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Fı́sica Experimental III Laboratório Didático Niterói/RJ - BRASIL Julho de 2020 Conteúdo 1 Revisão: teoria de erros e gráficos 2 1.1 Teoria de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Revisão: gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Princı́pio de Arquimedes 5 3 Transformação de um gás a temperatura constante 6 4 Ondas estacionárias em cordas 8 5 Reflexão e refração da luz 10 6 Interferência e difração 11 7 Apêndice I: Teoria de erros e gráficos 13 8 Apêndice II: Gráficos e método dos mı́nimos quadrados 22 8.1 Construção de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 8.2 Análise de gráficos: ajuste linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 1 Revisão: teoria de erros e gráficos Data: . . . . . . . . . . . . Turma:. . . . . . . . . . . . Grupo Nome:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nome:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nome:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nome:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Teoria de erros Material utilizado • Régua; • Paquı́metro; • Objeto cilı́ndrico; • Balança. • Papel milimetrado; Procedimentos e resultados Acesse o site Paquı́metro virtual e aprenda a utilização do paquı́metro. Estude e entenda os erros de medidas que utilizam uma régua ou um paquı́metro. Calcule a área da seção transversal, o volume e a densidade de um cilindro metálico utilizando os dados fornecidos abaixo. Explicite seus cálculos. Expresse valores e incertezas com o número correto de algarismos significativos e com suas unidades. 1. Suponha que você mediu a altura hr e o diâmetro dr do cilindro utilizando a régua, ob- tendo os valores a seguir. Calcule a área Ar de sua seção transversal. hr = 4, 92 ± 0, 05 (cm). dr = 5, 02 ± 0, 05 (cm). Ar = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ). 2. Suponha que você mediu a altura hp e o diâmetro dp do cilindro utilizando o paquı́metro, obtendo os valores a seguir. Calcule a área Ap de sua seção transversal. hp = 50, 05 ± 0, 05 (mm). dp = 50.10 ± 0.05 (mm). Ap = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ). 2 https://www.stefanelli.eng.br/paquimetro-virtual-simulador-milimetro-02/#swiffycontainer_1 3. Calcule o volume Vr do objeto (obtido com a régua) e o volume Vp do objeto (obtido com o paquı́metro). Vr = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ). Vp = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ). 4. Suponha que você mediu a massa do cilindro, obtendo o valor abaixo. Calcule sua densi- dade ρr (obtida com a régua) e ρp (obtida com o paquı́metro). M = 265.21 ± 0.10 (g). ρr = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ). ρp = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ). Perguntas: • No cálculo de medidas indiretas, como relacionar o número de algarismos significativos da medida com o respectivo erro? • O erro de uma medida é sempre igual ao erro do equipamento utilizado naquela medida? 3 1.2 Revisão: gráficos 1. Utilizando o método dos mı́nimos quadrados (MMQ), apresentado no apêndice II, preen- cha o restante da tabela 1 e calcule os coeficientes linear a e angular b da reta que melhor se ajusta aos dados. Não esqueça das unidades de medida de a e b. a = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ). b = . . . . . . ± . . . . . . ( . . . . . . ). 2. Faça o gráfico do volume (V) em função da massa (m) com os dados da tabela 1 (Apêndice II). Trace também no gráfico a reta obtida via MMQ da questão anterior. Tabela 1: volume V versus massa m. i m ± ∆m (g) V ± ∆V (cm3) X2 XY a + b × X ∆Y2 1 15,5 ± 0,5 875 ± 25 2 17,0 ± 0,5 700 ± 25 3 18,6 ± 0,5 550 ± 25 4 20,9 ± 0,5 420 ± 25 5 21,7 ± 0,5 300 ± 25 ΣNi=1 Perguntas: • A interseção dos eixos x e y de um gráfico deve ser necessariamente no ponto (x=0, y=0)? • Quais os benefı́cios de utilizar, nos eixos do seu gráfico, uma escala com legenda em pontos igualmente espaçados? • É correto colocar apenas os valores dos pontos experimentais nos eixos do gráfico? Por quê? • Qual o motivo de medir vários pontos experimentais em vez de apenas um ou dois pontos? 4 2 Princı́pio de Arquimedes Objetivo • Estudar o empuxo de um fluido sobre um objeto e o princı́pio de Arquimedes. • Determinar as densidades de dois objetos. Simulador Acesse o simulador de flutuação Figura 1: Figura original do guia do simulador de Flutuação do PhET Interactive Simulations, Univer- sity of Colorado Boulder. Obs: Não se esqueça de estimar as incertezas de todos os valores medidos. Perguntas: (a) Usando o simulador, proponha três métodos para se obter a densidade de um sólido. (b) No simulador, escolha a opção “massas iguais”. Descubra as densidades dos blocos de tijolo e de madeira. (c) Coloque o bloco de tijolo sobre o de madeira, de forma que ambos flutuem. Em se- guida, deixe o bloco de madeira flutuando e coloque o bloco de tijolo no fundo do tanque. Observe a variação no nı́vel da água em ambos os casos. Discuta o resultado. (d) Escolha agora a opção “densidades iguais”. Observe a variação no nı́vel da água quando os dois blocos de madeira estão flutuando separadamente na superfı́cie da água, e quando um dos blocos está sobre o outro. Discuta o resultado. 5 https://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_pt_BR.html 3 Transformação de um gás a temperatura constante Objetivo • Estudar o comportamento de um gás variando o volume e pressão. • O comportamento de um gás ideal. Simulador Acesse o simulador de propriedade dos gases Figura 2: Controles disponı́veis na guia Ideal. Figura original do guia do simulador de Propriedades dos gases do PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder. Obs: Não se esqueça de estimar as incertezas de todos os valores medidos. Perguntas: (a) Usando o simulador, proponha um experimento para determinar a constante dos gases ideais. (b) Use o simulador para obter o valor da constante dos gases ideais. O valor obtido coincide com o valor de referência? [Dica: Utilize métodos gráficos.] 6 https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/gas-properties (c) Quais os valores da pressão indicados no manômetro do simulador quando o recipiente contém 1000 partı́culas do gás, 500 partı́culas e 1 partı́cula? Use a relação com a energia cinética para calcular a pressão do gás. Os valores calculados estão de acordo com os valores medidos no manômetro? (d) Usando as partı́culas leves e experimentos no simulador, determine qual seria a densidade do gás à pressão atmosférica. Faça o mesmo para as partı́culas pesadas. Qual dos dois valores de densidade é compatı́vel com a densidade do ar? [Obs: As partı́culas leves têm uma massa de 4 UMA (Unidades de Massa Atômica) e as partı́culas pesadas tem massa de 28 UMA.] (e) Misture agora partı́culas leves e pesadas. Quais se movem mais rápido? Explique por que isso acontece. (f) Sem modificar a temperatura ou o volume, deixe escapar 10% da partı́culas. O que acon- tece? Dados: • 1 UMA= 1, 660539 × 10−24 g; • Densidade do ar nas CNTP: 1, 2754 kg/m3; • R = 8, 314 J.mol−1.K−1; • k = 1, 38 × 10−23 J/K; • Altura do recipiente: 8, 75 nm; • Profundidade do recipiente: 4 nm; 7 4 Ondas estacionárias em cordas Objetivos • Determinar a velocidade de um pulso de onda em uma corda. • Estudar os modos estacionários em uma corda com pontas fixas. Simulador Acesse o simulador de ondas em uma corda. A simulação Ondas em Corda permite que os alunos criem suas próprias ondas e explorem conceitos ondulatórios como amplitude, frequência, amortecimento, tensão, velocidade, reflexão e interferência. Dicas para Professores Ondas em Corda MEÇA distância ou tempo MOVIMENTE a linha de referência como desejar CRIE uma de forma manual (movendoa chave inglesa), com o Oscilador ou com gerador de Pulso CONTROLE as propriedades da onda EXPLORE ondas com a extremidade fixa, solta ou inexistente PAUSE e avance o movimento da onda REINICIE a onda preservando as outras configurações no simulação VEJA a onda em câmera lenta Rouinfar, Julho 2016 (Tradução de Lairane Rekovvsky, outubro de 2019) Figura 3: Figura original do guia do simulador de ondas em uma corda do PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder. Obs: Não se esqueça de estimar as incertezas de todos os valores medidos. Questões (a) Usando o simulador, proponha dois métodos para medir a velocidade de propagação das ondas em uma corda. (b) Usando o modo “Pulso”, meça diretamente a velocidade de um pulso para as três tensões possı́veis. (c) Obtenha as razões entre as tensões baixa e intermediária com relação à tensão alta (com suas respectivas incertezas). (d) No modo “Manual”, utilizando a tensão alta e extremidade fixa, produza o primeiro modo de oscilação e estime sua frequência. (e) No modo “Oscilador”, utilizando a tensão alta, produza todos os modos estacionários possı́veis. [Dica: sua resposta de (c) pode ajudar na busca por esses modos]. Utilizando o método gráfico, obtenha a velocidade de propagação da onda na corda. (f) Compare as velocidades obtidas, no caso de tensão alta , nos itens (a) e (d). Você observa concordância? 8 https://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/wave-on-a-string_pt_BR.html Dicas: • Os modos que estamos buscando correspondem aos de uma corda com as duas extremi- dades fixas. No entanto, note que o simulador gera as ondas pela oscilação de uma das extremidades. Assim, para obter uma melhor aproximação para o limite de extremidades fixas o ideal é usar uma amplitude pequena no item (d). • Os modos que queremos correspondem a um caso idealizado em que não há amorteci- mento. Mas se você escolher a opção “nenhum amortecimento” e modificar os parâmetros (amplitude e frequência) com o oscilador em funcionamento, as perturbações geradas em um dado instante não serão dissipadas no instante posterior. Assim, mesmo seleci- onando uma frequência especı́fica você pode acabar observando uma mistura de várias frequências, o que dificultará sua medida. Isso pode ser resolvido utilizando a opção “Reiniciar” sempre que modificar a frequência. Outra possibilidade é incluir um amorte- cimento momentâneo durante o processo para dissipar efeitos transientes e estabelecer os modos estacionários. Explore ambas possibilidades e relate suas observações. 9 5 Reflexão e refração da luz Objetivos • Constatar as leis da reflexão e da refração da luz. • Determinar a velocidade de propagação da luz em um meio material. • Investigar a dependência da velocidade da luz com o ı́ndice de refração do meio. Simulador Acesse o simulador de desvio da luz. Figura 4: Controles disponı́veis na Tela Mais Ferramentas. Figura original do guia do simulador de desvio da luz do PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder. Obs: Use o transferidor para as medidas de ângulos. Não se esqueça de estimar as incertezas de todos os valores medidos. Questões (a) Usando o simulador, e com base nos fenômenos de reflexão e refração da luz, proponha dois métodos para se determinar a velocidade de propagação da luz em um meio material. (b) Acesse o simulador na tela “Intro”. Usando o fenômeno da refração e o método gráfico, qual o valor do ı́ndice de refração do meio mistério? Escolha um meio mistério (A ou B). (c) Usando o fenômeno da reflexão total, qual o valor do ı́ndice de refração do meio mistério? Escolha um meio mistério (A ou B). (d) A partir dos valores para os ı́ndices de refração, obtenha a velocidade da luz no meio material. Os valores da velocidade obtidos com métodos diferentes concordam entre si? (e) Agora acesse o simulador na tela “Mais Ferramentas”. Os ângulos crı́ticos de reflexão total são os mesmos para cores diferentes? Que cor possui maior ângulo crı́tico? (f) Para qual cor a velocidade da luz é maior no meio material? Justifique com base nas observações realizadas através do simulador. 10 https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/bending-light 6 Interferência e difração Objetivos • Observar os fenômenos de difração e interferência da luz. • Determinar o comprimento de onda e a velocidade da luz. • Determinar experimentalmente a largura de uma fenda usando o padrão de difração. • Determinar experimentalmente a distância entre duas fendas usando o padrão de inter- ferência. Simulador Acesse o simulador de interferência de ondas. Figura 5: Controles disponı́veis na Tela Fendas. Figura original do guia do simulador de interferência de onda do PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder. Obs: Não se esqueça de estimar as incertezas de todos os valores medidos. Questões (a) Usando o simulador, e com base nos fenômenos de interferência e difração, proponha métodos para medir a largura de uma fenda simples e para medir a distância entre duas fendas em um experimento de fenda dupla. (b) Crie um procedimento para medir comprimento de onda e velocidade da luz no simulador. Aplique seu procedimento a duas cores (frequências) distintas. Compare sua medição ao valor exato da velocidade da luz no vácuo, estimando sua diferença percentual. (c) Usando o padrão de difração de fenda simples, determine experimentalmente a largura da fenda e estime sua incerteza. Compare o valor obtido com o valor nominal de largura da fenda dada no simulador. 11 https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/wave-interference (d) Usando o padrão de interferência de fenda dupla, determine experimentalmente a distância entre as fendas e sua incerteza. Compare o valor obtido com o valor nominal de distância entre as fendas dada no simulador. 12 Grandezas Físicas e Unidades A Física é a ciência que estuda os componentes da matéria e suas interações. Pela observação dessas interações são construídos modelos que tentam explicar as propriedades da matéria e os fenômenos naturais. A Física se baseia em medições. A observação do fenômeno físico vai resultar numa informação quantitativa, ou seja, atribui-se um número a uma propriedade física a partir da comparação entre quantidades semelhantes. As propriedades físicas vão ser expressas na forma de grandezas, como por exemplo massa, comprimento e tempo. Para se fazer comparações entre quantidades semelhantes de uma determinada grandeza é preciso definir uma unidade, ou seja, uma medida da determinada grandeza cujo valor é 1. É definido então um padrão, um valor de referência para possibilitar a comparação das quantidades. Cada medição é feita em comparação com o padrão e assim as medições podem vir a ser comparadas entre si. O padrão é definido de forma arbitrária, no entanto para ser possível uma comparação entre medições diferentes, feitas por pessoas diferentes, em tempos diferentes, é preciso buscar um padrão que seja acessível a todos e ao mesmo tempo invariável, para em qualquer situação medidas diferentes possam ser comparadas. Não é necessário estabelecer padrões para todas as grandezas físicas, pois muitas delas estão relacionadas. Então o que se faz é definir padrões acessíveis e invariáveis para as grandezas físicas fundamentais, ou seja, um número mínimo de grandezas a partir das quais se possa fazer medições das demais. Uma conferência geral de pesos e medidas, reunida no período de 1954-1971 selecionou sete gradezas de base: comprimento, massa, tempo, intensidade luminosa, intensidade de correne elétrica, temperatura termodinâmica e quantidade de matéria. As demais grandezas são chamadas grandezas derivadas e são definidas em função das sete grandezas de base. Paraexpressar essas grandezas existem alguns sistemas de unidades, entre os quais o mais utilizado é o Sistema Internacional de Unidades, aprovado pela conferência de pesos e medidas. As unidades de base do SI são: 7 Apêndice I: Teoria de erros e gráficos 13 grandeza unidade símbolo comprimento metro m massa quilograma kg tempo segundo s intensidade de corrente elétrica Ampère A temperatura termodinâmica Kelvin K quantidade de matéria mol mol intensidade luminosa candela cd Para a unidade de comprimento, o metro foi introduzido originalmente durante a revolução francesa pelo governo francês, definido como a décima milionésima parte (10 -7 ) de um quadrante do meridiano terrestre. Essa distância foi medida e assim foi construída uma barra de platina para comparação, guardada em condições controladas e à temperatura de 0 O C. Medições posteriores mostraram que a barra diferia ligeiramente do valor definido, assim a definição de metro passou a ser simplesmente o tamanho daquela barra. Ela foi então reproduzida para que se tormasse acessível a todos. Um padrão mais preciso e mais fácil de ser reproduzido foi obtido por Michaelson em 1893, que utilizou o comprimento de onda da radiação emitida por uma lâmpada de cádmio para comparação com a barra padrão. Em 1960 a conferência de pesos e medidas adotou oficialmente um padrão atômico para o metro, o comprimento de onda da luz emitida pelo isótopo de massa 86 do Kriptônio. Finalmente, em 1983, o metro passou a ser definido em função da velocidade da luz no vácuo. Com tudo isso, fica claro que ao se utilizar uma régua para fazer uma medição direta, estamos comparando uma quantidade de comprimento a um padrão construído a partir daquele padrão definido. É importante perceber que não podemos esperar que esta ou qualquer medida seja exata. Haverá sempre algum erro inerente à medição. 14 Margem de Erro Dado um instrumento de medida deve- se observar a escala graduada numa determinada unidade. A menor divisão dessa escala vai limitar a precisão da medida. Uma leitura entre os dois valores marcados deve ser feita estimando-se o valor intermediário e levando-se em conta que essa estimativa acarretará numa imprecisão da medida. Deste modo, é comum considerar-se uma incerteza de metade do valor da menor divisão da escala quando a interpolação é visualmente possível (em instrumentos analógicos). Uma régua graduada em centímetros (menor divisão da escala = 1 cm), por exemplo, possibilita uma medição com margem de erro de ± 0,5 cm. Se o resultado da medição é estimado em 16,4 cm, onde o 16 representa os algarismos exatos e o 4 um algarismo duvidoso (total de 3 algarismos significativos), esse valor deve ser expresso: (16,4 ± 0,5) cm. Quando tratamos uma medida indireta, ou seja, obtida através de uma função de outras grandezas medidas diretamente, devemos também levar em conta os algarismos significativos. Medidos dois comprimentos com o mesmo instrumento e somados os valores, a soma tipicamente preserva o mesmo número de casas decimais: L1=2,5 cm, L2=4,5 cm; L1+L2= 7,0 cm No caso dessas medidas terem sido tomadas com instrumentos de precisão diferente, não há sentido em preservar o número de casas decimais do valor mais preciso: L1=2,5 cm, L2= 4,52 cm; L1 +L2=7,02 cm =7,0 cm No caso da multiplicação, preserva-se tipicamente o resultado com o mesmo número de algarismos significativos (exatos+duvidoso) que o número menos preciso: A= L1 x L2 = 11,25 cm 2 = 11 cm 2 Para outras funções deve-se proceder da mesma forma, fazendo todos os cálculos necessários e cortando os algarismos não significativos ao final. Para tanto, deve-se levar em conta no arredondamento do algarismo duvidoso (último significativo) apenas o valor do primeiro algarismo a ser cortado. Sendo este menor ou igual a 4 o algarismo duvidoso permanece o mesmo. Sendo maior ou igual a 6 uma unidade deve ser somada ao duvidoso. Sendo igual a 5, o duvidoso deve ser mantido caso seja par e acrescido de uma unidade caso seja impar. 15 Exemplos: 3,550 x 4,21 = 14,9455 = 14,9 3,550 x 4,33 = 15,3715 = 15,4 3,550 x 6,41 = 22,7555 = 22,8 3,550 x 7,00 = 24,8500 = 24,8 Considerando que a margem de erro de uma medida representa um intervalo no qual pode ser encontrado o “valor real” da grandeza física, ao se utilizar esses valores para obter medidas indiretas de outras grandezas, o resultado terá consequentemente uma incerteza. Também as margens de erro devem ser consideradas no cálculo e a incerteza propagada. Para o caso da soma de duas medidas (x ± x) e (y ± y) um critério comumente aceito é de que o erro da soma z = (x + y) será dado por 22 y+x=z Exemplos: L1 = (2,5± 0,5) cm, L2 = (4,5± 0,5) cm; L1 + L2 = (7,0 ± 0,7) cm L1 = (2,5± 0,5) cm, L2 = (4,52± 0,01) cm L1 + L2 = (7,0 ± 0,5) cm Para medidas indiretas provenientes de multiplicação ou divisão o erro relativo (z/z) do resultado será dado pela raiz quadrada da soma dos erros relativos quadráticos de cada termo (obs: usando que o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos esta regra é na verdade derivada da anterior): 22 y y + x x = z z Exemplos: L1 = (2,5± 0,5) cm, L2 = (4,5± 0,5) cm A = L1 x L2 = (11± 3) cm 2 L1 = (2,5± 0,5) cm, L2 = (4,52± 0,01) cm A = L1 x L2 = (11± 2) cm 2 Para calcular o erro propagado de uma função qualquer F(x, y) que depende das variáveis medidas calcula-se a derivada total dessa função: dF= ∂ F ∂ x dx+ ∂ F ∂ y dy A derivada parcial é na realidade a derivada comum em relação a cada variável considerando a outra variável como constante. Para uma função qualquer F(x,y) a incerteza absoluta propagada para o valor da função será: 22 y y F +x x F =F 22 , 16 onde x é a incerteza da medida de x e y é a incerteza da medida de y. A partir do erro relativo de uma medida, ou seja, o erro dividido pelo valor medido, pode ser útil calcular o erro percentual, expresso em porcentagem: x x =relativoerro 100 x x =percentualerro Fontes de Erro Erros sistemáticos numa medição acontecem em função de um instrumento mal calibrado (uma balança que não parte do zero, por exemplo) ou de técnicas erradas de medição (como uma medição de comprimento feita a partir da extremidade da régua e não do início da marcação). Também simplificações do modelo teórico podem acarretar erros sistemáticos. Este tipo de erro faz com que as medidas fiquem todas acima ou abaixo do valor real, piorando a exatidão ou acurácia dos resultados. Em geral as fontes de erro sistemático têm como ser identificadas e o erro eliminado. Erros aleatórios que geram flutuações nas medidas podem ter origem em diversos fatores, como condições de temperatura, pressão, iluminação, etc. Esse tipo de erro também pode ter origem no método de observação, como por exemplo se a precisão do instrumento for superestimada ao se interpolar a menor divisão da escala. Os erros aleatórios afetam a precisão das medidas e nem sempre podem ser eliminados. Esses erros, em geral, obedecem a uma distribuição simples, flutuando em torno de um valor mais provável, e podem portanto ser tratados de forma estatística. Ao repetir a mesma medida um determinado número de vezes parte dos resultados deverá estar acima do valor real e parte abaixo, já que as fontes de erro que regem essas flutuações são aleatórias. 17 Modelo teórico X ExperimentoOs modelos teóricos utilizados para explicar fenômenos Físicos são obtidos, em princípio, da observação desses fenômenos e determinação do padrão de comportamento de uma grandeza em relação à outra. Se esse padrão pode ser descrito por uma função matemática, podemos então construir um modelo que deve explicar o determinado fenômeno naquelas condições e que possa ser reproduzido. Um modelo pode ser válido apenas em um certo limite ou sob determinadas condições. Um exemplo é a força de atração gravitacional, que, no caso geral, depende do inverso do quadrado da distância entre os corpos ( FG∝ 1 r 2 ). No entanto, se observarmos o comportamento de corpos em queda livre na Terra notaremos que sua aceleração é aproximadamente constante. A distância entre os corpos neste caso (o corpo em queda e a Terra) é a distância entre os centros de massa dos mesmos, portanto aproximadamente igual ao raio da Terra. Nesse limite, observamos que o deslocamento do corpo está relacionado com o tempo de queda por uma função simples, um polinômio de segundo grau, cujos coeficientes podemos determinar empiricamente. Uma vez instituído um modelo e conhecidos os limites nos quais ele representa o comportamento observado das grandezas, ele nos orienta a respeito de que experimento devemos realizar e sob que condições. Muitas vezes a origem de um determinado comportamento pode ser identificada e o fator em questão tratado separadamente ou eliminado para que os demais fatores possam ser testados. No caso de um objeto que desse um trilho inclinado, sabemos que a atração gravitacional irá conferir a ele uma aceleração proporcional à gravitacional e também que o atrito diminuirá essa aceleração. Podemos eliminar (ou diminuir) o fator atrito usando um trilho de ar e, sob estas condições, analisar o movimento levando em conta que a aceleração terá origem apenas na atração gravitacional. Deste modo, podemos variar o deslocamento e medir o tempo decorrido, observando o padrão de comportamento dessas grandezas, e então determinar quantitativamente o fator que as relaciona. 18 Representação gráfica dos dados experimentais Num experimento, quando se deseja variar uma determinada condição para que se possa medir o efeito dessa variação numa outra quantidade, a representação gráfica dos dados é muito útil. O gráfico permite a visualização dessa relação de causa e efeito, possibilita a identificação de um padrão de comportamento dos dados, discriminando os pontos duvidosos evidenciando uma relação funcional que pode ser representada por uma equação matemática. Além disso, o gráfico permite muitas vezes a interpolação ou a extrapolação dos resultados. Para tanto, é preciso que ele seja construído de forma adequada. Na representação gráfica, a variável independente é descrita pelo eixo horizontal e a variável dependente pelo eixo vertical. x=x (t) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 5 10 15 20 25 30 x( t) t 19 Cada eixo representa uma grandeza Física, portanto o símbolo que representa essa grandeza deve constar do gráfico, bem como a unidade utilizada. A orientação do papel deve ser escolhida em função do número de unidades de cada grandeza a ser representado nos eixos. As divisões do papel representarão unidades da grandeza a ser medida e a escala deve ser escolhida de forma conveniente. É importante perceber que escolhida a escala, os valores representados no papel terão sua precisão limitada à menor divisão do mesmo. Por essa razão, devemos usar a maior área possível do papel e tomar limites que abranjam todos os valores da tabela e que estes fiquem o mais espalhados possível. Por exemplo, se temos na tabela valores que vão de 540 a 547 não devemos incluir o valor zero entre os valores marcados na escala. Nesse caso, devemos tomar o eixo com no máximo 10 unidades da grandeza medida (de 540 a 550, por exemplo). Isso vai depender também de se desejarmos extrapolar a função até algum valor de interesse. Se desejarmos conhecer o valor que a função teria na posição 570 será conveniente dividir o eixo em 30 unidades (de 540 a 570) em detrimento da precisão. O fator de escala deve ser escolhido com atenção. Não devemos fracionar a divisão de centímetro, devemos sim escolher a escala inteira imediatamente superior ou inferior, conforme o caso. No exemplo citado, se vamos representar valores que vão de 540 a 547 no eixo de 25 cm teremos: 25/7 = 3.6 Se dividíssemos a escala em 4 cm para cada unidade precisaríamos de 28 cm para que todos os pontos estivessem no gráfico. Dividindo a escala de forma adequada, marcamos então alguns valores da mesma para relacionar as posições no eixo com os valores correspondentes da grandeza medida. Apenas esses valores devem estar marcados nos eixos e apenas eles vão permitir a leitura dos valores dos pontos experimentais e pontos interpolados ou extrapolados na reta. Jamais devem ser marcados nos eixos os valores experimentais obtidos. Estes serão marcados no ponto correspondente do valor (x,y). Devem ser ilustradas com cada ponto suas respectivas barras de erro (verticais e horizontais) 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 10 15 20 25 30 x( t) t Marcados os pontos no gráfico, podemos então analisar esse padrão de comportamento. Com base no modelo teórico supomos um comportamento linear da variação da posição com o tempo, logo, devemos traçar uma reta que represente esse padrão. A reta não deve ser traçada ligando dois pontos nem precisa passar pela origem. Obtida a reta que determina o padrão de comportamento dos pontos experimentais, queremos calcular sua inclinação. Para isso vamos tomar qualquer intervalo de posição e seu intervalo correspondente de tempo. É importante notar que esses valores são tirados da reta traçada, não são valores experimentais. Devemos escolher dois pontos que tenham fácil leitura. Outro detalhe relevante é que a divisão deve ser feita entre os valores das grandezas e com suas respectivas unidades, valores em centímetros da escala fornecem apenas o ângulo de inclinação da reta, não trazem informação da escala utilizada. 21 8 Apêndice II: Gráficos e método dos mı́nimos quadrados 8.1 Construção de gráficos Um gráfico apresenta um conjunto, ou mais, de dados experimentais numa figura. O gráfico objetiva mostrar visualmente a dependência entre uma grandeza e um parâmetro medidos si- multaneamente. Para isto o gráfico deve ter os elementos essenciais abaixo. Tı́tulo do gráfico Informa quais dados e que dependência está sendo representada. Por exemplo, se quer-se estudar a dependência da velocidade com o tempo o tı́tulo pode ser de ser de uma das formas abaixo. • Gráfico: velocidade (v) em função do tempo (t) • Gráfico: v versus t • Gráfico: v (t) Tı́tulos dos eixos Especifica qual grandeza fı́sica o eixo representa e que unidade é utilizada na escala do eixo. O eixo vertical, das ordenadas, corresponde à grandeza que é especificada primeiro no tı́tulo do gráfico, antes do “versus”, enquanto que o que vem depois é representado no eixo horizontal, das abcissas. Assim, por exemplo, quando se construir o gráfico de “v versus t”, as velocidades devem ser lidas nas escala do eixo vertical e os tempos no eixo horizontal. No tı́tulo do eixo deve-se utilizar um sı́mbolo adequado para a grandeza enquanto que a unidade é informada em parêntesis. Exemplos: • v (cm/s) ou v (cm s−1) • t (s) Escala dos eixos Fornece a escala em que a grandeza é representada no eixo graduado. O eixo possui uma graduação principal, podendo também possuir uma graduação secundária, sendo que apenas para a principal é colocado o texto de legenda da escala. As legendas da escala devem ser númerosredondos, preferencialmente, múltiplos de 2 ou 5. Legenda do gáfico Quando mais de um conjunto de pontos é representado num único gráfico, é necessário diferenciar os conjuntos de dados usando sı́mbolos diferentes. A legenda é um quadro inserido no gráfico onde se coloca o sı́mbolo ao lado de um texto curto que especifica qual conjunto de dados aquele sı́mbolo representa. • Atenção: É errado colocar os valores dos pontos experimentais como legendas nos eixos. Estética Um gráfico é uma figura, portanto, deve ser bem proporcionado e esteticamente agradável para facilitar sua observação e análise. Por exemplo, um gráfico achatado, assim como uma escala inadequada, dificulta a análise das dependências matemáticas. Uma ilustração 22 Figura 6: Exemplo de construção de um gráfico. de um gráfico construı́do de forma a satisfazer as regras descritas nessa seção é dado na Fig 6. 8.2 Análise de gráficos: ajuste linear Seja um experimento que fornece como resultado um conjunto de N pares de medidas (Xi,Yi) que graficamente representados geram uma reta. O ajuste linear é a análise matemática de dados que apresentam uma dependencia linear Y = a + bX, para a obtenção do coeficientes linear a e do coeficiente angular b. Apresentaremos abaixo um exemplo que analisaremos primeiro pelo método da triangulação e depois pelo método dos mı́nimos quadrados. Método dos mı́nimos quadrados O método dos mı́nimos quadrados resulta da minimização do quadrado da distância entre os valores experimentais de Y e os valores calculados como Y ′ = a + bX. 23 O coeficiente linear a e o coeficiente angular b são fornecidos pelas equações a = ∑ Y ∑ X2 − ∑ X ∑ XY N ∑ X2 − ( ∑ X)2 ; (0) b = N ∑ X Y − ∑ X ∑ Y N ∑ X2 − ( ∑ X)2 (0) As incertezas de a e b são, respectivamente, σa = √ σ2 ∑ X2 N ∑ X2 −( ∑ X)2 , σb = √ N σ2 N ∑ X2 −( ∑ X)2 , onde σ2 = ∑ (∆Y)2 N−2 , e ∆Y é a diferença entre os valores experimental e teórico ∆Y = Y − (a + bX). Na Tabela 2 o método dos mı́nimos quadrados (MMQ) é aplicado aos dados de um exem- plo. Tabela 2: Cálculo do método dos mı́nimos quadrados para dados do comprimento e da força magnética sobre um fio com I = 5 A. X Y X2 XY (a + bX) ∆Y2 n L(mm) F (mN) 1 12,5 8,0 156,25 100 7,5 0,25 2 25,0 14,0 625 350 14 0,00 3 50,0 26,2 2500 1310 27 0,64 4 100 53,6 10000 5360 53 0,36∑ 187,5 101,8 13281,25 7120 1,26 A aplicação das fórmulas acima leva aos valores dos coeficientes da reta e suas incertezas mostrados na Tabela 3. Tabela 3: Resultado dos ajustes lineares pelos métodos da triangulação e dos mı́nimos quadrados. MMQ Triangulação a ( mN ) 1, 0 ± 0, 7 1 b ( Nm−1 ) 0, 52 ± 0, 01 0,53 24 Revisão: teoria de erros e gráficos Teoria de erros Revisão: gráficos Princípio de Arquimedes Transformação de um gás a temperatura constante Ondas estacionárias em cordas Reflexão e refração da luz Interferência e difração Apêndice I: Teoria de erros e gráficos Apêndice II: Gráficos e método dos mínimos quadrados Construção de gráficos Análise de gráficos: ajuste linear
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