03 - Métodos Matemáticos

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Métodos 
Matemáticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivos 
 
 Objetivo 1 
o Aplicar as principais propriedades de Álgebra Linear; 
 Objetivo 2 
o Esclarecer os conceitos de cálculo numérico, tais como: interpolação e 
integração numérica; 
 Objetivo 3 
o Calcular estatísticas, regressão linear, organização de dados, medidas de 
tendência central e de dispersão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conteúdo 
 
UNIDADE 1 - Introdução à Álgebra Línea 
 
Aula 1 - Matrizes 
Aula 2 - Sistemas Lineares 
Aula 3 - Autovalores e Auto vetores 
 
UNIDADE 2 - Cálculo numérico 
 
Aula 1 - Zeros de funções 
Aula 2 - Interpolação 
Aula 3 - Integração numérica 
 
UNIDADE 3 - Probabilidade e estatística 
 
Aula 1 - Introdução à probabilidade e estatística 
Aula 2 - Medidas de tendência central e de dispersão 
Aula 3 - Regressão linear e correlação 
 
UNIDADE 4 - Estatística aplicada e probabilidade 
 
Aula 1 - Estatística descritiva 
Aula 2 - Probabilidade 
Aula 3 - Métodos de tomada de decisão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
Olá, estudante! 
Desejamos boas-vindas à disciplina de Métodos Matemáticos. Nesta disciplina, 
trabalharemos com os tópicos mais importantes da álgebra, cálculo numérico e 
probabilidade. Inicialmente, abordaremos a Álgebra Linear, com a estrutura 
algébrica conhecida por matriz e suas principais propriedades. Uma vez definido 
o que é uma matriz, introduziremos as operações com essa estrutura algébrica e 
o conceito de determinantes. Para entender melhor, alguns exemplos práticos 
relacionados à engenharia serão considerados. 
Em segundo lugar, trabalharemos com os conceitos de cálculo numérico, tais 
como: interpolação e integração numérica. Estes conceitos são ferramentas 
fundamentais quando nos deparamos com problemas práticos, cuja solução 
não é possível de se obter com métodos analíticos, gerando a necessidade do 
uso de métodos numéricos. Encerraremos a disciplina com os conceitos 
fundamentais de probabilidade e estatística, em que abordaremos as questões 
de hipóteses estatísticas, regressão linear, organização de dados, medidas de 
tendência central e de dispersão, entre outros conceitos importantes. Vale 
lembrar que essa disciplina é uma das mais importantes na engenharia, pois ela 
permite, além da álgebra, ênfases em cálculo numérico e estatística, que são 
fundamentais na profissão de engenheiro, uma vez que esses conceitos formam 
a base matemática da profissão. 
 
 
 
Competências 
Ao fim desta disciplina, você deverá ser capaz de: 
 aplicar matrizes e suas operações na resolução de sistemas lineares e 
conhecer as aplicações de vetores e suas operações. 
 calcular interpolação polinomial com a finalidade de aproximar funções 
reais e aproximar a integral definida de uma função por meio de técnicas 
numéricas. 
 descrever os fundamentos probabilísticos e estatísticos para tomada de 
decisão necessários na prática profissional da área de exatas e 
Engenharias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 1 - Aula 1 - Matrizes 
 
Introdução da Unidade 
 
Objetivos da Unidade 
Ao final desta Unidade, você será capaz de: 
esclarecer a representação de dados na forma matricial; 
identificar modelagem de problemas aplicados como sistema de equações lineares; 
aplicar vetores e suas operações na resolução de problemas geométricos aplicados. 
Estudante, quando escutamos o termo “métodos matemáticos”, é natural que o primeiro 
conceito que vem em nossa cabeça é a relação com a realização de inúmeros cálculos, 
às vezes até sem-fim. Mas, será que estamos corretos sobre esse conceito? 
Para iniciar seu entendimento sobre os conceitos abordados, trabalharemos com a ideia 
de matrizes, as quais são, em linguagem popular, tabelas com um gama de dados. As 
matrizes são objetos matemáticos úteis para organização e manipulação de dados 
computacionalmente. Após essa ênfase no conceito de matrizes, estudaremos outro 
conceito que é muito comum, especialmente em modelagem: sistemas lineares. Os 
sistemas lineares podem ser aplicados em diversas situações, por exemplo, no 
balanceamento de equações químicas, no cálculo de lucros e dividendos de em empresa, 
nos problemas de otimização, na resistência de vigas, entre muitas outras aplicações 
comuns em nosso cotidiano. 
Por fim, encerraremos a unidade com o conceito de autovalores e autovetores, os quais, 
em geral, são utilizados em problemas de otimização computacional e em aplicações 
voltadas para a área da física em contexto de mecânica. 
Para exemplificar, suponha que você tem que lidar com um problema de construção 
civil, cujo objetivo é avaliar a resistência das vigas. Para resolver essa questão, você, 
inicialmente, trabalhará com a experimentação da situação e coletará os dados dela. A 
partir disso, montará a matriz com os dados. Com a matriz em mãos, por meio de 
sistemas lineares e operações com matrizes, você poderá validar a sua hipótese sobre a 
resistência das vigas. Esta, porém, não é a única situação em engenharia que você pode 
utilizar tais conceitos. Existem muitas outras, como predição de níveis de poluição 
atmosférica, na engenharia ambiental; concentração de solventes, na engenharia 
química; relatórios financeiros empresariais, no setor público ou privado; entre muitas 
outras aplicações. Já se imaginou trabalhando com as matrizes e os sistemas lineares 
sob essa visão? Para lhe auxiliar, aprenderemos, no decorrer desta unidade, um pouco 
mais sobre esses objetos. Mãos à obra! 
 
 
Introdução da Aula 
 
Qual é o foco da aula? 
Nesta aula, você estudará sobre Matrizes. 
Objetivos gerais de aprendizagem 
Ao final desta aula, você será capaz de: 
 identificar a importância do papel das matrizes quando se trata de dados 
dispostos em tabelas; 
 descrever como realizar operações com dados das matrizes; 
 empregar o conceito de matrizes e determinantes. 
Situação-problema 
Nesta aula, entenderemos o conceito de matrizes e determinantes por meio de exemplos 
práticos e das definições dadas pela matemática em si. Com isso, você compreenderá a 
importância do papel das matrizes quando se trata de dados dispostos em tabelas e como 
realizar operações com esses dados. 
Como exemplo dessa abordagem, podemos considerar uma experimentação de 
resistência de vigas de uma construção civil, em que se obteve os valores das 
componentes das forças para cada uma das realizações do experimento. Os dados foram 
todos dispostos em tabelas, as quais, por sua vez, podem ser dispostas em matrizes para 
realização de cálculos, a fim de se atingir o objetivo da pesquisa ou do trabalho, que 
pode ser, por exemplo, o tempo total gasto para realização do experimento ou a escala 
das forças consideradas nele. Portanto, o uso de operações utilizando-se o conceito de 
matriz permite um melhor entendimento e interpretações do experimento em questão. 
Vamos criar uma situação hipotética para exemplificar o uso de matrizes no dia a dia de 
trabalho, especialmente em áreas relacionadas à engenharia. 
Imagine que você foi convocado e nomeado para realizar uma verificação do último 
relatório bimestral de uma empresa de construção civil no ano de 2020 em relação às 
vendas de cimento e cal. Os dados de venda da empresa são descritos pela matriz: 
 
Cada elemento dessa matriz representa o número de unidades dos produtos do tipo i (i = 
1). A representação do cimento (i = 2) e a representação da cal vendidos no mês j (j = 1) 
representam novembro, e j = 2 representa dezembro. De acordo com as exigências, foi-
lhe pedido para verificar as seguintes questões: 
1. Qual produto e em qual mês foi vendido menos sacos? Qual a maior diferença 
de vendas entre os produtos nos meses correspondentes? 
2. Qual foi a arrecadação bruta da empresa no bimestre com esses dois tipos de 
produtos, se o pacote de cimento custa R$30,00 e o pacote de cal custa R$50,00? 
Qual foi a arrecadação bruta de cada mês?Que tal começar esse entendimento agora? Você será acompanhado em todo o processo. 
Iniciaremos com os conceitos fundamentais de matrizes, para que você possa entender a 
relação delas com a disposição de dados em tabelas e como realizar operações. 
 
Conceito de Matriz 
Ao estudar métodos matemáticos, deparamo-nos com diversos conceitos. Nesta aula, 
abordaremos um conceito usual em muitas áreas do conhecimento, o conceito de 
matrizes. As matrizes são essenciais para muitos problemas, não apenas porque elas 
“ordenam e simplificam”, mas também porque oferecem novos métodos de resoluções e 
novos olhares sobre o problema. 
Neste aspecto, entende-se por uma matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas 
e colunas. Por exemplo, ao coletarmos dados referentes às concentrações de pH do rio 
Columbia no primeiro trimestre dos anos de 2013 a 2015, podemos dispô-los na tabela a 
seguir. 
 
 
Concentrações de pH do rio Columbia de acordo com a estação de monitoramento de 
água Umatilla do estado de Washington, nos Estados Unidos, no período de 2013 a 
2015. Fonte: https://bit.ly/384JRCT. Acesso em: 20 jan. 2021. 
 
 
 
Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas, obtemos a seguinte matriz: 
______ 
• Reflita 
Quando temos uma tabela com uma enorme quantidade de linhas e colunas, isto é, 
diversas variáveis, é viável a disposição desses dados em forma de matriz? 
______ 
Uma questão que você pode estar se perguntando é: quais são os elementos que as 
matrizes podem incorporar? Na primeira impressão, pode parecer que as matrizes 
incorporam apenas números, porém elas podem incorporar muitos outros elementos, por 
exemplo, funções, matrizes, números complexos etc. De fato, considere a matriz: 
 
 
Essa matriz contém em suas entradas números complexos e equações/funções 
algébricas. Logo, uma matriz pode também conter uma combinação de elementos de 
natureza diferente, não sendo exclusivamente formada por apenas números. 
Outro fator importante quando se trabalha com matriz é a representação dela em termos 
algébricos. Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por: 
 
 
 
______ 
• Assimile 
 
 
______ 
Quando se fala de matriz, uma propriedade que merece destaque é a de igualdade de 
matrizes. Diremos que duas matrizes são iguais se elas têm necessariamente o mesmo 
número de linhas e colunas e seus termos correspondentes são todos iguais. 
______ 
ෝ Exemplificando 
Considere as matrizes de concentrações de pH de dois rios aleatórios: 
 
Note que, embora os números apresentados em ambas as matrizes sejam iguais, as 
matrizes não são iguais, pois o número de linhas e colunas são diferentes e os elementos 
na posição correspondente também são diferentes. 
______ 
Uma segunda propriedade das matrizes é a operação de adição de matrizes. Por 
exemplo, consideramos as tabelas abaixo, as quais descrevem a produção de materiais 
de construção em dois anos consecutivos em três regiões brasileiras. 
 
 
 
Produção de materiais de construção (em milhões de toneladas) no primeiro ano. Fonte: 
elaborada pelo autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Produção de materiais de construção (em milhões de toneladas) no segundo ano. Fonte: 
elaborada pelo autor. 
Suponha que nosso interesse seja descrever uma tabela que nos dê a produção por 
material de construção e por região nos dois anos conjuntamente. Como procederemos? 
Ora, neste caso, partimos da operação conhecida como adição de matrizes. Para realizá-
la, devemos verificar se ambas as tabelas têm o mesmo número de linhas e de colunas. 
No nosso exemplo, essa condição é satisfeita. Logo, basta somar os elementos 
correspondentes e teremos a resposta para nosso objetivo! Assim: 
 
Portanto, a produção por material de construção e por região nos dois anos 
conjuntamente é descrita pela tabela abaixo. 
 
 
Produção de materiais de construção (em milhões de toneladas) nos dois anos. Fonte: 
elaborada pelo autor. 
______ 
 
• Assimile 
 
Além da adição e da igualdade de matrizes, duas outras operações são comuns ao 
estudarmos matrizes: a multiplicação de um escalar (número) por uma matriz e a 
multiplicação de matrizes. Ambas as operações podem ser definidas formalmente 
como: 
 
A primeira operação definida é relativamente simples, pois basta multiplicar o número 
por cada elemento da matriz. Quanto à segunda operação, devemos tomar um certo 
cuidado com ela. Por quê? Vamos ver algumas observações do produto de matrizes: 
 Só podemos multiplicar duas matrizes A e B se o número de colunas de A for 
igual ao número de linhas de B. 
 O elemento é obtido multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira 
matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz e 
somando-se esses produtos. 
 O produto AB das matrizes A e B geralmente é diferente do produto BA das 
matrizes B e A. Além disso, em qualquer um dos casos, o produto pode não 
existir. 
Para exemplificar essa operação, consideraremos a matriz A, que representa o quadro 
com o número de engenheiros de uma construção civil, e B como uma matriz que 
representa o número de projetos disponíveis em cada área da empresa, em que: 
 
Suponha que o interesse seja multiplicar ambos os quadros, a fim de monitorar os 
recursos para a disposição dos projetos associados aos engenheiros. Neste caso, 
queremos trabalhar com o produto da matriz A com a matriz B. Isto é, 
 
Como o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B, 
podemos realizar o produto, e o resultado é uma matriz dada pelo número de linhas de 
A com o número de colunas de B, isto é, a ordem da matriz resultante é . Assim: 
 
Portanto, a matriz que representa os recursos para a disposição dos projetos associados 
aos engenheiros da empresa é dada por: 
 
 
 
Tipos de Matrizes 
Agora que sabemos algumas das operações básicas de matrizes, interessa-nos saber 
quais são os tipos de matrizes que podemos encontrar em nossas situações-problema. 
Dos tipos conhecidos de matrizes, destacaremos dez deles: 
 
 
Agora que conhecemos os tipos de matrizes e as operações básicas em relação às 
matrizes, podemos definir o que é um determinante de uma matriz. Esse conceito será 
útil nas seções posteriores na solução de sistemas lineares envolvendo algumas 
situações do cotidiano. 
O que é determinante? Ora, quando nos referimos a esse termo, estamos nos referindo a 
um número associado a uma matriz quadrada A. Esse número é denotado 
como det(A) ou |A|. Mas, como encontra-se esse valor? Depende do tamanho da nossa 
matriz. Nesta aula, trabalharemos com determinantes de matrizes até a ordem . Vamos 
lá? 
Para as matrizes de ordem 1x1, não temos nenhum cálculo associado ao determinante, 
uma vez o que ele será o próprio elemento da matriz. No entanto, para uma matriz de 
ordem 2x2, o cálculo do determinante é feito realizando o produto dos elementos da 
diagonal principal subtraindo o produto dos elementos da diagonal secundária. Em 
termos matemáticos, temos: 
 
Para as matrizes , o cálculo é feito da mesma maneira? Não necessariamente. Neste 
caso, utilizamos a regra de Sarrus para realizar o cálculo. Por esta regra, adicionamos 
duas novas colunas na matriz inicial, repetindo os valores das duas primeiras colunas. 
Agora temos três diagonais principais e três secundárias. Procedemos, então, da mesma 
forma do determinante . Em termos matemáticos, fazemos: 
 
Com isso, encerramos a nossa primeira aula sobre os conceitos básicos e fundamentais 
de matrizes e determinantes, além das operações com esses objetos. Tais conceitos serão 
de suma importância para orientar sua equipe no trabalho proposto no início da unidade, 
especialmente para organização de dados. 
 
Conclusão 
Nosso problema aqui é conferir as informações do relatório da empresa, 
especificamente a matriz que representa as vendas. Para responder à primeira questão, 
devemos, inicialmente, descrever o quecada linha e cada coluna representa. Para esta 
empresa, as linhas são os produtos, e as colunas, os meses. Assim, para saber qual 
produto teve o menor número de sacos vendidos, basta olhar qual é a menor entrada da 
matriz. Neste caso, é o elemento, sobre o qual se observa que foram vendidos 1.375 
sacos de cal. Já para a segunda questão, precisamos identificar a quais elementos a 
matriz se refere. O número de sacos de cal vendidos em novembro, de acordo com a 
matriz, é o elemento, e o número de sacos de cimento vendidos em dezembro é 
representado pelo elemento. Logo, para saber quantos sacos de cal foram vendidos a 
mais que sacos de cimento, deve-se fazer a seguinte operação: 
 
Portanto, em dezembro, foram vendidos 75 sacos de cal a mais que sacos de cimento 
nessa empresa. Logo, a maior diferença de vendas foi no mês de novembro. 
Por fim, para a última questão, temos duas operações a se fazer. A primeira delas é 
somar o número de sacos de cal e de cimento, individualmente. 
 
Assim, a arrecadação do último bimestre de 2020 pela empresa foi um total de R$ 
273.600,00. Por outro lado, em relação à arrecadação total no bimestre, podemos 
também trabalhar com o produto de matrizes definido, como: 
 
Em que a primeira matriz representa os valores de cada produto, e a segunda matriz 2x2 
representa as vendas. Para obter o total arrecadado, basta realizar o produto e somar as 
entradas, o que, nesse caso, é R$ 273.600,00. A vantagem desse método é que a matriz 
resultante do produto traz a arrecadação bruta em cada mês, e ela é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 1 - Aula 2 - Sistemas Lineares 
 
Introdução da Aula 
 
Qual é o foco da aula? 
Nesta aula, você estudará sobre Sistemas Lineares. 
Objetivos gerais de aprendizagem 
Ao final desta aula, você será capaz de: 
 definir os sistemas de equações lineares; 
 descrever operações elementares, matrizes equivalentes e escalonamento; 
 esclarecer os sistemas não-homogêneos e matrizes invertíveis. 
Situação-problema 
Estudante, nesta aula, entenderemos o conceito de sistemas lineares por meio de 
exemplos práticos e de definições dadas pela matemática em si. Com isso, você 
compreenderá a importância do papel dos sistemas lineares e como eles podem ser 
utilizados em situações do dia a dia. 
Como exemplo dessa abordagem, podemos considerar o balanceamento de equações 
químicas, muito comuns em aplicações de engenharia química. Balancear uma equação 
pode nos dizer muitas coisas sobre o comportamento de uma molécula em determinada 
reação, e os sistemas lineares são fundamentais para trabalharmos com esse conceito, 
por permitirem calcular com precisão a quantidade de átomos necessários para que se 
tenha um equilíbrio químico na reação. 
Estudante, criaremos uma situação hipotética para exemplificar o uso de sistemas 
lineares no dia a dia de trabalho, especialmente em áreas relacionadas à engenharia. 
Em engenharia elétrica, uma das aplicações mais comuns de sistemas lineares é a que 
envolve circuitos elétricos. Suponha que você tenha sido contratado para identificar os 
valores da corrente elétrica em um circuito elétrico composto por quatro ciclos 
fechados, no qual as correntes são denotadas como I1, I2, I3, I4, e as direções atribuídas 
a cada uma dessas correntes são arbitrárias, isto é, se uma corrente tem valor negativo 
para sua intensidade, então sua direção real é inversa à direção estipulada na situação 
considerada. Lembrando-se de que o fluxo de corrente num ciclo é governado pelas leis 
de Kirchhoff (a soma algébrica das quedas de voltagem em torno do ciclo é igual à 
soma algébrica das fontes de voltagem na mesma direção desse ciclo), foi obtido o 
seguinte sistema linear para o problema: 
 
No relatório que você deve escrever, há as seguintes perguntas: quais são os valores das 
correntes elétricas nessa situação, de acordo com o sistema de equações obtido? Quais 
são as direções dessas correntes? Para responder a essas questões, sugere-se trabalhar 
com a forma linha-reduzida do sistema linear em questão. Além disso, para entregar o 
relatório completo com suas observações, foi-lhe solicitada a indicação dos campos: 
nome da empresa, problema, solução, custo e assinatura. 
Que tal começar esse entendimento agora? Você será acompanhado em todo o processo. 
Iniciaremos com os conceitos fundamentais de sistemas lineares e suas aplicações em 
engenharia química; em seguida, trabalharemos com métodos de soluções desses 
sistemas, especialmente em forma de matrizes. 
 
Sistema Linear de Equações 
Anteriormente, exploramos o conceito de matrizes e suas principais características. Será 
que é somente esse tipo de estrutura que encontramos no nosso dia a dia? Para 
responder a essa questão, consideraremos a situação em que você deseja, por exemplo, 
saber quantas moléculas de hidrogênio (H2) e de oxigênio (O2) são necessárias para 
formar a água (H2O). Podemos escrever essa relação como: 
 
Se conseguir resolver o sistema apresentado, temos o número de moléculas necessárias 
para satisfazer a reação e, assim, entender um pouco sobre reações químicas na 
natureza. Essa estrutura aqui introduzida é chamada de sistema linear de equações e 
será nosso objeto de estudo desta unidade. 
______ 
• Assimile 
Matematicamente, definimos um sistema linear com m equações e n incógnitas como 
sendo um conjunto de equações do tipo: 
 
______ 
Os sistemas lineares são utilizados em muitas situações, por exemplo, tráfego de 
veículos, balanceamento de equações químicas, funções polinomiais, ruído acústico, 
sistemas GPS, mecanismos de busca (como o Google), entre muitas outras. Nosso foco 
será, em especial, as aplicações voltadas para a engenharia. 
______ 
• Exemplificando 
Como primeiro exemplo, consideremos a combustão da gasolina. Embora a gasolina 
seja uma mistura de hidrocarbonetos, o composto que predomina é o C8H18. Em 
estudos de engenharia química, estabelece-se que a combustão completa da gasolina 
acontece quando reage com o gás oxigênio, que resulta em gás carbônico e água, isto é, 
 
Assim, observa-se que: 
 a relação para os átomos de carbono é: 8x=w; 
 a relação para os átomos de hidrogênio é: 18x=2z; 
 a relação para os átomos de oxigênio é: 2y=2w+z. 
A partir dessas informações, podemos escrever o seguinte sistema linear: 
 
______ 
Para responder à questão do nosso exemplo, introduziremos um novo conceito: matriz 
ampliada de um sistema linear. Considere o sistema linear em sua forma geral: 
 
 
Essa matriz é chamada de matriz ampliada do sistema. Nela, cada linha é apenas uma 
representação abreviada da equação correspondente no sistema. Voltando ao nosso 
exemplo, podemos reescrever o sistema da combustão de gasolina em forma matricial 
como: 
 
Qual é o próximo passo? Para prosseguir, necessitamos de um outro conceito, o qual 
chamamos de operações elementares. Elas são operações que realizamos na matriz 
ampliada do sistema, a fim de obter uma matriz equivalente, que nos trará a solução, 
caso exista, do sistema. São três tipos de operações que podemos considerar: 
 
Veja que agora nossa matriz equivalente tem um aspecto mais simples para obtermos a 
solução do sistema. Assim, podemos retornar para as equações do sistema, 
reescrevendo-o de acordo com a matriz equivalente. Portanto, 
 
Observe que temos três equações para quatro variáveis. Neste caso, dizemos que o 
sistema é possível (visto que nenhuma linha é do tipo, por exemplo, 2 = 0) e 
indeterminado, ou seja, admite infinitas soluções, já que temos uma variável livre. Seja 
w essa variável livre, logo, temos que: 
 
 
______ 
• Reflita 
Em que outra situação do cotidiano você poderia utilizar sistemas lineares e resolvê-los 
partindo da ideia de operações elementares? 
______ 
No nosso exemplo, consideramos o conceito de possível e indeterminado em relação à 
solução do sistema. No entanto, é somenteesse conceito que temos em relação a isso? A 
resposta é não! Um sistema linear pode ser classificado de três formas: 
1. possível e determinado (SPD): quando não há variáveis livres e todos os 
valores das variáveis considerados podem ser encontrados (observação: a 
solução (0, 0, ..., 0) é chamada de solução trivial do sistema e será excluída 
dessa classificação); 
2. possível e indeterminado (SPI): quando o número de equações é menor que o 
número de variáveis, obtendo-se, assim, uma variável livre, a qual gerará 
infinitas soluções para o sistema; 
3. impossível (SI): quando não há variáveis livres e não é possível determinar uma 
solução do sistema em questão. 
Neste aspecto, trabalhamos com um novo conceito, que é o de matriz linha-reduzida à 
forma escada. Tal conceito pode ser definido como: 
Definição: uma matriz mxn é linha-reduzida à forma escada se: 
 o primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é igual a 1; 
 cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem 
todos os seus outros elementos iguais a zero; 
 toda linha nula está sempre abaixo de todas as linhas não nulas; 
 se as linhas 1, ..., r são linhas não nulas e se o primeiro elemento não nulo da 
linha i está na coluna ki, então k1<k2<...kr. 
Essa definição descreve o que chamamos de escalonamento de uma matriz. Em sistemas 
lineares, tal escalonamento é útil para definir a solução do mesmo de acordo com a 
classificação anterior. Um outro conceito que nos auxilia nisso é o conceito de posto e 
nulidade da matriz reduzida (ou equivalente) do sistema. Tal conceito pode ser definido 
como: 
______ 
• Assimile 
Dada uma matriz A de ordem mxn, seja uma matriz B de ordem mxn a matriz-linha 
reduzida à forma escada linha equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o 
número de linhas não nulas de B, e a nulidade de a é o número n-p. 
______ 
Assim, podemos reescrever a classificação dos sistemas lineares de acordo com o tipo 
de solução da seguinte forma: 
 possível e determinado (SPD): quando o posto da matriz ampliada é igual ao 
posto da matriz dos coeficientes. Ele terá solução única se n=p; 
 possível e indeterminado (SPI): quando o posto da matriz ampliada é igual ao 
posto da matriz dos coeficientes. Ele terá infinitas soluções se p<n; 
 impossível (SI): quando o posto da matriz ampliada é diferente do posto da 
matriz dos coeficientes. 
 
Matrizes inversas 
 
Com isso, encerramos a primeira parte desta aula o que lida com os sistemas lineares. 
Agora, vamos à segunda parte, que é referente às matrizes inversas. 
Para trabalhar com inversão de matrizes, lidaremos necessariamente com as operações 
elementares e a forma matriz-linha reduzida à forma escada. Neste aspecto, dizemos que 
uma matriz A é invertível se sua matriz-linha reduzida à forma escada é a matriz 
identidade. Além disso, sendo A-1 a inversa de A, o produto A . A-1 resulta na matriz 
identidade. Veremos como esse procedimento funciona na prática. Como exemplo, 
considere a matriz A dada por: 
 
Para começar o processo de inversão da matriz A, colocamos a matriz identidade junto à 
matriz A e aplicamos as operações elementares com as linhas, a fim de reduzir a parte 
esquerda (que corresponde a A) à forma escada da linha reduzida. Além disso, as 
operações devem ser feitas simultaneamente na parte direita. Isto é, 
 
 
 
Conclusão 
Usando o conceito de forma linha-reduzida por meio de operações elementares, obtém-
se que o sistema pode ser reduzido ao sistema: 
 
A solução é . Portanto, o valor da intensidade da primeira corrente é 1 amp; da segunda, 
2 amp; da terceira, 2 amp; da quarta, -2 amp. Além disso, em termos de direção, as 
direções das correntes I1, I2, I3 são as mesmas do que foi estipulado no problema, e da 
corrente I4 a direção é oposta. Por fim, resta escrever o relatório, no qual, você deve 
seguir este modelo: 
Nome da empresa 
XXXXX 
Problema 
Intensidade e direções das correntes elétricas em quatro ciclos fechados de um circuito 
elétrico. 
Solução 
De acordo com o sistema linear apresentado, obteve-se que os valores das correntes 
elétricas são: primeira corrente é 1 amp; da segunda, 2 amp; da terceira, 2 amp; da 
quarta, -2 amp. Além disso, em termos de direção, as direções das correntes I1, I2, 
I3 são as mesmas do que foi estipulado no problema, e da corrente I4 a direção é oposta. 
Custo 
XXXX 
Assinatura 
XXXX 
Unidade 1 - Aula 3 - Autovalores e Autovetores 
 
Introdução da Aula 
Qual é o foco da aula? 
Nesta aula, você estudará sobre autovalores e autovetores. 
Objetivos gerais de aprendizagem 
Ao final desta aula, você será capaz de: 
 definir espaços vetoriais e diagonalização; 
 explicar as transformações lineares e operadores; 
 comparar autovalores e autovetores. 
Situação-problema 
Estudante, nesta aula, abordaremos o conceito de espaços vetoriais e transformações 
lineares. Os espaços vetoriais são uma das estruturas algébricas mais importantes da 
álgebra, cujas aplicações são encontradas em diversos aspectos do nosso dia a dia, por 
exemplo, no espectro de cores, que nos permite fazer mudanças de coordenadas desses 
espectros baseando-se no conceito dos espaços vetoriais e das transformações lineares. 
E falando em transformações lineares, esses tipos de operações são a base fundamental 
da álgebra linear, podendo ser aplicada em engenharia da computação quando 
trabalhamos com criptografia, por exemplo. 
Já os autovalores, os autovetores e a diagonização são outras ferramentas que podem ser 
utilizadas em engenharia biomédica nas questões de crescimento populacional e 
transformações, e na computação em mecanismos de busca, como o Google. 
Criaremos uma situação hipotética para exemplificar o uso das transformações lineares 
em situações do cotidiano. 
Em um estudo envolvendo engenharia biomédica, um determinado pesquisador 
trabalhou com espectro de cores, em particular, coordenadas em espectro de cores. Em 
sua pesquisa, ele tinha por interesse mudar o sistema de cores, a fim de ampliar o 
espectro visível na retina. Sabe-se que, em geral, o espectro de cores é baseado em RGB 
(red-green-blue), porém esse pesquisador tinha interesse em criar um novo sistema de 
cores para determinar o espectro de cores. Ele chamou esse novo padrão de YGM 
(yellow-gray-magenta), que se baseia em mudanças de coordenadas por meio da 
transformação linear 
definida por . No entanto, ele tinha dúvidas em como verificar se a transformação era, 
de fato, linear e lhe contratou para fazer tal verificação, pois, se ela fosse linear, o 
sistema de cores dele faria sentido no espectro. Então, baseando-se nos conceitos de 
transformação linear, como você verificaria se a transformação é linear? O sistema 
criado pelo pesquisador fez sentido em relação ao espectro de cores? 
Conseguiu ver a importância desses conceitos? Que tal começarmos a trabalhar com 
eles e entender melhor sob o ponto de vista matemático e prático? Não se preocupe, 
vamos lhe acompanhar em todo o processo, e os conceitos serão construídos de forma 
gradual. 
 
 
Espaço vetorial 
Nas aulas anteriores, exploramos os conceitos de matrizes e sistemas lineares munidos 
das suas principais aplicações. Nesta aula, trabalharemos o conceito de uma das 
estruturas algébricas mais importantes da álgebra linear: o espaço vetorial. 
Um espaço vetorial V (sobre um campo F) é um conjunto, cujos elementos são 
chamados de vetores, de modo que se pode adicionar (e subtrair) vetores e multiplicar 
um vetor por uma constante de F. Essas constantes são chamadas escalares. 
Matematicamente, os axiomas que definem um espaço vetorial são: 
 V é um grupo Abeliano isto é, valem as propriedades: 
o Lei comutativa: v + w = w + v. 
o Lei associativa: u + (v + w) = (u + v) + w. 
o Elemento neutro: u + 0 = 0 + u = u. 
o Elemento oposto: u − u = 0. 
 V admite uma multiplicação escalar por elementos de F, isto é,valem as 
propriedades: 
o −u = (−1)u. 
o Distributiva: a(u + v) = au + av. 
o Associativa: a(bu) = (ab)u. 
 
Dentre as aplicações de espaços vetoriais, uma que se faz interessante é a que envolve a 
mudança de coordenadas nos espectros de cores em relação ao sistema de cores RGB 
(red-green-blue). Por exemplo, em física, o modelo matemático que se adequa à 
representação do espaço espectral de cores é necessariamente um espaço vetorial de 
dimensão finita, em que o processo de reconstrução de cor utiliza uma base de cores 
primárias, que seria a base do espaço vetorial, gerando o modelo tricromático de 
Young-Helmholtz, baseado no padrão RGB. Mas, antes de entrar no conceito de base e 
dimensão, definiremos o que chamamos de subespaço vetorial. 
Popularmente, dizemos que um subconjunto W de um espaço vetorial V é chamado de 
subespaço quando se torna um espaço vetorial com as operações herdadas de V, ou seja, 
quando somas e múltiplos escalares de vetores em W pertencem a W. 
Matematicamente, dizemos que W é um subespaço vetorial de V quando W⊂V, tal 
que o ∈ W; u+ v ∈ W e au ∈ W. 
 
Uma vez definido o que é subespaço vetorial, podemos trabalhar com o conceito de 
base e dimensão abordado no exemplo sobre espectro de cores descrito anteriormente. 
Neste aspecto, dizemos que uma base é uma coleção de vetores B de um espaço vetorial 
V quando cada vetor em V pode ser escrito de uma maneira única como combinação 
linear de elementos de B. As bases são precisamente os conjuntos máximos 
independentes de vetores. As bases também são precisamente os conjuntos de 
abrangência mínima de vetores e, em particular, cada conjunto de abrangência pode ser 
reduzido a uma base. Vale lembrar também que todo espaço vetorial tem uma base. 
Definimos o que é base, mas e o que é dimensão? Para definir esse conceito, tome 
quaisquer duas bases de V que têm o mesmo “tamanho”. Esse “tamanho” é chamado de 
dimensão de V, e denotamos por dim(V). 
______ 
• Exemplificando 
 
 
Transformação linear 
Agora, já sabemos o que é um espaço vetorial e o que é uma base, que são ferramentas 
de suma importância para definir a nossa próxima estrutura de trabalho, 
as transformações lineares. E o que é uma transformação linear? Considere V e W 
dois espaços vetoriais sobre um corpo F. Uma transformação linear de V em W é uma 
função T : V→W que satisfaz: 
 
Para todo e todo escalar . Como primeiro exemplo, consideraremos V um espaço 
vetorial qualquer, a transformação identidade, definida por definida por I(v) =v, que é 
uma transformação linear de V em V. De fato: 
 
______ 
• Exemplificando 
 
Quais são as propriedades de uma transformação linear? Para verificarmos isso, sejam 
V e W espaços vetoriais sobre um corpo F. A transformação linear T: V→ W satisfaz 
as seguintes propriedades: 
 T(0) = 0 (T transforma o vetor nulo de V no vetor nulo de W). 
 T (−v) = −T(v), para todo v ∈ V. 
 T(v1 − v2) = T(v1) − T(v2), para todo v1,v2∈ V. 
 Se U é um subespaço de V, então a imagem de U por T é um subespaço de W. 
 Sendo T: V→W linear, então: 
 
Baseando-se nessas propriedades, podemos trabalhar com o conceito de base também. 
Isto é, dados V e W dois espaços vetoriais sobre um corpo F e dada uma base de V={ v1, 
…, vn}, sejam w1, …, wn elementos arbitrários de W. Existe uma única transformação 
linear T: V→ W, tal que 
 
Então: 
T(αv+u)= (αx1+y1)w1+…+(αxn+ yn)wn 
Por outro lado: 
 
O núcleo da transformação linear tem algumas propriedades importantes para nosso 
trabalho. Dentre todas elas, destacamos: 
 Ker(T) é um subespaço vetorial de V. 
 A transformação T é injetora se, e somente se, Ker(T) = {0}. 
 
 
 
Teorema do Núcleo e da Imagem e Isomorfismo 
 
Agora, com o núcleo e a imagem de uma transformação linear definidos, podemos 
definir o resultado fundamental da teoria de transformações lineares, que é o Teorema 
do Núcleo e da Imagem. Esse teorema traduz a dimensão do espaço vetorial. 
______ 
• Assimile 
Teorema do Núcleo e da Imagem: sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita 
sobre um corpo F. Dada a transformação linear T: V→W, então: 
dim(V) = dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) 
Portanto, a soma das dimensões do Ker(T) e da Im(T) é igual à dimensão do espaço 
vetorial V. 
______ 
 
T(x, y, z)= x + y − z = 0⇒ x = −y +z 
 
Um outro conceito importante que diz respeito às transformações lineares é o conceito 
de isomorfismo. Para definir tal conceito, sejam V e W espaços vetoriais sobre um 
corpo F, suponha que T: V→W é uma transformação linear. Dizemos que T é um 
isomorfismo se T for bijetora (isto é, T deve ser injetora e sobrejetora). 
______ 
• Reflita 
 
Matriz de uma transformação linear 
Para finalizar nosso estudo de transformações lineares, trabalharemos com a matriz de 
uma transformação linear, porém, antes, precisamos definir algumas coisas. 
______ 
• Assimile 
 
A partir dessa definição, podemos escrever a matriz de ordem mxn da transformação 
linear F como sendo: 
 
É chamada de matriz da transformação linear F em relação às bases B e C e é denotada 
por (F)B,C. 
 
______ 
• Assimile 
Seja V um espaço vetorial de dimensão n e T:V→V uma transformação linear. Dizemos 
que pT(t) é um polinômio característico de T se for obtido como pT(t)= det (A− kI), em 
que A é a matriz de T e I é a matriz identidade de ordem. 
______ 
 
As raízes são 1, -1 nos números reais. As raízes dos polinômios característicos são 
conhecidas como autovalores de T, que é uma outra definição desse conceito. Uma vez 
que sabemos o que é autovalor e autovetor, podemos definir o que é diagonalização de 
operações, que é a definição final desta aula. Vamos lá? 
 
 
Conclusão 
 
Isto é: 
 
Ou seja: 
 
Portanto, T é uma transformação linear e traduz uma reflexão em torno do eixo x, isto é, 
o sistema proposto pelo pesquisador faz sentido por T ser linear e é baseado na reflexão 
em torno do eixo x. 
 
Unidade 2 - Aula 1 - Zeros de funções 
 
Introdução da Unidade 
Objetivos da Unidade 
Ao final desta Unidade, você será capaz de: 
 calcular polinômios interpoladores; 
 analisar erros na interpolação; 
 algoritmos para determinação da integral definida de uma função de modo 
aproximado. 
Estudante, o que vem à sua cabeça quando escuta o termo métodos numéricos? 
Aproximações? Se sim, você está em uma linha de pensamento correta! O cálculo 
numérico é um subtópico dos métodos matemáticos que envolvem aproximações para 
zeros de funções, aproximações de cálculo de integrais que podem estar relacionadas 
com a área de uma placa de metal, por exemplo. 
Para iniciar o entendimento dessa ferramenta que se faz fundamental nos métodos 
matemáticos, vamos trabalhar com a ideia de como encontrar o zero de uma função 
usando o computador e os métodos de aproximação quando essa função for de uma 
natureza mais complexa. Um dos métodos mais conhecidos para isso é o famoso 
método de Newton-Rhapson, que estabelece critérios para encontrar uma aproximação 
da raiz de uma equação. Partindo dessa ideia de zeros de funções, em seguida, vamos 
trabalhar com o que chamamos de polinômio interpolador, que é um método de 
aproximação, uma função utilizando um polinômio de natureza simples, a fim de 
facilitar o entendimento do nosso problema. 
Por fim, vamos estudar os métodos numéricos para aproximar o valor de uma integral, 
que na prática é fundamental para o cálculo da área, especialmente quando se trabalha 
com placas de metais em formatos diferentes de figuras planas, por exemplo. Vamos ver 
cada um desses conceitos devagar no decorrer desta unidade. 
 
Introdução da Aula 
Qual é o foco da aula? 
Nesta aula, você estudará sobre Zeros de funções. 
Objetivos gerais de aprendizagem 
Ao final desta aula, você será capaz de: 
 definir o conceito de Aritmética de ponto flutuante; 
 demonstrar erros e estimativas para o erro; 
 calcular zeros de funções reais por meiode métodos numéricos e seus 
algoritmos. 
Situação-problema 
Estudante! Nesta aula, vamos trabalhar inicialmente com os conceitos de sistemas 
numéricos a fim de entender o que é um sistema numérico, como operamos um sistema 
numérico e como o computador e a calculadora entende esses sistemas numéricos. Em 
seguida, vamos entender o conceito de erro e quais tipos de erros podemos cometer 
quando trabalhamos com aproximações numéricas. Por fim, vamos trabalhar com os 
tipos de métodos numéricos que temos para lidar com o problema de encontrar o zero 
(raíz) de uma função, independente da forma dessa função. 
Como exemplo dessa abordagem, podemos considerar o problema de encontrar o ponto 
que maximiza, por exemplo, a temperatura de operação de uma máquina industrial para 
entender a resistência em casos de acidentes térmicos. Dado a complexidade do 
problema, muitas vezes, não é possível obter uma solução usando métodos analíticos, 
fazendo-se assim o uso de métodos numéricos importantes. 
Vamos criar uma situação hipotética para exemplificar o uso dos métodos numéricos no 
dia a dia de trabalho, especialmente em áreas relacionadas com a Engenharia. 
Imagine que você foi convocado para implementar um método numérico para resolver o 
problema de maximização de lucro de uma dada empresa de software no ano de 2020. O 
método que a empresa definiu para a implementação no software matemático Maple foi 
o método do ponto fixo descrito pelos passos: 
 
Como você faria para implementar esse algoritmo computacionalmente de forma que 
ele fosse útil para a empresa? Além disso, a partir dessa implementação, calcule o valor 
do lucro máximo quando a função que determina o lucro é dada por f(x)=ex−2 assumindo 
uma aproximação inicial de 0.1 e uma precisão de 1%. 
Viu como os métodos numéricos são fundamentais? Que tal começar a entender como 
funcionam agora? Você será acompanhado em todo o processo no decorrer da aula! 
Vamos iniciar então com algo mais simples, mas que é base para todo o resto dos 
métodos numéricos: os sistemas numéricos. 
 
Sistema de ponto flutuante 
Você já parou para pensar no que são métodos numéricos? Como utilizamos um sistema 
numérico? Nesta unidade, nosso foco será trabalhar com métodos numéricos e é 
importante destacar que, quando falamos de uma solução numérica, não estamos 
falando de uma solução exata, e sim de uma solução aproximada. E como estamos 
falando de aproximações, estamos falando necessariamente de precisão numérica, que é 
sujeita a erros. Assim, vamos começar nossos estudos definindo o que é um sistema de 
ponto flutuante. 
 
______ 
• Assimile 
Todo sistema computacional utiliza algum sistema de aritmética de ponto flutuante para 
trabalhar com números em que os resultados, em geral, são apresentados em base 10. 
Esses sistemas são conhecidos como sistemas numéricos de base 10. 
______ 
Agora, vamos entender como funciona esse sistema. Começamos com a mantissa, ela 
deve ser fracionária nessa representação, isto é, deve ser menor do que 1 para que 
possamos trabalhar com a unicidade para a representação para cada y ∈ F . Mas como 
fazemos isso? Ora, devemos trabalhar com o que chamamos de normalização. Essa 
normalização deve ser feita de forma que d1≠0 para y≠0 para garantir a representação 
do sistema de ponto flutuante. 
 
______ 
 
 
 
• Assimile 
É importante notar que a escolha de uma representação para o zero como sendo o menor 
expoente que simboliza a mantissa nula não é a melhor forma, pois isso traz perdas de 
dígitos significativos em operações. 
 
Arredondamento simétrico ou truncamento 
 
Uma vez definido o que é um sistema de aritmética de ponto flutuante, resta saber se é 
um conjunto finito. De acordo com a definição do sistema de ponto flutuante 
(ANDRADE, 2012), podemos notar que a quantidade de números normalizados é 
definida pela expressão: 
 
Essa questão de o sistema de ponto flutuante ser finito deriva, principalmente, da 
questão em que o computador e a calculadora trabalham com seus cálculos utilizando 
uma quantidade finita de dígitos. Por exemplo, na calculadora normal temos 8 dígitos, 
na científica 14, e assim por diante; porém nenhum dos dois trabalha com uma 
quantidade infinita de dígitos. Nesse aspecto, o uso dos métodos numéricos traz a 
necessidade de trabalharmos com o roll finito de dígitos. 
Então, sabemos que precisamos trabalhar com uma quantidade finita de dígitos, mas 
sabemos também que os números irracionais, por exemplo, têm quantidades infinitas de 
dígitos. Como procedemos para descartar os dígitos a fim de deixar esse número 
“finito”? Ora, existem duas maneiras de se fazer isso: arredondamento 
simétrico ou truncamento. Mas antes de definir o que são ambos, vamos ressaltar que 
tanto o computador quanto a calculadora trabalham com representação numérica 
discreta, isto é, dado um número x≠0 no sistema de aritmética de ponto flutuante de 
base 10, então x é escrito como: 
 
Ou ainda, 
 
Em que 
 
Com essas representações em mente, podemos, então, definir os tipos de 
arredondamentos. Assim, no que se refere ao arredondamento simétrico, ele pode ser 
definido como: se o primeiro dígito a ser desprezado é menor que cinco, descartamos 
todos os dígitos restantes; porém, se esse dígito for maior do que 5, então somamos 1 
ao dígito que antecede esse dígito. Por exemplo, considere o número 5.2131412... e 
suponha que queremos esse número com apenas três casas decimais. Nesse caso, o 
dígito na quarta casa decimal é igual a 1, que é menor do que 5, então descartamos 
todos os dígitos a partir da quarta casa decimal e ficamos com o número 5.213. Agora, 
no que tange ao conceito de arredondamento por truncamento, ele é definido 
como: após decidir até qual casa decimal vamos utilizar, simplesmente descartamos o 
restante dos dígitos. 
______ 
 
• Exemplificando 
 
Conseguiu perceber a diferença entre os arredondamentos? Veja que, em ambos os 
casos, obtemos um resultado diferente do valor original, uma vez que descartamos casas 
decimais. Essa diferença é o que chamamos de erro, e é importante conhecermos a 
magnitude desses erros. Assim, vamos trabalhar com dois tipos de erros: o absoluto e 
o relativo. Suponha que x seja uma aproximação para x. O erro absoluto é definido por: 
 
Em geral, o valor exato de não é sempre conhecido. Nesse caso, o cálculo do erro 
relativo não seria possível, no entanto, podemos utilizar a seguinte expressão do erro 
relativo quando o valor exato não é conhecido: 
 
• Exemplificando 
Vamos considerar um exemplo em que x = 1234.9 é uma aproximação para x, tal que o 
erro absoluto seja menor do que 0.1. Assim, podemos dizer que o valor exato x está no 
intervalo (1234.8, 1235.0). Por outro lado, suponha que y = 7.2 seja uma aproximação 
para y, tal que o erro absoluto seja menor do que 0.1, então y pertence ao 
intervalo (7.1,7.3). Será que a interpretação desses erros é igual tanto para x quanto para 
y? Considerando o erro absoluto, observe que os majorantes são necessariamente iguais, 
sendo assim o erro absoluto por si só não é suficiente para diferenciar as interpretações 
dos erros de x e y, pois geram a mesma interpretação. Então trabalhamos com o erro 
relativo. Note que: 
 
Nesse caso, os erros relativos são diferentes. E essa diferença traz o impacto na precisão 
da estimativa. No caso do x, vemos que a precisão da estimativa dele é maior que a de 
y, visto que o erro relativo para x é muito menor que o erro relativo para y. 
______ 
 
• Reflita 
E se você quisesse uma precisão maior adicionando uma nova casa decimal, poderíamos 
incluir qual dígito: 4,471 ou 4,476? Seria possível incluir o dígito 4,479? 
______ 
 
Portanto, para encerrar a primeira parte do nosso conteúdo da seção, iremos finalizar 
com os conceitos de estabilidade numérica. Em poucas palavras, podemos definir a 
estabilidade numérica como sendo uma propriedade doalgoritmo, uma vez que 
algoritmos podem ser bem sensíveis conforme a variação de dados, independentemente 
do método numérico utilizado. Isto é, de acordo com os dados que temos, um algoritmo 
pode se tornar instável. E são esses conceitos que nos dão a ideia da segunda parte do 
nosso conteúdo! 
 
 
Métodos bissecção, de ponto fixo e de Newton-Rhapson 
Suponha agora que estamos interessados em encontrar, numericamente, uma solução 
aproximada para a equação f(x)=0, onde f é uma função qualquer. Nesta aula, vamos 
apresentar os métodos mais comumente utilizados, entre eles o método da bissecção, o 
método do ponto fixo e o método de Newton-Rhapson. 
 
Ou seja, o método da bissecção trabalha com uma sequência convergente com base em 
intervalos encaixados. Esse método em particular é extremamente lento, mas a 
convergência é garantida se f for uma função contínua. 
 
 
Com isso, encerramos a nossa primeira aula sobre os conceitos básicos e fundamentais 
de sistemas numéricos, além dos métodos para encontrar zero de funções! Tais 
conceitos serão de suma importância para orientar sua equipe no trabalho e também 
para resolver problemas relativos à modelagem que envolva métodos numéricos. 
 
Conclusão 
Nosso problema aqui é implementar o método do ponto fixo utilizando o software 
Maple. Note que uma implementação computacional pode ser feita de várias formas 
diferentes e ainda assim gerar o mesmo resultado. O que vai mudar entre uma e outra é 
somente a eficiência e visualização do algoritmo. Então, como sugestão dessa 
implementação, podemos fazer: 
 
Assim, utilizando o código acima, encontramos que o valor de x que maximiza o lucro 
da empresa é x = 0.158593439, que implica então que o lucro da empresa, em bilhões 
de reais, é de 0.1585942. 
Unidade 2 - Aula 2 - Interpolação 
 
Introdução da Aula 
Qual é o foco da aula? 
Nesta aula, você estudará sobre Interpolação. 
Objetivos gerais de aprendizagem 
Ao final desta aula, você será capaz de: 
 definir o conceito de interpolação polinomial e forma de Lagrange; 
 identificar erro na erro na interpolação polinomial; 
 aplicar a fórmula interpoladora de Newton. 
Situação-problema 
Estudante, nesta aula iremos entender o conceito de interpolação polinomial, que 
consiste em aproximar uma função usando polinômios. Para isso, dois métodos serão 
considerados: o método de Lagrange e o método de Newton. A vantagem do uso da 
interpolação polinomial, por exemplo, é que se uma dada função com forma complexa 
puder ser aproximada por um polinômio, então o nosso trabalho na modelagem facilita 
bastante, pois os polinômios são mais flexíveis para se trabalhar. 
Como exemplo do uso do polinômio interpolador, considere a situação em que você 
precisa modelar o lucro trimestral de sua empresa. Como, em geral, a curva do lucro é 
complexa, você pode utilizar o polinômio de Lagrange para aproximá-la e fazer a 
previsão do lucro. Uma alternativa a isso são os métodos estatísticos que serão 
trabalhados posteriormente em outras aulas. 
Em determinada empresa de solventes químicos, deseja-se achar uma forma mais 
eficiente de trabalhar com a demanda dos produtos. Pensando nisso, a empresa resolveu 
ajustar o modelo que descrevia a demanda usando um polinômio interpolador a partir do 
método de Lagrange. No entanto, nenhum dos funcionários tinha conhecimento sobre 
como fazer isso. Devido a essa carência, a empresa então lhe contratou para resolver o 
problema. Sabendo que os pontos de demanda eram baseados nos pontos , foi lhe 
requisitado a equação do polinômio interpolar que passava por esses pontos a fim de 
entender como estava funcionando a demanda da empresa. Dessa forma, você deveria 
apresentar a solução passo a passo de como foi encontrado tal polinômio sem o uso de 
métodos computacionais. 
Que tal começar esse entendimento agora? Você será acompanhado em todo o processo! 
Iniciaremos com os conceitos fundamentais de interpolação polinomial. Em seguida, 
trabalharemos com métodos de interpolação, especialmente o mais popular, que é o de 
Newton! 
 
Polinômio interpolador 
Anteriormente, exploramos os conceitos relativos a erros e encontrar soluções 
de f(x)=0 a partir de métodos iterativos. Agora, o nosso foco será encontrar um 
polinômio que aproxima a função f(x), chamado de polinômio interpolador. Para 
começar nossos trabalhos neste tópico, vamos supor que que temos (n + 1) pontos 
distintos x0, x1, . . . , xn, que iremos chamar de “nós”, e que os pontos y0, y1, . . . , 
yn foram obtidos por meio de alguma função f desconhecida, isto é, yi = f(xi), i = 0, 1, . . 
. , n. Queremos, então, conhecer ou estimar f(xr) para algum valor xr que não seja 
necessariamente tabelado. Um modo de fazer isso é interpolar f por uma função 
polinomial, uma vez que, em geral, temos conhecimento apenas dos pares de pontos (xi, 
(fxi)) e não da expressão de f em si. 
 
Com base nos conceitos de Álgebra Linear, podemos reescrever o sistema anterior em 
forma de matriz como: 
 
______ 
• Assimile 
Matematicamente, uma matriz é dita matriz de Vandermonde se todos os termos de cada 
uma de suas linhas formam uma progressão geométrica. 
______ 
Assim, podemos enunciar o seguinte resultado (ANDRADE, 2012): 
Teorema: Dados x0, x1, . . . , xn pontos distintos, existe um único polinômio pn(x), de 
grau máximo n, que interpola f nos pontos (xi, f(xi)), i = 0, . . . , n. 
Método de Lagrange e Método de Newton 
 
Existem diversos métodos para encontrar o polinômio interpolador, no entanto, nesta 
aula, iremos trabalhar com dois desses métodos: (i) o método de Lagrange e (ii) o 
método de Newton. 
 
 
______ 
• Exemplificando 
 
 
 
Dessa forma, encerramos as questões teóricas do método de Lagrange. Mas, para 
encerrar o conteúdo do método de Lagrange, vamos escrever um código que pode ser 
utilizado no software Maple para encontrarmos o polinômio interpolador de Lagrange 
(ANDRADE, 2012). 
 
Esse código transcreve exatamente o método de Lagrange aplicado 
no Exemplificando dado anteriormente. Mas note que o método de Lagrange ainda 
apresenta uma problemática grande quando adicionamos um ponto (xn+1, yn+1) no 
sistema. Por quê? Note que ao usar esse método, adicionar um novo ponto implica que 
devemos recalcular todos os polinômios Lk(x), i =0, 1, . . . , n + 1. Como resolver essa 
questão? Bem, trabalhamos com o método de Newton (ou método das diferenças 
divididas). 
No método de Newton para o polinômio interpolador, ele é obtido a partir de uma 
construção recursiva utilizando um operador que chamamos de operador das diferenças 
divididas. Assim, para encontrar o polinômio interpolador pn(x) que interpola f nos 
pontos x0, x1, . . . , xn pelo método de Newton, utilizamos (ANDRADE, 2012): 
 
Chamamos f[x0, x1, x2, . . . , xk] de diferença dividida de ordem k entre os k + 1 
pontos x0, x1, x2, . . . , xk. Um ponto importante que podemos destacar é que as 
diferenças divididas f[x0, x1, x2,wx . . . , xk] são funções simétricas nos seus argumentos 
(ANDRADE, 2012). Com base nesse operador, podemos construir a seguinte tabela de 
diferenças divididas para o método de Newton: 
 
Ou, no caso geral, 
 
Bom, agora que sabemos como funciona o operador de diferenças divididas, vamos 
trabalhar com a construção do polinômio pn(x) que interpola f(x) nos pontos x0, x1, x2, . . 
. , xn segundo o método de Newton. Começando com o polinômio que interpola fx em x 
= x0 e assim sucessivamente, construiremos pk(x), que interpola f(x) em x0, x1, x2, . . . , 
xk, k=1, …, n . Assim, seja então p0(x) o polinômio de grau zero, que interpola f(x) em 
x = x0, tal que p0(x) = f[x0]. Nesse caso, para x≠x0 e x ∈ [a, b], temos que: 
 
tal que: 
 
onde p0(x)=f(x0). Então, chamaremos E0(x)=f(x)−p0(x) de erro ao se aproximar f(x) 
por p0(x). Agora, seja p1(x) o polinômio de grau menor do que 1 que interpola f(x) em 
x0 e x1. Temos que: 
 
tal que:onde p1(x)= f(x0)+(x−x0)f[x1,x0]. Então, chamaremos E1(x)=f(x)−p1(x) de erro cometido 
ao se aproximar f(x) por p1(x). De modo geral, repetindo o procedimento 
anterior n vezes, obtemos: 
 
______ 
• Assimile 
 
______ 
• Exemplificando 
Vamos colocar em prática o método de Newton para encontrar o polinômio interpolador 
nos pontos (xk, yk) = {(−1,0), (0,1), (1,2), (2,7)}. Assim, pelo método de Newton, 
obtemos: 
 
Dessa maneira, o polinômio interpolador é dado por: 
 
______ 
• Reflita 
Pensando no método de Lagrange e no método de Newton, qual dos dois trazem uma 
aproximação mais concisa de f(x)? Em qual deles o erro cometido é menor? Na prática, 
qual é mais viável usar? Pense sobre essas questões, especialmente em âmbito de custo 
computacional de tempo de processamento. 
______ 
Por fim, é válido ressaltar que os erros de interpolação são fundamentais, especialmente 
quando trabalhamos com modelagem. Em qualquer trabalho que envolva aproximação 
numérica, sempre estamos buscando pelo menor erro possível e a magnitude desse erro 
nos traz a versatilidade do nosso modelo. Pensando nesse aspecto, em métodos 
numéricos, existe um conceito chamado fenômeno Runge que consiste em dizer que o 
erro é menor na zona central do intervalo e maior nos extremos. Para evitar esse 
fenômeno, podemos considerar pontos não igualmente espaçados juntamente com 
polinômios ortonormais, splines ou aproximação por mínimos quadrados. 
Com isso, finalizamos a nossa aula sobre polinômio interpolador, que é um dos objetos 
fundamentais quando trabalhamos aproximações numéricas. 
 
Conclusão 
Pensando em como resolver o problema usando o método de Lagrange para determinar 
o polinômio que interpola os pontos (xk, yk) = {(0,0), (1,3), (2,1), (3,3), (4,0)}, você 
buscou em seus ensinamentos de cálculo numérico, para relembrar, como era feito tal 
método sem apoio computacional. Assim, depois de muito esforço, você obteve, pelo 
método de Lagrange, as equações: 
 
Após vários cálculos para simplificação, você concluiu que o polinômio interpolador, 
segundo o método de Lagrange, é dado por: 
 
 
 
 
Unidade 2 - Aula 3 - Integração Numérica 
 
Introdução da Aula 
Qual é o foco da aula? 
Nesta aula, você estudará sobre integração numérica. 
Objetivos gerais de aprendizagem 
Ao final desta aula, você será capaz de: 
 aplicar a Integração através dos métodos numéricos e seus algoritmos. 
 calcular a Fórmula de Newton-Cotes; 
 diferenciar a regra dos Trapézios e de Simpson. 
Situação-problema 
Estudante, nesta aula vamos trabalhar basicamente com dois tópicos: regra dos trapézios 
e regra de Simpson. Ambos os tópicos são ferramentas para aproximar o valor de uma 
integral, consequentemente de uma área, usando métodos numéricos. Essas ferramentas 
são importantes, pois, na prática, raramente temos figuras regulares ou até mesmo 
funções bem-comportadas. A maioria dos problemas são resolvidos usando métodos 
numéricos devido à versatilidade desses métodos. Imagine só ter que lidar com a 
modelagem do crescimento populacional ou até mesmo o aumento dos casos de Covid-
19 sem fazer o uso de métodos numéricos. Seria extremamente complexo! 
Em um estudo envolvendo Engenharia Biomédica, um determinado pesquisador 
realizou um trabalho voltado para modelagem de marca-passo no coração de pessoas 
idosas. Em sua pesquisa, ele tinha por interesse achar a área abaixo da curva gerada 
pelos dados do marca-passo. Sabe-se que a função que governa o marca-passo é descrita 
por: 
 
no intervalo de 0,2 até 0,8 horas. Uma vez que ele tiver a área abaixo dessa curva e 
sabendo que essa função tem certos padrões de repetição, ele conseguirá estimar a área 
total para mais do que 0,6 horas, considerada em seu experimento para avaliar a 
qualidade do marca-passo. Então, baseando-se nos conceitos de integração numérica, 
como você calcularia a área abaixo da função dada assumindo uma margem de erro de 
no máximo 1%? 
Conseguiu ver a importância desses conceitos? Que tal começarmos a trabalhar com 
eles e entender melhor sob o ponto de vista matemático e prático? Não se preocupe, 
vamos lhe acompanhar em todo o processo e os conceitos serão construídos de forma 
gradual! 
 
Fórmulas de Newton-Cotes: fórmulas dos trapézios e de Simpson 
Já vimos anteriormente como trabalhar com os erros de aproximações e também com 
formas de resolver a equação f(x) = 0 . Agora, nos interessa saber como resolver 
numericamente as integrais, uma vez que elas, assim como a equação f(x) = 0 , têm 
diversas aplicações em Engenharia, como no cálculo aproximado da área de placas de 
metais em construção civil. Nesse aspecto, a ideia da integração numérica consiste, 
basicamente, na aproximação da função integranda f por um polinômio em que a 
escolha desse polinômio e dos pontos usados em sua determinação vai resultar nos 
diversos métodos numéricos de integração. 
Em Cálculo Diferencial e Integral, é visto que as fórmulas de integração numéricas são 
somatórios, em que suas parcelas são, necessariamente, valores de f(x) calculados em 
pontos escolhidos e multiplicados por pesos convenientes, isto é, 
 
 
e o erro: 
 
que é conhecida como fórmula de Newton-Cotes para integrais numéricas. Como caso 
particular dessa fórmula, obtemos as famosas fórmulas dos trapézios e de Simpson, que 
são estabelecidas com polinômios de grau 1 e grau 2, respectivamente. Vamos iniciar 
então com a fórmula dos trapézios, ou regra dos trapézios. 
A fórmula dos trapézios corresponde, basicamente, à interpolação da função a ser 
integrada por um polinômio de grau 1 (ANDRADE, 2012). A interpolação linear, nesse 
caso, necessita de dois pontos, então, vamos trabalhar com os extremos do intervalo de 
integração, isto é, a = x0 e b = x1. Logo, o polinômio linear interpolador é dado por: 
 
Para uma melhor visualização dessa ideia, vamos trabalhar com o gráfico exposto na 
figura abaixo. 
 
 
Gráfico. Fonte: elaborada pelo autor. 
Assim, observando a figura acima e partindo dos pesos, temos que: 
 
onde o erro é descrito pela seguinte equação: 
 
• Reflita 
Como você acha que fica a fórmula dos trapézios se for aplicada diversas vezes sobre 
subintervalos de um intervalo geral [a, b]? 
______ 
 
 
 
Regra de Simpson. Fonte: elaborada pelo autor. 
Dessa forma, a partir dos polinômios de Lagrange, obtemos os pesos da fórmula de 
Simpson: 
 
Assim, obtemos a seguinte solução para a integral: 
 
onde o erro é dado pela seguinte expressão: 
 
• Reflita 
Como você acha que fica a fórmula de Simpson se for aplicada diversas vezes sobre 
subintervalos de um intervalo geral [a, b]? 
 
• Assimile 
Embora as fórmulas dos trapézios e de Simpson usem polinômios de grau baixo, note 
que, em termos de erros, a regra de Simpson não apresenta termos simples como 
acontece na regra dos trapézios. 
 
Intervalos de integração grandes e fórmulas compostas 
Agora, vamos avaliar outros aspectos dessas fórmulas: intervalos de integração grandes. 
Quando o intervalo de integração é grande, em geral, não é conveniente aumentar o grau 
do polinômio interpolador para obter fórmulas mais precisas, pois podemos deixar o 
problema ainda mais complexo. A alternativa mais usada é subdividir o intervalo de 
integração e aplicar fórmulas simples repetidas vezes, obtendo-se as fórmulas 
compostas. Vamos começar com a regra dos trapézios composta. 
 
que é chamada de fórmula composta para a regra dos trapézios. Nesse caso, o erro final 
dessa fórmula tem como base os erros parciais da fórmula simples dos trapézios que são 
dados por: 
 
Logo, o erro final é dado por: 
______ 
• Assimile 
Se f é um polinômio no qual seu grau é menor que 3, então o erro 
______ 
• Exemplificando 
 
______ 
Como exercício prático, você pode escrever a aproximação da integral considerando 
pela regra de Simpson e pela regra dos trapézios usando 6 intervalos. Para finalizar,deixo a reflexão: qual desses métodos é mais viável quando eu tenho uma integral mais 
complexa? 
 
Isto é, 
 
que é conhecida como fórmula composta para a regra de Simpson. Da mesma forma que 
na regra dos trapézios composta, o erro final da regra composta de Simpson pode ser 
obtido pela soma dos erros parciais. Portanto, o erro final da regra composta de 
Simpson é dado por: 
 
• Assimile 
Se f é um polinômio no qual seu grau é menor que 3, então o erro 
 
é nulo, isto é, a regra de Simpson é exata para polinômios de grau menor que 3 
(ANDRADE, 2012). 
Para finalizar nosso estudo de integração numérica, vamos trabalhar com um exemplo 
de cálculo de integral com base nas regras de Simpson e dos trapézios com erro menor 
que 10−4. 
 
 
 
 
• Exemplificando 
 
Como exercício prático, você pode escrever a aproximação da integral considerando 
pela regra de Simpson e pela regra dos trapézios usando 6 intervalos. Para finalizar, 
deixo a reflexão: qual desses métodos é mais viável quando eu tenho uma integral mais 
complexa? 
 
Conclusão 
Pela definição de área sobre a curva, poderíamos calcular a área exata usando a 
integração comum dada por: 
 
No entanto, foi solicitado o uso de métodos numéricos. Nesse caso, podemos proceder 
usando a regra dos trapézios com 6 subintervalos. Isto é, para n = 6, temos que h = 0,1 e 
assim: 
 
Assim, calculando o erro da estimativa, obtemos: 
 
UNIDADE 3 - Probabilidade e Estatística 
 
Unidade 3 - Aula 1 - Introdução à probabilidade e estatística 
 
Introdução da Unidade 
Objetivos da Unidade 
Ao final desta Unidade, você será capaz de: 
 aplicar os fundamentos de probabilidade e estatística; 
 analisar situações realistas para o profissional de Engenharia e Ciências Exatas; 
 descrever o processo de amostragem. 
Estudante, o que você pensa quando escuta o termo probabilidade? E o termo 
estatística? Seria algo como sendo a chance de conseguir alguma coisa, como a chance 
de vencer em um jogo de videogame ou a chance de ter sucesso com sua startup? Se 
você pensa dessa forma, você pensa de maneira estatística! 
Nesta unidade, vamos trabalhar com os principais conceitos de estatística e 
probabilidade, iniciando com a história da probabilidade. Logo em seguida, vamos 
trabalhar com as definições de população e amostra que se fazem fundamental na 
estatística, sendo o carro-chefe dessa disciplina. Por fim, vamos entender como se faz 
uma amostragem. Os processos de amostragem são diversos na literatura, mas nosso 
foco aqui será a diferença entre uma amostragem probabilística e uma não 
probabilística. Além disso, vamos trabalhar também com as medidas de tendência 
central e dispersão e o modelo de regressão que envolve a correlação das variáveis. 
Algo que você pode estar se perguntando é: mas como utilizamos a estatística e a 
probabilidade em áreas como Engenharia? Para exemplificar, suponha que você 
trabalha com energia solar e seu objetivo seja criar tipos de telhados que proporcionem 
o uso desse tipo de energia. Nesse caso, você irá realizar um experimento para avaliar se 
sua proposta traz algum tipo de vantagem para a produção do telhado. Só pelo fato de 
realizar um experimento, você já está trabalhando com estatística e, posteriormente, 
para avaliar os resultados desse experimento, você irá precisar de métodos estatísticos e 
probabilísticos para trazer uma confiança em seu projeto, como um modelo de 
regressão. Viu como a estatística é importante nesse aspecto? Para lhe auxiliar, vamos, 
no decorrer desta unidade, aprender um pouco mais sobre ela! Então, mãos à obra! 
 
 
Introdução da Aula 
Qual é o foco da aula? 
Nesta aula, você estudará sobre probabilidade e estatística. 
Objetivos gerais de aprendizagem 
Ao final desta aula, você será capaz de: 
 aplicar probabilidade e estatística; 
 analisar amostragem probabilística e não probabilística; 
 calcular aplicações da estatística. 
Situação-problema 
Estudante, o que você pensa quando escuta o termo probabilidade? E o termo 
estatística? Seria algo como sendo a chance de conseguir alguma coisa, como a chance 
de vencer em um jogo de videogame ou a chance de ter sucesso com sua startup? Se 
você pensa dessa forma, você pensa de maneira estatística! 
Nesta unidade, vamos trabalhar com os principais conceitos de estatística e 
probabilidade, iniciando com a história da probabilidade. Logo em seguida, vamos 
trabalhar com as definições de população e amostra que se fazem fundamental na 
estatística, sendo o carro-chefe dessa disciplina. Por fim, vamos entender como se faz 
uma amostragem. Os processos de amostragem são diversos na literatura, mas nosso 
foco aqui será a diferença entre uma amostragem probabilística e uma não 
probabilística. Além disso, vamos trabalhar também com as medidas de tendência 
central e dispersão e o modelo de regressão que envolve a correlação das variáveis. 
Algo que você pode estar se perguntando é: mas como utilizamos a estatística e a 
probabilidade em áreas como Engenharia? Para exemplificar, suponha que você 
trabalha com energia solar e seu objetivo seja criar tipos de telhados que proporcionem 
o uso desse tipo de energia. Nesse caso, você irá realizar um experimento para avaliar se 
sua proposta traz algum tipo de vantagem para a produção do telhado. Só pelo fato de 
realizar um experimento, você já está trabalhando com estatística e, posteriormente, 
para avaliar os resultados desse experimento, você irá precisar de métodos estatísticos e 
probabilísticos para trazer uma confiança em seu projeto, como um modelo de 
regressão. Viu como a estatística é importante nesse aspecto? Para lhe auxiliar, vamos, 
no decorrer desta unidade, aprender um pouco mais sobre ela! Então, mãos à obra! 
 
 
Conceito de probabilidade 
Você já parou para pensar em como as coisas ao nosso redor acontecem de forma 
aleatória? Por exemplo, o cair de uma fruta de uma árvore, uma batida de carro, a queda 
de um avião, a subida/descida da bolsa de valores, etc. Poucas coisas são, de fato, 
determinísticas. Nesta aula, vamos explorar esses conceitos e definir o que chamamos 
de probabilidade, que se faz uma ferramenta mais do que fundamental atualmente e nas 
mais diversas áreas de trabalho. 
No que tange ao contexto histórico, acredita-se que essa teoria teve seu início com os 
matemáticos franceses Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre Fermat (1601-1665), quando 
eles conseguiram derivar probabilidades exatas para determinados problemas de jogos 
envolvendo dados. Atualmente, essa teoria é aplicada em diversas áreas de estudo como 
hidrologia, medicina, farmacologia, engenharia, química, educação, dentre outras. 
Ao estudar probabilidade, duas coisas são levadas em 
consideração: experimentos e eventos. Um experimento é um processo, seja real ou 
hipotético, no qual são identificados os resultados no decorrer do tempo. Por outro lado, 
um evento é um conjunto bem definido relativo aos resultados de um experimento, seja 
ele real ou hipotético. Além disso, existem duas classificações para os 
experimentos: aleatórios e determinísticos. Dizemos que um dado experimento é dito 
aleatório se, mesmo repetindo-o diversas vezes em condições iguais, o resultado não 
pode ser definido ou, até mesmo, predito. Em contrapartida, dizemos que um 
experimento é dito determinístico se, repetido diversas vezes, o resultado pode ser 
definido ou predito. 
Um outro elemento fundamental em probabilidade é o espaço amostral. Podemos 
definir espaço amostral como sendo o 
“conjunto relativo a todos os resultados possíveis que podemos encontrar em um 
experimento aleatório” (MAGALHÃES, 2002). 
Denotamos espaço amostral por Ω. Por exemplo, suponha que desejamos representar 
todas as plantas que produzem O2. Nesse caso, Ω = {Todas as plantas que 
produzem O2} que define as características comuns aos membros do conjunto. Outro 
exemplo é o lançamento de uma moeda.Nesse caso, Ω = {cara, coroa} que são as 
únicas possibilidades de ocorrência no lançamento da moeda. Em especial, os conjuntos 
de um espaço amostral possuem algumas propriedades especiais, dado Ω um espaço 
amostral; A, B e C três subconjuntos de um espaço amostral Ω, então as seguintes 
propriedades são válidas: 
 
Voltando ao contexto de probabilidade, na literatura, três interpretações diferentes de 
probabilidade são consideradas, a saber: a interpretação frequentista, a interpretação 
clássica e a interpretação subjetiva. É importante destacar que cada uma dessas 
interpretações pode ser útil na aplicação da teoria das probabilidades a problemas 
práticos. 
Vamos começar então com a interpretação frequentista. 
Interpretação frequentista: seja A um evento qualquer. Se nA é o número de 
ocorrências do evento A em n repetições independentes do experimento, então dizemos 
que a probabilidade em que A ocorre é: 
 
• Exemplificando 
 
Interpretação clássica: seja Ω um determinado espaço amostral e A um evento dado. 
Se N(Ω) é o número de elementos possíveis no nosso espaço amostral Ω e N(A) é o 
número de elementos possíveis no nosso evento A, então dizemos que a probabilidade 
em que A ocorre é: 
 
Vale ressaltar que se um experimento aleatório tem como espaço 
amostral Ω=e1,e2,…,en, então podemos dizer que eventos elementares {ei} são 
equiprováveis se, porventura, todos esses eventos terem a mesma probabilidade de 
ocorrência, isto é: 
 
Logo, considerando tais eventos, podemos definir a probabilidade de ocorrência de um 
dado evento 
 
______ 
 
 
• Exemplificando 
Considere o lançamento de um dado em que o espaço amostral Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} é 
equiprovável. Dado o evento A = {sair número par na face em um lançamento de um 
único dado}, de acordo com a interpretação clássica, o número de elementos do 
evento A = {2, 4, 6} é igual a 3 e a probabilidade de ocorrência do evento A é dada por: 
 
______ 
Interpretação subjetiva: se o julgamento das probabilidades relativas de várias 
combinações de resultados preencher determinados requisitos de consistência, então as 
probabilidades subjetivas dos diferentes eventos possíveis podem ser excepcionalmente 
determinadas. 
______ 
• Exemplificando 
Suponha que uma moeda é lançada uma vez. Uma pessoa sem informação especial 
sobre a moeda ou a maneira que ela é jogada, pode considerar que uma cara e uma 
coroa têm resultados igualmente prováveis. Entretanto, a pessoa que está jogando a 
moeda pode sentir que uma cara é muito mais provável de ser obtida do que uma coroa 
e atribuir uma probabilidade diferente. 
______ 
Agora que sabemos como interpretar uma probabilidade, vamos definir mais dois 
conceitos importantes: população e amostra. No que tange a esses conceitos, uma 
população pode ser definida como “grupo de indivíduos com característica(s) em 
comum”. Já uma amostra, podemos definir como “parte da população”, isto é, uma 
porção de indivíduos que usaremos para inferir respostas sobre a população. No que 
tange à seleção de uma amostra, ela pode ser feita de diversas maneiras, porém, em 
muitos casos, depende exclusivamente dos recursos disponíveis para a coleta dos dados. 
Em estatística utilizamos uma notação própria para diferenciar medidas usadas para 
descrever características da amostra e da população. Assim, podemos definir uma 
estatística como sendo uma medida de descrição de alguma característica da amostra. 
Por exemplo, X a média da amostra; S representa desvio-padrão da amostra; P a 
proporção da amostra e Xd a diferença de médias são 
estatísticas. Já um parâmetro pode ser definido como uma medida usada com 
finalidade de descrever uma característica da população e, diferente da amostra, é 
representado por uma letra grega. São exemplos de parâmetros: μ (média 
populacional); π (proporção populacional); σ (desvio-padrão populacional) 
e μd (diferença de médias populacionais). Os dois problemas básicos da estatística 
são: estimação e testes de hipóteses. Vamos, por meio de um exemplo, ilustrar essas 
duas situações. 
Suponha que determinado engenheiro químico está interessado em avaliar a média de 
produção de um determinado efluente, μ, para o tratamento de água nas seguintes 
condições: rio contaminado por aproximadamente 5 anos com água de péssima 
qualidade e ecossistema aquático (peixes) degradado. Nesse caso, a nossa população 
consiste em todas as dosagens da concentração do efluente nas condições citadas. 
Assim, com os valores de concentração, podemos obter a estimativa da média de 
produção verdadeira do efluente. 
Esse é um exemplo de problema de estimação. Por outro lado, suponha que o 
engenheiro químico deseja saber se a média de produção do efluente A é a mesma da 
média de produção do efluente B. Para realizar tal comparação, foi considerada uma 
amostra aleatória de 50 concentrações do efluente B e 50 do efluente A, sob as mesmas 
condições. Esse é um exemplo de problema de teste de hipóteses. 
• Reflita 
Em que outras situações práticas você pode encontrar as diferenças entre os problemas 
de estimação e testes de hipóteses? 
 
 
 
 
Amostragem 
Agora, para encerrar nosso conteúdo da aula, vamos lidar com a amostragem, que é 
uma das principais ferramentas da estatística. Como vimos nos exemplos anteriores, um 
pesquisador trabalha apenas com a amostra, visto que, em muitos casos, trabalhar com a 
população toda é impossível. A maneira como é selecionada uma amostra é de extrema 
importância, pois é através dos dados amostrais que estimamos os parâmetros da 
população para fazer inferências sobre ela. Existem diversas formas/técnicas de se 
realizar uma amostragem, porém, nesta aula, iremos nos limitar a trabalhar com 
a amostragem aleatória simples para o uso das técnicas estatísticas aqui apresentadas. 
Então, podemos definir a amostragem aleatória simples como sendo uma técnica em 
que todos os indivíduos de uma dada população têm a mesma probabilidade de serem 
selecionados para a amostra. Em outras palavras, seria análogo à ideia de um sorteio de 
números como na Mega-Sena, em que temos 60 números na “população” e escolhemos 
6 desses números. A escolha de cada um dos 6 números tem a mesma probabilidade. 
Para facilitar o processo de amostragem aleatória simples, podemos dividi-lo em etapas: 
1. definir a população-alvo; 
2. definir um quadro par ao processo de amostragem; 
3. avaliar os recursos disponíveis para execução do quadro de amostragem; 
4. atribuir um número único para cada indivíduo; 
5. determinar o tamanho da amostra; 
6. realizar a amostragem aleatória simples. 
Assim como toda técnica de amostragem, a amostragem aleatória simples tem suas 
vantagens e desvantagens. Entre as vantagens, destacamos: 
1. a probabilidade de seleção de um indivíduo é a mesma para todos os indivíduos; 
2. em geral, esse método traz amostras representativas; 
3. os métodos estatísticos, para lidar com esse tipo de amostragem, são mais 
simples. 
No entanto, as desvantagens desse tipo de amostragem são: 
1. não se utiliza o conhecimento do pesquisador sobre a população; 
2. os erros de amostragem podem ser maiores quando comparados a outros 
métodos; 
3. se lidamos com uma população mais dispersa, os custos de coleta de dados 
podem ser maiores do que o esperado. 
Além da amostragem aleatória simples, há outros tipos de amostragem 
probabilísticas: amostragem sistemática, que, diferente da amostragem simples, 
dividimos a população em grupos e em cada grupo trabalhamos com a amostragem 
aleatória simples; amostragem estratificada, que consiste em, basicamente, dividir a 
população em grupos e subgrupos de acordo com as características de interesse; e, por 
fim, amostragem por conglomerados, que consiste em selecionar primeiramente o 
grupo e não o indivíduo, como nos outros tipos de amostragem. Independentemente do 
tipo de amostragem probabilística, o objetivo é sempre