Notação Científica
 Fatores de Conversão de Comprimento
 Fatores de Conversão de Tempo
 Notação Científica
 Algarismos Significativos
 Critérios de Arredondamento
 Operações com Algarismos Significativos
Tópico 3 Estudo de Erros em Medidas
 Erros de uma Medida
 Propagação de Erro
 Erro Propagado nas Operações Básicas
Tópico 4 Como elaborar um relatório
Tópico 5 Como formatar gráficos
Tópico 6 Paquímetro e Micrômetro
 O Paquímetro
 O Micrômetro
 Prática
Tópico 7 Tempo de reação Humana
 Prática
Tópico 8 Pêndulo Simples
 Prática
Tópico 9 Empuxo
 Prática
Tópico 10 Sistema Massa-Mola (Papel Milimetrado)
 Prática
Tópico 11 Mínimos Quadrados em Papel Milimetrado
Tópico 12 Decaimento da Temperatura (Papel MonoLog)
 Prática
Tópico 13 Mínimos Quadrados em Papel MonoLog
Bibliografia Utilizada
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1. COERÊNCIA DIMENSIONAL E DE UNIDADES
É de extrema importância em engenharia e ciências físicas que saibamos obedecer a 
coerência de unidades e dimensões de uma equação qualquer. Uma equação deve sempre 
possuir coerência dimensional. Você não pode somar automóvel com maça, por exemplo; 
dois termos só podem ser somados caso eles possuam a mesma unidade.Por isso, faz-se 
necessário o aprendizado destes conceitos. 
Coerência Dimensional
Começando com a equação do movimento retilíneo uniforme:
x=x 0+vt (1)
onde x representa a posição, no eixo x, de qualquer objeto, x0 representa a posição inicial, 
v é a velocidade do móvel e t, o tempo.
No lado esquerdo da equação 1 temos somente o termo referente a posição do 
móvel, ou seja, um comprimento qualquer que pode estar em metros, quilômetros e etc. 
Agora, no lado direito da equação temos a soma de dois termos, x0 e vt . Para que ocorra 
a soma de ambos os termos, há a necessidade de que ambos possuam a mesma dimensão, 
ou seja, comprimento, caso contrário, a equação acima estaria errada. Portanto, somente é 
possível somar grandezas físicas que tenham as mesmas dimensões.
Traduzindo a frase acima, notamos que as dimensões de um membro da equação 
devem ser iguais às dimensões do outro membro. Seria completamente errada a expressão:
80 quilogramas = 30 metros + x metros
Para facilitar a análise das dimensões presentes em uma equação, adotaremos os 
seguintes símbolos:
Comprimento [L]
Massa [M]
Tempos [T]
3
Aplicando a fórmula dimensional na equação (1) teremos:
x posicao= [L ]
t tempo=[T ]
v posição
tempo
=
[ L]
[T ]
x=x 0+vt ⇒ [L ]=[L ]
[ L]
[T ]
[T ] ⇒ [ L]=[L ][L ]
Note que finalmente a equação (1) é uma equação que possui uma coerência de 
unidades.
Na mecânica, adotam-se a massa (M), o comprimento (L) e o tempo (T) como 
grandezas fundamentais.
Pode-se expressar qualquer grandeza física G, de natureza mecânica, em função de 
M, L e T, obtendo-se, assim, a equação dimensional da grandeza G. Desse modo, a equação 
dimensional de G, que é indicada pela notação [G], será dada por Os 
expoentes , e são chamados dimensões físicas da grandeza G em relação às grandezas 
fundamentais M, L e T. Assim, pode-se escrever todas as grandezas da mecânica em função 
de L, M e T variando os valores de , e .
Esta análise dimensional nos permite obter a dimensão de certas constantes em 
equações, como por exemplo, a seguinte equação da lei de Hooke:
F=−kx (2)
No lado esquerdo da equação temos a força F, enquanto que no lado direito temos 
uma constante k, que queremos determinar sua dimensão, multiplicada pela posição x. 
Então, realizando a análise dimensional:
F=massa×aceleraçao
aceleraçao= comprimento
tempo×tempo
=
[L ]
[T ] [T ]
=
[L ]
[T ]2 , logo
F=massa×aceleraçao= [M ] [L ]
[T ]2
Aplicando na equação (2) os resultados acima, teremos
[M ] [L ]
[T ]2
=k [L ] ⇒ [M ]
[L ]
[L ]
[T ]2
=k ⇒ k= [M ]
[T ]2
4
Note que a constante k tem que ter dimensão de massa ([M]) por tempo ao 
quadrado, ou seja, g/ s2 ou kg/s2 .
A seguir alguns exemplos de análise dimensional: 
1. Velocidade: 
se [ s] = L
e [ t] = T
2. Aceleração: 
3. Força: F = m · a
[F] = M1 · M0 · L1 · T–2
4. Trabalho e Energia: = F · d
[ ] = M1 · L1 · T–2 · L
5. Potência: 
5
6. Quantidade de movimento: Q = m · v
Q] = M1 · M0 · L1 · T–1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Faça a análise dimensional das equações abaixo e verifique quais estão 
dimensionalmente incorretas, onde:
v 0 é a velocidade inicial do objeto;
a é a aceleração do corpo;
x0 é a posição inicial do objeto;
Δx=x−x0 é o deslocamento;
g é a aceleração da gravidade; 
r é o raio de uma circunferência;
v é a velocidade
t é o tempo
W é o trabalho realizado
a) x=x 0+v 0 t+
1
2
at2 
b) v=v 0 +at
2
c) v=v 0
22a Δx
d) t=
v0sen θ
g
e) a=
v
r
f) W=F Δx cosθ
2) Nas equações abaixo, determine as dimensões das constantes G, μ , c e d:
a) F=G
M m
r2
b) f a=μ N , onde f a é a força de atrito e N é a força normal
c) F=c a3
d) F=d v , onde v é a velocidade
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Coerência de Unidades
O Sistema Internacional de Unidades - SI
“Todo o conhecimento que não pode ser expresso por números é de qualidade 
pobre e insatisfatória". (Lorde Kelvin, grande cientista britânico).
As informações aqui apresentadas irão ajudar você a compreender melhor e a 
escrever corretamente as unidades de medida adotadas no Brasil. A necessidade de medir é 
muito antiga e remota à origem das civilizações. Por longo tempo cada país, cada região, 
teve o seu próprio sistema de medidas, baseado em unidades arbitrárias e imprecisas, como 
por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado. Isso 
criava muitos problemas para o comércio, porque as pessoas de uma região não estavam 
familiarizadas com o sistema de medida das outras regiões. Imagine a dificuldade em 
comprar ou vender produtos cujas quantidades eram expressas em unidades de medida 
diferentes e que não tinham correspondência entre si.
Em 1789, numa tentativa de resolver o problema, o Governo Republicano Francês 
pediu à Academia de Ciências da França que criasse um sistema de medidas baseado numa 
"constante natural". Assim foi criado o Sistema Métrico Decimal. Posteriormente, muitos 
outros países adotaram o sistema, inclusive o Brasil, aderindo à "Convenção do Metro". O 
Sistema Métrico Decimal adotou, inicialmente, três unidades básicas de medida: o metro, o 
litro e o quilograma.
Entretanto, o desenvolvimento científico e tecnológico passou a exigir medições 
cada vez mais precisas e diversificadas. Por isso, em 1960, o sistema métrico decimal foi 
substituído pelo Sistema Internacional de Unidades - SI, mais complexo e sofisticado, 
adotado também pelo Brasil em 1962 e ratificado pela Resolução nº 12 de 1988 do 
Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial - Conmetro, 
tornando-se de uso obrigatório em todo o Território Nacional.
As unidades SI podem ser escritas por seus nomes ou representadas por meio de 
símbolos. 
Exemplos:
Unidade de comprimento Unidade de tempo Unidade de massa
 nome: metro nome: segundo nome: quilograma
 símbolo: m símbolo: s símbolo: kg
Os nomes das unidades SI são escritos sempre em letra minúscula. Exemplos: 
quilograma, newton, metro cúbico. As exceções ocorrem somente no início da frase e "grau 
Celsius"
O símbolo é um sinal convencional e invariável utilizado para facilitare 
universalizar a escrita e a leitura das unidades SI. Por isso mesmo não é seguido de ponto.
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Certo Errado
segundo s s. ou seg.
metro m m. ou mtr.
kilograma kg kg. ou kgr.
hora h h. ou hr.
O símbolo não tem plural, invariavelmente não é seguido de "s".
Certo Errado
cinco metros 5 m 5 ms
dois kilogramas 2 kg 2 kgs
oito horas 8 h 8 hs
Toda vez que você se refere a um valor ligado a uma unidade de medir, significa 
que, de algum modo, você realizou uma medição. O que você expressa é, portanto, o 
resultado da medição, que apresenta as seguintes características básicas:
Ao escrever uma unidade composta, não misture nome com símbolo.
Certo Errado
quilômetro por hora
km/h
quilômetro/h
km/hora
metro por segundo
m/s
metro/s
m/segundo
O prefixo quilo (símbolo k) indica que a unidade está multiplicada por mil. 
Portanto, não pode ser usado sozinho.
Certo Errado
quilograma; kg quilo; k
Use o prefixo quilo da maneira correta.
Certo Errado
quilômetro kilômetro
quilograma kilograma
quilolitro kilolitro
Principais Unidades Fundamentais do SI
Grandeza Nome Plural Símbolo
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comprimento metro metros m
tempo segundo segundos s
massa quilograma quilogramas kg
corrente elétrica ampère ampères A
tensão elétrica volt volts V
temperatura 
Celsius
grau Celsius graus Celsius ºC
temp. 
termodinâmica
kelvin kelvins K
Unidades Derivadas
Grandeza Nome Plural Símbolo
área metro quadrado metros quadrados m²
volume metro cúbico metros cúbicos m³
ângulo plano radiano radianos rad
velocidade metro por segundo metros por segundo m/s
aceleração metro por segundo 
por segundo
metros por segundo 
por segundo
m/s²
massa específica quilograma por metro 
cúbico
quilogramas por 
metro cúbico
kg/m³
vazão metro cúbico por 
segundo
metros cúbicos por 
segundo
m³/s
força newton newtons N
pressão pascal pascals Pa
trabalho, energia, 
quantidade de 
calor
joule joules J
potência, fluxo de 
energia
watt watts W
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2. CONVERSÃO DE UNIDADES E NOTAÇÃO 
CIENTÍFICA
Fatores de Conversão de Comprimento
Unidade km hm dam m dm cm mm
1 kilômetro 1 10 100 1000 10000 100000 1000000
1 hectômetro 0,1 1 10 100 1000 10000 100000
1 decâmetro 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000
1 metro1 metro 0,0010,001 0,010,01 0,10,1 11 1010 100100 10001000
1 decímetro 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100
1 centímetro 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10
1 milímetro 0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1
Embora a tabela seja útil, convém aprender a forma clássica de efetuar a conversão 
de unidades, conforme segue no exemplo:
Converter de km/h para m/s
10 km
h
x1000 m
1km
x 1h
60min
x1min
60 seg
=10x1000
60x60
=2,77m /s
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Converta as seguintes medidas de comprimento para cm
a) 2,5 m b) 1,3 km
c) 200 dam d) 10500 mm
Exemplos de conversão de unidades. Converter as seguintes medidas de áreas para km2 .
a) 100 m2 1 m = 0,001 km, então 1 m2 = (0,001 km)2
 1 m2 = 0,000001 km2
Logo: 100 m2 = 100 x 0,000001 km2 
 100 m2 = 0,0001 km2
b) 150 hm2 1 hm = 0,1 km, então 1 hm2 = (0,1 km)2 
1 hm2 = 0,01 km2
Logo: 150 hm2 = 150 x 0,01 km2
 150 hm2 = 1,5 km2
c) 100000 dm21 dm = 0,0001 km, então 1 dm2 = (0,0001 km)2 
1 dm2 = 0,00000001 km2
10
Logo: 100000 dm2 = 100000 x 0,00000001 km2
 100000 dm2 = 0,001 km2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2) Converta as seguintes medidas de áreas para m2
a) 1 km2 b) 5 dam2
c) 2,5 mm2 d) 3 cm2
3) Converta as seguintes medidas de volume para m3
a) 1,85 cm3 b) 11,5 mm3
c) 3,2 dam3 d) 0,1 km3
Fatores de Conversão de Tempo
Unidade s min h dia ano
1 segundo 1 0,01667 0,0002778 0,00001157 0,00000003169
1 minuto 60 1 0,01667 0,0006994 0,000001901
1 hora 3600 60 1 0,04167 0,0001141
1 dia 86400 1140 24 1 0,002738
1 ano 31536000 525900 8766 365,2 1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4) Converta as seguintes medidas de tempo em segundos
a) 1h10min b) 1semana
c) 48h d) 2h26min
5) Converta:
e) 300 dias em segundos
f) 89000 segundos em dia, hora, minutos e segundos
g) 35 km/h em m/s
h) 100 m/s em km/h
1km = 1000m 1dia = 24h 1N.m = 1J
1m = 100cm 1h = 60min 1cal ≈ 4,2J
1cm = 10mm 1min = 60s 1kWh = 3,6x106J
pol (in) = 2,54cm 1h = 3600s
pé (ft) = 30,48cm 1m3 = 103l
milha (mi) = 1609m 1ton = 103kg 1ml = 1cm3
jarda (Yd) ≈ 0,91m 1kg = 103g 1000ml = 1l
onça (oz) = 28,7g galão (gal) = 4,55 l
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1kg/m3 = 103g/m3 libra (lb) = 454g
1kg/l = 103 kg/m3 1A = 1C/s
1 g/cm3 = 103 kg/m3 1m/s = 3,6km/h 1V = 1J/C
1mph ≈ 1,6 km/h
1J/s = 1W 1Pa = 1N/m2
1cv ≈ 735W 1Kgf = 9,8N 1atm = 760mmHg
1HP 746W 1atm ≈ 105N/m2
1N/m2 ≈ 10-5kgf/cm2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
6) Converta:
a) 600 W em HP
b) 35 Hp em cv
c) 3,5 cv em J/s
d) 500mmHg em kgf/cm2
e) 15 m/s em km/h
f) 1000 pol em km
g) 10 jardas em milhas
h) 3500 ml em galões
Conversão de Temperatura
Conversão de para Fórmula
Celsius Fahrenheit °F = °C × 1,8 + 32 
Fahrenheit Celsius °C = (°F − 32) / 1,8
Celsius Kelvin K = °C + 273,15
Kelvin Celsius °C = K − 273,15
7) Converta
 a) 109 °F em K
 b) -50 °C em K
 c) 300 K em °C
Notação Científica
Como visto anteriormente, o trabalho em laboratório exige que se trabalhe com 
números de diversas ordens de grandezas, ficando difícil o manuseio de números muito 
pequenos ou grandes. Para isso, a notação científica supre a necessidade do uso de números 
com tamanhos mais coerentes e fáceis de trabalhar.
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A notação científica possui algumas regras simples de serem utilizadas, são elas:
1. Utilizar apenas um algarismo significativo antes da vírgula;
2. Este número não pode ser menor do que 1 (um) e nem maior que 9 (nove).
3. Escrever os algarismos após a vírgula seguido do número 10n onde, a potência n é o 
número de casas em que se andou com a virgula até ficar apenas um número a esquerda da 
vírgula.
Exemplos:
3563 , 2m  3,5632×103m
0,000001234mm  1,234×10−6 mm
0,02m × 0,13 m=2,0×10−2m× 1,3×10−1m=2,0×1,3×10−2−1=2,6×10−3m
6,31×10−5m 3=6,31 3× 10−53 m3=251 , 2396×10−15 m3=2,512396×10−13 m3
A questão de poder arredondar os números acima faz a necessidade de algumas 
regras especiais que veremos no tópico seguinte.
Devido ao uso da notação científica, o Bureau Internacional de Pesos e Medidas 
recomendou os seguintes prefixos:
Ordem de Grandeza Prefixo Abreviatura
10−18 atto a
10−15 femto f
10−12 pico p
10−9 nano n
10−6 micro µ
10−3 mili m
10−2 centi c
10−1 deci d
101 deca da
102 hecto h
103 quilo k
106 mega M
109 giga G
1012 tera T
1015 peta P
1018 exa E
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
8) Escreva em notação científica as seguintes medidas:
a) 0,00005 b) 300,2 
c) 0,00000000198 d) 230120,2 
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Algarismos Significativos
Suponha que estejamos realizando a medida de alguma peça como mostrado na 
figura 1. Pode-se observar que o comprimento da peça está entre 7 e 8 centímetros. Qual 
seria o algarismo que viria após o 7? Apesar da menor divisão da régua ser 1cm, é razoável 
fazer uma subdivisão mental do intervalo compreendido entre 7 e 8cm. Desta maneira, 
representa-se o comprimento da peça como sendo 7,3cm. O algarismo 7 desta medida foi 
lido com certeza, porém o 3 não. Não se tem certeza do algarismo, por isso, ele é 
denominado como algarismo duvidoso.
Figura 1: Desenho esquemático de medida de um objeto qualquer.
A regra geral, portanto, é que se deve apresentar a medida com apenas os algarismos 
de que se tem certeza mais um único algarismo duvidoso. Estes algarismos são 
denominados algarismos significativos da medida.
É importante salientar que, em uma medida, os zeros à esquerda do número, isto é, 
que posicionam a vírgula, não são algarismos significativos. Exemplos:
1. a medida 0,023cm tem somente dois algarismos significativos, o 2 e o 3;
2. a medida 0,348cm temtrês algarismos significativos;
3. a medida 0,0040000cm tem cinco algarismos significativos, o número 4 e os quatro 
zeros a sua direita.
Critérios de Arredondamento
Quando se tem que trabalhar com várias medidas com diferentes números de 
algarismos significativos, é necessário exprimir estas medidas segundo a norma de que 
deve se ter apenas um algarismo duvidoso. Então, os critérios (Portaria 36 de 06/07/1965 - 
INPM - Instituto Nacional de Pesos e Medidas) adotados são:
1. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 0 a 4, 
conservamos o algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes.
Ex.: 7,34856 → 7,3
2. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 6 a 9, acrescenta-
se uma unidade no algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes.
Ex.: 1,2734 → 1,3
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3. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for 5, seguido apenas 
de zeros, conservamos o algarismo se ele for par ou aumentamos uma unidade se 
ele for ímpar desprezando os seguintes.
Ex.: 6,2500 → 6,2
 12,350 → 12,4
Se o 5 for seguido de outros algarismos dos quais, pelo menos um é diferente de zero, 
aumentamos uma unidade no algarismo e desprezamos os seguintes.
Ex.: 8,2502 → 8,3
 8,4503 → 8,5
Operações com Algarismos Significativos
Este assunto é de grande importância devido ao fato de necessitar envolver em uma 
equação matemática, como a cálculo do volume, várias grandezas físicas medidas com 
diferentes algarismos diferentes, obtidas com aparelhos de classe de precisão diferentes. 
Por isso, iremos aprender as quatro operações básicas com as medidas.
Adição
O resultado da adição de várias medidas é obtido arredondando-se a soma na casa 
decimal da parcela mais pobre em decimais, após efetuar a operação.o.
Ex: 12,56 + 0,1236 = 12,6836 = 12,68
Subtração
A subtração é um caso particular da adição, adotando-se, dessa forma o mesmo 
critério da adição.
Ex: 18,2476 – 16,72=1,5276 = 1,53
Multiplicação 
O produto de duas ou mais medidas deve possuir, em geral, o mesmo número de 
algarismos significativos da medida mais pobre em algarismos significativos.
Ex: 3,1415x180 = 5,65x102
Divisão
A divisão é simplesmente um caso particular do produto, portanto aplica-se a regra 
anterior.
Ex: 63,72 / 23,1 = 2,758441558 = 2,76
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
9) Efetue as operações abaixo e represente o resultado em notação científica
a) 3 .45 m+123.47 m−0 .0354 m
b) 3 .12×105cm+2 .69cm
c) 50 .72m+7200 .0cm
d) 5 .24 mm×0 . 73m
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3. ESTUDO DE ERROS EM MEDIDAS
A medida de uma grandeza é obtida, em geral, através de uma experiência, na qual o 
grau de complexidade do processo de medir está relacionado com a grandeza em questão e 
também com o processo de medição. Por isso, este tópico visa introduzir conceitos 
importantes sobre erros de medidas.
Erros de uma Medida
A determinação do erro de medida não é simples, pois há na maioria dos casos uma 
combinação de inúmeros fatores que influem, de forma decisiva, no resultado da medição. 
Portanto, o erro “verdadeiro” de uma medida é sempre impossível de conhecer, sendo 
possível apenas uma estimativa do erro máximo aceitável. Nesta seção irar-se-á dar uma 
pequena introdução sobre tipos de erros e o cálculo do erro aleatório provável.
Existem diversas classificações de erros na literatura especializada, entretanto, há 
três principais que são:
1. Erro de escala: é o erro associado ao limite de resolução da escala do 
instrumento de medida;
2. Erro sistemático: é o erro em que o medidor sofre, de maneira 
constante, em todo o processo de medição. No momento da descoberta 
da sua origem, o erro é possível de ser sanado;
3. Erro aleatório: é o erro que decorre de perturbações estatísticas 
impossíveis de serem previstas, sendo assim, difícil de evitá-los.
O erro aleatório pode ser calculado utilizando-se os postulados de Gauss, que por 
motivo de brevidade não será citado aqui, entretanto, aos estudantes interessados neste 
assunto consulte o livro Introdução ao Laboratório de Física.
O valor mais provável de uma grandeza é a média aritmética das diversas medidas 
da grandeza, sendo representado por x :
x=
x1+x 2. ..+x n
n
=1
n∑i=1
n
xi
onde n é o número de medidas. Devido à natureza estatística do erro aleatório, é possível 
estimar apenas seu valor provável, dado pelo cálculo do desvio padrão :
σ= x1−x 2 x2−x 2.. .xi−x 2n−1
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Como exemplo da teoria acima proposta, dada a seguinte tabela abaixo, com valores 
de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer, iremos calcular o seu valor 
mais provável (média) e o seu desvio padrão.
Medida Comprimento (m)
1 1.42
2 1.40
3 1.38
4 1.41
5 1.43
6 1.42
7 1.39
8 1.40
Utilizando o símbolo C para o valor mais provável da medida (média), obtida 
através de:
 
C=1
8
1 .421 .401 .381 .411. 431 .421 .391.40 =11.25
8
=1. 4 0625 m
C=1 .41m
O desvio padrão será dado por
σ= 1.42−1 .41 21.40−1.41 21 .38−1.41 21 .41−1 .4121.43−1.41 21 .42−1 .4121 .39−1.41 21 .40−1 .4128−1
σ= 0 . 00010 . 00010 . 000900 . 00040 .00010 .00040 .00017
σ= 0.01 732m ⇒ σ= 0.02m
Portanto, o modo correto de representar o valor mais provável do corpo de prova e o 
seu respectivo erro é o seguinte:
1 .41±0.02 m
Note que o número de casas após a virgula para ambos os valores têm que ser 
compatíveis.
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Propagação de Erros
Este assunto é de grande relevância em todas as áreas de atividade onde são 
realizadas medidas experimentais. O objetivo deste assunto é justamente estudar a 
propagação de erros associados a cada medida em particular.
Seja uma grandeza y que depende de outras grandezas x1 , x2 , . Então, a 
grandeza y pode ser escrita da seguinte forma:
y=f x1 ,x2 ,
A variação infinitesimal de qualquer uma das variáveis xi provoca também uma 
variação infinitesimal em y. Podemos expressar essa variação através da diferencial exata 
abaixo
dy= ∂ f∂ x1  dx1 ∂ f∂ x2 dx 2
Realizando uma analogia entre variações infinitesimais e os desvios (erros) das 
variáveis, uma vez que ambos representam variações tem-se
Δy=  ∂ f∂ x1  Δx1 ∂ f∂ x2 Δx 2
Com a equação acima, considera-se a situação na qual os erros, atuando no mesmo 
sentido, somam-se. Isto é possível tomando-se o modulo das derivadas parciais da equação 
acima.
Exemplo: Calcularemos o volume de um cilindro de comprimento 
L=  4,00±0,1  mm e diâmetro D= 2,00±0,2 mm .
O volume do cilindro é V= π D
2L
4
=
π 2,00 24,00
4
=12,566 mm3=12 .6 mm3
Agora iremos utilizar os erros das medidas com comprimento e diâmetro do cilindro
V=f  D,L ⇒ ΔV=∣∂V
∂D
∣ ΔD+∣∂V
∂L
∣ ΔL⇒ΔV=∣π DL
2
∣ΔD+∣π D
2
4
∣ ΔL
ΔV=∣π ×2,00×4,00
2
∣0 .2∣π× 2,00 
2
4
∣ 0 . 1=2 .513mm30 .3141 mm3
ΔV= 2.8 273mm3 ⇒ ΔV= 2. 8 mm3
19
O resultado final deve ser expresso da seguinte maneira:
V= 12.6±2. 8  mm3
Erro Propagado nas Operações Básicas
Abaixo estão listadas as equações do erro propagado para as operações mais 
utilizadas.
Adição: x±Δx  y±Δy = x+y± Δx+Δy 
Subtração: x±Δx − y±Δy = x− y ± Δx+Δy 
Multiplicação: x±Δx . y±Δy = x . y ±x . Δy+y . Δx 
Divisão: x±Δx ÷ y±Δy = x÷ y ±
x . Δy+y . Δx 
y2
Potenciação: x±Δx n=x n±n . xn−1 . Δx
Logaritmação natural: ln  x±Δx =ln  x ±
Δx
x
Logaritmação decimal: log  x±Δx =log x ±0 . 4343 .
Δx
x
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Mediram-se, experimentalmente, o período e o comprimento de um pêndulo simples, 
obtendo-se os seguintes resultados: L=59 , 90±0,05 cm e T=1,555±0,001 s .Utilizando a equação do pêndulo simples T=2π  Lg , calcule o valor da aceleração da 
gravidade (g).
2) Em uma mola de constante elástica k=2,256±0,003×104 dyn/cm colocou-se a 
oscilar uma massa m=249 , 86±0,01g . Calcule o período do oscilador para os valores 
dados acima, sabendo que ele está relacionado com a massa e a constante elástica através 
da equação T=2π mk .
20
4. COMO ELABORAR UM RELATÓRIO
Como elaborar um relatório
Um bom relatório depende de uma boa tomada de dados. Procure organizar-se de 
maneira a anotar durante a prática todas as informações relevantes de uma forma 
posteriormente intelígvel. Use um caderno apropriado para essas anotações, ao invés de 
usar folhas avulsas. O seu relatório deve descrever, nas suas palavras, a experiência 
efetuada, justicar o procedimento escolhido, apresentar e discutir os dados medidos e 
finalmente tirar conclusões. O relatório pode ser dividido em várias partes. Por exemplo:
Introdução: Resumo teórico para situar a experiência. Exposição dos conceitos teóricos 
que vai usar. Referências à literatura pertinente (Livros texto, livros de referência, 
internet, etc...).
Objetivos: Descrição concisa do que se pretende obter da experiência. 
Equipamento e Procedimento Experimental: Descrição do equipamento e/ou diagrama 
do arranjo experimental. Descrição do procedimento seguido em aula. Descreva o 
que você fez, não necessariamente o procedimento proposto, justicando e discutindo 
a escolha. Avaliação ou estimativa dos erros nos dados devido aos aparelhos e 
procedimentos usados.
Dados Experimentais e Análise: Apresentação dos dados coletados, através de tabelas, 
gráficos etc. Tratamento dos dados brutos (usando algum modelo teórico) 
chegando a valores finais, junto com a avaliação final do erro. Não e necessário e 
nem deve ser indicada cada conta efetuada, mas deve ficar claro como chegou ao 
resultado.
Conclusões: Discussão dos resultados obtidos. Sempre que possível, comparar os 
resultados com os conhecidos ou esperados teoricamente, discutindo as diferenças 
e as possíveis fontes de erro. Se usou vários métodos, comparar os métodos. 
Para experiências simples, os itens Introdução e Objetivos podem muito bem ser 
tratados em uma única seção. Em todos os itens, deve-se fazer referência aos livros texto, 
apostilas, sites na internet, etc.
Mais alguns detalhes que devem ser levados em conta durante a confecção do 
relatório:
• Unidades para cada grandeza.
• Avaliação de erros nas suas medidas (e, se for o caso, propagar os erros nos 
resultados finais).
21
• Legendas das figuras.
• Numerar as figuras e gráficos e se referir neles no texto.
• Mencionar a data da realização da experiência.
• Se usar textos ou figuras de outras fontes (esta apostila, internet, livros, artigos, 
relatórios de colegas...), deixe isto claro, colocando entre “aspas", e dê a referência!
22
5. COMO FORMATAR GRÁFICOS
Nas atividades experimentais, muitas vezes, precisamos estudar como uma 
propriedade ou quantidade depende ou varia com relação a outra. Por exemplo, para medir 
o poder de aceleração de um carro, medimos como a sua velocidade se modica em função 
do tempo. Dados desse tipo são apresentados na Tabela abaixo
t (s) v (km/h)
0 42±7
5 67±7
10 101±7
15 134±7
20 161±7
25 183±7
30 196±7
35 200±7
O gráfico desses dados (Figura 1) permite visualizar imediatamente o 
comportamento da velocidade em relação ao tempo. Uma imagem vale mil palavras, e um 
gráfico é uma maneira muito eficiente de resumir e apresentar os seus dados. É importante 
que o gráfico se conforme a certas convenções ou regras que todo mundo conhece. Assim 
outras pessoas podem interpretar os seus resultados imediatamente. Em seguida vamos 
apresentar as regras para produzir gráficos em um formato profissional.
Figura 2: Velocidade de um automóvel acelerando.
23
Regras práticas para construção de gráficos
Conforme o exemplo da Figura 1.1, um gráfico contém os seguintes elementos:
1. Eixos com nome da variavel representada, escala e unidade.
2. Os dados e, se apropriado, as barras de erro.
3. Legenda e ttulo.
Os eixos
Cada um dos eixos deve conter o nome (ou símbolo) da variável representada, a 
escala de leitura e a unidade correspondente. Escolha uma escala conveniente para a qual o 
gráfico represente bem o intervalo medido para cada variável. A regra prática para esta 
denição é dividir a faixa de variação de cada variável pelo número de divisões principais 
disponíveis. Toma-se então um arredondamento a valor superior e de fácil leitura. Estes 
valores de fácil leitura são: 1, 2 ou 5 unidades ou qualquer múltiplo ou submúltiplo de 10 
delas. Por exemplo, no papel milimetrado, se a faixa de variação dos dados for de 35 
unidades e o número de cm disponíveis for de 10 cm, chegamos ao valor ideal de 5 
unidades para cada divisão do gráfico
No caso da Figura 2, a variável tempo varia 35s e temos mais ou menos 10 divisões 
principais, o que daria 3,5 s por divisão, o que não e conveniente. Portanto escolhemos 5s 
por divisão. Da mesma maneira foi escolhido 20km/h por divisão no eixo y. As escalas dos 
eixos não precisam comecar na origem (zero, zero). Elas devem abranger a faixa 
devariação que você quer representar. É conveniente que os limites da escala correspondam 
a um número inteiro de divisões principais. Indique os valores correspondentes as divisões 
principais abaixo do eixo-x e a esquerda do eixo-y usando números grandes.
As unidades devem ser escolhidas de maneira a minimizar o número de dígitos nos 
valores que indicam o valor da divisão principal. Uma regra prática é tentar usar no 
máximo três dígitos nestes valores, fazendo uso de potências de 10 na expressão das 
unidades para completar a informação. Ao traçar os eixos no papel milimetrado, não use a 
escala marcada no papel pelo fabricante. É você que define a sua escala, baseando-se nos 
seus dados. Também não use os eixos nas margens do papel. Desenhe os seus próprios, 
porque você precisará de espaço para a identicação das variáveis e para a legenda. Por fim, 
abaixo ou à esquerda dos números da escala, conforme o caso, escreva o nome (ou 
símbolo) da variável correspondente e a unidade para leitura entre parênteses (km, 
105N/cm2, etc.).
Os dados
Assinale no gráfico a posição dos pontos experimentais: use marcas bem visíveis 
(em geral círculos pequenos). Nunca indique as coordenadas dos pontos graficados no eixo. 
Coloque barras de erros nos pontos se for o caso. Se os erros são menores que o tamanho 
dos pontos, indique isso na legenda. As vezes ajuda a visualização traçar a melhor curva 
média dos pontos, ignorando alguns pontos que fogem demasiadamente do comportamento 
médio. Em outras palavras, pode-se dizer que a curva média deve ser traçada de maneira a 
24
minimizar os deslocamentos da curva em relação aos pontos experimentais ao longo do 
traçado. Use o seu juízo. Não é correto simplesmente ligar os pontos experimentais.
A legenda e o título
Todo gráfico deve ter um título, pelo qual é referido no texto (Figura 1.1, no nosso 
exemplo). Geralmente, o título do gráfico é colocado na legenda, abaixo do gráfico. A 
legenda deve conter também uma descrição suscinta do que é apresentado no gráfico. Note 
que uma legenda tipo “velocidade vs. tempo" é redundante pois esta informação já está 
contida nos rótulos dos eixos.
Na Figura 3, ilustramos os erros mais comuns, que devem ser evitados na 
construção de graáfico.
Figura 3: Ilustração dos erros mais comuns que devem ser evitados na construção de gráficos.
25
6. PAQUÍMETRO E MICRÔMETRO
O PAQUÍMETRO
O paquímetro é um instrumentoutilizado para medir diâmetros internos e externos 
de pequenos orifícios, anéis e esferas, pois este instrumento tem como sua escala principal 
o milímetro.
Um aspecto importante deste instrumento é que este possui uma escala auxiliar 
denominada de nônio, cuja leitura na escala principal só pode ser efetuada utilizando-se 
como referência o zero do nônio.
A leitura no nônio é dada diretamente pelo traço do nônio que coincidir com 
algum traço da escala principal.
É importante notar que a precisão deste instrumento é de 0.05 milímetros.
Figura 4. Elementos do paquímetro. 1: encostos, 2: orelhas, 3: haste de profundidade, 4: escala 
inferior (graduada em centímetros), 5: escala superior (graduada em polegadas), 6: nônio ou vernier 
inferior (cm), 7: nônio ou vernier superior (polegada), 8: trava.
O MICRÔMETRO
O micrômetro é um instrumento utilizado para medir apenas diâmetros externos 
como anéis e esferas de pequenas proporções. Este instrumento também tem como sua 
escala principal o milímetro.
É importante notar que a precisão deste instrumento é de 0.01 milímetros, portanto, 
bem mais preciso do que o paquímetro.
Figura 5. Elementos do micrômetro
26
PRÁTICA
PAQUÍMETRO E MICRÔMETRO
OBJETIVO
A finalidade desta experiência é familiarizar o aluno com algumas técnicas 
de medidas, cuidados experimentais no laboratório, algarismos significativos, 
desvios avaliados e propagação de erros, utilizando instrumentos de medida muito 
simples (paquímetro e micrômetro). 
MATERIAIS UTILIZADOS
1. Esferas, cilindros e cubo metálicos;
2. Paquímetro e Micrômetro .
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Realizar 10 medições, usando o paquímetro e micrômetro, para o diâmetro 
da esfera, a altura e o diâmetro do cilindro, e a aresta do cubo;
2. Calcular o valor mais provável e o erro padrão da média, para cada uma 
das medidas (para ambos os instrumentos);
3. Calcular o volume e o erro do volume para cada uma das peças, para 
ambos os instrumentos.
CONCLUSÕES
Através das seguintes questões, monte suas conclusões:
1. De quanto é a diferença entre os volumes obtidos através do paquímetro e 
micrômetro?
2. Como você explicaria esta diferença encontrada?
3. Qual dos instrumentos você utilizaria para outras medidas?
27
7. TEMPO DE REAÇÃO HUMANA
O que é o “tempo de reação humana” ? Vamos defini-lo como o tempo necessário 
para que uma pessoa reaja a um determinado estímulo externo (visual, sonoro etc). O tempo 
de reação é muito importante para o sucesso em atividades que exigem respostas rápidas, 
principalmente atividades esportivas (goleiro de futebol, corredor, piloto de corrida etc). 
Um exemplo: quando o corredor Donovan Bailey bateu o recorde dos 100 m na Olimpíada 
de 1996, atrasou 0,17s (tempo de reação) na largada, e bateu o recorde por uma diferença 
de apenas 0,01s em relação ao recorde anterior. No caso das corridas automobilísticas, uma 
diferença de alguns centésimos de segundo no tempo de reação ao sinal de largada pode 
significar uma diferença de duas ou três posições na prova.
A seguir vamos propor uma experiência para medir o tempo de reação humana. 
Embora seja um experimento bastante simples, que não fornece um resultado muito 
preciso, ele permite uma avaliação aproximada do tempo de reação.
A idéia é medir o tempo que uma pessoa leva para perceber que um objeto está 
caindo e reagir a isso fechando a mão para interromper a queda do objeto. O tempo de 
reação será determinado a partir do quanto o objeto andou, desde o momento em que foi 
largado pelo experimentador até o instante em que a pessoa fechou os dedos e o segurou.
Um experimentador deve segurar o objeto pela extremidade superior, deixando sua 
extremidade inferior exatamente entre os dedos (abertos) da pessoa que terá o tempo de 
reação medido. Em um determinado instante, sem avisar, o experimentador solta o objeto e 
a pessoa deve fechar os dedos para segurá-la.
Recomendamos o uso de uma régua de 30 cm ou maior, pois assim pode-se medir 
quanto o objeto andou diretamente pela escala da régua.
A conversão desta distância em tempo, para saber o tempo de reação, pode ser feita 
partindo-se da equação horária da posição de um movimento uniformemente variado 
(a queda de um objeto é um “movimento uniformemente variado”, certo ? Por quê ?)
28
Equação do movimento uniformemente variado: x = x0 + v0.t + a.t2/2 (I)
No caso da queda livre de um objeto, x é a posição do corpo no tempo t e x0 é a 
posição inicial do corpo. A distância que o objeto percorreu na queda é exatamente x - x0, 
que chamaremos de Δx.
Em nosso caso, a velocidade inicial do corpo (v0) é zero porque o experimentador 
apenas soltou o objeto. O que faz o objeto cair é a ação da gravidade; assim, a aceleração a 
que o objeto tem durante a queda é igual à aceleração da gravidade (9,8 m/s2).
Colocando estas informações na equação I, chega-se à expressão que permite 
calcular o tempo de reação:
t REAÇÃO (s) ~ √ Δx (m) / 4,9
Exercício: obtenha a equação acima.
Você pode fazer este experimento com diversas pessoas e descobrir o tempo de 
reação humana típico. Repita o experimento 10 vezes com cada pessoa, para chegar a uma 
conclusão mais confiável, pois os valores obtidos através deste experimento apresentam 
uma imprecisão natural (dispersão). Tente mudar de experimentador (quem solta a régua) e 
verifique se isto também influencia o resultado.
Esta forma de medir o tempo de reação mede na verdade o tempo de reação à 
estimulo visual, pois a pessoa detecta visualmente que o objeto foi largado. Você também 
pode medir o tempo de reação à estimulo sonoro com o mesmo experimento, bastando para 
isso falar “JÁ” no instante em que se solta o objeto. Neste caso, há diferença se a pessoa 
estiver de olhos abertos ou fechados ? E se estiver olhando para outro lado ? Por quê ? 
Repita o experimento várias vezes.
Outra questão que podemos colocar a respeito deste experimento é a seguinte: será 
que, em horários diferentes do dia, o tempo de reação para uma determinada pessoa varia ? 
Em caso de resposta afirmativa, como poderíamos explicar isso ?Objetivo
29
8. PÊNDULO SIMPLES
OBJETIVO
O objetivo deste experimento é obter a aceleração da gravidade fazendo-se uso de 
um pêndulo simples. Iremos ver que, basta realizar apenas as medidas do tempo de 
oscilação deste pêndulo para o cálculo da aceleração. Em vista dessa simplicidade, iremos 
aprender a seguir como isso é possível.
TEORIA
Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô que 
permite sua movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora causada 
pela gravidade. Existem inúmeros pêndulos estudados por físicos, já que estes descrevem-
no como um objeto de fácil previsão de movimentos e que possibilitou inúmeros avanços 
tecnológicos, alguns deles são os pêndulos físicos, de torção, cônicos, de Foucalt, duplos, 
espirais, de Karter e invertidos. Mas o modelo mais simples, e que tem maior utilização é o 
Pêndulo Simples.
Este pêndulo consiste em uma massa presa a um fio flexível e inextensível por uma 
de suas extremidades e livre por outra.
Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o pêndulo realiza 
oscilações. Ao desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam sobre o 
pêndulo são a tensão com o fio e o peso da massa m. Desta forma:
30
A componente da força Peso que é dado por P.cosθ se anulará com a força de 
Tensão do fio, sendo assim, a única causa do movimento oscilatório é a P.senθ. Então:
 
No entanto, o ângulo θ, expresso em radianos que por definição é dado pelo 
quociente do arco descrito pelo ângulo, que no movimento oscilatório de um pêndulo é x e 
o raiode aplicação do mesmo, no caso, dado por ℓ, assim:
 
Onde ao substituirmos em F:
 
Assim é possível concluir que o movimento de um pêndulo simples não descreve 
um MHS, já que a força não é proporcional à elongação e sim ao seno dela. No entanto, 
para ângulos pequenos, 
 
, o valor do seno do ângulo é aproximadamente igual a 
este ângulo.
Então, ao considerarmos os caso de pequenos ângulos de oscilação:
 
Como P=mg, e m, g e ℓ são constantes neste sistema, podemos considerar que:
 
Então, reescrevemos a força restauradora do sistema como:
 
Sendo assim, a análise de um pêndulo simples nos mostra que, para pequenas 
oscilações, um pêndulo simples descreve um MHS.
Como para qualquer MHS, o período é dado por:
31
 
e como
 
Então o período de um pêndulo simples pode ser expresso por:
 
E a aceleração da gravidade pode ser obtida da seguinte relação:
g= 4π
2
t2
. r
32
PRÁTICA
PÊNDULO SIMPLES
OBJETIVO
Determinar a aceleração da gravidade local fazendo uso de um pêndulo simples. 
MATERIAIS UTILIZADOS
Para a realização deste experimento, iremos utilizar os seguintes materiais:
• Um cronômetro, para medidas do tempo de oscilação do pêndulo;
• Uma trena para medida do comprimento do barbante;
• Um paquímetro para medir o diâmetro da esfera;
• Uma haste com um barbante de comprimento a ser determinado, ligando a haste 
até uma esfera metálica;
• Um transferidor.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Para atender ao objetivo deste experimento, faz-se necessário seguir os seguintes 
procedimentos abaixo:
1. Ajuste o comprimento do fio do pêndulo de modo que tenha uma medida pré­
determinada   da   ponta   do   fio   ao   centro   de   massa   do   pêndulo.   Meça   o 
comprimento, em metros,  do pêndulo;
2. Para a realização do experimento, desloca­se a esfera  da posição de equilíbrio, 
até um ângulo θ, obedecendo a relação de que este ângulo não deve ser maior do 
que 15º.
3. Após ter deslocado a massa e determinado uma posição inicial de lançamento, 
solta­se a massa e marca­se o tempo de 10 oscilações completas, repetindo esta 
operação 10 vezes para cada comprimento L do fio;
4. Calcular a média e o erro padrão da média do tempo;
5. Calcular a aceleração da gravidade local, em metros por segundo ao quadrado (
m /s2 ).
6. Comparar a medida da aceleração gravitacional obtida experimentalmente em 
sala  de  aula   (aceleração  determinada  pela   equação  do  período  utilizando  os 
dados experimentais) com o valor existente na literatura científica  e determine o 
desvio percentual;
7. Discuta os desvios encontrados entre os valores de g (valor obtido em sala de 
aula com o da literatura);
8. Comente   sobre   a   variação   do   período   com   a   massa   do   pêndulo.   Há 
dependência? Justifique.
33
9. EMPUXO
OBJETIVO
O objetivo deste experimento é calcular o volume de um sólido utilizando o 
Princípio de Arquimedes e também através do cálculo geométrico.
TEORIA
O empuxo é uma força que atua nos corpos quando imersos total ou parcialmente 
em um fluído. Sua descrição segue o princípio de Arquimedes segundo o qual ele é uma 
força igual ao peso do fluído deslocado e atuando na mesma direção e sentido contrário ao 
peso.
Matematicamente, o empuxo (E) pode ser escrito em termos das densidades e do 
volume do fluído deslocado:
onde ml é a massa do fluído deslocado, Vl é seu volume, d é a densidade do fluído (d = 
massa/volume) e g é a aceleração da gravidade. 
Um corpo imerso em um fluído está sujeito, pelo menos, a força peso (P) e ao 
empuxo ( E ), como ilustrado abaixo. 
Figura 7. Um corpo imerso em um fluído
O sistema segue a lei de Newton, portanto:
• se P > E o corpo afunda;
• se P < E ele sobe;
• se P = E ele flutua.
Conhecendo o princípio de Arquimedes podemos estabelecer o conceito de peso 
aparente (Pa), que é o responsável, no exemplo dado da piscina, por nos sentirmos mais 
leves ao submergir.
34
Peso aparente é o peso efetivo, ou seja, aquele que realmente sentimos. No caso de 
um fluido:
E= P−Pa
ml . g=mc . g−ma . g
ml=mc−ma
ρ l .V=mc−ma
V=
mc−ma
ρl
onde P é o peso do corpo, ml é massa do líquido deslocada (água), mc é a massa do corpo e 
ma é a massa aparente do corpo
35
PRÁTICA
EMPUXO
Lista de Materiais
Para a realização deste experimento, iremos utilizar os seguintes materiais:
1. Uma balança de pratos;
2. Pesos graduados, em gramas;
3. Um corpo de prova;
4. Um béquer com água
Experimento
1. Meça a massa do corpo de prova com o uso da balança, mc;
2. Meça a massa aparente do corpo, ma, utilizando o seguinte esquema abaixo:
Figura 8. Esquema do experimento do empuxo
3. Calcule o volume do corpo de prova através da equação:
V=
mc−ma
ρáqua
4. Calcule agora o volume do corpo através da seguinte equação:
36
V= π D
2L
4
5. Responda a seguinte pergunta: Houve diferença no volume obtido por ambos os 
métodos? Se houve, como explicaria isso?
37
10. SISTEMA MASSA-MOLA 
 (PAPEL MILIMETRADO)
OBJETIVO
O objetivo deste experimento é calcular a constante elástica da mola, k, através de 
um experimento simples com um sistema massa-mola e com o auxilio de um papel 
milimetrado.
TEORIA
Iremos utilizar a lei de Hooke que relaciona força com o deslocamento da massa, 
através da seguinte equação:
F=−k x (1)
onde F é a força em newtons, x é o deslocamento em metros e, k é a chamada constante 
elástica da mola. É importante salientar que, o sinal negativo presente na equação acima 
indica que esta força é restauradora, ou seja, é uma grandeza vetorial sempre no sentido 
contrário a grandeza vetorial do deslocamento x.
Supondo um sistema massa-mola na vertical, como mostrado na Figura 1, a força F 
passará ser a força peso da massa, com isso teremos :
Figura 9: Balança de Joly.
F=−k x
38
P=mg
PF=0
m g- k x=0 m g=k x
k= m
x
g
onde m é a massa e g a gravidade. 
Note que podemos obter a constante k através das quantidades m, x e g. É com essa 
relação que iremos obter a constante elástica da mola, k, na prática seguinte, onde a relação 
m/x será o coeficiente angular da reta obtida através do gráfico em papel milimetrado, ou 
seja:
k=a .g (3)
onde a é o coeficiente angular da reta obtida experimentalmente.
39
PRÁTICA
SISTEMA MASSA-MOLA
Lista de Materiais
Para a realização deste experimento, iremos utilizar os seguintes materiais:
4. Uma balança de Joly;
5. Fichas graduadas, em gramas;
Experimento
3. Verifique se o prato da balança está em zerada na régua graduada em centimentros;
4. Acrescente uma ficha graduada e anote o deslocamento do prato na régua. 
Acrescente mais fichas, uma de cada vez e sem tirar as já colocadas, e anote o 
deslocamento:
5. Preencha a tabela abaixo com os valores massa (gramas) por deslocamento 
(centimentros):
Massa (g) Deslocamento (cm)
6. Coloque os pares de pontos da tabela acima em um papel milimetrado. Utilize o 
eixo y para os pontos relativos a massa e, o eixo x para os pontos relativos ao 
deslocamento;
7. Passe uma única reta de tal modo a cobrir todos os pontos experimentais no gráfico. 
Note que não será possível fazer com que a reta atinja todos os pontos;
8. Calcule o coeficiente angular da reta obtida escolhendo para isso, dois pares de 
pontos não consecutivos, através da relação abaixo:
a=
m2−m1
d2−d1
9. Calcule a constante elástica da mola, k, utilizando a equação (3). Cuidado, o 
coeficiente angular e a aceleração da gravidade, g, estão com as unidades 
incompatíveis.
40
11. MÍNIMOS QUADRADOS 
 (PAPEL MILIMETRADO)
Ao se obter uma sucessão de pontos experimentais que representados em um gráfico 
apresentam comportamento linear,diferentes experimentadores poderão traçar diferentes 
retas, encontrando diferentes valores para os coeficientes linear e/ou angular. Um método 
para determinar a reta correta é dado pelo método dos mínimos quadrados.
Este método consiste em determinar o coeficiente angular a e o coeficiente linear b 
da equação da reta:
y=ax+b
através das seguintes equações:
a=
N∑ x . y −∑ x∑ y
N∑ x2−∑ x 2
e
b=∑ y∑ x
2−∑ x∑ x . y
N∑ x2−∑ x 2
onde N é o número de pontos experimentais.
Uma observação importante é que, caso o conjunto de pontos experimentais 
corresponda a uma equação não linear, deve-se primeiro linearizá-la e, como decorrência, 
refazer a tabela dos pontos experimentais, antes da utilização das relações acima.
41
12. DECAIMENTO DA TEMPERATURA
 (PAPEL MONOLOG)
OBJETIVO
O objetivo deste experimento é obter a equação matemática que gerou os dados da 
tabela abaixo. Para isso, é necessário fazer um gráfico em papel monolog de modo a 
linearizar os dados da referida tabela.
TEORIA
Diversos fenômenos físicos como o decaimento radioativo segue uma lei 
matemática que é uma função de uma exponencial negativa. Outro fenômeno mais próximo 
é o decréscimo de temperatura de uma xícara de café. Dada uma temperatura inicial de 205 
graus Celcius (exagerando obviamente), podemos ver que o seu decréscimo será uma 
exponencial negativa até atingir uma temperatura ambiente, 1 grau por exemplo 
(exagerando novamente).
Utilizando então os dados da tabela abaixo, vemos o comportamento na figura 10:
tempo 
(horas)
Temperatura 
(Celcius)
0 250
1 152
2 92
3 56
4 33
5 20
6 12
7 7
8 4
9 2
10 1
Tabela: Valores de temperatura por tempo de uma hipotética xícara de café.
42
Figura 10: Temperatura em função do tempo de uma hipotética xícara de café.
O cálculo do coeficiente angular da reta no gráfico monolog é feito da seguinte 
maneira:
a= ln152−ln12
1−6
=−0 .51
O coeficiente linear da reta é facilmente obtido pelo gráfico, ou seja, b=250 . 
Logo, a equação da reta será:
y=ax+b
Como a temperatura, T, é uma função do tempo, t, então a equação da reta acima 
torna-se:
T=at+b .
Entretanto, a temperatura, T, e o coeficiente linear, b, estão no eixo logarítmico do 
gráfico, assim:
T=−0 .51 t+250⇒ln T=−0 .51 t+ ln250
ln T−ln250=−0 . 51 t ⇒ ln  T250 =−0 . 51t
Aplicando a função exponencial em ambos os lados da última equação, teremos:
43
exp ln  T250 =exp −0 . 51t  ⇒ T250 =e−0. 51t
T=250 e−0.51 t
Esta foi à equação utilizada para gerar os dados da tabela anterior.
Figura 11: Temperatura em função do tempo de uma hipotética xícara de café
44
13. MÍNIMOS QUADRADOS EM PAPEL MONOLOG
Dada a seguinte tabela abaixo:
Tempo Temperatura
 0 215
 1 101
 2 54
 3 22
 4 12
 5 6
 6 2
 7 1
 8 0.7
 9 0.3
 10 0.2
 11 0.1
A primeira tarefa é aplicar o logaritimo neperiano nos dados acima a fim de 
linearizar os dados. A tabela a seguir mostra o resultado:
Tempo Ln(Temperatura)
 0 5.3706
 1 4.6151
 2 3.9890
 3 3.0910
 4 2.4849
 5 1.7918
 6 0.6931
 7 0
 8 -0.3567
 9 -1.2040
 10 -1.6094
A tabela acima gera o seguinte gráfico linear:
45
Figura 12: Temperatura em função do tempo 
Agora, o objetivo é calcular a reta que melhor se ajusta aos dados. Para isso, é 
necessário utilizar a seguinte equação:
Coeficiente angular da reta: a=
N∑  XY −∑ X∑ Y
N∑ X2−∑ X 2
Com a equação acima, calcula-se agora os novos valores de y a partir da equação da 
reta:
y=ax+b
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BIBLIOGRAFIA UTILIZADA
Piacentini, J. J.; Grandi, B. C. S.; Hofmann, M. P.; Lima, F. R. R.; Zimmermann, E. 
Introdução ao Laboratório de Física, 2a. edição, Editora da UFSC, Florianópolis, 
2001.
Helene, O. A. M.; Vanin, V. R. Tratamento Estatístico de Dados em Física Experimental, 
2a. edição, editora Edgard Blücher Ltda, São Paulo, 1991.
Fonte: http://webfis.df.ibilce.unesp.br/cdf/roem/mec/empu/empu.html
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	Bibliografia Utilizada
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS
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	BIBLIOGRAFIA UTILIZADA