3ª Lista de Exercícios Matemática 2 Derivada parcial

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3ª Lista de Exercícios de Matemática 2 – Derivada Parcial 
Prof. Gisleine 
 
1) Dada f(x,y) = x2t +xy2, calcule 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 e 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
. 
 
2) Nos casos abaixo, calcule as derivadas parciais 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 , 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 e 
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
 de 1ª ordem: 
a) f(x,y) = 𝑒𝑥
2𝑦 
b) f(x,y) = xy2 + xy + x2y 
c) f(x,y) = √𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2 
d) z = 
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
 
e) z = 𝑒𝑥
2+𝑦2−4 
f) f(w,t) = w2t - 
1
𝑡
 
g) z = x2y2 – xy 
h) w= x2y + xyz2 + x2z 
i) f(x,y,z) = 
𝑥2+𝑦2
𝑧
 
j) f(x,y,z) = x2yz – xz 
k) g(w,t,z)= √𝑤2 + 𝑡2 + 𝑧2 
 
 
3) Seja f(x,y) = {
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2
, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ 0
0, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0) 
, calcular 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 e 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 : 
 
4) Seja f(x,y) = {
5𝑥𝑦2
𝑥2+𝑦2
, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ 0
0, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) = (0,0) 
, calcular 
 
f(1,2) - 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(1,2) + 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(1,2) - 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 (0,0): 
 
5) Verificar se a função z = x3 y2 satisfaz a equação 
 
1
𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
−
2
3𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 0, para x ≠ 0 e y ≠ 0 
 
 
6) Verificar se a função z = sen(x + y) satisfaz a equação 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
−
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 0 
 
7) Seja f(x,y) = {
√𝑥2 + 𝑦2 + 1, 𝑠𝑒 𝑥2 + 𝑦2 < 1
0, 𝑠𝑒 𝑥2 + 𝑦2 ≥ 1 
, calcular, se existirem: 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(0,1) , 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(1,0) e 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 (0,0) 
 
8) Determine as derivadas de segunda ordem das funções dadas: 
 
a) y.xy.x)y,x(f 432  
b) ye.y)y,x(f x2  
c) 
yxeyxf 3),( 
 
d) 
4235 33),( xyyxxyxf 
 
 
9) Achar as derivadas de 2ª ordem (
 2𝑓
 𝑥2
,
 2𝑓
 𝑦 𝑥
,
 2𝑓
 𝑥 𝑦
,
 2𝑓
 𝑦2
 ) das funções: 
 
a) z= x2 – 3y3 + 4x2 y2 Resp: 2+8y2; 16xy ; -18y +8x2 ; 16xy 
b) z = ln xy Resp: 
−1
𝑥2 
 ; 0 ; 
−1
𝑦2 
 ; 0 
c) z = exy Resp: y2 exy ; exy[1 + xy] ; x2exy ; exy[1 + xy] 
 
10) Calcule os vetores gradientes das funções f(x,y) = (x+y).ex+y e g(x,y) = y.ex no 
ponto P=(0,0). 
 
11) Calcule a derivada direcional do campo escalar f(x,y) = 3x²y + xy no ponto P(1,2) 
e na direção do vetor �⃗� = (3, -4). Resp: Duf =26/5 
 
12) Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = 3x²y+y no ponto P= (-1, 2) na 
direção do vetor �⃗� =(2,0). Resp: Duf = -12 
 
13) Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = ex. cosy, no ponto P(0,0) e na 
direção do vetor �⃗� =(1, √3). Resp: Duf = 1/2 
 
14) Determine a derivada direcional da função z = 2x² + y² – 3z², no ponto P(1,2,3) 
na direção da reta determinada pelos pontos P(1,2,3) e Q(3,5,1) no sentido de P 
para Q. Resp: 56√17/17. 
 
15) Suponhamos que um sistema coordenado xyz esteja localizado no espaço, de 
modo que a temperatura T no ponto (x,y,z) seja dada pela fórmula: 
T = 
100
𝑥²+𝑦²+𝑧²
 
a) Encontre a variação de T em relação à distância no ponto P=(1,3,-2) e na direção 
do vetor �⃗� =𝑖 - 𝑗 + �⃗⃗�. Resp: Aproximadamente 2,4 ºC/cm. 
b) Em que direção a partir de P, T aumenta mais rapidamente? Qual a taxa máxima 
de variação de T em P? Resp: na direção do gradiente e taxa aproximada de 
3,8ºC/cm. 
 
16) Determine o gradiente, 
f
, da função no ponto dado. 
)3,(;.),())4,3(;)(ln.),()
)4,3(;)(),())1,1(;)(),()
4
32
2232 2
1



PxsenyyxfdPyxyyxfc
PyxyxfbPxyxyxfa
 
17) Determine a derivada direcional da função f no ponto P na direção e sentido do 
vetor a. 
kjiaPzyxzxzyxfc
jiaPyeyxfb
jiaPyxyxfa
x
23;)1,1,2(;).,()
25;),0(;cos.),()
..;)0,0(;)1(ln),()
223
4
10
3
10
12




 
18) A temperatura T no ponto (x; y) de uma placa metálica circular, com centro na 
origem, vem dada por 
 
Qual a direção que se deve tomar a partir do ponto A(1; 1), de modo que a temperatura 
aumente o mais rápido possível e com que velocidade(taxa) T (x; y) aumenta ao passar 
pelo ponto A nessa direção? 
19) A superfície de um lago é representada por uma região D do plano xy de modo 
que a profundidade (medida em metros) sob o ponto (x; y) é 
p (x; y) = 300 – x² - y² 
Em que direção um bote no ponto A(4; 9) deve navegar para que a profundidade da 
água decresça mais rapidamente? Qual a taxa mínima de decrescimento? 
 
20) Uma chapa de metal está situada em uma região plana de modo que a 
temperatura T é expressa em graus F, em (x,y) por 
𝑇(𝑥, 𝑦) =
500
√𝑥2 + 𝑦2
 
no ponto P(3,4). Nessas condições, encontre, em P: 
a) a direção do ponto P a temperatura cresce mais rapidamente; 
b) a taxa máxima de aumento em que T aumenta mais rapidamente; 
 
21) A temperatura, em graus Celsius, na superfície de uma placa metálica é dada por 
T(x, y)= 20 - 4x²- y² , onde x e y são medidos em metros. Em que direção a 
temperatura cresce mais rapidamente no ponto (2, -3)? Qual a taxa de 
crescimento? 
 
22) Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por 
V(x,y,z) = 5x² - 3xy + xyz. 
a) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor 
�⃗� = 𝑖 + 𝑗 - �⃗⃗�. 
b) Em que direção V varia mais rapidamente em P? 
c) Qual a taxa máxima de variação em P?