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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE FÍSICA GERAL FIS122 – FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II-E / LABORATÓRIO TURMA P14 DATA: 27/03/2006 EQUIPE: xxxx xxxx xxxx xxxx MÍNIMOS QUADRADOS � Introdução Para a metodologia científica e aplicação da própria ciência, o processo de medida é essencial. O método dos mínimos quadrados visa justamente encontrar a medida mais próxima do ideal. Este método consiste em: Obtendo-se várias medidas de uma mesma quantidade física que estão sujeitas a erros aleatórios, o valor mais provável desta medida é o que torna a soma dos quadrados dos erros um mínimo. Realizou-se este experimento com o objetivo de verificar a eficácia deste método. Visto que uma das melhores maneiras de sistematizar o estudo prático da ciência é através da elaboração de gráficos, o método dos mínimos quadrados ajuda a encontrar a melhor representação gráfica com base nos dados obtidos. Procedimento Experimental Com base no roteiro do laboratório referente a este experimento, utilizou-se o papel milimetrado para representar 6 círculos recortados de tamanhos diferentes com o objetivo de mensurar as respectivas áreas e raios. Resolução do exercício 4, pg. 8 do roteiro: 4.1) Tabela Principal R(mm) A(R) (mm2) 22,00 1.493 26,17 1.995 34,33 3.495 38,67 4.628 51,83 8.254 61,67 11.965* * Visto que estes dados foram realizados em um curto espaço de tempo, observou-se posteriormente que a última área possuía um erro considerável. Foi refeita a contagem e alterou-se o valor de 16.556 para 11.965. 4.2) EM ANEXO 4.3) EM ANEXO Obs.: Para este experimento utilizamos o papel milimetrado conforme requisitado pelo professor. 4.4) Observando-se que a relação entre A e R é quadrática e do tipo A=KRm, a melhor forma de linearização é a linearização por logaritmo: A = KRm (aplicando log em ambos os lados) logA = logKRm (aplicando as propriedades de log) logA = logK + m.logR (equivalente a Y = aX +b) Ajustando os dados obtidos pelo método dos mínimos quadrados com os logaritmos aplicados a A e R, obtemos a seguinte tabela: R1 R2 R3 R4 R5 R6 Σ Xi (mm) → logR 1,34 1,42 1,54 1,59 1,71 1,79 9,39 Yi (mm2) → logA 3,17 3,29 3,54 3,66 3,91 4,07 21,64 XiYi (mm2) 4,2478 4,6718 5,4516 5,8194 6,6861 7,2853 34,162 (Xi)2 (mm2) 1,7956 2,0164 2,3716 2,5281 2,9241 3,2041 14,8399 Cálculo de a: A = (n.ΣXiYi – ΣXi. ΣYi)/(n. Σx2 – [Σx]2) A = (6 . 34,162 – 9,39 . 21,64) / (6.14,8399 – 88,1721) A = 1,7724/0,8673 .: A = 2,044 = m Cálculo de b: B = (21,64 – 2,0044*9,39)/6 B = 0,4085 Logo, k = 10B = 2,56 4.5) Pois a relação entre raio e área é uma função quadrática (A = π.R2) e o método dos mínimos quadrados é utilizado para obter um gráfico onde a relação é linear. Por isso, A e R não podem ser a plicadas diretamente nas expressões 11 e 12. 4.6) Não. Pois a relação entre o raio do círculo e a área é dada através da expressão A=π.R2. Ao linearizar esta relação esperava-se obter o coeficiente angular (m) igual a dois. Isto foi encontrado experimentalmente (m=2,04). Cálculo da discrepância: Δ = | (Vt –Ve)/Vt|*100 = |(2 – 2,04)/2|*100 .: Δ = 2% Já o coenficiente linear (b) que deveria satisfazer a igualdade 10b = π = 3,14, não possuiu um valor satisfatório. Sua discrepância relativa foi maior do que 10%, conforme observado nos cálculos abaixo. Cálculo da discrepância: Δ = | (Vt –Ve)/Vt|*100 = |(3,14 – 2,56)/3,14|*100 .: Δ = 18,5% O resultado de (b) não foi satisfatório provavelmente devido a um erro experimental na obtenção de A e R já que não foram medidos com instrumentos adequados. Outro possível erro seria equivocar-se com as operações matemáticas, porém como estas foram realizadas diversas vezes descartou-se esta possibilidade. Visando comprovar a validade do método dos mínimos quadrados, foi realizada uma nova contagem a fim de encontrar um valor mais satisfatório para (b). Cálculos e gráficos em anexo. Conclusão Apesar de um erro ter comprometido a análise do experimento, após verifica-lo e corrigi-lo, comprovou-se a eficácia do método dos mínimos quadrados. Já que as discrepâncias relativas encontradas para as constantes foi menor que 10%. � ANEXOS � NOVA CONTAGEM E NOVO GRÁFICO � Tabela Principal R(mm) A(R) (mm2) 22,00 1.538 26,17 2.134 34,33 3.691 38,67 4.689 51,83 8.428 61,67 11.960 Tabela auxiliar logR(mm) logA(R) (mm2) 1,34 3,19 1,42 3,33 1,54 3,57 1,59 3,67 1,71 3,93 1,79 4,08 A = KRm (aplicando log em ambos os lados) logA = logKRm (aplicando as propriedades de log) logA = logK + m.logR (equivalente a Y = aX +b) Cálculo de a: A = (n.ΣXiYi – ΣXi. ΣYi)/(n. Σx2 – [Σx]2) A = (6 . 34,3598 – 9,39 . 21,77) / (6.14,8399 – 88,1721) A = 1,7385/0,8673 .: A = 2,0044 = m Cálculo de b: B = (21,77 – 2,0044*9,39)/6 B = 0,49 Logo, k = 10B = 3,10
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