Atividade 2 (A2)_ 232GGR0551A - CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS

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Iniciado em segunda, 23 out 2023, 14:54
Estado Finalizada
Concluída em segunda, 23 out 2023, 15:10
Tempo
empregado
16 minutos 18 segundos
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Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de
aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , em todos os
pontos de uma placa retangular no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento
da densidade no ponto .
 
 
a. A taxa máxima de aumento da densidade é .
b. A taxa máxima de aumento da densidade é .
c. A taxa máxima de aumento da densidade é .
d. A taxa máxima de aumento da densidade é . 
e. A taxa máxima de aumento da densidade é .
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a
partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio da
função .
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do vetor .
 
 
a. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,38 unidades.
b. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades. 
c. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,82 unidades.
d. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,39 unidades.
e. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,93 unidades.
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Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No
caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor
gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função.
 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função no ponto P(1,2).
a.
b.
c.
d.
e. 
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis
 quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da
função com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja
fornecida por um vetor unitário.
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por . Assinale a alternativa que
corresponde à derivada direcional da função no ponto na direção do vetor .
 
 
a. 2
b. 1
c.
d. 
e. 3
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Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para
determinar o domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem
assumir.
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
 
I. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
II. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
III. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
IV. O domínio da função corresponde à região a seguir.
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Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
 
 
a. IV, apenas.
b. I, apenas. 
c. II, III, apenas.
d. I, IV, apenas.
e. I, II, IV, apenas.
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando
essa lei como a função , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume de sob uma pressão de
. O volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por segundo.
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use ).
 
 
a. A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
b. A temperatura está aumentando a uma taxa de  por segundo no instante dado.
c. A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
d. A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado. 
e. A temperatura está aumentando a uma taxa de  por segundo no instante dado.
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Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor
. Dado um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão
.
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto .
 
 
a.
b. 
c.
d.
e.
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto é, e . A derivada da
função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar
que precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções e com
relação à variável .
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação à variável ,
sabendo que e .
 
 
a.
b.
c.
d.
e. 
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Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela
quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três
componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional é expresso pela função
.
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do potencial elétrico no ponto
.
 
 
a.
b.
c.
d.
e. 
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é,
quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do
vetor gradiente.
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função no ponto
P(-1,1).
 
 
a.
b. 
c.
d.
e.
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