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Ca´lculo Nume´rico Soluc¸o˜es Nume´ricas de E.D.O. Aula 2- 2o. Esta´gio Prof. Roberto Capistrano e Prof. Jose´ Vicente Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 1 / 25 Suma´rio 1 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) 2 Me´todo de Passo Simples Me´todo de Euler Utilizando Tecnologia 3 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o 4 Bibliografia Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 2 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) :: De ::::::: primeira ::::: ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado. Exemplos y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1 :: De ::::::: segunda ::::: ordem : y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em x0. Exemplos y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1 y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1 y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 3 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) :: De ::::::: primeira ::::: ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado. Exemplos y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1 :: De ::::::: segunda ::::: ordem : y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em x0. Exemplos y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1 y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1 y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 3 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) :: De ::::::: primeira ::::: ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado. Exemplos y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1 :: De ::::::: segunda ::::: ordem : y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em x0. Exemplos y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1 y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1 y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 3 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) :: De ::::::: primeira ::::: ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado. Exemplos y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1 :: De ::::::: segunda ::::: ordem : y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em x0. Exemplos y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1 y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1 y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 3 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) :: De ::::::: primeira ::::: ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado. Exemplos y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1 :: De ::::::: segunda ::::: ordem : y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em x0. Exemplos y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1 y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1 y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 3 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) :: De ::::::: primeira ::::: ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado. Exemplos y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1 :: De ::::::: segunda ::::: ordem : y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em x0. Exemplos y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1 y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1 y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 3 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) :: De ::::::: primeira ::::: ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado. Exemplos y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1 :: De ::::::: segunda ::::: ordem : y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em x0. Exemplos y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1 y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1 y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 3 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) :: De ::::::: primeira ::::: ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado. Exemplos y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1 :: De ::::::: segunda ::::: ordem : y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em x0. Exemplos y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1 y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1 y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 3 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) :: De ::::::: primeira ::::: ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado. Exemplos y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1 :: De ::::::: segunda ::::: ordem : y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em x0. Exemplos y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1 y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1 y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 3 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) :: De ::::::: primeira ::::: ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procuraruma soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado. Exemplos y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1 :: De ::::::: segunda ::::: ordem : y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em x0. Exemplos y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1 y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1 y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 3 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) :: De ::::::: primeira ::::: ordem : y ′ = F (x .y) e y(x0) = y0. Neste caso, consiste em procurar uma soluc¸a˜o da y ′ = F (x , y) que em x0 assuma o valor de y0 dado. Exemplos y ′ = xy e y(0) = 1; y ′ = y + x2 e y(1) = 0; y ′y = y 2 + x e y(1) = 1 :: De ::::::: segunda ::::: ordem : y ′′ = F (x , y , y ′) e y(x0) = y0 e y ′0 = y0, onde x0, y0 e y0 sa˜o valores dados. Este problema consiste em procurar soluc¸o˜es que atenda as condic¸o˜es dadas em x0. Exemplos y ′′ + y = 0 ; y(0) = 0 e y ′(0) = 1 y ′′ = −x2y ′ + xyy ′ + 1 ; y(1) = 0 e y ′(1) = 1 y ′′ = x2 + ex − y ′ + y 2 ; y(5) = 1 e y ′(5) = 1 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 3 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) Existe um nu´mero muito restrito de E.D.O. que podem ser resolvidos expressando suas soluc¸o˜es sob a forma anal´ıtica simples, de forma que, os me´todos nume´ricos que vamos apresentar sa˜o de fundamental importa˜ncia e u´teis no dia a dia da tecnologia. Os me´todos nume´ricos voltados a soluc¸a˜o das E.D.O. passa pela discretizac¸a˜o do continuo pois esta toma forma finita o problema permitindo assim o uso dos computadores. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 4 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) Existe um nu´mero muito restrito de E.D.O. que podem ser resolvidos expressando suas soluc¸o˜es sob a forma anal´ıtica simples, de forma que, os me´todos nume´ricos que vamos apresentar sa˜o de fundamental importa˜ncia e u´teis no dia a dia da tecnologia. Os me´todos nume´ricos voltados a soluc¸a˜o das E.D.O. passa pela discretizac¸a˜o do continuo pois esta toma forma finita o problema permitindo assim o uso dos computadores. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 4 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) Existe um nu´mero muito restrito de E.D.O. que podem ser resolvidos expressando suas soluc¸o˜es sob a forma anal´ıtica simples, de forma que, os me´todos nume´ricos que vamos apresentar sa˜o de fundamental importa˜ncia e u´teis no dia a dia da tecnologia. Os me´todos nume´ricos voltados a soluc¸a˜o das E.D.O. passa pela discretizac¸a˜o do continuo pois esta toma forma finita o problema permitindo assim o uso dos computadores. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 4 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas : 1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x) 2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y k(x0) para k = 0, 1, · · · ,m Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :{ y ′ = f (x , y) y(x0) = y0 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 5 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas : 1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x) 2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y k(x0) para k = 0, 1, · · · ,m Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :{ y ′ = f (x , y) y(x0) = y0 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 5 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas : 1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x) 2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y k(x0) para k = 0, 1, · · · ,m Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :{ y ′ = f (x , y) y(x0) = y0 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 5 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas : 1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x) 2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y k(x0) para k = 0, 1, · · · ,m Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :{ y ′ = f (x , y) y(x0) = y0 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 5 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas : 1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x) 2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y k(x0) para k = 0, 1, · · · ,m Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que : { y ′ = f (x , y) y(x0) = y0 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 5 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) Um P.V.I. e´ um conjunto de equac¸o˜es sa˜o dadas : 1 Uma E.D. de ordem m, F (x , y , y ′, · · · , ym) = 0 sendo y = y(x) 2 A func¸a˜o y = y(x) e suas derivadas em x0 ou seja y k(x0) para k = 0, 1, · · · ,m Neste unidade, iremos nos concentrar em analisar esquemas nume´ricos para soluc¸a˜o de Problemas de Valor Inicial(P.V.I.) para equac¸o˜es diferenciais de primeira e segunda ordem. Isto e´, achar a func¸a˜o y(x) tal que :{ y ′ = f (x , y) y(x0) = y0 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 5 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) Os esquemas nume´ricos calculam a aproximac¸a˜o de y(x) nos pontos x1, x2, x3, · · · , em que xk = x0 + kh. O valor da func¸a˜o no ponto xk e´ aproximado de yk que e´ obtido em func¸a˜o dos valores anteriores yk−1, yk−2, yk−3, · · · , y0. Desta forma, os esquemas nume´ricos determinam a aproximac¸a˜o da func¸a˜o para valores x > x0 que justifica o nome de ::::::: problema ::: de :::: valor ::::: inicial. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 6 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) Os esquemas nume´ricos calculam a aproximac¸a˜o de y(x) nos pontos x1, x2, x3, · · · , em que xk = x0 + kh. O valor da func¸a˜o no ponto xk e´ aproximado de yk que e´ obtido em func¸a˜o dos valores anteriores yk−1, yk−2,yk−3, · · · , y0. Desta forma, os esquemas nume´ricos determinam a aproximac¸a˜o da func¸a˜o para valores x > x0 que justifica o nome de ::::::: problema ::: de :::: valor ::::: inicial. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 6 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Problema de Valor Inicial(P.V.I) Os esquemas nume´ricos calculam a aproximac¸a˜o de y(x) nos pontos x1, x2, x3, · · · , em que xk = x0 + kh. O valor da func¸a˜o no ponto xk e´ aproximado de yk que e´ obtido em func¸a˜o dos valores anteriores yk−1, yk−2, yk−3, · · · , y0. Desta forma, os esquemas nume´ricos determinam a aproximac¸a˜o da func¸a˜o para valores x > x0 que justifica o nome de ::::::: problema ::: de :::: valor ::::: inicial. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 6 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Classificac¸a˜o dos Me´todos Os me´todos sa˜o classificados em duas classes : 1 ::::::: Me´todos :: de ::::: Passo ::::::: Simples : Sa˜o aqueles em que o ca´lculo de yk depende apenas de yk−1 2 ::::::: Me´todos :: de ::::: Passo ::::::: Mu´ltiplo :Sa˜o aqueles em que o ca´lculo de yk depende de m-valores anteriores yk−1, yk−2, yk−3, · · · , yk−m.Neste caso, dizemos que o me´todo e´ de m-passos Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 7 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Classificac¸a˜o dos Me´todos Os me´todos sa˜o classificados em duas classes : 1 ::::::: Me´todos :: de ::::: Passo ::::::: Simples : Sa˜o aqueles em que o ca´lculo de yk depende apenas de yk−1 2 ::::::: Me´todos :: de ::::: Passo ::::::: Mu´ltiplo :Sa˜o aqueles em que o ca´lculo de yk depende de m-valores anteriores yk−1, yk−2, yk−3, · · · , yk−m.Neste caso, dizemos que o me´todo e´ de m-passos Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 7 / 25 Soluc¸a˜o Nume´rica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) P.V.I Classificac¸a˜o dos Me´todos Os me´todos sa˜o classificados em duas classes : 1 ::::::: Me´todos :: de ::::: Passo ::::::: Simples : Sa˜o aqueles em que o ca´lculo de yk depende apenas de yk−1 2 ::::::: Me´todos :: de ::::: Passo ::::::: Mu´ltiplo :Sa˜o aqueles em que o ca´lculo de yk depende de m-valores anteriores yk−1, yk−2, yk−3, · · · , yk−m.Neste caso, dizemos que o me´todo e´ de m-passos Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 7 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de passo simples Me´todo de passo simples para { dy dx = f (x , y) y(x0) = y0 Os me´todos que vamos apresentar, sa˜o baseados na expansa˜o em se´rie de Taylor de y(x) , na forma : y(x + h) = y(x) + hy ′(x) + h2 2! y ′′(x) + · · · e na discretizac¸a˜o do intervalo [x0, xf ], colocando h > 0 e fazendo : x = x0 + h; onde h = xf − x0 n . Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 8 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de passo simples Me´todo de passo simples para { dy dx = f (x , y) y(x0) = y0 Os me´todos que vamos apresentar, sa˜o baseados na expansa˜o em se´rie de Taylor de y(x) , na forma : y(x + h) = y(x) + hy ′(x) + h2 2! y ′′(x) + · · · e na discretizac¸a˜o do intervalo [x0, xf ], colocando h > 0 e fazendo : x = x0 + h; onde h = xf − x0 n . Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 8 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de passo simples Me´todo de passo simples para { dy dx = f (x , y) y(x0) = y0 Os me´todos que vamos apresentar, sa˜o baseados na expansa˜o em se´rie de Taylor de y(x) , na forma : y(x + h) = y(x) + hy ′(x) + h2 2! y ′′(x) + · · · e na discretizac¸a˜o do intervalo [x0, xf ], colocando h > 0 e fazendo : x = x0 + h; onde h = xf − x0 n . Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 8 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de passo simples Me´todo de passo simples para { dy dx = f (x , y) y(x0) = y0 Os me´todos que vamos apresentar, sa˜o baseados na expansa˜o em se´rie de Taylor de y(x) , na forma : y(x + h) = y(x) + hy ′(x) + h2 2! y ′′(x) + · · · e na discretizac¸a˜o do intervalo [x0, xf ], colocando h > 0 e fazendo : x = x0 + h; onde h = xf − x0 n . Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 8 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de passo simples Me´todo de passo simples para { dy dx = f (x , y) y(x0) = y0 Os me´todos que vamos apresentar, sa˜o baseados na expansa˜o em se´rie de Taylor de y(x) , na forma : y(x + h) = y(x) + hy ′(x) + h2 2! y ′′(x) + · · · e na discretizac¸a˜o do intervalo [x0, xf ], colocando h > 0 e fazendo : x = x0 + h; onde h = xf − x0 n . Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 8 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de passo simples Me´todo de passo simples para { dy dx = f (x , y) y(x0) = y0 Os me´todos que vamos apresentar, sa˜o baseados na expansa˜o em se´rie de Taylor de y(x) , na forma : y(x + h) = y(x) + hy ′(x) + h2 2! y ′′(x) + · · · e na discretizac¸a˜o do intervalo [x0, xf ], colocando h > 0 e fazendo : x = x0 + h; onde h = xf − x0 n . Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 8 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de passo simples Me´todo de passo simples para { dy dx = f (x , y) y(x0) = y0 Os me´todos que vamos apresentar, sa˜o baseados na expansa˜o em se´rie de Taylor de y(x) , na forma : y(x + h) = y(x) + hy ′(x) + h2 2! y ′′(x) + · · · e na discretizac¸a˜o do intervalo [x0, xf ], colocando h > 0 e fazendo : x = x0 + h; onde h = xf − x0 n . Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 8 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de passo simples Note que, como y ′(x) = f (x , y) =⇒ y ′′(x) = f ′(x , y) e escrevemos : y(x + h) = y(x) + hf (x , y) + h2 2! f ′(x , y) + · · · Assim, construimos x1, x2, x3, · · · , na˜o necessariamente igualmente espac¸ados, mas na pra´tica colocamos xi+1 = xi + h, i = 0, 1, 2, · · · e calculamos as aproximac¸o˜es yi ≡ y(xi ) nestes pontos, usando o passo anterior( passo simples). Se usarmos mais que o anterior temos um me´todo de passo mu´ltiplo. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 9 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de passo simples Note que, como y ′(x) = f (x , y) =⇒ y ′′(x) = f ′(x , y) e escrevemos : y(x + h) = y(x) + hf (x , y) + h2 2! f ′(x , y) + · · · Assim, construimos x1, x2, x3, · · · , na˜o necessariamente igualmente espac¸ados, mas na pra´tica colocamos xi+1 = xi + h, i = 0, 1, 2, · · · e calculamos as aproximac¸o˜es yi ≡ y(xi ) nestes pontos, usando o passo anterior( passo simples). Se usarmos mais que o anterior temos um me´todo de passo mu´ltiplo. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 9 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de passo simples Note que, como y ′(x) = f (x , y) =⇒ y ′′(x) = f ′(x , y) e escrevemos : y(x + h) = y(x) + hf (x , y) + h2 2! f ′(x , y) + · · · Assim, construimos x1, x2, x3, · · · , na˜o necessariamente igualmente espac¸ados, mas na pra´tica colocamos xi+1 = xi + h, i = 0, 1, 2, · · · e calculamos as aproximac¸o˜es yi ≡ y(xi ) nestes pontos, usando o passo anterior( passo simples). Se usarmos mais que o anterior temos um me´todo de passo mu´ltiplo. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 9 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler A partir de x0 e y0 = y(x0) conhecidos, calculamos y ′(x0) = f (x0, y0).A reta r0 que passa por (x0, y0) com ceoficiente angular y ′(x0) tem a equac¸a˜o r0(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0). Fac¸a h = xi+1 − xi e y(x1) ∼= y1 = r0(x1) isto e´, y1 = y0 + hy ′(x0), enfim y1 = y0 + hf (x0, y0) Este esquema aplicado no ponto(xi , yi ), conhecidos, encontramos : y2 = y1 + hf (x1, y1) Procedendo assim, sucessivamente(por induc¸a˜o) obtemos a fo´rmula que caracteriza o me´todo de Euler : yi+1 = yi + hf (xi , yi ) , i = 0, 1, 2, 3, · · · O uso deste metodo e´ limitado pois em geral o erro acumulado durante o processo e´ grande (aproximac¸a˜o de primeira ordem) Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 10 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler A partir de x0 e y0 = y(x0) conhecidos, calculamos y ′(x0) = f (x0, y0).A reta r0 que passa por (x0, y0) com ceoficiente angular y ′(x0) tem a equac¸a˜o r0(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0). Fac¸a h = xi+1 − xi e y(x1) ∼= y1 = r0(x1) isto e´, y1 = y0 + hy ′(x0), enfim y1 = y0 + hf (x0, y0) Este esquema aplicado no ponto (xi , yi ), conhecidos, encontramos : y2 = y1 + hf (x1, y1) Procedendo assim, sucessivamente(por induc¸a˜o) obtemos a fo´rmula que caracteriza o me´todo de Euler : yi+1 = yi + hf (xi , yi ) , i = 0, 1, 2, 3, · · · O uso deste metodo e´ limitado pois em geral o erro acumulado durante o processo e´ grande (aproximac¸a˜o de primeira ordem) Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 10 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler A partir de x0 e y0 = y(x0) conhecidos, calculamos y ′(x0) = f (x0, y0).A reta r0 que passa por (x0, y0) com ceoficiente angular y ′(x0) tem a equac¸a˜o r0(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0). Fac¸a h = xi+1 − xi e y(x1) ∼= y1 = r0(x1) isto e´, y1 = y0 + hy ′(x0), enfim y1 = y0 + hf (x0, y0) Este esquema aplicado no ponto (xi , yi ), conhecidos, encontramos : y2 = y1 + hf (x1, y1) Procedendo assim, sucessivamente(por induc¸a˜o) obtemos a fo´rmula que caracteriza o me´todo de Euler : yi+1 = yi + hf (xi , yi ) , i = 0, 1, 2, 3, · · · O uso deste metodo e´ limitado pois em geral o erro acumulado durante o processo e´ grande (aproximac¸a˜o de primeira ordem) Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 10 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler A partir de x0 e y0 = y(x0) conhecidos, calculamos y ′(x0) = f (x0, y0).A reta r0 que passa por (x0, y0) com ceoficiente angular y ′(x0) tem a equac¸a˜o r0(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0). Fac¸a h = xi+1 − xi e y(x1) ∼= y1 = r0(x1) isto e´, y1 = y0 + hy ′(x0), enfim y1 = y0 + hf (x0, y0) Este esquema aplicado no ponto (xi , yi ), conhecidos, encontramos : y2 = y1 + hf (x1, y1) Procedendo assim, sucessivamente(por induc¸a˜o) obtemos a fo´rmula que caracteriza o me´todo de Euler : yi+1 = yi + hf (xi , yi ) , i = 0, 1, 2, 3, · · · O uso deste metodo e´ limitado pois em geral o erro acumulado durante o processo e´ grande (aproximac¸a˜o de primeira ordem) Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 10 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler A partir de x0 e y0 = y(x0) conhecidos, calculamos y ′(x0) = f (x0, y0).A reta r0 que passa por (x0, y0) com ceoficiente angular y ′(x0) tem a equac¸a˜o r0(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0). Fac¸a h = xi+1 − xi e y(x1) ∼= y1 = r0(x1) isto e´, y1 = y0 + hy ′(x0), enfim y1 = y0 + hf (x0, y0) Este esquema aplicado no ponto (xi , yi ), conhecidos, encontramos : y2 = y1 + hf (x1, y1) Procedendo assim, sucessivamente(por induc¸a˜o) obtemos a fo´rmula que caracteriza o me´todo de Euler : yi+1 = yi + hf (xi , yi ) , i = 0, 1, 2, 3, · · · O uso deste metodo e´ limitado pois em geral o erro acumulado durante o processo e´ grande (aproximac¸a˜o de primeira ordem) Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 10 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler A partir de x0 e y0 = y(x0) conhecidos, calculamos y ′(x0) = f (x0, y0).A reta r0 que passa por (x0, y0) com ceoficiente angular y ′(x0) tem a equac¸a˜o r0(x) = y(x0) + (x − x0)y ′(x0). Fac¸a h = xi+1 − xi e y(x1) ∼= y1 = r0(x1) isto e´, y1 = y0 + hy ′(x0), enfim y1 = y0 + hf (x0, y0) Este esquema aplicado no ponto (xi , yi ), conhecidos, encontramos : y2 = y1 + hf (x1, y1) Procedendo assim, sucessivamente(por induc¸a˜o) obtemos a fo´rmula que caracteriza o me´todo de Euler : yi+1 = yi + hf (xi , yi ) , i = 0, 1, 2, 3, · · · O uso deste metodo e´ limitado pois em geral o erro acumulado durante o processo e´ grande (aproximac¸a˜o de primeira ordem) Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 10 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Exemplo Determine a soluc¸a˜o do P.V.I.{ y ′ = 2− x + 3y y(0) = 1 em x = 0.2 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 11 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Exemplo Determine a soluc¸a˜o do P.V.I. { y ′ = 2− x + 3y y(0) = 1 em x = 0.2 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 11 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Exemplo Determine a soluc¸a˜o do P.V.I.{ y ′ = 2− x + 3y y(0) = 1 em x = 0.2 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 11 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o i) Esta equac¸a˜o e´ linear de primeira ordem (y ′ = 2− x + 3y) e este P.V.I tem como soluc¸a˜o exata : y(x) = 1 3 x + 14 9 e3x − 5 9 e y(0.2) = 0.2 3 + 14 9 e0.6 − 5 9 = 2, 345518 para 6 casas decimais. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 12 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o i) Esta equac¸a˜o e´ linear de primeira ordem (y ′ = 2− x + 3y) e este P.V.I tem como soluc¸a˜o exata : y(x) = 1 3 x + 14 9 e3x − 5 9 e y(0.2) = 0.2 3 + 14 9 e0.6 − 5 9 = 2, 345518 para 6 casas decimais. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 12 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o i) Esta equac¸a˜o e´ linear de primeira ordem (y ′ = 2− x + 3y) e este P.V.I tem como soluc¸a˜o exata : y(x) = 1 3 x + 14 9 e3x − 5 9 e y(0.2) = 0.2 3 + 14 9 e0.6 − 5 9 = 2, 345518 para 6 casas decimais. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 12 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o i) Esta equac¸a˜o e´ linear de primeira ordem (y ′ = 2− x + 3y) e este P.V.I tem como soluc¸a˜o exata : y(x) = 1 3 x + 14 9 e3x − 5 9 e y(0.2) = 0.2 3 + 14 9 e0.6 − 5 9 = 2, 345518 para 6 casas decimais. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 12 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler. Neste caso, usamos o passo h = 0.1. Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5. Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2, segue-se que : y2 = y1 + hf (x1, y1) = 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1)(6.4) = 2.14 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 13 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler. Neste caso, usamos o passo h = 0.1. Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5. Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2, segue-se que : y2 = y1 + hf (x1, y1) = 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1)(6.4) = 2.14 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 13 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler. Neste caso, usamos o passo h = 0.1. Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5. Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2, segue-se que : y2 = y1 + hf (x1, y1) = 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5)= 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1)(6.4) = 2.14 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 13 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler. Neste caso, usamos o passo h = 0.1. Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5. Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2, segue-se que : y2 = y1 + hf (x1, y1) = 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1)(6.4) = 2.14 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 13 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler. Neste caso, usamos o passo h = 0.1. Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5. Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2, segue-se que : y2 = y1 + hf (x1, y1) = 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1)(6.4) = 2.14 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 13 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler. Neste caso, usamos o passo h = 0.1. Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5. Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2, segue-se que : y2 = y1 + hf (x1, y1) = 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1)(6.4) = 2.14 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 13 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler. Neste caso, usamos o passo h = 0.1. Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5. Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2, segue-se que : y2 = y1 + hf (x1, y1) = 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1)(6.4) = 2.14 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 13 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler. Neste caso, usamos o passo h = 0.1. Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5. Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2, segue-se que : y2 = y1 + hf (x1, y1) = 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1)(6.4) = 2.14 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 13 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler. Neste caso, usamos o passo h = 0.1. Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5. Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2, segue-se que : y2 = y1 + hf (x1, y1) = 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1)(6.4) = 2.14 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 13 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Me´todo de Euler - Soluc¸a˜o ii) Vamos calcular o valor aproximado para y(0.2) usando o me´todo de Euler. Neste caso, usamos o passo h = 0.1. Temos : f (x , y) = 2− x + 3y ,logo f (0, 1) = 2 + 3 = 5. Mas, y1 = y0 + hf (0, 1) = 1 + (0, 1)(5) = 1 + 0, 5 = 1, 5 de x = 0.1 para x = 0.2, segue-se que : y2 = y1 + hf (x1, y1) = 1.5 + (0.1)f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1) ∗ (2− 0, 1 + 3 ∗ (1, 5))←− f (0.1; 1.5) = 1.5 + (0.1)(6.4) = 2.14 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 13 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Utilizando Tecnologia- Scilab 5.4.1 Acima,efetuamos o ca´lculo manualmente, agora passaremos a utlizar o computador para efetuarmos os ca´lculos, para o caso usamos o software livre Scilab-5.4.1(64-bit), a soluc¸a˜o: Tabela: Me´todo de Euler 1a. Ordem- no Scilab n xi Soluc¸a˜o exata Soluc¸a˜o Aproximada 0 0 1 0 1 0.1 1.5775581 1.5 2 0.2 2.3455181 2.14 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 14 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Utilizando Tecnologia- Scilab 5.4.1 Acima,efetuamos o ca´lculo manualmente, agora passaremos a utlizar o computador para efetuarmos os ca´lculos, para o caso usamos o software livre Scilab-5.4.1(64-bit), a soluc¸a˜o: Tabela: Me´todo de Euler 1a. Ordem- no Scilab n xi Soluc¸a˜o exata Soluc¸a˜o Aproximada 0 0 1 0 1 0.1 1.5775581 1.5 2 0.2 2.3455181 2.14 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 14 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Utilizando Tecnologia- Scilab 5.4.1 Acima,efetuamos o ca´lculo manualmente, agora passaremos a utlizar o computador para efetuarmos os ca´lculos, para o caso usamos o software livre Scilab-5.4.1(64-bit), a soluc¸a˜o: Tabela: Me´todo de Euler 1a. Ordem- no Scilab n xi Soluc¸a˜o exata Soluc¸a˜o Aproximada 0 0 1 0 1 0.1 1.5775581 1.5 2 0.2 2.3455181 2.14 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 14 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Utilizando Tecnologia - Excel - Programac¸a˜o em VBA Tabela: Me´todo de Euler 1a. Ordem- no Excel - VBA Entrada de Dados x0 0 y0 1 h 0,1 imax 2 i x y aprox y analitico 0 0 1 1 1 0,1 1,5 1,577558145 2 0,2 2,14 2,345518134 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 15 / 25 Me´todo de Passo Simples P.V.I Utilizando Tecnologia - Excel - Programac¸a˜o em VBA Tabela: Me´todo de Euler 1a. Ordem- no Excel - VBA Entrada de Dados x0 0 y0 1 h 0,1 imax 2 i x y aprox y analitico 0 0 1 1 1 0,1 1,5 1,577558145 2 0,2 2,14 2,345518134 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 15 / 25 Exerc´ıcios Propostos Exerc´ıcios Propostos Utilizando o Me´todo de Euler, determinar a soluc¸a˜o nume´rica para : (a) y(1) para y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 1 4 ; (b) y(1) para y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 0, 1; (c) y(0.5) para y ′ = y , y(0) = 1 com h = 0, 1; (d) y(1) para y ′ = y 2 + 1, y(0) = 0 com h = 0, 1 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 16 / 25 Exerc´ıcios Propostos Exerc´ıcios Propostos Utilizando o Me´todo de Euler, determinar a soluc¸a˜o nume´rica para : (a) y(1) para y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 1 4 ; (b) y(1) para y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 0, 1; (c) y(0.5) para y ′ = y , y(0) = 1 com h = 0, 1; (d) y(1) para y ′ = y 2 + 1, y(0) = 0 com h = 0, 1 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 16 / 25 Exerc´ıcios Propostos Exerc´ıcios Propostos Utilizando o Me´todo de Euler, determinar a soluc¸a˜o nume´rica para : (a) y(1) para y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 1 4 ; (b) y(1) para y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 0, 1; (c) y(0.5) para y ′ = y , y(0) = 1 com h = 0, 1; (d) y(1) para y ′ = y 2 + 1, y(0) = 0 com h = 0, 1 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 16 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o P.V.I Resolvendo uma Questaˆo Utilizando o Me´todo de Euler, determinar a soluc¸a˜o nume´rica de y(1) para y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 1 4 . Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 17 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o P.V.I Resolvendo uma Questaˆo Utilizando o Me´todo de Euler, determinar a soluc¸a˜o nume´rica de y(1) para y ′ = y − x , y(0) = 2 com h = 1 4 . Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 17 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Para este problema, vamos considerar: y ′i = f (xi , yi ) = yi−1 − xi−1 e yi = xi−1 + y ′i−1 ∗ h ou yi = xi−1 + f (xi−1, yi−1) ∗ h Para n = 0, temos x0 = 0, escrevendoy ′0 = f (x0, y0) = y0 − x0 = 2− 0 = 2 ∴ y’0 = 2 = y0 Para n = 1, temos x1 = x0 + h = 0 + 0, 25 = 0, 25 ∴ x1 = 0, 25 Como y1 = y0 + y ′0h, enta˜o y1 = 2 + (2)(0, 25) = 2 + 0, 5 = 2, 5 ∴ y1 = 2, 5 Para n = 2 temos x2 = x1 + h = 0, 25 + 0, 25 = 0, 50 ∴ x2 = 0, 50 Como y2 = y1 + y ′ 1h. Precisamos agora, calcular y ′1 = f (x1, y1) sendo y ′ 1 = f (x1, y1) = y1 − x1 temos y ′1 = 2, 5− 0, 25 = 2, 25 y’1 = 2, 25 Com o valor encontrado iremos calcular y2 = y1 + y ′ 1h = 2, 5 + (2, 25)(0, 25) = 2, 5 + 0, 5625 = 3, 0625. Assim : y2 = 3, 0625 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 18 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Para este problema, vamos considerar: y ′i = f (xi , yi ) = yi−1 − xi−1 e yi = xi−1 + y ′i−1 ∗ h ou yi = xi−1 + f (xi−1, yi−1) ∗ h Para n = 0, temos x0 = 0, escrevendo y ′0 = f (x0, y0) = y0 − x0 = 2− 0 = 2 ∴ y’0 = 2 = y0 Para n = 1, temos x1 = x0 + h = 0 + 0, 25 = 0, 25 ∴ x1 = 0, 25 Como y1 = y0 + y ′0h, enta˜o y1 = 2 + (2)(0, 25) = 2 + 0, 5 = 2, 5 ∴ y1 = 2, 5 Para n = 2 temos x2 = x1 + h = 0, 25 + 0, 25 = 0, 50 ∴ x2 = 0, 50 Como y2 = y1 + y ′ 1h. Precisamos agora, calcular y ′1 = f (x1, y1) sendo y ′ 1 = f (x1, y1) = y1 − x1 temos y ′1 = 2, 5− 0, 25 = 2, 25 y’1 = 2, 25 Com o valor encontrado iremos calcular y2 = y1 + y ′ 1h = 2, 5 + (2, 25)(0, 25) = 2, 5 + 0, 5625 = 3, 0625. Assim : y2 = 3, 0625 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 18 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Para este problema, vamos considerar: y ′i = f (xi , yi ) = yi−1 − xi−1 e yi = xi−1 + y ′i−1 ∗ h ou yi = xi−1 + f (xi−1, yi−1) ∗ h Para n = 0, temos x0 = 0, escrevendo y ′0 = f (x0, y0) = y0 − x0 = 2− 0 = 2 ∴ y’0 = 2 = y0 Para n = 1, temos x1 = x0 + h = 0 + 0, 25 = 0, 25 ∴ x1 = 0, 25 Como y1 = y0 + y ′0h, enta˜o y1 = 2 + (2)(0, 25) = 2 + 0, 5 = 2, 5 ∴ y1 = 2, 5 Para n = 2 temos x2 = x1 + h = 0, 25 + 0, 25 = 0, 50 ∴ x2 = 0, 50 Como y2 = y1 + y ′ 1h. Precisamos agora, calcular y ′1 = f (x1, y1) sendo y ′ 1 = f (x1, y1) = y1 − x1 temos y ′1 = 2, 5− 0, 25 = 2, 25 y’1 = 2, 25 Com o valor encontrado iremos calcular y2 = y1 + y ′ 1h = 2, 5 + (2, 25)(0, 25) = 2, 5 + 0, 5625 = 3, 0625. Assim : y2 = 3, 0625 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 18 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Para este problema, vamos considerar: y ′i = f (xi , yi ) = yi−1 − xi−1 e yi = xi−1 + y ′i−1 ∗ h ou yi = xi−1 + f (xi−1, yi−1) ∗ h Para n = 0, temos x0 = 0, escrevendo y ′0 = f (x0, y0) = y0 − x0 = 2− 0 = 2 ∴ y’0 = 2 = y0 Para n = 1, temos x1 = x0 + h = 0 + 0, 25 = 0, 25 ∴ x1 = 0, 25 Como y1 = y0 + y ′0h, enta˜o y1 = 2 + (2)(0, 25) = 2 + 0, 5 = 2, 5 ∴ y1 = 2, 5 Para n = 2 temos x2 = x1 + h = 0, 25 + 0, 25 = 0, 50 ∴ x2 = 0, 50 Como y2 = y1 + y ′ 1h. Precisamos agora, calcular y ′1 = f (x1, y1) sendo y ′ 1 = f (x1, y1) = y1 − x1 temos y ′1 = 2, 5− 0, 25 = 2, 25 y’1 = 2, 25 Com o valor encontrado iremos calcular y2 = y1 + y ′ 1h = 2, 5 + (2, 25)(0, 25) = 2, 5 + 0, 5625 = 3, 0625. Assim : y2 = 3, 0625 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 18 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Para este problema, vamos considerar: y ′i = f (xi , yi ) = yi−1 − xi−1 e yi = xi−1 + y ′i−1 ∗ h ou yi = xi−1 + f (xi−1, yi−1) ∗ h Para n = 0, temos x0 = 0, escrevendo y ′0 = f (x0, y0) = y0 − x0 = 2− 0 = 2 ∴ y’0 = 2 = y0 Para n = 1, temos x1 = x0 + h = 0 + 0, 25 = 0, 25 ∴ x1 = 0, 25 Como y1 = y0 + y ′0h, enta˜o y1 = 2 + (2)(0, 25) = 2 + 0, 5 = 2, 5 ∴ y1 = 2, 5 Para n = 2 temos x2 = x1 + h = 0, 25 + 0, 25 = 0, 50 ∴ x2 = 0, 50 Como y2 = y1 + y ′ 1h. Precisamos agora, calcular y ′1 = f (x1, y1) sendo y ′ 1 = f (x1, y1) = y1 − x1 temos y ′1 = 2, 5− 0, 25 = 2, 25 y’1 = 2, 25 Com o valor encontrado iremos calcular y2 = y1 + y ′ 1h = 2, 5 + (2, 25)(0, 25) = 2, 5 + 0, 5625 = 3, 0625. Assim : y2 = 3, 0625 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 18 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Para este problema, vamos considerar: y ′i = f (xi , yi ) = yi−1 − xi−1 e yi = xi−1 + y ′i−1 ∗ h ou yi = xi−1 + f (xi−1, yi−1) ∗ h Para n = 0, temos x0 = 0, escrevendo y ′0 = f (x0, y0) = y0 − x0 = 2− 0 = 2 ∴ y’0 = 2 = y0 Para n = 1, temos x1 = x0 + h = 0 + 0, 25 = 0, 25 ∴ x1 = 0, 25 Como y1 = y0 + y ′0h, enta˜o y1 = 2 + (2)(0, 25) = 2 + 0, 5 = 2, 5 ∴ y1 = 2, 5 Para n = 2 temos x2 = x1 + h = 0, 25 + 0, 25 = 0, 50 ∴ x2 = 0, 50 Como y2 = y1 + y ′ 1h. Precisamos agora, calcular y ′1 = f (x1, y1) sendo y ′ 1 = f (x1, y1) = y1 − x1 temos y ′1 = 2, 5− 0, 25 = 2, 25 y’1 = 2, 25 Com o valor encontrado iremos calcular y2 = y1 + y ′ 1h = 2, 5 + (2, 25)(0, 25) = 2, 5 + 0, 5625 = 3, 0625. Assim : y2 = 3, 0625 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 18 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Para este problema, vamos considerar: y ′i = f (xi , yi ) = yi−1 − xi−1 e yi = xi−1 + y ′i−1 ∗ h ou yi = xi−1 + f (xi−1, yi−1) ∗ h Para n = 0, temos x0 = 0, escrevendo y ′0 = f (x0, y0) = y0 − x0 = 2− 0 = 2 ∴ y’0 = 2 = y0 Para n = 1, temos x1 = x0 + h = 0 + 0, 25 = 0, 25 ∴ x1 = 0, 25 Como y1 = y0 + y ′0h, enta˜o y1 = 2 + (2)(0, 25) = 2 + 0, 5 = 2, 5 ∴ y1 = 2, 5 Para n = 2 temos x2 = x1 + h = 0, 25 + 0, 25 = 0, 50 ∴ x2 = 0, 50 Como y2 = y1 + y ′ 1h. Precisamos agora, calcular y ′1 = f (x1, y1) sendo y ′ 1 = f (x1, y1) = y1 − x1 temos y ′1 = 2, 5− 0, 25 = 2, 25 y’1 = 2, 25 Com o valor encontrado iremos calcular y2 = y1 + y ′ 1h = 2, 5 + (2, 25)(0, 25) = 2, 5 + 0, 5625 = 3, 0625. Assim : y2 = 3, 0625 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 18 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Vamos continuar: Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como y3 = y2 + y ′ 2h. Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y ′ 2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625 Com o valor encontrado iremos calcular y3 = y2 + y ′ 2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406 = 3, 703125. Assim : y3 = 3, 703125 Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h. Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y ′ 3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125 Com o valor encontrado iremos calcular y4 = y3 + y ′ 3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406. Assim : y4 = 4, 441406 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 19 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Vamos continuar: Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como y3 = y2 + y ′ 2h. Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y ′ 2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625 Com o valor encontrado iremos calcular y3 = y2 + y ′ 2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406 = 3, 703125. Assim : y3 = 3, 703125 Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h. Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y ′ 3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125 Com o valor encontrado iremos calcular y4 = y3 + y ′ 3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406. Assim : y4 = 4, 441406 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 19 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Vamos continuar: Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como y3 = y2 + y ′ 2h. Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y ′ 2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625 Com o valor encontrado iremos calcular y3 = y2 + y ′ 2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406= 3, 703125. Assim : y3 = 3, 703125 Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h. Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y ′ 3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125 Com o valor encontrado iremos calcular y4 = y3 + y ′ 3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406. Assim : y4 = 4, 441406 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 19 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Vamos continuar: Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como y3 = y2 + y ′ 2h. Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y ′ 2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625 Com o valor encontrado iremos calcular y3 = y2 + y ′ 2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406 = 3, 703125. Assim : y3 = 3, 703125 Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h. Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y ′ 3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125 Com o valor encontrado iremos calcular y4 = y3 + y ′ 3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406. Assim : y4 = 4, 441406 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 19 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Vamos continuar: Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como y3 = y2 + y ′ 2h. Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y ′ 2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625 Com o valor encontrado iremos calcular y3 = y2 + y ′ 2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406 = 3, 703125. Assim : y3 = 3, 703125 Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h. Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y ′ 3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125 Com o valor encontrado iremos calcular y4 = y3 + y ′ 3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406. Assim : y4 = 4, 441406 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 19 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Vamos continuar: Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como y3 = y2 + y ′ 2h. Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y ′ 2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625 Com o valor encontrado iremos calcular y3 = y2 + y ′ 2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406 = 3, 703125. Assim : y3 = 3, 703125 Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h. Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y ′ 3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125 Com o valor encontrado iremos calcular y4 = y3 + y ′ 3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406. Assim : y4 = 4, 441406 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 19 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Vamos continuar: Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como y3 = y2 + y ′ 2h. Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y ′ 2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625 Com o valor encontrado iremos calcular y3 = y2 + y ′ 2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406 = 3, 703125. Assim : y3 = 3, 703125 Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h. Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y ′ 3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125 Com o valor encontrado iremos calcular y4 = y3 + y ′ 3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406. Assim : y4 = 4, 441406 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 19 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Vamos continuar: Para n = 3 temos x3 = x2 + h = 0, 50 + 0, 25 = 0, 75 ∴ x3 = 0, 750 Como y3 = y2 + y ′ 2h. Precisamos agora, calcular y ′2 = f (x2, y2) sendo y ′ 2 = f (x2, y2) = y2 − x2 temos y ′2 = 3, 0625− 0, 50 = 2, 5625 y’2 = 2, 5625 Com o valor encontrado iremos calcular y3 = y2 + y ′ 2h = 3, 0625 + (2, 5625)(0, 25) = 3, 0625 + 0, 6406 = 3, 703125. Assim : y3 = 3, 703125 Para n = 4 temos x4 = x3 + h = 0, 75 + 0, 25 = 1 ∴ x4 = 1 Como y4 = y3 + y ′3h. Precisamos agora, calcular y ′3 = f (x3, y3) sendo y ′ 3 = f (x3, y3) = y3 − x3 temos y ′3 = 3, 703125− 0, 75 = 2, 953125 y’3 = 2, 953125 Com o valor encontrado iremos calcular y4 = y3 + y ′ 3h = 3, 703125 + (2, 953125)(0, 25) = 3, 703125 + 0, 738281 = 4, 441406. Assim : y4 = 4, 441406 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 19 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Vamos calcular o valor exato e o valor aproximado colocando-os numa tabela. O valor exato para a equac¸a˜o dada, isto e´, para y ′ = y − x , y(0) = 2 e´ y = ex + x + 1, vejamos os valores verdadeiros para x ∈ [0, 1] com h = 0, 25. i xi y = e x + x + 1 yexato yaproxEuler 0 0 y = e0 + 0 + 1 2.000000 2.000000 1 0.25 y = e0.25 + 0.25 + 1 2.534025 2.500000 2 0.50 y = e0.50 + 0.50 + 1 3.148721 3.062500 3 0.75 y = e0.75 + 0.75 + 1 3.867000 3.703125 4 1 y = e1 + 1 + 1 4.718282 4.441406 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 20 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Vamos calcular o valor exato e o valor aproximado colocando-os numa tabela. O valor exato para a equac¸a˜o dada, isto e´, para y ′ = y − x , y(0) = 2 e´ y = ex + x + 1, vejamos os valores verdadeiros para x ∈ [0, 1] com h = 0, 25. i xi y = e x + x + 1 yexato yaproxEuler 0 0 y = e0 + 0 + 1 2.000000 2.000000 1 0.25 y = e0.25 + 0.25 + 1 2.534025 2.500000 2 0.50 y = e0.50 + 0.50 + 1 3.148721 3.062500 3 0.75 y = e0.75 + 0.75 + 1 3.867000 3.703125 4 1 y = e1 + 1 + 1 4.718282 4.441406 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 20 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Vamos calcular o valor exato e o valor aproximado colocando-os numa tabela. O valor exato para a equac¸a˜o dada, isto e´, para y ′ = y − x , y(0) = 2 e´ y = ex + x + 1, vejamos os valores verdadeiros para x ∈ [0, 1] com h = 0, 25. i xi y = e x + x + 1 yexato yaproxEuler 0 0 y = e0 + 0 + 1 2.000000 2.000000 1 0.25 y = e0.25 + 0.25 + 1 2.534025 2.500000 2 0.50 y = e0.50 + 0.50 + 1 3.148721 3.062500 3 0.75 y = e0.75 + 0.75 + 1 3.867000 3.703125 4 1 y = e1 + 1 + 1 4.718282 4.441406 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 20 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Usando Tecnologia - Excel Tabela: Me´todo Euler Entrada de Dados x0 0 y0 2 h 0,25 imax 4 i x y aprox y analitico f(x,y) 0 0 2 2 1 0,25 2,5 2,534025417 2,25 2 0,5 3,0625 3,148721271 2,5625 3 0,75 3,703125 3,867000017 2,953125 4 1 4,441406 4,718281828 3,441406 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 21 / 25 Exerc´ıcios Propostos Resolvendo uma Questa˜o Soluc¸a˜o Usando Tecnologia - Excel Tabela: Me´todo Euler Entrada de Dados x0 0 y0 2 h 0,25 imax 4 i x y aprox y analitico f(x,y) 0 0 2 2 1 0,25 2,5 2,534025417 2,25 2 0,5 3,0625 3,148721271 2,5625 3 0,75 3,703125 3,867000017 2,953125 4 1 4,441406 4,718281828 3,441406 Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 21 / 25 Bibliografia Refereˆncias I ARENALES, Selma; DAREZZO, Artur. Ca´lculo Nume´rico: aprendizagem com apoio de software. Sa˜o Paulo: Cengage Learning, 2010. BARROSO, L. e outros. Ca´lculo Nume´rico com Aplicac¸o˜es Sa˜o Paulo: Habra, 2006 BRAGA, Carlos A. CAPISTRANO, Roberto.DELGADO, Solange. MOREIRA, Jose´ Vicente. Notas de Aulas de Ca´lculo Nume´rico Joa˜o Pessoa: UNIPEˆ, 2014. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 22 / 25 Bibliografia Refereˆncias II BURIAN, Reinaldo; LIMA, Antonio Carlos de; HETEM JUNIOR, Annibal. Ca´lculo Nume´rico Fundamentos de Informa´tica Rio de Janeiro: LTC, 2012. CUNHA, M. Cristina. Me´todos Nume´ricos Sa˜o Paulo: Editora da Unicamp, 2006. FRANCO, Neide Bertoldi Ca´lculo Nume´rico Sa˜o Paulo: Pearson, 2006. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 23 / 25 Bibliografia Refereˆncias III GILAT, Amos; SUBRAMANIAM, Vish. Me´todos Nume´ricos para Engenheiros e Cientistas Uma introduc¸a˜o com aplicac¸o˜es usando o MATLAB Porto Alegre: Bookman, 2013. SANTOS, V. R. Curso de Ca´lculo Nume´rico Sa˜o Paulo; Livro Te´cnicos e Cient´ıficos, 2005. MATOS, Marivaldo P. Se´ries e Equac¸o˜es Diferenciais Sa˜o Paulo: Prentice, Hall, 2001. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 24 / 25 Bibliografia Refereˆncias IV SPERANDIO, De´cio; MENDES, Joa˜o Teixeira; SILVA, Luiz Henry Monken e Ca´lculo Nume´rico: Caracter´ısticas Matema´ticas e Computacionais dos Me´todos Nume´ricos Sa˜o Paulo: McGraw-Hill, 2007. Prof. Roberto Capistrano Ca´lculo Nume´rico 25 / 25 Solução Numérica de E.D.O. Problema de Valor Inicial(P.V.I) Método de Passo Simples Exercícios Propostos Resolvendo uma Questão Bibliografia
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