Dilatação temporal e contração espacial

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Física Moderna
“Às vezes me pergunto como foi que justo eu fui desenvolver a teoria da relatividade. 
	
	A razão, eu acho, é que um adulto normal nunca para para pensar sobre os problemas do espaço e do tempo. Esta são coisas sobre as quais ele pensou quando era criança. Mas meu desenvolvimento intelectual foi retardado, e o resultado é que eu comecei a pensar sobre o espaço e sobre o tempo somente quando adulto.”
- Albert Einstein
einst_bike
R
F
0
v
R
F
v
R
F
v
R
F
v
R
F
Alice: no vagão
Bruno: na plataforma
0
xB
xA
v
R
F
Alice: “Eventos simultâneos!”
Bruno: “Não são simultâneos!”
Na última aula
Evento RA:
(xA=-3, tA=3s)
Evento FA:
(xA=+3, tA=3s)
Evento RB:
(xB=-2, tB=2s)
Evento FB:
(xB=+5, tB=4s)
Eventos são registrados por observadores locais, com relógios sincronizados.
O evento “explosão da bombinha” acontece em xA=xB=0 e tA=tB=0
“O culpado é o tempo”
Dois observadores não concordarão sobre a simultaneidade de eventos
Não concordarão nem mesmo sobre qual evento aconteceu antes!
Solução, se “batermos pé” na validade do postulado de constância da velocidade da luz através de referenciais inerciais:
O tempo não flui da mesma maneira para observadores em diferentes referenciais inerciais
pictUm argumento
Um observador e um detector estão em repouso em um referencial S. Em t = 0, o observador em S emite um pulso de luz que será recebido por um detector em x = 3 m. 
Em Δt = 10 ns, a luz chega ao detector. O observador S mede um deslocamento Δx = 3 m, de modo que a velocidade da luz, no referencial S, é:
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
x
S
pictComparando referenciais inerciais
Agora, um referencial S’ se move com respeito ao referencial S com velocidade v = 0,2 m/ns. 
	
Em t = 0, o observador no referencial S emite outro pulso de luz, que será detectado na mesma coordenada (do referencial S), x = 3 m.
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
x
pict
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
v
x’
S
S
Dez nanossegundos depois...
1) S’ se move com respeito a S, com v = 0,2 m/ns. 
Em Δt = 10 ns, a luz chega ao detector. Na relatividade Galileana, segundo o observador em S’, quanto a luz andou?
	
A) 3 m		B) 2 m 	C) 1 m		D) 0 m
Em S’:
S’ se move com respeito a S, com v = 0,2 m/ns. 
Em Δt=10 ns, a luz chega ao detector. Na relatividade Galileana, (Δt=Δt’) o observador em S’ diria que a velocidade da luz é
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
v
Hmmm...
Dez nanossegundos depois...
pict
pict
Hmmm...
Se tomarmos o postulado de Einstein como válido, então: 
	No referencial S
No referencial S’
Conclusão: Tendo aceito o postulado de constância da velocidade da luz (‘c’ é o mesmo em todos os referenciais inerciais) e encontramos que , é natural concluir que
	.
O tempo em referenciais diferentes
Espelho
pictAlice
h
v
Alice mede um intervalo de tempo: Δt’ = 2h/c 
(Nada surpreendente...)
Espelho
v
v
Espelho
Espelho
v
pictBruno
O tempo em referenciais diferentes
pictBruno
h
v · Δt/2
c · Δt/2
O tempo em referenciais diferentes
pictBruno
h
Bruno mede o seguinte intervalo de tempo:
Mas Alice mediu
Δt’ = 2h/c !!
O tempo em referenciais diferentes
v · Δt/2
c · Δt/2
O tempo em referenciais diferentes
Alice mede: Δt’
Bruno mede: Δt = γΔt’, com
2) O fator γ pode ter que valores?
A)			B)			C)
							D) Alguma outra coisa…
Para Alice, o tempo passa mais lentamente.
(Alice está em movimento em relação a Bruno)
Δt = γΔt’ ≥ Δt’
Dilatação temporal
Alice mede: Δt’
Bruno mede: Δt = γΔt’, com
Tempo medido por Alice entre dois pulsos de luz: Δt
Tempo medido por Bruno entre dois pulsos de luz: Δt > Δt’
Tempo medido por Alice entre dois pulsos de luz: Δt
Tempo medido por Alice entre dois pulsos de luz: Δt’
No referencial de Alice: instantes de tempo são medidos pelo mesmo relógio (relógio na mesma posição no referencial de Alice)
No referencial de Bruno: instantes de tempo são medidos por relógios diferentes (relógios em posições diferentes no referencial de Bruno)
Tempo próprio
Mesma localização espacial
…é o tempo conforme medido por um relógio em um referencial onde ele esteja em repouso.
Nenhum relógio se move com respeito a ele mesmo!
	
Qualquer observador se movendo com respeito a esse relógio dirá que ele funciona mais lentamente (ou seja, os intervalos de tempo, para este observador, serão maiores. Esta é a chamada dilatação temporal.
Matematicamente: 	Evento 1: (x1,y1,z1,t1)
			Evento 2: (x1,y1,z1,t2)
O tempo próprio é o menor intervalo de tempo medido entre dois eventos.
Tempo próprio
Tempo próprio: definição
Tempo próprio: O intervalo de tempo entre dois eventos medidos no referencial em que os dois eventos ocorrem na mesma coordenada espacial, isto é, um intervalo que pode ser medido com um único relógio.
v
T:\Untitled.png
Δτ=Δt/γ, onde Δt é o intervalo de tempo medido em algum outro referencial inercial
O que vimos até agora
A simultaneidade de dois eventos depende de qual referencial se está considerando. Para uma bombinha estourando no referencial de Alice:
Alice
Helper
Alice conclui que: 
A luz atinge ambas as extremidades do vagão ao mesmo tempo.
v
R
F
…-3 -2 -1 0 1 2 3...
Bruno
Bruno conclui que: 
A luz atinge a traseira do vagão antes.
Dilatação temporal: Dois observadores, em movimento relativo ao outro, medem intervalos de tempo diferentes entre dois eventos.
h
pictBruno
v
Bruno mede:
Δt = γ (2h/c ), 
pictAlice
h
Alice mede:
	Δt’ = 2h/c 
	Δt’ =Δτ é o tempo próprio
O que vimos até agora
O comprimento de um objeto
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
pict
Esta régua tem 3m de comprimento. Eu medi as posições das pontas, ao mesmo tempo, no meu referencial.
Neste caso, não importa muito se medi ao mesmo tempo ou não: no meu referencial, a régua está parada.
Este comprimento, medido no referencial em que a régua está em repouso, é o chamado comprimento próprio da régua.
O comprimento próprio
Comprimento próprio: Comprimento ℓ de um objeto, medido no referencial onde está em repouso.
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
pict
R
x1
x2
y
x
A1
A2
v
L
Comprimentos em referenciais em movimento relativo
Espaçonave indo de um asteróide a outro
No referencial dos asteróides:
R'
x'
y'
L'
Comprimentos em referenciais em movimento relativo
Espaçonave indo de um asteróide a outro
No referencial da espaçonave:
A1
A2
-v
-v
Comprimentos em referenciais em movimento relativo
No referencial dos asteróides: v = L/Δt
No referencial da espaçonave: v = L'/Δt'
Então:
Como a espaçonave verá o comprimento L?
Comprimentos em referenciais em movimento relativo
Mas, no referencial R', Δt' é um tempo próprio: Δt' = Δτ 
Portanto:
Usando a definição de tempo próprio, Δτ = Δt/γ:
Comprimentos em referenciais em movimento relativo
L' é a distância entre os asteróides,
medida pela espaçonave
3) L' é maior, menor, ou igual a L?
(A) L' > L
(B) L' < L
(C) L' = L
(D) Impossível afirmar 
qualquer coisa sem números
L é a distância entre os asteróides, medida por observadores no referencial dos asteróides
A contração espacial
No referencial dos asteróides: L = ℓ (comprimento próprio)
ℓ = γL' > L'
O comprimento de um objeto, em qualquer outro referencial, será menor que o comprimento próprio (o comprimento do objeto em um referencial em que este objeto esteja em repouso)
Contração espacial
	Tempo (simultaneidade) e comprimento dependem do referencial
	Tempo próprio : O intervalo de tempo entre dois eventos medidos no referencial em que os dois eventos ocorrem na mesma coordenada espacial (pode ser medido com um único relógio). Em qualquer outro referencial o intervalo de tempo será MAIOR que o tempo próprio.
Comprimento próprio: Comprimento ℓ de um objeto, medido no referencial onde o objeto está em repouso. Em qualquer outro referencial o comprimento medido será MENOR que o comprimento próprio
	Sistema ->
	S
(Bruno/espaçonave)
	S’ (v c/rel a S)
(Alice/asteróide)
	Tempo
		
	Comprimento
		
Consequências do postulado da constância da velocidade da luz
E a adição de velocidades?
Espaço e tempo podem ser separados?
E a transformação de Galileu?
E a adição de velocidades?
Usando que:
Contração espacial
Dividindo por: 
Obtemos: 
Que resulta em: