Material de Cálculo PUC - Unidade 07

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Cálculo I – 90 horas 
Unidade 7: Conceito de derivada 
 
Introdução 
 
Depois de estudado o conceito de limite, procuraremos construir a idéia de 
derivada. Começaremos por investigar o problema da velocidade de um objeto em dado 
instante; vamos analisar o que queremos dizer com a expressão velocidade instantânea. 
Com esse problema, chegaremos à idéia de derivada, um conceito que está na base do 
Cálculo Diferencial e Integral. 
Geometricamente, a derivada é a inclinação de uma curva e, fisicamente, uma 
taxa de variação. Por indicar como as grandezas crescem ou decrescem, a derivada está 
presente em quase todos os ramos do conhecimento. Derivadas têm aplicações em 
praticamente todas as ciências; podem ser usadas para representar, por exemplo, a 
variação da taxa de juros, a taxa de crescimento de uma população, a taxa de variação 
da temperatura ou a taxa segundo a qual as moléculas de um gás se movimentam, a 
dilatação de materiais, a acumulação de capitais, o crescimento de uma população, a 
transmissão de imagens e a propagação do som. 
Definiremos a derivada como a função que associa, a cada ponto do gráfico de 
uma curva, a inclinação dessa curva. Estenderemos a idéia de derivada em um ponto, a 
todos os pontos de um determinado intervalo, construindo, a partir de uma dada função 
(a função primitiva), uma nova função (a função derivada). 
Unidade 07 
 
Prof. Jonas Lachini 
 
 
 
 
 
 
7.1 Medindo velocidade 
 
De acordo com informações do fabricante, o conversível Spyker C8, modelo 
2004, acelera de 0 a hkm100 em 4,5 segundos e atinge uma velocidade máxima de 
hkm /300 . Nessas informações, faz-se referência a duas taxas de variação: 
tempodoiaçãovar
velocidadedaiaçãovar
aceleração = e 
tempodoiaçãovar
todeslocamendoiaçãovar
velocidade = 
(Lembrete: a palavra taxa tem o mesmo significado de razão e de quociente.) 
 
Por meio de uma experiência fictícia vamos estudar o que significa dizer que a 
“velocidade é de hkm /300 ”. 
Suponhamos que um conversível Spyker C8 se desloque ao longo de uma pista 
reta e que sua posição s em função do tempo t seja indicada pela Tabela 7.1. 
 
t (segundos) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
)(tfs = 
(metros) 
0 3,95 15,80 35,55 63,20 98,75 142,20 193,55 252,80 
Tabela 7.1 
 
O deslocamento desse automóvel entre 2 e 5 segundos é: 
mffs 95,8280,1575,98)2()5( =−=−=∆ 
Sua velocidade média mv é: 
sm
ff
t
s
segundosdecorridotempo
metrostodeslocamen
vm 65,273
95,82
25
)2()5(
)(
)(
==
−
−
=
∆
∆
== 
Dizer que a velocidade média do veículo é igual a 27,65 metros por segundo 
significa dizer que tudo se passa como se o carro se deslocasse 27,65 metros a cada 
segundo do intervalo considerado. 
Orientações 
 
• Estude atentamente as Notas de aula 7. Analise com bastante cuidado os 
exemplos apresentados. 
• Estude este assunto no seu livro de Cálculo. O Questionário 7 pode ajudá-lo 
nessa tarefa. 
• Resolva os Exercícios 7. Eles servem para você fixar conceitos e melhorar 
sua habilidade em lidar com derivadas. 
• Não deixe de esclarecer suas dúvidas. Para isso, recorra ao correio 
acadêmico, ao fórum de discussão, aos chats ou, melhor ainda, a seu grupo de 
estudos de Cálculo. 
 
Leia sempre o quadro de avisos! 
 
De modo análogo, podemos achar a velocidade média desse carro em outros 
intervalos como, por exemplo, entre 5 e 6 segundos. 
sm
ff
vm 45,431
75,9820,142
56
)5()6(
=
−
=
−
−
= 
A velocidade média é um conceito útil, embora forneça uma idéia aproximada 
do movimento do objeto. Podemos refinar essa idéia pesquisando o que significa 
velocidade instantânea. Para estimar a velocidade do Spyker C8 no instante 5=t , 
usaremos a idéia de limite, ou seja, mediremos o deslocamento do carro em intervalos 
de tempo cada vez menores, mas nunca iguais a zero, conforme indicado na Tabela 7.2. 
 
t (segundos) 4,9 4,99 4,999 5 5,001 5,01 5,1 
)(tfs = (metros) 94,8395 98,3554 98,7105 98,7500 98,7895 99,1454 102,7395 
Tabela 7.2 
 
Com os valores da Tabela 7.2, obtemos as seguintes velocidades médias: 
11,39
1,0
8395,9475,98
9,45
)9,4()5(
=
−
=
−
− ff
 
46,39
01,0
3554,9875,98
99,45
)99,4()5(
=
−
=
−
− ff
 
50,39
001,0
7105,9875,98
999,45
)999,4()5(
=
−
=
−
− ff
 
50,39
001,0
75,987895,98
5001,5
)5()001,5(
=
−
=
−
− ff
 
54,39
01,0
75,981454,99
501,5
)5()01,5(
=
−
=
−
− ff
 
90,39
1,0
75,987395,102
51,5
)5()1,5(
=
−
=
−
− ff
 
 
Quando consideramos intervalos cada vez menores, as velocidades médias ficam 
ligeiramente acima ou ligeiramente abaixo de sm50,39 . Parece natural, então, definir a 
velocidade no instante 5=t como sendo sm50,39 . Ela é chamada de velocidade 
instantânea no ponto 5=t , uma vez que estamos considerando intervalos cada vez 
menores e obtendo velocidades médias arbitrariamente próximas de sm50,39 . Em 
Cálculo, esse processo é chamado de tomar o limite. Assim, a velocidade instantânea 
do carro no instante 5=t é o limite das velocidades médias, ao longo de um intervalo, 
quando esse intervalo se encolhe cada vez mais ao redor de 5=t , sem, no entanto, ser 
igual a zero. 
Esses valores nos permitem afirmar que, à medida que os intervalos de tempo 
considerados ficam próximos de zero, o valor da velocidade média se aproxima de 
39,50. Usando a notação de limite, escrevemos: 
50,39)5()5(lim
0
≅
∆
−∆+
→∆ t
ftf
t
 
O valor desse limite é a velocidade do carro no instante 5=t . Esse limite tem o 
nome de derivada de )(tf para 5=t e é escrito da seguinte maneira: 
t
ftff
t ∆
−∆+
=′
→∆
)5()5(lim)5(
0
 
Usando a notação de derivada, os valores obtidos para as velocidades médias nos 
permitem escrever: 
smf 50,39)5( ≅′ 
(Lê-se: “efe linha de cinco é aproximadamente igual a trinta e nove, vírgula, cinqüenta 
metros por segundo”). 
Aqui estamos escrevendo “ ≅ (aproximadamente igual a)” porque o limite 
poderia ser, por exemplo, sm499,39 ou sm5001,39 . Mais adiante, veremos como 
utilizar a álgebra para mostrar que o limite é exatamente sm50,39 . 
 
 Observação: 
Ao considerarmos o carro se deslocando ao longo de uma pista reta, escolhemos um 
sentido para ser o positivo; a velocidade é positiva quando o carro se move nesse 
sentido. Se o movimento for no sentido oposto, a velocidade é negativa. No caso de 
um objeto lançado para o alto, por exemplo, a velocidade é positiva para cima e 
negativa para baixo. A velocidade é uma grandeza vetorial; velocidade escalar é o 
módulo da velocidade e, portanto, é sempre positiva ou nula. 
 
 
Por motivo de economia, é comum pesquisar a velocidade instantânea em um intervalo 
da forma hata +≤≤ , chegando-se à seguinte expressão: 
)a(f
h
)a(f)ha(flim
aha
)a(f)ha(flimtâneataninsvelocidade
hh
′=
−+
=
−+
−+
=
→→ 00
 
(Lembrete: a notação 
0→h
lim indica que h se aproxima de zero por valores menores do que 
zero e também por valores maiores do que zero.) 
 
Exemplo 1 
 
A posição de um objeto é dada pela função 2t)t(s = . Determinar o valor do número 
h
)(s)h(slim
h
33
0
−+
→
 e atribuir um significado a esse número. 
 
Solução 
 
Velocidade média de um objeto ao longo de um intervalo 21 ttt ≤≤ é o 
deslocamento total 
da posição, durante o intervalo, dividido pela variação do tempo, 12 tt − . 
12
12
tt
)t(f)t(f
médiavelocidade
−
−
= 
Velocidade instantânea é o número do qual se aproximam as velocidades médias 
quando o 
intervalo considerado é cada vez menor, mas nunca igual a zero. 
)t(f
tt
)t(f)t(flimtâneataninsvelocidade
tt
2
12
12
12
′=
−
−
=
→
 
Esse número pode
ser obtido por meio da análise de uma tabela que apresente valores 
de h cada vez mais próximos de 0 e os correspondentes valores da expressão 
h
)(s)h(s 33 −+
. 
h -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 0,0001 0,001 0,01 0,1 
h
)(s)h(s 33 −+
 
 
5,9000 
 
5,9900 
 
5,9990 
 
5,9999 
 
6,0001 
 
6,0010 
 
6,0100 
 
6,1000 
Tabela 7.3 
 
Os valores de 
h
)(s)h(s 33 −+
, na Tabela 7.3, parecem estar convergindo para o número 
6. Desse modo, é razoável escrever: 
633
0
≅
−+
→ h
)(s)h(slim
h
 
O numerador, )(s)h(s 33 −+ , é medida de distância; o denominador, h, é medida de 
tempo. Portanto, o número 6 é medida da velocidade do objeto no instante 3=t . 
 
O cálculo exato desse limite é feito algebricamente: 
6663333
0
2
0
22
00
=+=
+
=
−+
=
−+
→→→→
)h(lim
h
hhlim
h
)h(lim
h
)(s)h(slim
hhhh
 
Esse número é a velocidade, v, do objeto no instante 3=t . Ele é o valor da derivada da 
função 2t)t(s = no ponto 3=t : 
sm)(s)(v 633 =′= 
 
Exemplo 2 
 
Uma bola é lançada do terraço de um edifício, para o alto, e sua altura, y (em metros), 
acima do solo, t segundos depois, é dada por 20155 2 ++−== tt)t(sy . 
a) Determine a altura do edifício. 
b) Determine a velocidade média da bola durante o primeiro segundo. 
c) Estime a velocidade da bola no instante 2=t . 
 
Solução 
 
a) A altura do edifício, em metros, é o valor de y para 0=t : 
m)(syedifíciodoaltura 200 === 
 
b) A velocidade média da bola, em metros por segundo, durante o primeiro 
segundo é: 
sm
ss
médiavelocidade 10
1
10
01
)0()1(
==
−
−
= 
 
c) Para calcular um valor aproximado da velocidade no instante 2=t , podemos 
considerar o intervalo ht +≤≤ 22 e analisar as velocidades médias indicadas 
na Tabela 7.4, obtidas para valores de h bem próximos de 0. 
 
 
h -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 0,0001 0,001 0,01 0,1 
h
)(s)h(s 22 −+
 
 
-4,5000 
 
-4,9599 
 
-4,9950 
 
-4,9995 
 
-5,0005 
 
-5,0050 
 
-5,0500 
 
-5,5000 
Tabela 7.4 
 
 Os valores na Tabela 7.4 parecem estar convergindo para o número -5 quando 
0→h . Então, uma boa estimativa é: 
5222
0
−≅
−+
=
→ h
)(s)h(slimtetaninsnovelocidade
h
 
 
 Para mostrar que esse limite vale exatamente 5, utilizamos a álgebra: 
 
55522
1552022
2021525202152522
2222
0
2
0
22
0
0
−=−−=′=
+−−
=′=
++−−++++−
=′=
−+
=′=
→
→
→
→
)h(lim)(s)(v h
hhhlim)(s)(v
h
)..()h()h(lim)(s)(v
h
)(s)h(slim)(s)(v
h
h
h
h
 
Assim, podemos escrever: sm)(v 52 −= . (O sinal negativo indica que a bola está 
caindo.) 
 
7.2 A velocidade como inclinação de uma curva 
 
No item anterior, estimamos a velocidade numericamente. Para isso, utilizamos 
os valores numéricos exibidos nas tabelas. Também é possível determinar a velocidade 
analisando o gráfico da distância em função do tempo. A Figura 7.1 traz um esboço da 
função 2953 t,)t(sy == , feito com base nos valores da Tabela 7.1. 
 
Figura 7.1 
 
(Lembrete: a Figura 7.1 não representa a trajetória do Spyker C8, pois ele se movimenta 
somente em linha reta. O gráfico é da distância em função do tempo.) 
Consideremos o intervalo 43 ≤≤ t e a igualdade 
 
6527
1
55352063
34
34
,
,,)(s)(s
percursodetempo
percorridadistância
vm =
−
=
−
−
== . 
 
O numerador dessa fração, )(s)(s 34 − , é a distância percorrida ao longo do intervalo 
de tempo e está representado verticalmente na Figura 7.2 pelo segmento MB. O 
denominador, 34 − , é o tempo de percurso e está sinalizado horizontalmente na mesma 
figura pelo segmento AM. 
 
Figura 7.2 
 
Portanto, podemos escrever: 
BeAligaqueretadainclinação
t
s)(s)(s
médiavelocidade =
∆
∆
=
−
−
=
34
34
 
Assim, geometricamente, a velocidade média ao longo de qualquer intervalo bta ≤≤ é 
a inclinação da reta que liga os pontos do gráfico ( ))a(s,a e ( ))b(s,b : 
( ) ( )( )bs,be)a(s,aporpassaqueretadainclinação
ab
)a(s)b(s
t
s
vm =
−
−
=
∆
∆
= 
Analisemos o que acontece com a inclinação da reta que liga os pontos 
( ))(s,P 33 e ( ))h(s,hQ ++ 33 à medida que consideramos intervalos cada vez menores 
com uma extremidade em 3=t . No intervalo ht +≤≤ 33 , temos: 
h
)(s)h(s
médiavelocidade 33 −+= 
A velocidade no instante 3=t é o número do qual se aproximam as velocidades médias 
quando os intervalos considerados diminuem de comprimento, isto é, quando h fica 
cada vez menor. 
Usando a notação de limite, escrevemos: 
h
)(s)h(slimtâneataninsvelocidade
h
33
0
−+
=
→
 
 
 
Figura 7.3 
 
No gráfico (Figura 7.3), esse limite é a inclinação da curva no ponto 3=t . À medida 
que 0→h , o ponto Q desliza sobre a curva e se aproxima arbitrariamente de P ; isso 
faz com que a inclinação da reta PQ se aproxime da inclinação da curva em ( )P 3, s(3) . 
Essa inclinação é um número real e esse número é a inclinação da tangente à curva 
)t(sy = no ponto ( )P 3, s(3) . Assim, podemos estimar a velocidade instantânea em 
3=t , avaliando a inclinação do gráfico em 3=t . 
 
O limite 
h
)(s)h(slim
h
33
0
−+
→
 é um número real chamado de derivada da função 
)t(sy = em 3=t . Escrevemos: 
h
)(s)h(slim)(s
h
333
0
−+
=′
→
 
Sabendo que 2953 t,)t(sy == , podemos calcular algebricamente esse limite: 
702339533953333
22
00
,
h
.,)h(,lim
h
)(s)h(slim)(s
hh
=
−+
=
−+
=′
→→
 
 
 
A expressão 
h
)(s)h(slim)(s
h
333
0
−+
=′
→
 é a base de todo o Cálculo Diferencial e 
Integral, com larga aplicação em economia, administração e contabilidade. Invista parte 
de seu tempo para estudá-la detalhadamente. Você precisa perceber claramente que 
)(s 3′ é um número do qual se aproximam as velocidades médias quando os intervalos 
Fisicamente, esse número é a velocidade no instante 3=t : 
 
sm,)(s)(vtâneataninsvelocidade 702333 =′== 
 
Geometricamente, esse número é a inclinação da tangente ao gráfico de 
2953 t,)t(sy == , no ponto ( ))(s,P 33 . A equação dessa reta é: 
 
)t()(s)(sy 333 −′=− , ou seja, com os dados do problema, 
)t(,,y 370235535 −=− . 
de tempo ficam cada vez menores. Para encontrar esse número, que é um limite, 
consideramos intervalos de tempo cada vez menores, mas nunca iguais a zero. 
 
7.3 A Derivada como Taxa de variação 
 
Aplicaremos o estudado na função )t(sy = para analisar a taxa de variação de 
uma função qualquer )x(fy = . No caso da função posição, )t(sy = , consideramos a 
taxa de variação 
h
)a(s)ha(s
t
s −+
=
∆
∆
. 
Para a função )x(fy = , a taxa de variação é da forma 
h
)x(f)hx(f
x
y 00 −+
=
∆
∆
. 
Este quociente é chamado de razão incremental. O numerador, )x(f)hx(f 00 −+ , 
mede o valor da variação ou do incremento de f ao longo do intervalo de 0x até hx +0 . 
Desse modo, a razão incremental é a variação de f ou de y dividida pela variação de x. 
Portanto, podemos escrever: 
h
)x(f)hx(f
x
yfdemédiaiaçãovardetaxa 00 −+=
∆
∆
= 
Neste quociente, comparamos a variação da função y com a variação da variável x, que 
estamos chamando de h. Apesar do intervalo não ser mais, necessariamente, um 
intervalo de tempo, ainda nos referimos a esse quociente como sendo a taxa de variação 
média de f ao longo do intervalo hxxx +≤≤ 00 . Para enfatizar a variável 
independente, dizemos que esse quociente é a taxa de variação média de f em relação a 
x. 
 
Exemplo 3 
 
Considere um balão de aniversário de forma esférica. Ao assoprarmos esse 
balão, alteramos o seu volume e, em conseqüência, o seu raio. Quando o balão está 
pequeno, uma pequena variação no volume (um
sopro) produz uma variação 
relativamente grande no raio; à medida que o balão cresce, a mesma variação de volume 
produz uma variação bem menor no raio. 
Sabendo que o raio, r, em centímetros, de um balão em função de seu volume, V, 
é 
31
4
3






=
pi
V
r , calcular a taxa de variação média de r em relação à variação de V nos 
intervalos: 
a) 0150 ,V, ≤≤ 
b) 5101 ,V, ≤≤ 
 
Solução 
 
a) A taxa média de variação do raio no intervalo 0150 ,V, ≤≤ é: 
260
4
51
4
32
501
5001 3131
,
,
,
),(r),(r
V
r
≅














−





=
−
−
=
∆
∆
pipi
 
O número 0,26 indica que, no intervalo considerado, o raio aumenta cm,260 para 
cada centímetro cúbico, 3cm , de variação do volume. 
 
3260 cmcm,volumeaorelaçãoemraiodoiaçãovardemédiaTaxa ≅ 
b) No intervalo 5101 ,V, ≤≤ , a taxa média de variação do raio em relação ao 
volume é: 
 
180
4
3
4
542
0151
0151 3131
,
,
,,
),(r),(r
V
r
≅














−





=
−
−
=
∆
∆
pipi
 
O número 0,16 indica que, no intervalo considerado, o raio aumenta cm,180 para 
cada centímetro cúbico, 3cm , de variação do volume. 
3180 cmcm,volumeaorelaçãoemraiodoiaçãovardemédiaTaxa ≅ 
 
Podemos calcular numericamente taxas de variação média para qualquer função, 
ao longo de qualquer intervalo. No gráfico apresentado na Figura 6.14, a taxa de 
variação média é a inclinação da reta que passa pelos pontos P e Q : 
h
)x(f)hx(f
x
yPQretadainclinação 00 −+=
∆
∆
= . 
 Nesse quociente, o numerador, )x(f)hx(f 00 −+ , é a distância vertical indicada na 
Figura 7.4; h é a distância horizontal. 
 
 
Figura 7.4 
 
Assim como fizemos para velocidade instantânea, podemos definir a taxa de 
variação instantânea de uma função em um ponto. Para isso, basta olharmos para 
intervalos cada vez menores, ou seja, tomar o limite: 
h
)x(f)hx(flimxemfdeiaçãovardeTaxa
h
00
00
−+
=
→
 
Esse limite é um número real e tem o nome de derivada da função f em 0x . Denotada 
por )x(f 0′ , essa derivada é definida do seguinte modo: 
h
)x(f)hx(flim)x(f
h
00
00
−+
=′
→
 
No gráfico, esse número é a inclinação da reta tangente à curva )x(fy = no ponto 
( ))x(f,xP 00 . 
 
Exemplo 4 
 
Determine a taxa de variação instantânea do raio, r, de um balão esférico em 
relação à variação do volume em 1=V . 
 
Solução 
A expressão 
31
4
3






=
pi
V
r define o raio, r, em função do volume, V, de um balão esférico. 
Com essa fórmula, podemos estimar numericamente a taxa de variação por meio de uma 
tabela de valores: 
 
h -0,01 -0,001 0,001 0,01 
h
)(r)h(r 11 −+
 
 
0,2075 
 
0,2069 
 
0,2067 
 
0,2061 
Tabela 7.5 
 
De acordo com os valores do quociente 
h
)(r)h(r 11 −+
 apresentados na Tabela 7.5, 
podemos afirmar que a taxa de variação de r em relação ao volume, em 1=V , está entre 
0,2069 e 0,2067; arredondando para três casas decimais, obtemos: 
 
20701 ,)(rvolumeaorelaçãoemrdeiaçãovardetaxa ≅′= 
 
Exemplo 5 
 
Achar a derivada de 2x)x(f = no ponto 1=x . 
 
Solução 
 
22211111
0
2
0
22
00
=+=
+
=
−+
=
−+
=′
→→→→
)h(lim
h
hhlim
h
)h(lim
h
)(f)h(flim)(f
hhhh
 
Na Figura 7.5, está representado esse limite. Quando 1,0h = , medido na horizontal, 
21,0)1(f)h1(f =−+ , medido na vertical. Com esses valores, 1,2)1(f ≅′ . 
 
 
Figura 7.5 
 
 
7.6 A função derivada 
 
A derivada de uma função em um determinado ponto P é um número real. Esse 
número nos informa a taxa de variação da função nesse ponto. Geometricamente, se 
ampliarmos um gráfico em torno do ponto P até que a curva se pareça com uma reta, a 
inclinação dessa reta é a derivada da função no ponto P. Também podemos pensar na 
derivada no ponto P como sendo a inclinação da reta tangente ao gráfico da função 
nesse ponto, porque, à medida que fizermos um zoom em torno do ponto P, o gráfico da 
função e o da reta tangente irão se tornando praticamente iguais. A Figura 7.6 apresenta 
um zoom feito na parte do gráfico de uma função que contém o ponto P. 
 
 
 
 
Figura 7.6 
 
Vamos agora pesquisar o que acontece em diversos pontos de uma função. Com 
base na idéia de que uma curva tem uma inclinação em cada um de seus pontos, 
estudaremos a função derivada. 
 
7.6 Um passeio de avião 
 
Na Figura 7.7, está representada a trajetória de um avião, desses que fazem 
exibições em festas a céu aberto. 
 
Figura 7.7 
 
A barriga do avião acompanha a inclinação da curva em cada ponto. Ora o avião 
está acima da curva, ora está abaixo, sempre com a barriga colada na curva. Em M, 
entre os pontos D e E, ele passa da parte de cima para a parte de baixo da curva; em N, 
entre os pontos F e G, sai da parte de baixo e vai para a parte de cima. 
De carona, vamos definir concavidade e ponto de inflexão. No intervalo de S até 
M, a curva fica abaixo das tangentes ao gráfico; dizemos que, nesse intervalo, a curva 
tem concavidade voltada para baixo ou que o gráfico é côncavo para baixo. De modo 
semelhante, no intervalo de M até N, a curva tem concavidade voltada para cima 
porque, neste intervalo, o gráfico está acima das tangentes. No ponto M o avião deixa a 
parte de cima e passa para a parte de baixo; nesse mesmo ponto, as tangentes passam da 
parte de cima para a parte de baixo. O ponto M é chamado de ponto de inflexão, um 
ponto em que a curva muda de concavidade. 
Suponhamos que a trajetória do avião seja o gráfico da função )x(fy = . 
Podemos pensar em uma função que a cada ponto do gráfico de )x(fy = associa a 
inclinação do gráfico de f. Essa nova função é a função derivada de )x(fy = . 
Como a inclinação do gráfico de )x(fy = no ponto de abscissa a é 
h
)a(f)ha(flim)a(f
h
−+
=′
→0
, 
a inclinação do gráfico de )x(fy = em um ponto de abscissa x é 
h
)x(f)hx(flim)x(f
h
−+
=′
→0
. 
 
Exemplo 6 
 
Faça uma estimativa da derivada da função dada pelo gráfico da Figura 7.8 nos 
pontos de abscissa 2101234 e,,,,, −−−− . 
 
 
Figura 7.8 
 
Solução 
 
A partir do gráfico, podemos estimar a derivada de uma função medindo a 
inclinação da reta tangente em diversos pontos do gráfico. Para isso, posicionamos uma 
régua de modo a formar a tangente à curva em um ponto e, usando o quadriculado, 
estimamos a inclinação da régua. Na Figura 7.8, por exemplo, aparece a tangente à 
curva no ponto 3−=x ; usando o quadriculado, podemos visualizar um triângulo 
retângulo com a hipotenusa sobre a tangente e cujos catetos medem, respectivamente, 
2,5 (na escala vertical) e 1 (na escala horizontal); a inclinação da tangente à curva em 
3−=x é 52
1
52
,
,
adjacentecateto
opostocateto
== . Assim, podemos afirmar que 523 ,)(f ≅−′ . 
Por meio desse processo, construímos uma tabela de valores como a apresentada 
na Tabela 7.6. 
 
x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 
derivada no ponto 10 2,5 -2 -3,5 -2 2,5 10 
Tabela 7.6 
 
Observe que para todo valor de x, existe um valor correspondente da derivada. 
Assim, podemos definir a função derivada de f como sendo uma nova função dada pela 
expressão: 
 
h
)x(f)hx(flimxemfdeiaçãovardetaxa)x(f
h
−+
==′
→0
 
Para cada valor de x no qual esse limite existe, dizemos que f é derivável nesse 
valor de x. Se esse limite existe para todo valor de x no domínio de f, dizemos que f é 
derivável em todo seu domínio. Em geral, as funções com as quais lidamos no Cálculo 
são deriváveis em todo seu domínio; algumas dessas funções não são deriváveis em 
pontos isolados. 
 
Exemplo 2 
 
Esboce o gráfico da derivada da função dada na
Figura 7.8. 
 
Solução 
 
Começamos por plotar, em um sistema de coordenadas, os pontos do gráfico 
dessa derivada fornecidos pela Tabela 8.1: (- 4,10); (- 3; 2,5); ... ; (0, - 2); (1; 2,5); (2, 
10). Antes de traçar o gráfico, seria interessante estudar algumas características da 
função derivada a partir do gráfico da função original. 
Podemos observar, por exemplo, que a função f é crescente de 4−=x até 
aproximadamente 52,x −= . Assim, nesse intervalo, a derivada é positiva e seu gráfico 
está acima do eixo x. 
Entre 52,x −= e 50,x = aproximadamente, a função original é decrescente, de 
modo que a sua derivada é negativa; portanto, nesse intervalo, o gráfico de f ′ deve 
ficar abaixo do eixo x. Finalmente, para 50,x > , a função primitiva é crescente; com 
isso, a derivada volta a ser positiva e seu gráfico deve estar acima do eixo x. 
Em algum lugar onde a derivada é negativa, ela deverá atingir seu ponto mais 
baixo; isso deverá acontecer perto de 1−=x . Com isso em mente, esboçamos o gráfico 
de f ′ . A Figura 7.9 traz a função )x(fy = e o gráfico de sua derivada )x(fy ′=′ . 
 
Figura 7.9 
 
Depois de traçar o gráfico, é bom verificar se o gráfico de f ′ faz sentido. 
Observe que nos pontos em que o gráfico de f tem uma inclinação positiva muito 
grande, como em 2=x , o gráfico da derivada f ′ está bem acima do eixo x. Por outro 
lado, quando a inclinação do gráfico de f é branda, o gráfico de f ′ está bem próximo do 
eixo x, como acontece no intervalo 23 −<<− x . 
 
 
 
7.6 Uma fórmula para a função derivada 
 
Conhecendo a fórmula de uma função, podemos determinar uma fórmula para a 
função derivada. Para isso, aplicamos a definição de derivada. Boa parte do uso que 
fazemos do Cálculo depende de nossa habilidade de encontrar a fórmula da derivada de 
uma função e de saber manejar essa fórmula com desenvoltura. Na unidade 8, 
estudaremos as regras de derivação que precisaremos dominar com perfeição; esse é um 
dos segredos para um bom desempenho em quase todas as disciplinas de um curso da 
área de Ciências Exatas e da Natureza. Por enquanto, vamos aplicar a definição para 
encontrar a derivada de uma função. 
 
Exemplo 7 
 
Encontre uma fórmula para a derivada da função 3x)x(f = . 
 
Solução 
 
A derivada de 3x)x(f = no ponto 2=x é o número real )(f 2′ calculado 
algebricamente do seguinte modo: 
1261222222 2
0
33
00
=++=
−+
=
−+
=′
→→→
)hh(lim
h
)h(lim
h
)(f)h(flim)(f
hhh
 
 
 Na Figura 7.10, está o gráfico da função 3x)x(f = . O número real 122 =′ )(f é 
a inclinação do gráfico no ponto (2, 8). 
 
 
Figura 7.10 
 
Vamos usar essa idéia para achar uma fórmula para a função derivada. 
A derivada de 3x)x(f = é outra função que a cada ponto ( ))x(f,x de f associa 
a inclinação do gráfico de f nesse ponto. Assim, a derivada de 3x)x(f = é a função 
)x(f ′ cuja lei de associação é 
h
)x(f)hx(flim)x(f
h
−+
=′
→0
. Calculando esse limite, 
temos: 
222
0
33
0
333 x)hxhx(lim
h
x)hx(lim)x(f
hh
=++=
−+
=′
→→
 
Assim podemos afirmar que a derivada da função 3x)x(f = é a função 23x)x(f =′ . 
Na Figura 7.11, estão os gráficos de 3x)x(f = e de 23x)x(f =′ . 
 
 
Figura 7.11 
 
Conhecida a função derivada 23x)x(f =′ , podemos calcular seu valor em 
qualquer ponto de seu domínio. Nesse exemplo, 12232 2 ==′ .)(f , o que confirma o 
resultado encontrado anteriormente. 
 
Exemplo 8 
 
Se f (x) x 1= − , encontre a derivada de f e estabeleça o domínio de f ′ . 
 
Solução 
 
Aplicando a definição, temos: 
h 0
h 0
h 0
h 0
h 0
h 0
f (x h) f (x)f (x) lim
h
x h 1 x 1lim
h
x h 1 x 1 x h 1 x 1lim
h x h 1 x 1
(x h 1) (x 1)lim
h( x h 1 x 1)
hlim
h( x h 1 x 1)
1lim
x h 1 x 1
1
2 x 1
→
→
→
→
→
→
+ −
′ =
+ − − −
=
+ − − − + − + −
= ⋅
+ − + −
+ − − −
=
+ − + −
=
+ − + −
=
+ − + −
=
−
 
O domínio de 1f (x)
2 x 1
′ =
−
 é ( )1,∞ . Observe que esse domínio é menor do que o 
domínio de f, que é ),1[ ∞ . (Ver Figura 7.12) 
 
 
Figura 7.12 
 
Comparando os gráficos de f e de f ′ na Figura 7.12, podemos verificar que 
quando x está próximo de um, o gráfico da função f (x) x 1= − está quase na vertical; 
isso indica que quando x está próximo de um, a derivada 1f (x)
2 x 1
′ =
−
 deve ser 
muito grande. Por outro lado, quando x assume valores muito grandes, 
f (x) x 1= − cresce bem devagar, indicando que 1f (x)
2 x 1
′ =
−
 é bem pequena e se 
aproxima de zero. 
 
Exemplo 9 
Use a definição para determinar a derivada de 1 xf (x)
2 x
−
=
+
. 
Solução 
 
Aplicando a definição, temos: 
h 0 h 0
h 0
2 2
h 0
2h 0 h 0
1 (x h) 1 x
f (x h) f (x) 2 (x h) 2 xf (x) lim lim
h h
(1 x h)(2 x) (1 x)(2 x h)lim
h(2 x h)(2 x)
(2 x 2h x xh) (2 x h x xh)lim
h(2 x h)(2 x)
3h 3 3lim lim
h(2 x h)(2 x) (2 x h)(2 x) (2 x)
→ →
→
→
→ →
− + −
−
+ − + + +
′ = =
− − + − − + +
=
+ + +
− − − − − − + − −
=
+ + +
− − −
= = =
+ + + + + + +
 
 
Compare os gráficos de 1 xf (x)
2 x
−
=
+
 (azul) e 2
3f (x) (2 x)
−
′ =
+
 (verde), que estão 
na Figura 7.13. 
 
 
Figura 7.13 
 
7.6 Como achar a derivada de uma função dada por meio de uma tabela de valores 
 
Se uma função for dada por meio de uma tabela de valores, podemos fazer uma 
estimativa para os valores de sua derivada. Para isso, pesquisamos valores da função 
correspondentes a valores suficientemente próximos da variável independente. 
 
Exemplo 10 
 
Calcular, por meio de uma tabela de valores a derivada de 2x)x(f = . 
 
Solução 
 
A Tabela 7.7 apresenta valores de 2x)x(f = para valores de x próximos de 1, 2 
e 3. 
 
x 0,999 1,000 1,001 1,999 2,000 2,001 2,999 3,000 3,001 
2x)x(f = 0,998 1,000 1,002 3,996 4,000 4,004 8,994 9,000 9,006 
Tabela 7.7 
 
Nas proximidades de 1=x , a função 2x)x(f = cresce aproximadamente 0,002 
cada vez que x aumenta de 0,001. Assim, podemos escrever: 
2
0010
00201 =≅′
,
,)(f 
Fato semelhante ocorre quando x está próximo de 2 e quando x está próximo de 3, o que 
nos permite afirmar: 
4
0010
00402 =≅′
,
,)(f 
6
0010
00603 =≅′
,
,)(f 
Conhecer o valor de f ′ em alguns pontos não nos indica a fórmula para f ′ . Às 
vezes, os valores encontrados para f ′ podem sugerir uma fórmula para a função 
derivada. Nesse exemplo, os valores encontrados, 21 =′ )(f , 42 =′ )(f e 63 =′ )(f , 
indicam que possivelmente a fórmula de f ′ é x)x(f 2=′ . 
A Figura 7.14 traz o gráfico de 2x)x(f = e o de sua derivada x)x(f 2=′ . 
 
 
Figura 7.14 
Questionário 7 
 
Estude no seu de Cálculo A função derivada. Examine com muita atenção os exemplos 
apresentados nesse livro. A seguir, procure resolver as seguintes questões. 
 
1) Escreva uma expressão para a inclinação da reta tangente à curva y f (x)= no 
ponto ( )x, f (x) . 
 
2) Considere a função y f (x)= e x variando de 1 2x a x . Escreva uma expressão 
para as seguintes taxas: 
a) Taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [ ]1 2x , x . 
b) Taxa instantânea de variação de y em relação a x em 1x x= . 
 
3) Considere um objeto movendo-se ao longo de uma reta com posição dada por 
s f (t)= , no instante t . Escreva uma expressão para a velocidade instantânea 
desse objeto no instante t . Como pode ser interpretada essa velocidade em 
termos do gráfico de f ? 
 
4) Considere a função y f (x)= : 
a) Escreva uma expressão para a taxa média de variação de y em relação a x 
no intervalo [ ]1 2x , x . 
b) Escreva uma expressão para a taxa instantânea de variação de y em 
relação a x. 
 
5) Defina a derivada f (x)′ . Quais são as duas maneiras
de interpretar essa função? 
 
6) Que relação existe entre diferenciabilidade e continuidade de uma função f? 
 
Exercícios 7 
 
1) Use o gráfico dado para estimar o valor da derivada. A seguir, esboce o gráfico 
de f ′ . 
 
 
 
2) Use o gráfico dado para estimar o valor da derivada. A seguir, esboce o gráfico 
de f ′ . 
 
 
3) Uma curva tem por equação y f (x)= . 
 
a) Escreva a inclinação de uma reta secante que passa pelos pontos 
P (3,f (3))= e Q (x, f (x))= dessa curva. 
b) Escreva a equação da reta tangente a essa curva no ponto P. 
 
4) Associe o gráfico de cada função em (a) até (d) com o gráfico de sua derivada 
em I a IV. Justifique suas escolhas. 
 
 
 
 
Para os exercícios de 5 a 12, trace ou copie o gráfico de f e tente, a partir desse, esboçar 
o gráfico de f ′ . 
 
 
 
13) Encontre a derivada de cada função dada usando a definição. Estabeleça o domínio 
de cada função e o domínio de cada derivada. 
 
2
3 2
2
a) f (x) 5x 3 e) f (x) x x
x 1b) f (x) 5 4x 3x f ) f (x)
x 1
4 3x
c) f (x) 1 2x g) f (x)
2 x
1d) f (x) x x 2x h) f (x)
x
= + = +
+
= − + =
−
−
= + =
+
= − + =
 
 
14) O gráfico abaixo é da função f. Indique para que valores de x f não é diferenciável e 
explique a razão de sua indicação. 
 
 
 
 
15) Escreva a equação da tangente à parábola 2y x 2x= + no ponto (-3, 3). 
 
16) Escreva a equação da tangente à curva 3y x= no ponto ( 1, 1)− − . 
 
17) Escreva a equação da tangente à parábola 2y 1 2x 3x= − − no ponto ( 2, 7)− − . 
 
18) Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 5m s , sua altura em metros 
depois de t segundos é dada por 2y 5t 4,9 t= − . Encontre a velocidade dessa bola no 
instante t 2= . 
 
19) O deslocamento, em metros, de uma partícula que se move ao longo de uma reta é 
dado pela equação do movimento 3s(t) 4t 6t 2= + + , onde t é medido em segundos. 
Determine a velocidade dessa partícula no instante t 3= . 
 
20) Um carro parte em alta velocidade e, depois, sua velocidade diminui lentamente. 
Esboce um gráfico da distância percorrida pelo carro em função do tempo. 
 
21) Um ciclista alterna intervalos em que pedala a uma taxa razoavelmente constante 
com intervalos em que está planando. Supondo que esses intervalos sejam 
igualmente distribuídos, esboce um gráfico da distância percorrida em função do 
tempo. 
 
22) Encontre a velocidade média ao longo do intervalo 200 ,t ≤≤ e faça uma 
estimativa para a velocidade de um carro, em t 0, 2= , sabendo que sua posição é 
dada pela tabela de valores: 
t (s) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 
s (m) 0 0,2 0,6 1,3 2,2 3,2 
 
23) Uma bola é lançada de uma ponte, para o alto, e sua altura, em metros, acima do 
solo, t segundos depois, é dada por 12155 2 ++−= tt)t(f . 
a) Determine a altura da ponte. 
b) Determine a velocidade média da bola no intervalo 32 ≤≤ t . 
c) Obtenha um valor aproximado para a velocidade em 1=t . 
d) Esboce um gráfico da função f e determine a altura máxima atingida pela bola. 
 Qual deve ser a velocidade da bola no instante em que atinge o ponto mais alto? 
e) Use o gráfico para determinar o instante em que a bola atinge a altura máxima.